Analisis Fourier Dan Wavelet - FMIPA ITB
Analisis Fourier dan WaveletHendra GunawanKK Analisis & GeometriMatematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi BandungBandung, 2017
Catakan 1, 2017Hak Cipta dilindungi undang-undangAll Rights Reserved@Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam ITBDilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku initanpa izin tertulis dari Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam ITBHak cipta pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam ITB, 2017Data katalog dalam terbitanGUNAWAN, HENDRAAnalisis Fourier dan WaveletOleh Hendra Gunawan. – Bandung.Penerbit Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam ITB, 2017Labtek VIII Lantai 1Jl. Ganesa 10 BandungTelp.: 022 2515032, Fax.: 022 2502360http://www.fmipa.itb.ac.id
Analisis Fourier dan Wavelet1Daftar Isi0Kata Pengantar5Pendahuluan70.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks70.2 Ruang Hilbert100.3 Ukuran Lebesgue di R120.4 Soal Latihan13115Mengapa Deret Fourier1.1 Persamaan panas untuk kawat lurus151.2 Persamaan panas untuk kawat melingkar171.3 Soal latihan18221Deret Fourier2.1 Deret Fourier dari fungsi periodik212.2 Contoh Derer Fourier dan Ketaksamaan Bessel232.3 Soal latihan26329Kekonvergenan Deret Fourier3.1 Jumlah parsial dan intuisi melalui kernel Dirichlet293.2 Kekonvergenan titik demi titik dan seragam313.3 Soal latihan34435Deret Fourier pada Interval Sembarang dan Aplikasinya4.1 Deret Fourier pada interval sembarang354.2 Contoh aplikasi384.3 Soal latihan40541Beberapa Catatan Mengenai Deret Fourier5.1 Turunan dan integral deret Fourier41
2Hendra Gunawan5.2 Deret Fourier sebagai transformasi425.3 Perbandingan dengan deret Taylor425.4 Fenomena Gibbs435.5 Teorema Fejér445.6 Soal latihan44645Himpunan Fungsi Ortogonal6.1 Himpunan fungsi ortogonal456.2 Ruang P C(a, b) sebagai ruang hasilkali dalam466.3 Kekonvergenan di ruang P C(a, b)486.4 Soal latihan49Ruang L2 (a, b)517.1 Topologi di L2 (a, b)517.2 Ketaksamaan Bessel537.3 Basis ortonormal di L2 (a, b)547.4 Soal latihan5578Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaikdi L2 (a, b)578.1 Deret Fourier yang diperumum578.2 Hampiran terbaik di L2 (a, b)588.3 Masalah Sturm-Liouville reguler598.4 Soal latihan62963Polinom Legendre, Basis Haar, dan Basis Walsh9.1 Himpunan polinom ortogonal639.2 Polinom Legendre649.3 Basis Haar dan Basis Walsh659.4 Soal latihan6810 Transformasi Fourier6910.1 Motivasi6910.2 Ruang L1 (R) dan L2 (R)7010.3 Transformasi Fourier72
Analisis Fourier dan Wavelet310.4 Soal latihan7411 Konvolusi7511.1 Konvolusi dan sifat-sifat dasarnya7511.2 Identitas hampiran7711.3 Fungsi Gauss dan Teorema Aproksimasi Weierstrass7911.4 Soal latihan8112 Teorema Inversi Fourier8312.1 Teorema Inversi Fourier8312.2 Transformasi Fourier di L28512.3 Soal latihan8713 Aplikasi Transformasi Fourier8913.1 Aplikasi pada persamaan panas8913.2 Persamaan Laplace pada setengah bidang9113.3 Teorema Sampling Shannon9213.4 Ketaksamaan Heisenberg9313.5 Soal latihan9514 Transformasi Fourier dan Masalah Sturm-Lioville9714.1 Masalah Sturm-Liouville Singular9714.2 Transformasi cosinus Fourier dan transformasi sinus Fourier9914.3 Aplikasi pada persamaan panas10014.4 Soal latihan10115 Wavelet10315.1 Menengok kembali basis Haar10315.2 Wavelet ortonormal10415.3 Basis yang dibangun oleh sebuah fungsi10715.4 Soal latihan10816 Analisis Multi-Resolusi10916.1 Analisis Multi-Resolusi10916.2 Konstruksi wavelet11116.3 Wavelet bertumpuan kompak dan kemulusannya112
4Hendra Gunawan16.4 Teorema sampling11416.5 Soal latihan11517 Transformasi Wavelet Kontinu dan ’Rangka’11717.1 Transformasi wavelet kontinu dan kesamaan resolusi11717.2 Diskritisasi dan rangka12017.3 Syarat perlu dan syarat cukup untuk membentuk rangka12317.4 Soal latihan12418 Lebih jauh tentang Rangka12718.1 Operator rangka12718.2 Rangka dual12818.3 Skema rekonstruksi12918.4 Soal latihan13219 Penutup13319.1 Pemrosesan signal 1D13319.2 Pemrosesan citra 2D135Daftar Pustaka137
Analisis Fourier dan Wavelet5Kata PengantarBuku ini merupakan pengembangan dari catatan kuliah Analisis Fourier dan Wavelet yang pernah penulis ajarkan kepada mahasiswa S2 Matematika ITB pada tahun1997/1998. Sebagian materi, terutama bagian awal, pernah pula diberikan dalam kuliahPengantar Analisis Fourier untuk mahasiswa S1 Matematika ITB pada tahun 1999 dan2000. Beberapa bagian lainnya merupakan tambahan, yang penulis anggap bergunabagi pembaca yang belum pernah mengambil kedua matakuliah yang disebutkan diatas. Untuk mengukur pemahaman pembaca terhadap materi yang dibahas, tiap babdiakhiri dengan sejumlah soal latihan.Penyusunan catatan kuliah dimulai di Bandung dan dilanjutkan serta diperbaikidi Sydney ketika penulis berkunjung ke School of Mathematics, Univerisity of NewSouth Wales di Sydney pada tahun 2000/2001 sebagai Merdeka Fellow 2000. Catatankuliah edisi pertama diluncurkan pada tahun 2001, dan setelah mengalami perbaikan,catatan kuliah edisi kedua diterbitkan pada tahun 2006. Pada awal tahun 2014, ketikapenulis memberi kuliah Analisis Fourier lagi, revisi besar-besaran dilakukan dan sebagaihasilnya catatan kuliah edisi ketiga diterbitkan pada bulan Mei 2014. Naskah buku inimerupakan hasil penyempurnaan berkelanjutan dari catatan kuliah edisi ketiga, yangpenulis lakukan dari tahun 2015 hingga tahun 2017. Penulis berterima kasih kepadaEka Rahmi Kahar yang membuat Gambar 2.2a, 2.2b, 3.1, 5.4, 9.3a, 9.3b, dan 9.3c.Menyadari bahwa buku ini masih jauh dari sempurna, penulis dengan senang hatiakan menerima segala masukan atau usulan perbaikan dari para pembaca sekalian.Masukan atau usulan perbaikan, bila ada, dapat disampaikan langsung atau via e-mailke hgunawan@math.itb.ac.id.H.G.Bandung, Agustus 2017
6Hendra Gunawan
Analisis Fourier dan Wavelet70. PendahuluanAnalisis Fourier mempelajari berbagai teknik untuk menganalisis sebuah fungsidengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnyatelah kita kenal dengan baik, seperti fungsi polinom atau fungsi trigonometri). AnalisisFourier merupakan alat yang ampuh untuk memecahkan berbagai masalah, khususnyamasalah yang berbentuk persamaan diferensial parsial yang muncul dalam sains danilmu rekayasa, dan tentunya untuk menganalisis signal seperti signal suara dan citra.Materi buku ini terbagi atas dua bagian. Bagian pertama akan meliputi deretdan transformasi Fourier serta penggunaannya, yang merupakan materi klasik, sebagaimana dibahas dalam buku “Fourier Analysis and Its Applications” karangan G.B.Folland (Wadsworth, 1992). Sementara itu pada bagian kedua kita akan berkenalandengan wavelet, materi yang relatif baru dan sedang ‘in’ dewasa ini. Bagian keduaakan menyinggung pula dasar-dasar pemrosesan signal dan penggunaan wavelet dalambidang tersebut.Untuk memahami materi buku ini, Anda diasumsikan telah menguasai materi Analisis Real (yang membahas konsep himpunan, bilangan real, fungsi, barisan, turunan, danintegral Riemann) dan Aljabar Linear Elementer (yang membahas ruang vektor, hasilkali skalar, dan lain-lain). Akan lebih menguntungkan bila Anda telah pula mempelajariFungsi Kompleks, namun ini bukan suatu keharusan.0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleksSebelum kita masuk ke materi utama, ada baiknya kita sepakati terlebih dahulusejumlah notasi dan istilah yang akan kita pakai berulang-ulang.Himpunan semua bilangan asli {1, 2, 3 . . .} dinyatakan sebagai N, sementara himpunan semua bilangan bulat {. . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .} dituliskan sebagai Z. Himpunan
8Hendra Gunawansemua bilangan real dinyatakan sebagai R, sementara himpunan semua bilangan kompleks dituliskan sebagai C. Notasi berikut menyatakan interval di R:[a, b] : {x R : a x b},(a, b) : {x R : a x b},[a, b) : {x R : a x b},(a, b] : {x R : a x b}.Pada umumnya kita akan bekerja dengan fungsi dari R ke C, yakni fungsi yangterdefinisi di R (biasanya pada suatu interval di R) dan bernilai kompleks. Namunsesekali kita akan membahas pula fungsi peubah banyak yang terdefinisi di Rd (d N)dan bernilai kompleks. Di sini Rd menyatakan himpunan semua titik x (x1 , . . . , xd )dengan xj R, j 1, . . . , d.Mengingat bahwa kita akan senantiasa berhadapan dengan fungsi yang bernilaikompleks, di bawah ini kita tinjau kembali sejumlah sifat dasar bilangan kompleks,yang mungkin telah Anda pelajari dalam kuliah Fungsi Kompleks.Bilangan kompleks dapat disajikan sebagai z : a bi dengan a, b R dan iadalah bilangan imajiner yang memenuhi i2 1. (Terdapat dua akar persamaanz 2 1, bilangan i merupakan akar utama-nya.) Dalam hal ini a disebut bagian realdari z, ditulis Re(z) : a; sementara b disebut bagian imajiner dari z, ditulis Im(z) : b.Penjumlahan dan perkalian dua buah bilangan kompleks dapat dilakukan seperti halnyaterhadap dua buah bilangan real:(a bi) (c di) : (a c) (b d)i,(a bi)(c di) : (ac bd) (bc ad)i.Himpunan semua bilangan kompleks C dapat dipandang sebagai bidang R2 (lihat Gambar 0.1). Modulus bilangan kompleks z a bi, ditulis z , diberikan oleh z : a2 b2 , yang menyatakan jarak Euclid dari z ke 0. Sebagaimana di R, kitamempunyai Ketaksamaan Segitiga di C: untuk setiap z1 , z2 C berlaku z1 z2 z1 z2 .Diberikan bilangan kompleks z, kita mempunyai z̄, yang menyatakan konjugasiatau kawan dari z, yakni z̄ : a bi. Untuk setiap z C, berlakuRe(z) 1(z z̄),2Im(z) 1(z z̄),2i
Analisis Fourier dan Wavelet z 2 z z̄,9z real j.h.j. z z̄.(Catatan: Di sini ‘j.h.j.’ merupakan singkatan dari ‘jika dan hanya jika’.)Gambar 0.1: Bidang KompleksSebagai alternatif, bilangan kompleks sering pula dituliskan dalam bentuk polar:z : reiθ ,dengan r z dan θ arg(z) sudut yang dibentuk vektor z dengan sumbu realpositif. Kita mempunyai rumus Euler:eiθ cos θ i sin θ.Sebagai contoh, untuk θ π, kita mempunyai eiπ 1, sebuah persamaan yangmelibatkan empat bilangan penting yaitu 1, i, e, dan π serta tanda minus.Berbeda dari polinom real, setiap polinom kompleks senantiasa mempunyai akar,sebagaimana dijamin oleh teorema berikut:Teorema A (Teorema Dasar Aljabar). Misalkan P (z) : a0 a1 z · · · an z n denganan 6 0 dan n N. Maka, terdapat bilangan α C sedemikian sehingga P (α) 0.
10Hendra Gunawan0.2 Ruang HilbertRuang Hilbert merupakan abstraksi alami dari R3 , yang memiliki struktur linearvektor, hasilkali dalam, dan sifat kelengkapan.Misalkan H ruang vektor atas C. Pemetaan h·, ·i : H H C yang memenuhi(i) hαx βy, zi αhx, zi βhy, zi x, y, z H, α, β C,(ii) hx, yi hy, xi x, y H,(iii) hx, xi 0 x H,(iv) hx, xi 0 j.h.j. x 0,disebut hasilkali dalam pada H. Ruang vektor H atas C yang dilengkapi dengan hasilkali dalam h·, ·i disebut ruang hasilkali dalam.Pada ruang hasilkali dalam H dengan hasilkali dalam h·, ·i, kita dapat mendefinisikan normakxk : hx, xi1/2 ,yang memenuhi keempat sifat berikut:(i) kxk 0 x H,(ii) kxk 0 j.h.j. x 0,(iii) kαxk α kxk x H, α C,(iv) kx yk kxk kyk x, y H (Ketaksamaan Segitiga).Ketaksamaan Segitiga di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan KetaksamaanCauchy-Schwarz: hx, yi kxk kyk, x, y H.Selanjutnya, untuk setiap x, y H, berlakuHukum Jajarangenjang: kx yk2 kx yk2 2(kxk2 kyk2 );Kesamaan Polarisasi: hx, yi 14 kx yk2 kx yk2 ikx iyk2 ikx iyk2 .Pada ruang hasilkali dalam H yang telah dilengkapi dengan norma k · k kita dapatpula mendefinisikan metrikd(x, y) : kx yk,yang memenuhi keempat sifat berikut:
Analisis Fourier dan Wavelet11(i) d(x, y) 0 x, y H,(ii) d(x, y) 0 j.h.j. x y,(iii) d(x, y) d(y, x) x, y H,(iv) d(x, z) d(x, y) d(y, z) x, y, z H (Ketaksamaan Segitiga).Sebagai ruang metrik atau ruang bernorma, H dikatakan lengkap apabila setiapbarisan Cauchy (xn ) di H, yang memenuhi d(xm , xn ) 0 (m, n ), konvergen dalamnorma ke suatu titik x H, yakni d(xn , x) kxn xk 0 (n ). Ruang bernormayang lengkap disebut ruang Banach. Ruang hasilkali dalam H disebut ruang Hilbertapabila ia, sebagai ruang bernorma, merupakan ruang Banach. Contoh klasik ruangHilbert adalah Cd , himpunan semua titik (z1 , . . . , zd ) dengan zj C, j 1, . . . , d,Pdyang dilengkapi dengan hasilkali dalam baku hz, wi : j 1 zj w̄j .Pembahasan tentang ruang Hilbert yang lebih mendalam dapat pula ditemui misalnya dalam buku “An Introduction to Hilbert Space” karangan N. Young (CambridgeUniv. Press, 1988).0.3 Ukuran Lebesgue di RDalam Analisis Real, Anda telah mempelajari konsep integral Riemann. Dalam kuliah ini kita akan bekerja dengan integral Lebesgue, yang merupakan suatu perumumandari integral Riemann. Walaupun Anda tidak akan dituntut untuk memahami konsep integral Lebesgue secara mendalam, ada baiknya Anda berkenalan dengan konsepukuran Lebesgue yang mendasarinya pada kesempatan ini.Panjang interval terbatas I R yang mempunyai titik ujung a dan b didefinisikansebagai I : b a. Panjang interval tak terbatas didefinisikan sebagai . Sekarangmisalkan A suatu himpunan di R. Keluarga terbilang interval {Ij } dikatakan meliputiSA apabila A j Ij . Ukuran luar A kemudian didefinisikan sebagaim (A) : inf{Pj Ij : {Ij } meliputi A}.Jelas bahwa ukuran luar sebuah interval sama dengan panjangnya, yakni m (I) I .Tidak tertutup kemungkinan terjadi m (A) untuk suatu A R. Secara umum,m (A) [0, ].
12Hendra GunawanHimpunan A R dikatakan terukur apabila untuk setiap 0 terdapat himpunantertutup F A dan himpunan terbuka G A sedemikian sehingga m (G \ F ) .(Himpunan H dikatakan terbuka di R apabila untuk setiap x H terdapat δ 0sedemikian sehingga (x δ, x δ) H; dan H dikatakan tertutup apabila R \ Hterbuka.)Tidak terlalu sukar untuk memeriksa bahwa: jika A terukur, maka A0 juga terukur;jika A dan B terukur, maka A B juga terukur; dan jika Ak terukur untuk setiapSk N, maka k N Ak juga terukur. Keluarga himpunan M {A R : A terukur}merupakan suatu aljabar-σ, yakni memenuhi:(i) A M A0 M,(ii) A, B M A B M,S(iii) Ak M, k N k N Ak M.Keluarga M memuat semua himpunan terbuka, himpunan tertutup, himpunan Fσ(gabungan sejumlah terbilang himpunan tertutup), dan himpunan Gδ (irisan sejumlahterbilang himpunan terbuka) di R. Fungsi m yang dibatasi pada M dikenal sebagaiukuran Lebesgue pada R, biasa dilambangkan dengan m.Himpunan A R dikatakan berukuran nol apabila m (A) 0. Himpunan berukuran nol jelas terukur, dengan m(A) m (A) 0. Setiap himpunan terbilang jelasmerupakan himpunan berukuran nol.Suatu sifat atau pernyataan P pada R dikatakan berlaku hampir di mana-mana(h.d.m.) apabila P berlaku pada seluruh R kecuali pada suatu himpunan berukurannol. Sebagai contoh, fungsi f : R R yang didefinisikan oleh f (x) : 0 jika x irasionaldan f (x) : 1 jika x rasional, dapat dikatakan sama dengan nol hampir di mana-mana.Himpunan berukuran nol mempunyai peran yang cukup penting dalam teori integral. Misalnya kita mempunyai teorema berikut:Teorema B (Kriteria keterintegralan Riemann). Misalkan f : [a, b] R terbatas.Maka, f terintegralkan Riemann pada [a, b] jika dan hanya jika f kontinu pada [a, b]kecuali pada suatu himpunan berukuran nol.Dengan konsep ukuran Lebesgue, integral Riemann dapat diperumum menjadi integral Lebesgue — namun kita tidak akan membahasnya di sini. Pada umumnya kita
Analisis Fourier dan Wavelet13akan bekerja dengan fungsi yang kontinu hampir di mana-mana, dan dalam hal ini integral Lebesgue dapat dianggap sebagai integral Riemann. Beberapa teorema, sepertihalnya teorema Fubini dan teorema Lebesgue tentang kekonvergenan barisan fungsiyang terdominasi, akan kita pakai begitu saja bilamana diperlukan. Bila pembaca inginmemahami konsep ukuran dan integral Lebesgue lebih jauh, silakan baca buku “RealAnalysis” karangan H.L. Royden (Prentice Hall, 1988), “Real and Complex Analysis”karangan W. Rudin (McGraw- Hill, 1986), atau buku lain yang membahas hal ini.0.4 Soal latihan1. Buktikan bahwa z 1 z2 z1 z2 untuk setiap z1 , z2 C.2. Buktikan ketaksamaan Cauchy-Schwarz di ruang hasilkali dalam (H, h·, ·i): hx, yi kxk kyk,x, y H.3. (a) Buktikan bahwa himpunan A : {1, 2, . . . , 10} berukuran nol.(b) Buktikan bahwa himpunan semua bilangan asli N berukuran nol.(c) Buktikan bahwa himpunan semua bilangan rasional Q berukuran nol.
14Hendra Gunawan
Analisis Fourier dan Wavelet151. Mengapa Deret FourierDi bawah ini diberikan dua contoh pemicu materi deret Fourier. Kedua contoh yangdipilih untuk dikemukakan di sini berkaitan dengan persamaan difusi atau persamaanpanas untuk seutas kawat yang mengalami perubahan panas.1.1 Persamaan panas untuk kawat lurusMisalkan kita mempunyai seutas kawat yang panjangnya L dan penampangnya berbentuk lingkaran, terinsulasi pada permukaannya (sehingga suhu hanya dapat keluaratau masuk melalui kedua ujungnya), dan suhu pada kedua ujungnya dipertahankantetap sama dengan nol.——————————0LGambar 1.1: Kawat [0, L]Bila kawat tersebut kemudian mengalami perubahan panas (katakan karena dipanasi), maka suhu pada kawat tersebut akan memenuhi persamaan panas atau persamaan difusiut kuxxdengan syarat batasu(0, t) u(L, t) 0.Di sini u(x, t) menyatakan suhu kawat pada posisi x [0, L] dan saat t 0, ut turunanparsial terhadap t, dan uxx turunan parsial kedua terhadap x; sementara k adalahkonstanta difusi.
16Hendra GunawanDengan pemisahan peubah, kita misalkan u(x, t) : X(x)T (t). Maka, kita akanperolehX(x)T 0 (t) kX 00 (x)T (t)X(0) X(L) 0.Dengan membagi kedua ruas persamaan dengan kX(x)T (t), kita dapatkanT 0 (t)X 00 (x) .kT (t)X(x)Karena ruas kiri hanya bergantung pada t, sementara ruas kanan hanya bergantungpada x, kedua ruas tersebut mestilah sama dengan suatu konstanta A, sehinggaT 0 (t) AkT (t),(1)X 00 (x) AX(x).(2)Persamaan (1) merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 (dalam t); solusiumumnya adalahT (t) C0 eAkt ,t 0.Sementara itu, persamaan (2) merupakan persamaan diferensial biasa orde 2 (dalam x);solusi umumnya adalahX(x) C1 cos λx C2 sin λx,dengan λ 0 x L, A menyatakan bilangan kompleks yang memenuhi persamaan λ2 A 0. (Secara umum A merupakan konstanta kompleks.)Persyaratan X(0) 0 memaksa C1 0, dan X(L) 0 memberikan C2 sin λL 0.Dengan menganggap C2 6 0, kita peroleh sin λL 0 yang berarti bahwa λL nπ dan 2karenanya A nπ, dengan n Z. Namun kita di sini cukup mengambil n NLmengingat kasus n 0 hanya menghasilkan solusi nol dan penggantian n dengan nsama saja dengan penggantian C2 dengan C2 . Dengan demikian kita peroleh solusiun (x, t) e (nπ 2L ) ktsinnπx,L0 x L, t 0,
Analisis Fourier dan Wavelet17untuk setiap n N. Dengan mengambil kombinasi linearnya dan dengan proses limit,kita mempunyai solusi yang berbentuk deretu(x, t) Xan e (nπ 2L ) ktsinn 1nπx,L0 x L, t 0,dengan an R untuk setiap n N.Misalkan, sebagai informasi tambahan, diketahui syarat awal u(x, 0) : f (x), x [0, L]. Solusi di atas akan memenuhi syarat ini jika dan hanya jika koefisien an memenuhif (x) Xn 1an sinnπx,L0 x L.Masalahnya kemudian adalah adakah an yang memenuhi persamaan ini dan, bila ada,bagaimana menentukannya.1.2 Persamaan panas untuk kawat melingkarMisalkan kawat tadi ditekuk sehingga membentuk lingkaran (dengan kedua ujungnya bertemu) dan kita ingin mengetahui distribusi panas pada kawat bila kawat tersebutdipanasi. Di sini posisi setiap titik ditentukan oleh sudut θ (yang diukur terhadap sumbuacuan) dan suhu di titik tersebut pada saat t adalah u(θ, t).Gambar 1.2: Kawat MelingkarKarena jarak linear pada lingkaran sebanding dengan jarak sudut (x rθ, denganr menyatakan jari-jari lingkaran), persamaan difusi ut kuxx menjadiut k0 uθθ
18Hendra Gunawandengan k0 : kr2 .Dengan menuliskan u(θ, t) : Θ(θ)T (t), kita peroleh (seperti sebelum-nya)T (t) C0 eAk0 t , t 0, Θ(θ) C1 cos θ A C2 sin θ A,θ R,untuk suatu konstanta kompleks A.Sekarang kita tidak mempunyai persyaratan batas karena lingkaran tidak berujung.Namun, mengingat θ dan θ 2nπ menyatakan sebuah titik yang sama, f
3 Kekonvergenan Deret Fourier 29 3.1 Jumlah parsial dan intuisi melalui kernel Dirichlet 29 3.2 Kekonvergenan titik demi titik dan seragam 31 3.3 Soal latihan 34 4 Deret Fourier pada Interval Sembarang dan Aplikasinya 35 4.1 Deret Fourier pada interval sembarang 35 4.2 Contoh aplikasi 38 4.3 Soal latihan
wavelet transform combines both low pass and high pass fil-tering in spectral decomposition of signals. 1.2 Wavelet Packet and Wavelet Packet Tree Ideas of wavelet packet is the same as wavelet, the only differ-ence is that wavelet packet offers a more complex and flexible analysis because in wavelet packet analysis the details as well
Workshop 118 on Wavelet Application in Transportation Engineering, Sunday, January 09, 2005 Fengxiang Qiao, Ph.D. Texas Southern University S A1 D 1 A2 D2 A3 D3 Introduction to Wavelet A Tutorial. TABLE OF CONTENT Overview Historical Development Time vs Frequency Domain Analysis Fourier Analysis Fourier vs Wavelet Transforms Wavelet Analysis .
FT Fourier Transform DFT Discrete Fourier Transform FFT Fast Fourier Transform WT Wavelet Transform . CDDWT Complex Double Density Wavelet Transform PCWT Projection based Complex Wavelet Transform viii. . Appendix B 150 Appendix C 152 References 153 xiii.
Wavelet analysis can be performed in several ways, a continuous wavelet transform, a dis-cretized continuous wavelet transform and a true discrete wavelet transform. The application of wavelet analysis becomes more widely spread as the analysis technique becomes more generally known.
The wavelet analysis procedure is to adopt a wavelet prototype function, called an analyzing wavelet or mother wavelet. Temporal analysis is performed with a contracted, high-frequency version of the prototype wavelet, while frequency analysis is performed with a dilated, low-frequency version of the same wavelet.
aspects of wavelet analysis, for example, wavelet decomposition, discrete and continuous wavelet transforms, denoising, and compression, for a given signal. A case study exam-ines some interesting properties developed by performing wavelet analysis in greater de-tail. We present a demonstration of the application of wavelets and wavelet transforms
Gambar 5. Koefisien Deret Fourier untuk isyarat kotak diskret dengan (2N1 1) 5, dan (a) N 10, (b) N 20, dan (c) N 40. 1.2 Transformasi Fourier 1.2.1 Transformasi Fourier untuk isyarat kontinyu Sebagaimana pada uraian tentang Deret Fourier, fungsi periodis yang memenuhi persamaan (1) dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus.File Size: 568KB
seperti dengan adanya dana pensiun setelah masa kerja habis ataupun jaminan hari tua. Pada indikator kebutuhan sosial yaitu kurangnya interaksi antara karyawan . ix dalam bekerja dan sikap acuh tak acuh antar karyawan. Diharapkan dari kebutuhan sosial dapat diatasi dengan perusahaan mengadakan tour atau rekreasi dengan karyawan agar hubungan antar karyawan makin erat, membuat kelompok kerja .
