Deret Fourier Dan Transformasi Fourier

Deret dan Transformasi FourierRisanuri Hidayat,Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM,Negeri Ngayogyakarta Hadiningrat 55281, INDONESIArisanuri@te.ugm.ac.id (risanuri@gmail.com)Dalam tulisan ini akan dijelaskan domain frekuensi untuk isyarat periodis dan nonperiodis yang mempunyai penyelesaian secara analitik, khususnya Transformasi Fourier.1.1Deret Fourier1.1.1 Deret Fourier untuk isyarat Periodis samaan,. (1)Untuksemua t (waktu).T fungsi yang periodis ternyata dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dankosinus. Telah diketahui bahwa sin ωt fungsi trigonometri dan co sωt yang periodicdengan periode T 1 / f 2π / ω, dengan f adalah frekuensi dalam siklus per detik (Hz)dan ω adalah frekuensi sudut dalam radian / det. Gambar 1 menunjukkan fungsi periodis,dengan T0 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 frekuensi fundamentalGambar 1.Contoh isyarat periodisSuatu isyarat periodis dengan periode T0 dapat dinyatakan sebagai jumlahan isyaratisyarat cosines dan/atau sinus dengan periode-periode kelipatan dari T0

x (t ) a ekjkω0t. (2)k Dengan ak adalah koefisien atau komponen ke-k, dan k 0, 1, 2, . . Untuk k 0 makaakdisebut komponen dc. Untukk 1maka ak disebut komponen fundamental. Dan untukk 2, 3,.maka ak disebut komponen harmonik ke –k.Ketika k 0 dikeluarkan dari sigma, dan k hanya dituliskan dari 1Æ , maka persamaanmenjadix ( t ) a0 a ekjkω 0 tk 1 a k e jkω0 t. (3)Jika a* adalah conjugate kompleks dari a, kemudian ganti k dengan –k, maka daripersamaan di atas akan didapatkan bahwa a*-k ak atau a*k a-k. Sehingga persamaanmenjadi x (t ) a0 ak e jkω0t ak*e jkω0tk 1. (4)Penjumlahan konjugate kompleks dari persamaan di atas menghasilkan {x (t ) a0 2 Re ak e jkω0tk 1}. (5)Jika ak Ak e jθk {x(t ) a0 2 Re Ak e j ( kω0 t θ kk 1}. (6)Diketahui bahwa jika ada bilangan kompleks z x iy, maka Re{z} adalah bagian real dariz, yaitu x. Persamaan menjadi x (t ) a0 2 Ak Cos ( kω0 t θ k )k 1.(7)Dan jikaakdinyatakandenganak Bk j Ck,makadapatdibuktikanbahwa

x (t ) a0 2 [Bk Cos(kω0t ) Ck Sin( kω0t )]k 1.(8)1.1.2 Koefisien Fourier akAnggap bahwa sinyal periodis yang diberikan dapat diwakili dengan persamaan (2),maka akan dijelaskan bagaimana menentukan koefisien ak. Kalikan kedua sisi (2) dengane jnω0t , akan diperolehx (t ).e jnω 0 t a ekjkω 0 t.e jnω 0 tk .(9)Integralkan kedua sisi dari 0 ke T0 2π/ω0 , sehinggaT0 x(t ).e jnω 0 t0dt T0 a ek0 k jkω 0 t.e jnω0 t dt.(10)T0 adalah periode fundamentaldari fungsi x(t)), dan integral kemudian dihitung selamasatu periode ini. Integrasi dan penjumlahan dari persamaan di atas menghasilkan,T0 x(t ).e0 jnω 0 t T0 j ( k n )ω t 0dt ak edt k 0 .(11) Lihat integral di dalam kurung []. Untuk k n, kedua integral di sisikananadalah nol.Untuk k n, nilai e0 di sisikirisamadengan l, sehingganilai integralnya adalah T0.SecararingkaskemudiankitamendapatibahwaT0 T0 , k nj ( k n )ω0t edt 0, k n 0 .(12)Persamaan di atas hanya akan mempunyai nilai ketika k n. Integralsepanjang interval T0menghasilkan ekspresi

T0 x(t ).e jnω 0 t0T0 x(t ).e jnω 0 t T0 j ( k n )ω t 0dt ak edt k 0 dt an .T0.(13)0Koefisien Fourier ak dapat dengan mudah didefinisikan sebagai berikut,an 1T0T0 x(t ).e jnω0tdt.(14)0Ringkasnya, jika x (t) adalah sebuah fungsi dengan serangkaian representasi Fourier,[yaitudapatdinyatakansebagaikombinasi linear darieksponensialkompleksharmonic],maka koefisien diberikan oleh persamaan di atas ini. Pasangan persamaan dapat ditulisulang di bawah ini,x (t ) a .ekjkω0tk T1 0ak x (t ).e jkω0t dtT0 0.(15)Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektralKomponen dc a0terjadi ketika k 0:a0 1x (t )dtT0 T 0.(16)Contoh 1:Isyarat kotak yang periodis terlihat seperti pada Gambar 2 berikut. Tentukan koefisienFourier-nya.

Gambar 2.Isyarat iniperiodisdenganperiode fundamental T0, sehingga frekuensidasarnya adalah ω0 2πf0 dan f0 1/T0. Persamaan (1) dipakai untukmenghitungkoefisienderet Fourier darifungsi x (t). Interval yang dipakai adalah (- T0/ 2 t T0). Dengan batasbatasintegrasitersebut danmenerapkan pada () maka untuk k 0 didapatkan,1a0 T0 T 1 dt T 12T1T0Sepertidisebutkansebelumnya, a0adalah nilai rata-rata x(t). Untuk k 0 didapatkan,1ak T0 T 1 e jkω0tdt T 1 T 11jkω0T0ak ekω0T0 ak 2 sin kω0T1 sin kω0T1 kω0T0kπ2jkω0T1k 0, ω0T0 π e2j jkω0T1 e jkω0t T 1

Gambar 3. Koefisien deret Fourier untuk isyarat kotak periodis dengan (a) T0 4T1, (b)T0 8T1, (c) T0 16T1.1.1.3 Deret Fourier untuk isyarat Periodis diskretSebuahisyaratperiodisdiskret niscaya memenuhipersamaan,.(16)Periode fundamental adalah nilai N, dan ω0 2Π/Nadalah fundamentalfrekuensi.Sebagaimana deret Fourier untuk isyarat kontinyu, deret untuk isyarat diskretini mempunyai bentuk yang sama sebagai berikut,x[n] ak.e jkω0n ak.e jk(2πk(2π .(17)k Nx[n] k NPersamaan ini dinyatakan sebagai deret Fourier untuk isyarat (waktu) diskret dan akadalah koefisien deret Fourier.1.1.4 Koefisien Fourier ak untuk isyarat diskretSebagaimana pada isyarat kontinyu, untuk menentukan koefisien ak,kalikan kedua sisidengan ݁ ି ఠబ , akan diperoleh

a ex[n ].e jrω 0 n kjkω 0 n.e jrω 0 nk N.(18)Integralkan kedua sisi dari 0 ke N , dan ω0 2π/N, sehingga x[n ].e jr ( 2π / N ) n x[n ].e jr ( 2π / N ) n x[n ].e jr ( 2π / N ) n n N a ejk ( 2π / N ) n a ej ( k r )( 2π / N ) n a ej ( k r )( 2π / N ) nk.e jr ( 2π / N ) nn N k N n Nkn N k N n Nkk NLihat sigma untuk ej ( k r )( 2π / N ) nn N.(19). Untuk k r, nilainya adalah nol. Untuk k n, nilai e0n Nsama dengan l, sehingga nilai sigma adalah N. Secara ringkas kemudian kita mendapatibahwa ej ( k r )( 2π / N ) nn N N , k r 0, k r .(20)Sigma sepanjang interval N menghasilkan ekspresi x[n ].e jr ( 2π / N ) n x[n ].e jr ( 2π / N ) nn N ak Nk rN ar Nn NSehingga ak dapat dinyatakan sebagai,.(21)

ak 1N x[n ].e jkn ( 2π / N )n N.(22)Pasangan persamaan dapat ditulis ulang di bawah ini,x[n ] a .ekjkn ( 2π / N )k Nak 1N x[n].e jkn ( 2π / N )n N.(23)Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektralKomponen dc a0terjadi ketika k 0:a0 1N x[n]n N.(24)Contoh 2.Isyarat kotak diskret periodis terlihat seperti pada Gambar 3 berikut. Tentukan koefisienFourier-nya.Gambar 3. Isyarat kotak diskret periodisKomponen dc a0adalah:a0 1N N1 x[ n ] n N 12 N1 1NKoefisien Fourier secara umum adalah,ak 1NN1 e jkn ( 2π / N )n N 1Persamaan di atas dapat diuraikan menjadi

1 N 1 jkn ( 2π / N ) N 1 jkn ( 2π / N ) e e N n 1n 1 N11a k a 0 e jkn ( 2π / N ) e jkn ( 2π / N )N n 1ak a0 [] e jα e jα cos(α ) 2 a k a0 2Na k a0 2N e jkn ( 2π / N ) e jkn ( 2π / N ) 2n 1 N1N1 cos(kn 2π / N )n 1N1Na k (2 N 1 1) 2. cos( kn 2π / N )n 1

Gambar 5. Koefisien Deret Fourier untuk isyarat kotak diskret dengan (2N1 1) 5, dan (a) N 10, (b) N 20,dan (c) N 40.1.2Transformasi Fourier1.2.1 Transformasi Fourier untuk isyarat kontinyuSebagaimana pada uraian tentang Deret Fourier, fungsi periodis yang memenuhipersamaan (1) dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus. DeretFourier sebuah fungsi periodis dinyatakan sebagai,x (t ) a .ekjkω0t.(25)k DenganT0 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 : frekuensi sudut fundamental, f0 1/T0.Sedangkan koefisien deret Fourier dinyatakan dengan persamaan,1ak T0 T0 2 x(t ).e jkω0tdt T0 2.(26)atau T0 2T0 ak x(t ).e T0 2 jkω0tdt.(27)Ketika T0 bertambah besar, yang berarti ω0 mengecil, maka jarak antar koefisien Fouriermenjadi semakin kecil juga (merapat). Gambar 5 memperlihatkan bahwa jarak antarkoefisien Fourier semakin rapat. Ketika T0 bernilai sangat besar, maka koefisien Fouriersangat rapat dan menjadi fungsi kontinyu ketika T0 Æ . Ketika T0 bernilai sangat besar,T0 Æ , maka koefisien Fourier dinyatakan dengan,

T0 ak x(t ).e jkω0tdt.(28) Dengan X(ω) T0ak dan ω k ω0 maka persamaan menjadi,X (ω ) x(t ).e jωtdt.(29) Gambar 6. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis. (a) fungsi aperiodis, (b) fungsi periodis denganperiode T0Sebagaimana terlihat pada Gambar 6, Fungsi Aperiodis dapat dilihat sebagai fungsiperiodis dengan T0 Æ . Diketahui bahwaT0 2π / ω0 , dan ω kω0ak 11X ( kω0 ) X (ω )T0T0Maka persamaan (25) menjadi,x (t ) x (t ) 1 Tk 012π X (ω )e jωt X (ω )e ω ωk j t0.(30)Ketika T0 Æ , sehingga ω0 Ædω. Dengan demikian persamaan (30) menjadi berbentukintegral,

1x (t ) 2π X (ω )ejωtdω.(31) Persamaan pasangan Transformasi Fourier adalah,1x (t ) 2πX (ω ) X (ω )ejωtdω x(t ).e jωtdt.(32)Contoh 3:Terdapat isyarat kotak dengan persamaan sebagai berikut,Tentukan Trnasformasi Fourier dari isyarat tersebut.Jawab:Transformasi Fourier dapat ditentukan dengan persamaan (32), sehingga ditemukanHasilnya dapat dilihat seperti pada Gambar 7.

Gambar 7. Isyarat Kotak dan Transformasi Fourier-nya.Contoh 4:Ketika sebuah isyarat x(t) mempunyai Transformasi Fourier sebagai berikut,Carilah persamaan isyarat tersebut,Jawab:dengan persamaan (32) isyarat x(t) dapat ditemukanIsyarat x(t) dan Kawasan Frekuensinya terlihat seperti pada Gambar 8.

Gambar 8. Pasangan Transformasi Fourier dalam contoh 4.1.2.2 Transformasi Fourier untuk isyarat diskretSebagaimana pada isyarat kontinyu aperiodis, isyarat diskret apriodis juga dapatdipertimbangkan sebagai isyarat diskret periodis dengan periode tak terhingga. Ketikaperiode isyarat semakin besar dan semakin besar, maka deret Fourier akan semakinmendekati menjadi Transformasi Fourier.Ketika sebuah runtun isyarat aperiodis x[n] yang mempunyai durasi tertentu.Katakanlah N1, sehingga x[n] 0 jika n N1. Gambar 9(a) adalah sebuah ilustrasi isyaratini. Dari isyarat aperiodis ini dapat direkayasa sebuah runtun periodis yangdiperhitungkan untuk hanya periode pertama, sebagaimana digambarkan pada Gambar9(b). Ketika periode N membesar, maka x[n] menjadi mendekati tak periodis. KetikaNÆ , maka x[n] menjadi tak periodis.Persamaan dalam bentuk Deret Fourier untuk isyarat periodis, Gambar 9(b), diketahuidari persamaan (23) sebagai berikut,x[n ] a .ekjkn ( 2π / N )k Nak 1N x[n].en N jkn ( 2π / N ).(33)

Gambar 9. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis.(a) fungsi aperiodis,(b) fungsi periodis dengan periode T0Untuk NÆ , makaak 1N x[n].e jkn ( 2π / N )N ak N x[n].e jkn ( 2π / N )N Jika envelope didefinisikan X(ω) akN, maka persamaan menjadi,X (ω ) x[n ].e jkn ( 2π / N )N .(34)Terlihat pada Gambar 9, fungsi aperiodis diskret dapat dilihat sebagai fungsi periodisdengan N Æ . Diketahui bahwaN 2π / ω0 , dan ω kω0ak 11X ( kω0 ) X (ω )NNMaka persamaan (33) dan (34) menjadi,

x[n ] 1NX (ω ) X (kω ).e0jkω0 nk N x[n].e.(35) jknω0N Diketahui bahwa ω0 2π/N, sehingga 1/N ω0/2π, persamaan (35) dapat dituliskankembali menjadi,x[n ] 12πX (ω ) X (kω ).e0jkω0 n.ω0k N x[n].e.(36) jknω0N Ketika N Æ , maka ω0 Æ dω, dan ω kω0 . Persamaan (36) membentuk persamaanpasangan Transformasi Fourier sebagai berikut,x[ n ] 12πX (ω ) π X (ω ).ejωndω2 x[n ].e.(37) jnωN Di sini tampak bahwa X(ω)ej ωn adalah periodis dengan periode 2π.Contoh 5:Sebuah isyarat diskret kotak mempunyai persamaan sebagai berikut,Dengan N1 2. Tentukan Transformasi Fourier isyarat tersebut.Jawab:Dengan N1 2, X (ω ) dapat dicari yaitu,X (ω ) 2 eN 2 jnω ej 2ω ejω e jω e j 2ω

1.3Transformasi Fourier Diskret (DFT)Analisis Fourier merupakan metode yang sangat efisien untuk untuk analisis dan sintesissinyal. metode ini sangat erat cocok untuk digunakan pada komputer digital atau untukimplementasi di hardware digital. Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete FourierTransform) digunakan untuk sinyal durasi berhingga.Misal x[n] adalah sebuah sinyal dengan durasi terbatas; dan integer N sehinggax[n] 0 untuk x[n] diluar interval 0 n N .(38)Asumsikan bahwa x[n] periodis dengan periode N, dari (23) koefisien Fourier diperolehdenganak 1N x[n ].e jkn ( 2π / N )n NMenjadiak 1NN 1 x[n ].e jkn ( 2π / N ).(39)n 0Koefisien-koefisien dari persamaan di atas adalah DFT dari x[n]. Dengan demikian,isyarat diskret x[n] tak periodis dengan panjang N dapat diasumsikan sebagai isyaratperiodis dengan periode N. Dari (39) Transformasi Fourier Diskret adalah,