Cours De Mécanique Du Point - LPSC
Université Joseph Fourier – Grenoble 1Licence 1ère annéeCours de mécanique du point10ème édition / mai 2011 drVr d r d dVrMrd OGilbert onne/
Avertissement.Les figures doivent être à gauche (pages paires) en regard despages correspondantes (impaires), situées à droite, quisupportent le texte.Les figures ne sont pas référencées dans le texte, mais dans laquasi totalité des cas, elles correspondent au texte de la page enregard.Cours en lignehttp://dlst.ujf-grenoble.fr/cours/PHY121 GV/Vous trouverez à cette adresse (si problème contacter l’auteur)l’ensemble de ce cours de mécanique sous la formede diapositives commentées, avec quelques compléments,dont un exposé complet sur l’explication du phénomène desmarées.Site donne/Site personnel d’accès libre, avec entre autres ce cours demécanique, des exercices complémentaires (exemple le pendulede Foucauld),et un tableur interactif de calcul de la puissancedéveloppée par un cycliste, une voiture Pour tout problème ou demande de document informatique,contacter l’auteur.
SOMMAIRE
SOMMAIRESommaire chapitres :I à XIIIntroduction p.1I.Principes fondamentaux de la dynamique p.5II.Forces p.27III.Cinématique p.41IV.Moments p.71V.Travail. Energie cinétique p.79VI.Energie potentielle et mécanique p.87VII.Collisions (2 masses) p.101VIII.Gravitation p.115IX.Problème des 2 corps p.123X.Problème des 2 corps: résolution p.137XI.Changement de référentiel (repère) p.159XII.Référentiels non Inertiels (non Galiléens) p.171Bibliographie p.176CE COURS EST SUR donne/On trouvera aussi sur ce site quelques pages supplémentaires: Compléments et exercices (Voir le détail en fin de polycopié) Marée océanique (Conseillé pour ne pas croire à la sorcellerie) Pendule de Foucault Gyroscope
II. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE51. QUANTITE DE MOUVEMENT: DEFINITION2. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE: PFD3. PRINCIPE DE L’ACTION ET DE LA REACTION4. APPLICATION: INTERACTION ENTRE 2 CORPS ISOLES5. CONSEQUENCE: LES TROIS LOIS DE NEWTON5.1 Du PFD aux deux premières lois de Newton5.2 Enoncé des trois lois6. CONDITION DE MASSE CONSTANTE7. APPLICATION DES LOIS DE NEWTON. CENTRE DE MASSE8. CONDITIONS D'APPLICATION DU PFD8.1 Référentiels, repères et systèmes de coordonnées.8.2 Référentiel Inertiel (ou Galiléen)8.3 Ensemble de référentiels Inertiels (ou Galiléens)9. RESUME557799911111515171719ANNEXE 1 : MASSE CONSTANTE. LECTURE FIL ROUGE. CENTRE DE MASSEET FORCES EXTERIEURES.21ANNEXE 2 : MASSE NON CONSTANTE, LECTURE FIL ROUGE23A/ Principe fondamental et 2ème loi de Newton23B/ Force et accélération23C/ PFD et force nulle23D/ Exercice de différentiation : centre de masse et principe fondamental 25E/ L’addition, ça craint!!!!!25p(t dt)p(t)F.dt
IIII. LES FORCES271. FORCES D’INTERACTION A DISTANCE1.1 Force gravitationnelle1.2 Forces de Lorentz (électrique et magnétique)Force électriqueForce magnétique1.3 Force faible1.4 Force forte2. FORCES DE CONTACT2.1 Frottement solide (ou frottement sec ou loi de Coulomb)Solides sans glissement relatifSolides en mouvement relatifIllustration2.2 Frottement visqueuxVitesse faibleVitesse élevéeTransition vitesse faible/ vitesse élevée2.3 Poussée d’Archimède (liquides et gaz)2.4 Forces de tensionRessortLame de ressort :Tension d'un fil de masse 93939RRTRN
IIIIII. CINEMATIQUE411. INTRODUCTION412. DEFINITION DES VECTEURS POSITION, VITESSE ET ACCELERATION 412.1 Position412.2 Vitesse432.3 Accélération433. DIFFERENTIELLE D'UN VECTEUR ET DERIVEE433.1 Différentielle d'un vecteur unitaire dans un plan / dérivée453.2 Différentielle /Dérivée d'un vecteur unitaire dans l'espace493.3 Différentielle d'un vecteur quelconque: conclusion494. VECTEURS DANS LES DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES 514.1 Coordonnées cartésiennes514.2 Coordonnées cylindriques (et polaires)554.3 Coordonnées sphériques.614.4 Coordonnées curvilignes, ou repère de Frenet.655. CONCLUSION69ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.69duu1uO
IVIV. MOMENTS. THEOREME DU MOMENTAPPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALECINETIQUE.1. MOMENT D'UNE FORCE2. MOMENT CINETIQUE3. THEOREME DU MOMENT CINETIQUE4. APPLICATION : MOUVEMENT A FORCE CENTRALE5. EXTENSIONS : COUPLE, ET MOMENT PAR RAPPORT A UN AXE5.1 Moment d'un couple5.2 Moment par rapport à un axe6. CONCLUSIONL(t dt)mf.dtL(t)717171737577777777
VV. TRAVAIL, PUISSANCE, ENERGIE CINETIQUE791. TRAVAIL D’UNE FORCE1.1 Définition différentielle1.2 Travail sur un parcours1.3 Exemple1.4 Cas très particulier de la force constante2. PUISSANCE3. ENERGIE CINETIQUE4. THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE5. ENERGIE CINETIQUE: OUVERTURE RELATIVISTE797979818183838585dlBAF
VIVI. ENERGIES POTENTIELLE ET MECANIQUE871. FORCES CONSERVATIVES ET NON CONSERVATIVES1.1 Forces conservatives1.2 Forces non conservatives (dissipatives)2. ENERGIE POTENTIELLE (FORCES CONSERVATIVES SEULEMENT)3. FORCE ET ENERGIE POTENTIELLE4. TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE5. ENERGIE MECANIQUE6. THEOREME DE L’ENERGIE MECANIQUE7. SYSTEMES NON DISSIPATIFS7.1 Propriété7.2 Diagramme d’énergie et états liés7.3 Etats libres et liés. Conditions d’équilibre8. UTILISATION DE L’ENERGIE POTENTIELLE ET DU TRAVAIL878787899193939595959597991A2B
VIIVII. COLLISIONS1011. INTRODUCTION 1012. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT3. DIMENSIONS DE LA COLLISION.4. RELATION ENTRE LES VITESSES (MASSES CONSTANTES)5. COLLISIONS ELASTIQUES (CONSERVATION DE Ec)5.1 Propriétés5.2 Collision élastique de deux masses identiques dont une est immobile.5.3 Collision élastique directe5.4 Collision élastique directe avec une masse immobile6. COLLISION INELASTIQUE (NON CONSERVATION DE Ec).7. COLLISIONS ET REPERE LIE DU CENTRE DE MASSE7.1 Cas général7.2 Collision élastique7.3 Collision totalement inélastique (encastrement)7.4 Changement de ’2p1p’1
VIIIVIII GRAVITATION1151. FORCES DE GRAVITATION2. CHAMP DE GRAVITATION3. POIDS D’UN OBJET3.1 Analyse du poids3.2 Bilan4. ACCELERATION LOCALE DE LA PESANTEUR5. TRAVAIL ET ENERGIE POTENTIELLE (R RT)115115117117119119121FrFgrav.
IXIX. PROBLEME DES DEUX CORPS1231. LES DEUX CORPS (PONCTUELS, OU A SYMETRIE SPHERIQUE)2. QUANTITE DE MOUVEMENT3. CENTRE DE MASSE4. PROPRIETES DU CENTRE DE MASSE4.1 Quantité de mouvement.4.2 Accélération du centre de masse5. REPERE GALILEEN LIE A AU CENTRE DE MASSE6. APPLICATION DU PRINCIPE FOND. DE LA DYNAM. DANS GXYZ7. MOMENT CINETIQUE8. THEOREME DU MOMENT CINETIQUE8.1 Application du théorème8.2 Conséquence : mouvement dans un plan9. ENERGIE CINETIQUE DU SYSTEME10. TRAVAIL DES FORCES GRAVITATIONNELLES11. ENERGIE POTENTIELLE12. ENERGIE 3135135V2GV1
XX. PROBLEME DES DEUX CORPS: RESOLUTION1371. EQUATIONS DE DEPART2. TRAJECTOIRE3. MOUVEMENT CIRCULAIRE4. ELLIPSE4 .1 Relations entre les paramètres géométriques de l’ellipse4 .2 Loi des aires et paramètres de l’ellipse4 .3 Lois de Kepler (ellipse)4 .4 Equation horaire5. ENERGIES6. ORBITES ET CONDITIONS INITIALES6 .1 Paramètres de la conique6.2 Orbite elliptique6.3 Orbite parabolique ou hyperbolique6.4 Energies, vitesse de libération (parabolique) et type d’orbite7. 157La vitesse V0 croîtTerreV0r0Cercle
XIXI. CHANGEMENT DE REFERENTIEL (REPERE)1591. DEFINITIONS1.1 Repère absolu1.2 Repère relatif1.3 Mouvement d'entraînement1.4 But du jeu2. COMPOSITION DES POSITIONS, VITESSES, ACCELERATIONS2.1 Position2.2 Vitesse2.3 Accélération3. CHANGEMENT DE REPERE : CONCLUSION ET RESUME159159159161161161161161165169TIFALERABSOLU
XIIXII. REPERES NON INERTIELS (NON GALILEENS)1711. INTRODUCTION2. EXEMPLE : MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME3. "FORCE" CENTRIFUGE4. PSEUDO FORCES5. PENSER AUTREMENT, PENSER GALILEE5.1 Véhicule qui amorce un virage.5.2 Sens d’enroulement des nuages autour des dépressions.5.3 Marées171171171173175175175175N
-1INTRODUCTIONetDOUZE CHAPITRES
0"Point" matériel et mécaniquesDimensions petites à l’échelle du problème envisagé(énergie propre de rotation négligeable)sinonmécanique du solide grandes devant les dimensions atomiquessinonmécanique quantiqueVitesse petite comparée à la vitesse de la lumière(3.108 m/s)sinonmécanique relativiste
1IntroductionLa mécanique présentée ici concerne exclusivement la mécanique du point.Pratiquement elle concerne les objets matériels dont l’extension spatiale est très faible:leurs déformations et l’énergie liée à leur mouvement propre de rotation peuvent ainsiêtre négligées devant les énergies mises en jeu. Cependant un objet aussi volumineuxque la terre ou le soleil peut dans certains cas être assimilable à un point en ce quiconcerne, par exemple, son action sur des corps dans son entourage.Nous n’étudierons pas de systèmes de très petites dimensions, à l’échelle atomique,domaine pour lequel il a été montré il y a un siècle que les notions de mécaniqueclassique doivent être remplacées par celles de mécanique quantique.De même la mécanique relativiste sort du cadre de cette présentation et nousn’envisagerons que des mobiles dont la vitesse est faible devant celle de la lumière(mécanique "classique"). Toutefois le principe fondamental de la dynamique sera donnédans le cadre relativiste, son expression étant très simple à partir de la quantité demouvement, et nous en déduirons les relations classiquement utilisées que sont les loisde Newton.Nous supposerons qu'un temps unique peut-être défini en tout point de l'espace, et queles longueurs, masses, temps, et forces sont invariantes lors d'un changement deréférentiel.La mécanique du point n’exclut pas la mécanique des points et nous aurons denombreuses fois l’occasion d’évoquer le comportement de plusieurs corps en présenceet d’en définir certaines propriétés comme le centre de masse et la quantité demouvement.La but visé est de pouvoir relier le mouvement d’un corps aux forces qui lui sontappliquées.Pour cela, il nous faudra relier les forces (la force extérieure résultante) à l’accélérationF ,c’est le principe fondamental de la dynamique.Ensuite, nous apprendrons à relier l’accélération à la vitesse et à la position, opérationsmathématiques regroupées sous le nom de cinématique V OMNous serons ainsi capables de décrire le mouvement à partir de la force appliquée, etinversement de déduire la force si la trajectoire est connue :F OM
2Contenu - Chapitres Principes Momentsfondamentaux Collisions Travail Forces Potentiel CinématiqueBasesCompléments2 physiques1 mathématique1 vectoriel2 scalaires Gravitation Changementsde repères Deux corps résolution Repères nonGaliléensApplicationsExtensionsLETTRES GRECQUESΑαalphaΝνnuΒβϐbêtaΞξxi ou k chi ou k hiΛλlambdaΨψpsiΜμmuΩωoméga
3Dans ce but, nous envisagerons successivement : les principes de base de la dynamique du point l’analyse des forces les plus courantes l’art de repérer les objets et la cinématiqueA priori, ces connaissances sont suffisantes pour répondre à l’objectif visé. Cependant,d’autres notions peuvent simplifier grandement certaines résolutions et nous étudierons : le moment d’une force et le moment cinétique le travail et l’énergie cinétique l’énergie potentielle et l’énergie mécaniqueSuivront des applications pour préciser ces notions : collisions entre deux corps gravitation problème des deux corps résolution du problème des deux corpsEnfin, deux chapitres viendront étoffer nos connaissances de mécanique. S’ils sontprésentés en dernier, c’est qu’ils ne sont pas indispensables mais peuvent cependantaccélérer l'écriture des équations, et présenter les principes de la mécanique sous unautre aspect: changement de repère repères non GaliléensXII. Pour aller plus loinDes phénomènes surprenants, relevant ou pouvant relever de la mécanique du point,mais nécessitant des analyses un peu plus complexes que celles de ce cours, sontprésentés sur un site internet. Ce sont, par ordre de difficulté croissante : les marées le pendule de Foucault le gyroscopeet différents e.belledonne
4I. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE .51. QUANTITE DE MOUVEMENT: DEFINITION.52. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE: PFD .53. PRINCIPE DE L’ACTION ET DE LA REACTION .74. APPLICATION: INTERACTION ENTRE 2 CORPS ISOLES .75. CONSEQUENCE: LES TROIS LOIS DE NEWTON.95.1 Du PFD aux deux premières lois de Newton.95.2 Enoncé des trois lois .96. CONDITION DE MASSE CONSTANTE .117. APPLICATION DES LOIS DE NEWTON. CENTRE DE MASSE .118. CONDITIONS D'APPLICATION DU PFD .158.1 Référentiels, repères et systèmes de coordonnées. .158.2 Référentiel Inertiel (ou Galiléen).178.3 Ensemble de référentiels Inertiels (ou Galiléens).179. RESUME .19ANNEXE 1 : MASSE CONSTANTE. LECTURE FIL ROUGE. CENTRE DE MASSE ET FORCESEXTERIEURES. .21ANNEXE 2 : MASSE NON CONSTANTE, LECTURE FIL ROUGE .23A/ Principe fondamental et 2ème loi de Newton.23B/ Force et accélération.23C/ PFD et force nulle.23D/ Exercice de différentiation : centre de masse et principe fondamental de la dynamique.25E/ L’addition, ça craint!!!!! .25Principe fondamental de la dynamique (PFD)DéfinitionPFDQuantité de mouvementmdp/dtVFp mVou (mieux)PFDp(t dt)p(t)F.dtdp F.dt
5I. Principes fondamentaux de ladynamiqueCe chapitre va poser les relations fondamentales sur lesquelles se construira toute lamécanique.Les lois seront données sous forme vectorielle. C'est une manière élégante et commodepour exprimer un grand nombre de relations physiques. Cette formulation évite de faireréférence à un repère particulier. Ceci suppose un espace Euclidien et isotrope, c'est à dire quia les mêmes propriétés dans toutes les directions.Tout ce qui sera fait ultérieurement consistera à tirer les propriétés de ces relationsfondamentales, à les exprimer de manière vectorielle ou scalaire, et aussi à définir denouvelles grandeurs en s’appuyant sur des outils mathématiques.1. Quantité de mouvement: définitionLa quantité de mouvement va prendre une place essentielle dans notre approche de lamécanique. Beaucoup de phénomènes s'éclairent si on comprend bien sa significationvectorielle, et l’effet des forces sur sa valeur.On dénomme p la quantité de mouvement. C'est le produit de la masse m par la vitesse VQUANTITE DE MOUVEMENTp mVSon nom est bien choisi: la quantité de mouvement augmente avec la masse et la vitesse:imaginez un rugbyman en pleine vitesse! Elle s'exprime en kg.m.s-1 et n'a pas d'unité dévolue.2. Principe fondamental de la dynamique: PFDLa définition de la quantité de mouvement nous permet de donner l'énoncé exact duprincipe fondamental de la dynamique. Cette relation est valable dans un référentielGaliléen qui sera défini plus loin.Le voici tout d’abord sous sa forme différentielle :d p FdtPRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE (PFD)ce qui signifie que la variation de la quantité de mouvement est égale :au produit de la force extérieure appliquée par le temps pendant lequel elle s'applique.A méditer , voir l’exemple du rugbyman.Le principe fondamental de la dynamique sera souvent écrit en abrégé PFD.Principes fondamentaux5
6PFD à nouveau et à méditerp(t dt)F.dtp(t)PFD cas très particulier d’une force constantep(t1)F.(t1-t0)p(t0)Principes fondamentaux6
7Cette relation peut aussi être écrite sous la forme d’une dérivée.F dpdtPRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE (PFD)Remarque : si plusieurs forces extérieures sont appliquées à la masse m, c’est leur sommevectorielle qui sera prise en compte pour F . Cette somme vectorielle porte le nom derésultante des forces.Insistons : les seules forces à prendre en considération sont les forces extérieures.3. Principe de l’action et de la réaction(ou opposition des actions réciproques):Quand 2 corps interagissent, la force F1 2 exercée par le premier corps sur le second est égaleet opposée à la force F2 1 produite par le second sur le premier.F1 2 F2 1 0NB : la flèche sur le terme de droite n’est pas obligatoire, car un vecteur nul n’a ni direction ni sens. Elle estuniquement là pour insister sur le fait qu’un vecteur ne peut être égal qu’à un vecteur.4. Application: interaction entre 2 corps isolésA ce stade, nous pouvons déjà traiter un cas particulier qui implique deux points matériels.Nous supposerons qu'il n'y a aucune force extérieure en jeu. Seules agissent les forcesintérieures, c'est à dire les forces d'interactions mutuelles entre ces deux points matériels(forces gravitationnelles, électriques, contact ) : le système est dit isolé.Les forces F1 2 (de 1 sur 2) et F2 1 (de 2 sur 1) sont en accord avec la troisième loi:F1 2 F2 1 0Or selon la loi fondamentale de la dynamique :d p1 F2 1 dtd p2 F1 2 dtDonc d p1 d p2 ( F2 1 F1 2 )dt 0 dtsoit, en définissant par p la quantité de mouvement totale :p p1 p2d p 0 dt(forme différentielle)oudp 0dt(forme dérivée).Conclusion :(en fonction du temps)p CtePrincipes fondamentaux7
8Principe fondamental appliqué à la trajectoire balistique: F mg Cteymg.(t1 t0 )mV0mV0mV0jt1t2mg.(t2 t0 )mV0t3img.(t3 t0 )xt0La composante horizontale de la quantité de mouvement ne varie pasLes équations suivent:d( mV ) mg dt md(Vx i Vy j ) mgdt j dVx 0 et dVy gdtLes 3 lois de Newton1ère loi : force nulle vitesse constanteTrajectoire droiteJe ne suis soumisà aucune force2ème loi : F m V Cte mF3ème loi : F1/2 -F2/1m1F1/2m2F2/1Principes fondamentauxNB: les forcessont de plus portéespar une même droiteForces:attractivesou répulsives8
9Nous pourrions facilement généraliser ce raisonnement à N corps et nous retiendrons doncque:Pour un système isolé, la quantité de mouvement totale reste constante au cours du tempsApplication pratique : collision entre 2 masses.Il serait déjà possible de résoudre le problème de 2 véhicules enchevêtrés, après collision ennégligeant l’action des forces extérieures. La conclusion serait: de l’utilité d’être "gros".5. Conséquence: les trois lois de newtonElles n’apportent rien de plus que les lois
ENERGIE MECANIQUE 135 G 1 V V 2 1 G. X X. PROBLEME DES DEUX CORPS: RESOLUTION 137 1. EQUATIONS DE DEPART 137 2. TRAJECTOIRE 139 3. MOUVEMENT CIRCULAIRE 143 4. ELLIPSE 143 4 .1 Relations entre les paramètres géométriques de l’ellip
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MÉCANIQUE DU POINT Alain Gibaud Professeur à l'université du Maine (Le Mans) 2 e édition Michel Henry Agrégé de physique Maître de conférences à l'IUFM des Pays de Loire (Le Mans) M CANIQUE DU POINT Page I Mardi, 26. juin 2007 9:03 09 COURS DE PHYSIQUE Mécanique du point.
Ofre de cours . AUTOMNE 2017 . Sauf indication contraire, tous les cours sont de 3 crédits. Les cours entre parenthèses sont des préalables. à Lire attentivement la description oicielle d ’un cours sur le site de la TÉLUQ ain de connaître les particularités qui s’y appliquent. PREMIER CYCLE . ADM . ADM 1002 Initiation à la gestion
