MODELLISTICA DEI SISTEMI DINAMICI

Parte 1modellistica dei sistemi dinamici7In generale la relazione (1.10) non è lineare: come si può vedere in Figura 1-11 le causedi non linearità sono principalmente due e sono dovute per esempio all’usura oppure asollecitazioni che deformano in maniera permanente un materiale elastico.La forza fluisce attraverso la molla rimanendo inalterata ed ha un comportamentoanalogo a quello della corrente negli elementi passivi. L’equazione costitutiva della mollaè data dalla legge di Hook:F k ( x 2 x1 )(1.11)v2v1che è valida per la molla ideale, ma che rispecchia ilcomportamento della molla reale in un certo campo difunzionamento, ovvero per piccole sollecitazioni.x1x2La costante k è detta costante elastica della molla edipende dalle caratteristiche geometriche e dal tipo diFigura1-12:rappresentazione della mollamateriale di cui è costituita. Se per esempio si considerain relazione alle grandezzeuna barretta d’acciaio di lunghezza l e sezione A sicoinvolte e al riferimento delosserva che k E Al con E costante caratteristica delsistema.materiale.Nella Figura 1-12 si osserva che:dx(1.12)v 2 v1 v 21 21dtsostituendo la legge di Hook nella forma:1F2Fx 21 k1 F x 21 (0)(1.13)si ottiene la relazione costitutiva:v 21 x211kdFdt(1.14a)Esempio di andamento reale:F k1 x k 2 x 3x21fk 2 k1Legge di HookEPOTx21iFFigura 1- 13: Energia potenziale elastica in un tipico andamento reale della relazione forzadeformazione per i fenomeni elastici.

Analisi Dei Sistemi II8che può anche essere scritta in forma integrale:F v dt F (0)t(1.14b)0l’energia potenziale immagazzinata nella molla è data da: Fv dt Fdxt2x21t1x21infin(1.15)21ed è una funzione dello stato di sforzo dell’elemento; nel campo di linearità dellarelazione forza-deformazione questa vale:E POT 12kF2(1.16)Ogni sistema meccanico è sede di fenomeni di dissipazione. Si definisce dissipatoremeccanico qualsiasi elemento che non presenta fenomeni conservativi dell’energia.Esso evidenzia essenzialmente gli attriti dovuti ai contatti. Il dissipatore meccanico èrappresentato schematicamente in Figura 1- 14.bF121F(a)2(b)Figura 1- 14: rappresentazione del dissipatore meccanico in relazione al riferimento del sistema(a) e negli schemi di rete (b).La forza di attrito dipende dalla differenza tra le velocità degli elementi che sono acontatto, quindi la relazione costitutiva del dissipatore è del tipo:F f (v 2 v1 )(1.17)ed i segni di v 21 e F sono concordi. Nel caso di elemento ideale la relazione è:F bv 21(1.18)dove b è il coefficiente di attrito e dipende dal materiale di cui sono costituite le superficiposte a contatto. L’espressione dell’energia dissipata è:E d Fv 21dtt(1.19)0e nel caso particolare in cui v 21 e f sono costanti si ha che:E d bv21 t2(1.20)

Parte 1modellistica dei sistemi dinamici9Legge quadraticaFAttrito newtonianoAttrito coulombianov21Figura 1- 15: relazione velocità-forza di attrito nelle diverse forme.1.2- 2 SISTEMI MECCANICI in rotazioneAnche per i sistemi meccanici in rotazione si possono individuare tre componenti:elementari che sono la massa rotante, la molla di torsione e il dissipatore torsionale.Il momento di inerzia assiale J è la misura1dell’inerzia di un corpo messo in rotazione attorno adun determinato asse, analogamente alla massainerziale per il movimento di un corpo in linea retta.La relazione costitutiva per la massa ideale diJrotazione è:T J2Figura 1-16: a) rappresentazionedella massa rotante.dΩ 21dt(1.21a)La stessa relazione (1.21a) può essere scritta informa integrale: tΩ 21 1T dt Ω 21 (0)J(1.21b)0In generale il momento di inerzia è un tensore 3 3 e si ottiene sviluppando laseguente espressione:Ω21JT2Ω1 COSTANTEFigura 1-16: b) grandezze e riferimento.J m i Ri2 mi ( ri sin θ i ) 2i mi ri nii2(1.22)

Analisi Dei Sistemi II10che fornisce i momenti di inerzia rispettoai tre assi coordinati:nθiRiJ xx mi ( y i2 z i2 )miriJ yy mi ( xi2 z i2 )i(1.23)J zz mi ( xi2 yi2 )iAsse di rotazioneiFigura 1-17: sistema di punti inrotazione attorno ad un asse.I xy m x yi ie i prodotti di inerzia:I xz ii m x zI yz i i ii m y zii i(1.24)iNel caso particolare dei sistemi meccanici, la massa rotante è solitamente costituita daun corpo rigido che ruota attorno al proprio asse di simmetria, dove la posizione relativadelle particelle che lo compongono non varia: questo riduce il momento di inerzia a unoscalare che si ottiene come risultato dell’integrale di definito:J zz ( x 2 y 2 )dm(1.25a)MSe il solido è omogeneo la densità di massa ρ è costante la (1.25a) diventa:J zz ρ ( x 2 y 2 )dV(1.25b)Vin quanto è possibile definire dm ρ dV .Se si considera come esempio un cilindro di massa m, lunghezza l e raggio r che ruota attornoal proprio asse si ha:ρ lmπ r l2e 2πrJ ρ dl R dR dϑ 00301 2mr2Il momento della forza (o coppia) T è dato dal il prodotto vettoriale fra la forza F chemette in rotazione un corpo attorno al proprio asse e il raggio di rotazione r :T r F

Parte 1modellistica dei sistemi dinamici11FΩrl12Ω2TFigura 1-18: cilindro in rotazioneattorno al proprio asse.Ω2Figura 1-19: rappresentazione della molladi torsione.Per le rotazioni è assunta la convenzione destrorsa della vite destra. I vettori coppia evelocità angolare giaciono sull’asse di rotazione.Il comportamento della molla di torsione ideale è descritto dalla relazione:T Kϑ21(1.26)dove ϑ 21 rappresenta lo sfasamento dei due estremi θ 2 ϑ1 , K è detta rigiditàtorsionale. La relazione costitutiva si ottiene derivando la (1.26):Ω 21 che in forma integrale diventa:1 dTK dt(1.27a)T k Ω 21 Ω 21 (0)t(1.27b)0BT12Ω1Ω2TFigura 1-20: rappresentazionedel dissipatore torsionale neglischemi di rete.Il dissipatore torsionale è l’elemento che neglischemi rappresenta l’attrito rotante. L’attrito generauna coppia opposta al moto rotatorio di un corpo edè direttamente proporzionale alla sua velocità dirotazione. Il coefficiente di proporzionalità B è dettocoefficiente di attrito rotante.La relazione costitutiva è:T BΩ 21(1.28)Nella Tabella 1 sono riportate le corrispondenze tra le grandezze della meccanicatraslazionale e quelle della meccanica rotazionale.

Analisi Dei Sistemi . di attritoCostante elasticaxvaFmbkAngoloVelocità angolareAccelerazione angolareCoppiaMomento di inerziaCoeff. di attrito rotanteRigidità torsionaleϑΩχTJBKTabella 1: corrispondenza tra le grandezze della meccanica di traslazione e rotazionale.1.2- 3 TRASFORMATORI MECCANICISi definiscono trasformatori meccanici ideali gli elementi che modificano coppie,forze e/o velocità senza attriti ed inerzia.Un esempio classico è il riduttore ad ingranaggi in cui la primitive ruotano senzastrisciare. Gli ingranaggi garantiscono l’assenza strisciamento tra gli elementi rotantiquindi si può scrivere che:R A Ω A dt RB Ω B dt(1.29)l’equilibrio dinamico per ciascuna ruota è dato da:T A FT R ATB FT R B(1.30)combinando le (1.30) si ottiene l’espressioneτ TA R AΩ BTB R BΩA(1.31)che fornisce il rapporto di trasformazione. Lecoppie di ingresso e di uscita sono T A e TB .La relazione costitutiva ottenuta soddisfa laconservazione della potenza:Pin Pout 0(1.32a)infatti:Figura 1-21: esempio di trasformatoremeccanico: il riduttore ad ingranaggi:T A Ω A T B Ω B T A Ω A τ1 T A (τ Ω A ) 0(1.32b)La convenzione usata per i segni è quella in base alla quale la potenza ha segnopositivo quando un sistema passivo riceve energia dall’esterno.

Parte 1modellistica dei sistemi dinamici13Un altro esempio di trasformatore meccanico è la leva.Si consideri l’asta rigida e l’angolo ϑ piccolo in modo tale che R A e R B possanoconsiderarsi pressoché costanti. In questo caso si ha che:FA R A FB R Bτ RBda cui:FA τ FB (1.33)vAv1 B da cui: v A v B (1.34)RARBτRA ϑche verificano le espressioni di flusso di energia:1v B FB v A FA v B FB ( v B τ FB ) 0τFigura 1-22: Schema di una leva.1.2- 4 SISTEMI ELETTRICII sistemi elettrici elementari sono dipoli passivi lineari e dalla loro connessione èpossibile ottenere un sistema elettrico complesso. Le relazioni che definiscono tali dipolisono ottenute mediante il principio di conservazione della carica.Nei sistemi elettrici si individuano elementi che dissipano energia (resistore), che laimmagazzinano (condensatore e induttore) e che la trasformano (trasformatore).12iv12Figura 1-23: schema di rete delcondensatore.Il condensatore puro è quel bipolo lineare che tendea mantenere costante la tensione, in cui sono assentifenomeni dissipativi e di conservazione di energiamagnetica.L’equazione caratteristica è del tipo:q f (v12 )(1.35)dove q è la carica immagazzinata nel condensatore.Nel caso in cui l’elemento sia lineare la relazione costitutiva è data dalla (1.36):q cv12(1.36)da cui si ha, posto i dq / dt :i cdv12dtev12 c tidt v12 (0)0Dove v12 v1 v 2 è la differenza di potenziale ai morsetti.(1.37)

Analisi Dei Sistemi II14L’energia elettrica immagazzinata nel condensatore è data dall’espressione:E C v12 idt c v12 dv12 tt0v12i101 2cv122(1.38)L’induttore puro è quel bipolo che non presentafenomeni di dissipazione e di conservazione dienergia elettrica e tende a mantenere costante lacorrente.La sua equazione caratteristica è del tipo:2Figura 1-24: schema elettricodell’induttore.Φ L f (i )(1.39)dove Φ L è il flusso concatenato con il dipolo. Se il dipolo è lineare si ha:Φ L Li(1.40)dΦ Le se l’elemento è puro, si ottiene la relazione costitutiva:dtdi1 tv12 Lei v12 dt i (0)(1.41)dtL 0L’energia magnetica immagazzinata nell’induttore è data dalla (1.42).da cui, posto v12 E L v12 i dt ti1R02v12Figura 1-25: resistenza neglischemi elettrici.1 2Li2(1.42)Il dissipatore puro o resistore puro è un bipolo dovesono assenti i fenomeni di conservazionedell’energia. La sua relazione caratteristica è:i f (v12 )(1.43)Quindi se la differenza di potenziale ai terminali è nulla non fluisce corrente attraverso ilbipolo, ovvero il grafico (v,i) passa per l’origine.Nel caso di bipolo lineare si ha:1i v12(1.44)Rche è meglio nota come legge di Ohm. L’energia dissipata dal resistore è in generale:TE d v12 idt(1.45a)0se v12 e i sono costanti la (1.45a) diventa:2Ed v12T Ri 2TR(1.45b)

Parte 1modellistica dei sistemi dinamici15Il trasformatore elettrico ideale puro è unquadripolo che non dissipa, non conserva matrasforma l’energia.Se si suppone che il flusso Φ sia lo stessoattraverso tutte le spire del secondario, è possibilescrivere le relazioni:φ 43 N B Φdφ 43Figura 1-26: trasformatore elettrico.v 43 che combinate danno la (1.48):v 43 N BdtdΦdt(1.46)(1.47)(1.48)la stessa relazione si può scrivere per la differenza di potenziale al primario:v 21 N AdΦdt(1.49)quindi la relazione costitutiva, nel caso di quadripolo lineare, è data da:v OUT NBv IN nV INNA(1.50)dove n è il rapporto di trasformazione. Si osservi che il segno delle vOUT e v IN dipendedal verso degli avvolgimenti.Per il trasformatore ideale vale la relazione:PIN POUT 0quindi se la potenza in ingresso è positiva e quelladi uscita negativa, si ha che il rapporto ditrasformazione è negativo:V IN I A VOUT I B nV IN I BFigura 1-27: schema del trasformatore.IA nIBnegli schemi il trasformatore è indicato come rappresentato nella Figura 1-27, dove ipuntini indicano i terminali a potenziale maggiore.1.3 Analogie e generalizzazioneSe si considerano gli elementi caratteristici dei sistemi meccanici ed elettrici e leloro relazioni costitutive si nota una certa analogia nella forma delle equazioni, peresempio per la massa e il condensatore si ha:

Analisi Dei Sistemi II16F mdv12dtei cdv12dt(a)(b)Forza F Corrente iVelocità v Tensione v12Massa m Capacità CForza F Tensione v12Velocità v Tensione v12Massa m Induttanza LCostanteelastica1/kCoeff. diattrito bCostanteelastica1/kCoeff. diAttrito zaRTabella 2: analogia massa-capacità (a) e massa-induttanza (b).Di analogie elettro-meccaniche ne sono state proposte due: una massa-capacità(Tabella 2a) e una massa-induttore (Tabella 2b).La prima è preferibile perché presenta una similitudine strutturale tra sistemi elettricie meccanici, perciò è possibile associare alla similitudine delle equazioni caratteristicheuna similitudine di schematizzazione grafica che verrà utilizzata per arrivare alla scritturadel modello matematico di un sistema generico attraverso l’uso di proceduresistematiche. In particolare si può osservare che due sistemi analoghi hanno lo stessografo lineare, ad eccezione dei sistemi elettrici dove si trovano condensatori nonconnessi a terra: in questo caso non esiste un analogo sistema meccanico per laproprietà della massa di essere sempre misurata rispetto al riferimento del sistema enon rispetto ad un altro punto.Tuttavia ciò non comporta grosse difficoltà perché in genere si preferisce studiare isistemi meccanici con riferimento a quelli elettrici e non vice-versa, in altre non è usualeassociare ad una rete elettrica una rete meccanica, ma è più comune l’analogia inversa.L’analogia massa capacità è basata sulle caratteristiche fisiche delle variabilicoinvolte nei rispettivi fenomeni. La forza e la corrente possono essere consideratecome variabili di flusso (tipo f ) mentre la velocità e la tensione sono variabili di posizione(tipo V i j).Le grandezze come forze e correnti “attraversano” i componenti passivi restandoinalterate, mentre le grandezze come la velocità e la tensione variano tra gli estremidell’elemento; questo comporta un diverso procedimento di misura per le due classi digrandezze: per le misure di variabili di tipo f gli strumenti devono essere inseriti in serieall’elemento, mentre per le variabili di tipo V i j devono essere inseriti in parallelo.Il comportamento degli elementi passivi ideali nei vari sistemi può essere descrittomediante tre tipi di equazioni caratteristiche generalizzate scritte in funzione dellevariabili di posizione e di flusso.

Parte 1modellistica dei sistemi dinamici17Il primo elemento generalizzato è quello che immagazzina energia tramite la variabile diposizione e viene detto elemento di tipo A o capacità generalizzata, la cui relazionecostitutiva generalizzata è la seguente:f C GEN dv121oppure v12 dtC GENtf dt v12 (0)(1.52)0Il secondo elemento generalizzato è detto di tipo T o induttanza generalizzata, il qualeimmagazzina energia mediante la variabile di flusso , la cui relazione costitutiva è:v12 LGENdf1oppure f dtLGEN tv12 dt f (0)(1.53)0IL terzo elemento generalizzato è detto di tipo D o resistenza generalizzata ed è sede disoli fenomeni dissipativi. La relazione costitutiva è:v12 RGEN f oppure f 1v12RGEN(1.54)Infine per i trasformatori ideali valgono le relazioni generalizzate:v1 nv 2 oppure f 1 1f2n(1.55)con la considerazione che il rapporto di trasformazione è positivo o negativo a secondadelle convenzioni assunte e/o dalla natura fisica del dispositivo.1.3- 1 ENERGIA E POTENZAIn tutti gli elementi ideali che sono stati esaminati la potenza che determina ifenomeni energetici è espressa come il prodotto scalare tra la variabile di flusso e lavariabile di posizione:P f v12(1.56)l’energia è l’integrale della potenza nel periodo di tempo di interesse:E PdtTFINALE(1.57)0L’energia immagazzinata negli elementi ideali dipende solo dai valori finali delle variabilidi flusso e posizione in quanto nell’integrazione si riesce ad estrarre il tempo; per quantoriguarda gli elementi che immagazzinano energia mediante la variabile di flusso si ha:E LGEN TFINALE0f v12 dt LGEN fdff (TFINALE )0 12LGEN f FINALE2(1.58)

Analisi Dei Sistemi IIfffP 0v23v12P 0P 0UtilizzatoreGeneratoreUtilizzatorefv23P 042423131v1218Generatore(b)(a)Convenzione degli utilizzatori:lapotenza è considerata positiva quando lavariabile f fluisce dal terminale convariabile di posizione maggiore verso ilterminale con variabile di posizioneminore.Convenzione dei generatori: la potenza èconsiderata positiva quando la variabile ffluisceattraverso l’elemento nel versocrescente della variabile di posizione.Figura 1-28: nella rappresentazione schematica delle variabili di posizione il verso dellafreccia indica la variabile maggiore (per esempio in figura (a) v1 v2) mentre, nel caso dellevariabili di flusso, il verso della freccia indica semplicemente il verso col quale la variabile fattraversa il bipolo. Come conseguenza della convenzione degli utilizzatori si ha che f è daconsiderare positiva se attraversa il bipolo da v1 a v2 , con v1 v2. Per la convenzione deigeneratori il comportamento è duale.13 v12f24Sorgente ideale diSorgente ideale divariabile di posizione: variabile di flusso:v12 v gv34 qualunquef qualunquef fgFigura 1-29: le sorgenti ideali fissano lavariabile di posizione o la variabile diflusso ad un valore noto, rispettivamenteai capi o attraverso gli elementi a cui sonoconnessi, con una legge di variazione nota.Sono dei bipoli attivi in quanto fornisconoin maniera continua energia al sistema. Ilvalore della variabile non definita dipendedalle caratteristiche del sistema su cuiagisce la grandezza nota. Secondo laconvenzione degli utilizzatori la potenzafornita da un generatore è negativa. Glischemi a lato vengono utilizzati nellarappresentazione dei sistemi attraverso igrafi lineari (par. 1-6) e negli schemi direte.e analogamente per gli elementi che immagazzinano energia mediante la variabile diposizione:E CGEN f vTFINALE120dt C GEN vv (TFINALE )120dv12 1C GEN v122 , FINALE2(1.59)

Parte 119modellistica dei sistemi dinamiciContrariamente alle energie immagazzinate l’energia dissipata dal dissipatore idealedipende dai valori istantanei delle variabili di flusso e di posizione ed è quindi necessarioconoscere la legge di variazione di almeno una delle due grandezze ai fini del calcolodella (1.56).Il segno della potenza si stabilisce in base alla convenzione sui segni che si decide diadottare; esistono due convenzioni: la prima è detta convenzione degli utilizzatori estabilisce che è positiva la potenza assorbita da un elemento mentre è negativa lapotenza erogata da un elemento; la seconda convenzione, detta dei generatori, è dualea quella degli utilizzatori. In Figura 1-28 sono descritte le due convenzioni per i sistemielettrici.Ogni elemento utilizzatore è di tipo passivo in quanto non è in grado di generare energiama può solamente immagazzinarla per restituirla al sistema, oppure può dissiparla sottole varie forme, mentre ogni elemento generatore è di tipo attivo in quanto fornisceenergia con continuità verso l’esterno e non è in grado di assorbirla dal sistema; Ilresistore per esempio è un bipolo passivo in quanto dissipa energia.Un sistema si comporta da generatore o da utilizzatore indipendentemente dallaconvenzione stabilita, che è utile ai fini della modellistica ma non influisce nelcomportamento del sistema.Negli schemi qualsiasi sorgente di variabile di flusso o di posizione viene rappresentatacome si rappresentano rispettivamente il generatore di corrente e il generatore ditensione nei circuiti elettrici. In Figura 1-29 oltre ai due tipi di generatore sono riportiate lerispettive relazioni costitutive.1.4 Sistemi fluidiI si

meccanica relativistica meccanica classica . se v callora la massa è anche ideale. p f (v) 2. . Parte 1 modellistica dei sistemi dinamici . 7 In generale la relazione (1.10) non è lineare : come si può vedere in . Figura 1-11. le cause di non linearità sono principalmente due