MECCANICA STATISTICA CLASSICA

MECCANICA STATISTICA CLASSICAINTRODUZIONELa meccanica statistica è una tecnica utilizzata per estendere i principi di conservazione dellameccanica classica a sistemi di molte particelle, senza considerare il moto di ogni singola particella(la sua traiettoria).Per fare una analisi statistica dobbiamo stimare gli stati dinamici accessibili ad ogni particella inbase alle proprietà generali della stessa.Si introduce il concetto di probabilità di distribuzione delle particelle tra i differenti stati dinamicinei quali possono essere trovate.L’EQUILIBRIO STATISTICOConsideriamo un sistema isolato di N particelle nel quale ogni particella ha a disposizione diversilivelli energetici Ei. I livelli energetici possono essere quantizzati oppure appartenere ad uno spettrocontinuo di valori.In un dato istante le particelle sono distribuite nei vari livelli energetici disponibili. Indichiamo conni il numero di occupazione dell’i-esimo livello, allora:(1)è il numero totale di particelle ed è assunto rimanere costante.Introduciamo anche un’altra quantità conservata, l’energia totale del sistema (il sistema è isolato):(2)Scrivendo l’energia totale in questo modo, si intende implicitamente che le N particelle costituenti ilsistema non interagiscono tra di loro, così che non compaiono termini di energia potenzialedipendenti dalle coordinate di più di una particella.Un metodo per tenere conto in qualche maniera delle interazioni che possono esserci è chiamatometodo del potenziale autoconsistente. Questo metodo consiste nel considerare un campopotenziale medio per ogni particella, dipendente esclusivamente dalle coordinate delle stessa. In talcaso si ha:Sebbene l’energia totale del sistema rimanga costante, i numeri di occupazione dei vari livellipossono variare. E’ ragionevole pensare che ci sia comunque una distribuzione favorita.In altre parole, date le condizioni fisiche del sistema di particelle (struttura e numero delleparticelle, energia totale) esiste una partizione delle stesse più probabile di altre. Quando il sistemaraggiunge tale partizione, il sistema è detto essere in equilibrio statistico.Un sistema che si trovi in equilibrio statistico, non si “allontanerà” dalla partizione più probabile senon a causa dell’effetto di una forza esterna. Ciò significa che in assenza di disturbi esterni, inumeri di occupazione dei vari livelli possono fluttuare attorno ai valori corrispondenti alladistribuzione più probabile, ma senza effetti macroscopici osservabili.LA LEGGE DI DISRIBUZIONE DI MAXWELL - BOLTZMANNConsideriamo un sistema di N particelle identiche e distinguibili. Con particelle identiche si intendeche le particelle hanno tutte la stessa struttura e composizione. Con distinguibili si intende ilsignificato del termine.Come prima ipotesi, assumiamo che tutti i possibili stati energetici abbiano la stessa probabilità diessere occupati, cosi che:la probabilità di una particolare partizione è proporzionale al numero di modi differenti in cui èpossibile distribuire le particelle nei vari stati per produrre la partizione.

E6E5E4E3pqE2E1abcL’aver assunto le particelle distinguibili, comporta il fatto che una partizione nella quale laparticella a stia in E1 e la particella p stia in E2 è considerata differente da una partizione nella qualep stia in E1 e a in E2.Iniziando a riempire il primo livello, abbiamo N diversi modi di scegliere la prima particella (unadell N particelle). La seconda particella può invece essere scelta in (N-1) modi differenti poiché taleè il numero di particelle rimasto a disposizione. Una terza particella potrà essere scelta in (N-2)modi differenti e così via. Quindi il numero totale di modi differenti per collocare tre particelle sulprimo livello è dato da:Si noti che una partizione è determinata solamente dal numero e dal tipo di particelle presenti inogni stato e non dall’ordine in cui queste particelle sono state messe. Se indichiamo le nostre treparticelle con a,b,c, questo significa che possiamo collocarle sul primo livello energetico in 3! 6modi differenti tra loro per l’ordine: abc, bca, cab, bac, acb, cba. Ma questi tre diversi ordini diselezione danno origine alla stessa partizione, così che il numero di modi differenti in cui possiamoposizionare tre particelle sul primo livello energetico è in realtà dato da:Così l’espressione generale che fornisce il numero di modi differenti possibili di posizionare n1particelle sul primo livello è:(3)(questa formula da il numerosi permutazioni di N oggetti, quando se ne prendono ni, uno alla volta).Se ora vogliamo mettere n2 particelle sullo stato E2, vale un discorso perfettamente analogo alprecedente, con la differenza che il numero totale di particelle ora è (N- n1).Il processo può essere continuato finchè sono stati considerati tutti gli stati energetici.Il numero totale di modi differenti per ottenere la partizione n1, n2, n3 è ottenuto moltiplicando traloro le espressioni del tipo (3) per ogni livello energetico; si indichi questo numero con PPiù sopra avevamo assunto che tutti i possibili stati avessero la stessa probabilità di essere occupati.Tuttavia può succedere che gli stati abbiano diverse probabilità intrinseche gi. Se gi è la probabilitàdi trovare una particella nel livello energetico E1, la probabilità di trovare due particelle sarà gi x gi,mentre per ni particelle sarà.Quindi la probabilità totale per una data partizione sarà:

Infine rimuoviamo la condizione di distinguibilità. Se le particelle sono indistinguibili significa chenon si può notare una differenza se le particelle p ed a in figura (ad esempio) sono scambiate traloro. Quindi tutte le N! permutazioni tra particelle che occupano stati differenti danno origine allastessa identica partizione.In definitiva il numero di differenti modi possibili di disporre N particelle identiche e indistinguibilisui livelli energetici aventi probabilità intrinseca gi è:(4)Questa è l’espressione della probabilità di una distribuzione nella statistica di Maxwell-Boltzmann.Abbiamo definito l’equilibrio statistico come la più probabile partizione riferita a determinatecondizioni fisiche in cui si trova il sistema.Per ottenere lo stato di equilibrio cerchiamo dunque il massimo della funzione P(ni)compatibilmente con le condizioni (1) e (2), con N ed U costanti.Per fare ciò poniamo uguale a zero il differenziale dell’espressione (4). Tuttavia rimanematematicamente più semplice cercare il massimo della funzione ln P (le cose non cambiano,essendo il logaritmo una funzione monotona crescente).(5)[Nel secondo passaggio si è utilizzata la formula di Stirling per il logaritmo del fattoriale di ungrande numero:tale formula può essere ricavata come segue:dove x è un numero intero. Se x è davvero molto grosso, possiamo rimpiazzare la sommatoria con ilsimbolo di integrale senza commettere un grosso errore:].Differenziamo l’espressione (5), tenendo conto che dN 0 perché N è costante, e quindi:, otteniamo:.Se tutte le variazioni dni fossero tra loro indipendenti (quindi potrebbero essere scelte tutte diverseda zero), potremmo soddisfare l’equazione scritta sopra ponendo ln(ni/gi) 0 per ogni i.Tuttavia i cambiamenti dni non sono arbitrari a causa delle solite condizioni (1) e (2), per cui:.Per tenere conto di queste due condizioni, si utilizza un metodo dovuto a Lagrange, chiamatoappunto metodo dei moltiplicatori di Lagrange.[Questo metodo permette di trovare il massimo di una funzione dipendente da più variabili quandoqueste devono soddisfare dei vincoli (non sono indipendenti).

Supponiamo di avere una funzione F(x1, x2, ,xn) e che le n variabili debbano soddisfare le duecondizioni:Per trovare il punto critico della funzione, poniamo:(A1)ma questa relazione non implica dF/dxi 0 perché i vari dxi devono soddisfare le condizioni:per tenere conto di queste due condizioni, le si moltiplicano per due quantità arbitrarie: α, β e le siaggiunge all’equazione (A1), ottenendo:e poiché ora abbiamo n 2 variabili, con α e β arbitrari, la precedente implicaSiamo così in grado di ricavarci l’espressione delle n variabili per un punto critico di F in funzionedi α e β. Sostituendo poi tali espressioni nelle due condizioni iniziali, si possono ricavare i valori diα e β e quindi di x1, , xn.]Applicando il metodo appena illustrato al nostro problema, scriviamo:la distribuzione di equilibrio è quindi ottenuta se, che risolta rispetto ad ni fornisce:.α e β sono legati alle proprietà fisiche del sistema. Dall’equazione (1)dove si è introdotta la funzione di partizione Z:.In questo modo possiamo scrivere.Questa espressione costituisce la legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmann.La probabilità di occupazione di uno stato è data da:

Dalla definizione di valore medio, abbiamo che il valor medio di una certe grandezza fisica F(E) inuna miscela di stati data da questa distribuzione è dato da:.Se si ha a che fare con livelli energetici discreti, gi rappresenta la degenerazione dell’i-esimo stato.Se invece l’energia ha uno spettro continuo di valori, oppure uno spettro discreto i cui valori sonomolto prossimi l’uno dall’altro gi diventa una g(E), che rappresenta la densità di stati; g(E)dErappresenta il numero di stati compresi nell’intervallo di energia (E, E dE).Ad esempio se abbiamo a che fare con particelle aventi solamente energia cinetica, sedxdydzdpxdpydpz rappresenta una cella elementare nello spazio delle fasi, abbiamo:.TEMPERATURARimane ancora da vedere a quale grandezza fisica rimane legato il parametro β che comparenell’espressione della legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmann.Da una prima analisi dimensionale possiamo già concludere che β deve avere le dimensionidell’inverso di una energia.Scriviamo ora l’espressione dell’energia totale del sistema:e usando la definizione della funzione di partizione, possiamo scrivere:se vogliamo ora ottenere l’espressione dell’energia mediadi una particella:Si noti che, una volta dati i vari gi e i corrispettivi livelli energetici, la funzione di partizione,l’energia totale e l’energia media di una particella dipendono dal parametro β che quindicaratterizza l’energia interna del sistema. E’ comunque più conveniente introdurre la temperaturaassoluta del sistema e definire:β 1/kTdove k è la costante di Boltzmann.La definizione statistica di temperatura data appena sopra è valida solamente per un sistema diparticelle in equilibrio statistico. Inoltre anche il parametro β compare solamentequandoricerchiamo la partizione più probabile del sistema (che è associata all’equilibrio).Con la nuova definizione di β, le precedenti relazioni sono riscritte in funzione della temperaturaassoluta del sistema:

Dall’ultima equazione possiamo dedurre che la temperatura di un sistema in equilibrio statistico èuna quantità legata all’energia media per particella, e la relazione dipende dalla struttura del sistema(Z).Guardando invece l’espressione per in numeri di occupazione dei livelli (la legge di distribuzione),notiamo che questi numeri sono una funzione decrescente di Ei /kT. Per questo motivo, quandoabbiamo a che fare con basse temperature, solo i livelli energetici Ei più bassi saranno popolati (solodei bassi valori di Ei possono rendere l’esponente (negativo) non troppo grosso). Man mano cheaumenta la temperatura aumenta anche la probabilità di occupazione dei livelli energetici più alti.Allo zero assoluto di temperatura solo il livello fondamentale è popolato.Concludiamo il discorso dando l’espressione del rapporto di due numeri di occupazione:ed enunciando il principio zero della termodinamica:due sistemi fisici differenti e interagenti in equilibrio statistico devono avere la stessatemperatura.Per finire, in figura sono mostrati gli andamenti delle distribuzioni di Maxwell-Boltzmann relative atre diversi valori di temperatura.

meccanica classica a sistemi di molte particelle, senza considerare il moto di ogni singola particella (la sua traiettoria). Per fare una analisi statisti