Note Per Uno O Due Corsi Di Algebra Per 6 6 12 Crediti .

Note per uno o due corsi di Algebraper 6 6 12 crediti complessiviVersione A.A. 2020/21Andrea Caranticon aggiunte e commenti di Sandro MattareiDipartimento di Matematica, Università degli Studi di Trento,via Sommarive 14, 38123 TrentoEmail address: caranti@science.unitn.itEmail address: smattarei@lincoln.ac.ukURL: http://science.unitn.it/ caranti/URL: http://staff.lincoln.ac.uk/smattarei

Introduzione“Longum iter est per præcepta,breve et efficax per exempla.”“Lunga è la strada dei precetti,breve ed efficace quella degli esempi.”Seneca, via C. R.Come sono nate e cresciute queste noteNell’Anno Accademico 1999/2000 il primo anno del Corso di Laurea in Matematica a Trento era stato profondamente rinnovato, in vista dell’avvento dellaRiforma che ha portato al cosiddetto 3 2, cioè all’introduzione della Laurea(triennale) e della Laurea Specialistica (biennale), poi diventata Laurea Magistrale. Tale rinnovamento si era esteso al secondo anno nell’A.A. 2000/01. Infine,con l’A.A. 2001/02 si è avviata ufficialmente la nuova organizzazione didattica.Questa prevedeva una unità didattica di Algebra (di 5 crediti, corrispondenti a40 ore) al primo anno, e un’altra al secondo. Queste note sono state iniziate conl’intento di rappresentare una guida al contenuto della prima unità didattica.Per la seconda unità didattica per il secondo anno che ho tenuto nell’AnnoAccademico 2000/01 ho deciso di proseguire a lavorare su queste note, dato chele due unità erano molto legate: la prima era un approccio molto concreto allamateria, la seconda introduceva maggiore astrazione, e sistemava organicamentemateriale già introdotto nella prima.Ho proseguito il lavoro mentre tenevo di nuovo la prima unità didattica peril primo anno nell’Anno Accademico 2000/01 e nel 2002/03, e ancora mentreinsegnavo la seconda unità didattica per il secondo anno che nell’Anno Accademico2001/02. Ulteriori modifiche sono state fatte alla parte dei codici nel novembre2002.Va notato qui che la parte di crittografia (Capitolo 8) deriva da appuntiprecedenti, e ha un tono diverso dal resto.Sandro Mattarei ha fatto alcune aggiunte quando ha tenuto i corsi, negli A.A.dal 2001 al 2003, e di nuovo io ci ho lavorato quando ho tenuto la seconda unitàdidattica di Algebra nell’A.A. 2003/04, aggiungendo fra l’altro in maniera un po’spiccia la conferenza su “Cappelli blu e cappelli rossi” (Sezione 12.24). Infine,Sandro Mattarei ha fatto poche altre aggiunte nell’A.A. 2003/04, in particolareall’esercizio 1.2.17, a una sezione sui monoidi cancellativi che al momento ometto,e alla sezione 8.10.Queste note sono state ancora usate nell’A.A. 2005/06 per la seconda unitàdidattica. Poi i due corsi di Algebra sono stati unificati in un unico corso al3

4INTRODUZIONEsecondo anno, prima di 10 e poi di 12 crediti, e negli anni seguenti ho continuatoad usarle, e ad aggiungere e modificare materiale.Nell’autunno 2010 ho sistemato un po’ queste note, aggiungendo e spostandomateriale. Restano ripetizioni e altri difetti, che pian piano cerco di sistemare.In molti punti si vede che, come nelle rovine di Troia, questi appunti derivano dastrati sovrappostisi negli anni Contrariamente a quel che pensavo, durante l’A.A. 2011/12 sono riuscito afare diverse modifiche e integrazioni alle note, aumentandole di 16 pagine. Inparticolare le ho aggiornate ad alcuni cambiamenti nell’esposizione che avevo fattonegli ultimi anni.Nell’A.A. 2012/13 queste note sono cresciute di altre 12 pagine, di nuovo adeguandole alle novità nell’esposizione, in particolare nel Capitolo 11, e ancora unpo’ nel 2013/14. Nell’A.A. 2014/15 ho cominciato ad aggiungere un capitolo sulTeorema Cinese, che sorprendentemente non c’era da nessuna parte, tranne uncenno.Stato recente ed attualeUna delle conseguenze meno piacevoli dell’invecchiare è che si vedono ripresentare cose vecchie come se fossero nuove, un po’ come se al cinema facessero sempregli stessi film (non necessariamente dei grandi classici). Dunque nel 2015/16, adieci anni dal passaggio da due corsi di Algebra da 6 crediti ciascuno a un corsoda 12 crediti, si è tornati indietro alla situazione precedente. Queste note copronodunque da questo momento i due corsi di Algebra A e B, da 6 6 12 crediti.Le note continuano a crescere pian piano. Ad esempio durante il corso diAlgebra B 2018/19 sono passate da 188 a 196 pagine. Col corso di Algebra B2020/21 siamo arrivati a 204 pagine, aggiungendo in particolare materiale suglianelli Noetheriani nella sezione 6.18.Cosa sono queste noteQueste note rappresentano un primo approccio all’Algebra. Un tempo si parlava di Algebra Astratta, ed indubbiamente qualche sforzo di astrazione sarà richiestoagli studenti. Non seguiremo però un approccio assiomatico puro. Partiremo invece da situazioni concrete (ad esempio l’aritmetica sugli interi, e poi sui polinomi),per riconoscere gli elementi comuni delle due teorie, e arrivare a realizzare checon il giusto contesto le dimostrazioni sono le stesse o quasi. E’ questo principiodi economia (due situazioni, una dimostrazione) che rappresenterà il ponte versol’astrazione.Vedremo inoltre che la teoria che trattiamo ha applicazioni a diversi campiestremamenti attuali della tecnologia: due esempi oramai classici sono la crittografia e i codici a correzione d’errore – ci sarà sufficiente concretezza, dunque!

GAP5Cosa queste note non sonoSpero che queste note non diventino mai un libro. Non ho niente contro i libri,per carità, ma libri (buoni) di algebra ce ne sono già parecchi (qualcuno lo elencoqui sotto), e non credo che ne serva uno in più.Invece queste note dovrebbero nella mia intenzione restare quanto più vicinepossibile alle lezioni da cui derivano. Dovrebbe essere sempre possibile leggerledall’inizio alla fine, come una storia coerente. Per citare Giovanni Prodi [Coe00]:“un libro scritto a supporto dell’insegnamento deve avere una certa freschezza,mentre il perfezionismo e l’eccessivo desiderio di completezza hanno un effettonegativo.”BibliografiaCi sono molti testi di Algebra che vale la pena di consultare. Non è necessariocomprarne uno. Due testi che mi piacciono molto sono Basic Algebra I di NathanJacobson [Jac85] e Algebra di Serge Lang [Lan84]. Entrambi contengono moltopiù materiale rispetto a quanto svolto nel Corso, e in modo più formale, ma questonon è detto che sia un male.Un altro testo veramente eccellente è quello di I. N. Herstein [Her64], di cuiesiste anche una versione italiana [Her99]. Questo è più informale.Un altro testo da guardare, il cui spirito è vicino a quello di questo corso, èquello di Lindsay Childs [Chi09], che esiste anche in italiano [Chi89]. (Con Childsho pure scritto un articolo [FCC12], ma questa raccomandazione è precedente.)Fra gli altri testi interessanti c’è quello di van der Waerden, che si può vederesia nell’edizione tedesca [vdW71] che in quella inglese [vdW91]. E’ un testo“vecchio” all’anagrafe (l’edizione originale è di prima del 1950), ma per niente“invecchiato”, e anzi tuttora splendido. E’ ispirato a lezioni di Emil Artin e EmmyNoether, e si sente! Eccellente anche la classica trilogia di Jacobson [Jac75c,Jac75a, Jac75b].Per tutte le questioni di Teoria degli Insiemi, raccomando caldamente [Hal74],di cui esiste (ma si trova oramai solo nelle biblioteche, quale quella di Scienze aTrento) una versione in italiano [Hal76].Non è esattamente un testo di Algebra, ma il saggio del grandissimo matematico francese Jacques Hadamard [Had54] sulla psicologia dell’invenzione inmatematica è una lettura estremamente epsych006281mbpGAPDurante il corso uso il sistema di calcolo algebrico GAP [GAP08], che èdisponibile come freeware:http://www.gap-system.org/Nelle note si trova qualche esempio di utilizzo.

6INTRODUZIONEVarie ed eventualiRingrazio Sandro Mattarei per alcuni utili colloqui, in particolare per quantoriguarda questioni di complessità computazionale.La versione più aggiornata di queste note è disponibile a partire dalla paginaseguente, sotto Algebra-A o Algebra-B, a seconda di quale è più recente:http://www.science.unitn.it/ caranti/

IndiceIntroduzioneCome sono nate e cresciute queste noteStato recente ed attualeCosa sono queste noteCosa queste note non sonoBibliografiaGAPVarie ed eventuali33445556Capitolo 1. Aritmetica sugli interi1.1. Divisibilità1.2. Massimo comun divisore1.3. Minimo comune multiplo1.4. Algoritmi1.5. Complessità1.6. Una stima migliore11111421222224Capitolo 2. Aritmetica sui polinomi2.1. Una premessa: domini2.2. Definizione formale2.3. Divisibilità2.4. Tutto il resto2.5. Teorema di Ruffini e numero di radici di un polinomio2.6. Radici multiple2.7. Più in generale2.8. Valutazione di polinomi2.9. Campo dei quozienti27272729303031323233Capitolo 3. Congruenze3.1. Congruenza3.2. Relazioni di equivalenza3.3. Ancora sulla congruenza3.4. Sistemi di congruenze3.5. Calcolare con le classi3.6. Guarda chi si vede!3.7. Prova del nove e dell’undici, criteri di divisibilità3.8. Una questione di notazione3.9. Monoidi e gruppi373737394041414243447

8INDICE3.10.3.11.3.12.3.13.PeriodoInvertibili ecc.Lemma dei cassettiFrazioni come numeri decimali46494952Capitolo 4. Qualcosa in più sui gruppi4.1. Sottogruppi, classi laterali e teorema di Lagrange4.2. Gruppi ciclici4.3. Un’applicazione del primo teorema di isomorfismo fra insiemi4.4. Permutazioni4.5. Gruppi diedrali555557575860Capitolo 5. Algebra Lineare5.1. Forme canoniche5.2. In un mondo perfetto 5.3. Forme canoniche per matrici diagonalizzabili5.4. Il mondo non è perfetto5.5. Hamilton-Cayley5.6. Una decomposizione5.7. Forma canonica di Jordan5.8. Congruenze636364656566686969Capitolo 6. Anelli e domini euclidei6.1. Definizione6.2. Sottoanelli6.3. Prime conseguenze6.4. Ma lo zero 6.5. Estensioni6.6. Estensioni semplici6.7. Alcuni casi interessanti6.8. Interi di Gauss6.9. Domini euclidei6.10. Primi e irriducibili6.11. Decomposizione in primi6.12. Terne pitagoriche6.13. Un’applicazione: irriducibilità di un polinomio.6.14. Altri esempi6.15. Interpretazioni geometriche6.16. Intermezzo: induzione6.17. UFD6.18. Anelli Noetheriani6.19. Lemma di olo 7. Teorema cinese dei resti7.1. Prodotti, e operazioni per componenti7.2. Primo teorema di isomorfismo fra insiemi7.3. Teorema cinese101101102102

INDICE7.4.7.5.Un isomorfismo di anelliMoltiplicatività della funzione di Eulero9103104Capitolo 8. Crittografia8.1. Introduzione8.2. Funzioni trappola8.3. Crittografia8.4. Calcolo delle potenze8.5. Numeri primi e non8.6. Numeri di Carmichael8.7. Radici quadrate8.8. Come giocare a testa o croce per telefono8.9. Testa o croce, versione alternativa8.10. Fattorizzazione di Fermat8.11. La funzione φ di Eulero8.12. Elementi di ordine p8.13. Dalle Note di Sandro8.14. Come calcolare le potenze in modo efficiente in un monoide8.15. Un test di primalità8.16. Radici quadrate modulo 28Capitolo 9. Numeri primi come somma di due quadrati9.1. Se un numero primo è somma di due quadrati 9.2. Quadrati modulo un primo9.3. Un teorema di Fermat9.4. Un esercizio probabilmente non facile9.5. Un riferimento 0.3.10.4.10.5.10.6.10.7.10.8.10. EstensioniPolinomio minimoQualche criterio di irriducibilitàCalcolo di polinomi minimiUn approccio indirettoUn approccio direttoRazionalizzazioneNumeri algebriciInteri 1.2.11.3.11.4.11.5.11.6.11.7.11. Teoremi di isomorfismo e strutture quozienteLogaritmiMorfismiTeoremi di isomorfismo, prima formaStrutture quoziente, e seconda forma dei teoremi di isomorfismoSecondo teorema di isomorfismoTerzo teorema di isomorfismo, o teorema di corrispondenzaQualche richiamo sulle funzioni155155156156160167168170