Vektor Pada Bidang Datar - SEAMOLEC
Vektor pada Bidang DatarSumber: www.southpolestation.comSalah satu kapal pengangkut minyak yang mengalami kebocoranSarana transportasi darat, laut, maupun udaramasing-masing memiliki peluang yang sama untukterjadinya kecelakaan. Apabila kecelakaan terjadidi tengah lautan lepas tentunya kapal yangmengalami kerusakan harus dibawa ke pelabuhanterdekat untuk segera diperbaiki. Untuk menarikkapal tersebut dibutuhkan dua buah kapal dengandilengkapi kawat baja. Agar kapal dapat sampai kepelabuhan yang dituju dan posisi kapal selamaperjalanan tetap stabil, besar gaya yang dibutuhkanoleh masing-masing kapal penarik dan sudut yangdibentuk oleh kawat baja harus diperhitungkandengan cermat. Dari kedua gaya dan sudut yangdibentuk oleh kapal penarik dapat kita hitungbesarnya resultan gaya yang bekerja. Untukmenghitung resultan gaya terlebih dahulu kitapelajari uraian berikut.Uraian MateriA. Vektor dan NotasinyaApabila kita memindahkan atau menggeser sebuah benda (materi) yangberbentuk apa saja, maka perpindahan benda itu akan memenuhi dua unsuryaitu seberapa jauh kepindahannya dan ke arah mana benda itu berpindah.Kedua unsur yang memengaruhi perpindahan benda itu disebut sebagaibesaran vektor.Jadi, vektor adalah besaran yang selain mempunyai nilai kuantitatif(besar) juga mempunyai arah, misalnya besaran kecepatan, gaya, danmomen. Secara grafis, vektor dilambangkan dengan arah panah.Contoh:Sebuah mobil melaju dengan kecepatan 100 km/jam ke arah barat. Peristiwatersebut merupakan salah satu bentuk penggunaan vektor dalam kehidupansehari-hari. Vektor yang digunakan mempunyai besar 100 km/jam danmelaju ke arah barat.UBSTv mobil 100 km/jam ke arah barat154VektorDi unduh dari : Bukupaket.com
Secara geometris, vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjangruas garis menyatakan besar vektor dan anak panah menyatakan arahJJJGvektor. Gambar di samping menunjukkan vektor , dengan A adalah titikJJJGJJJGpangkal vektor dan B adalah titik ujung (terminal) dari vektor .JJJGGVektor dapat ditulis sebagai vektor ( huruf kecil bergaris panah atas).B. Vektor pada Bangun Datar R2 (Ruang Dimensi Dua)BG AVektor dimensi dua adalah vektor yang mempunyai dua unsur yaitu unsurvertikal (sumbu Y) dan horizontal (sumbu X). Vektor pada bidang datar(dimensi dua) ditandai dengan sumbu X dan sumbu Y, yang salingberpotongan di titik pusat O (0, 0). Secara analitis vektor dimensi dua dapatdisajikan menurut unsur-unsurnya yaitu:InfoGG atau (x, y) Dengan x adalah unsur mendatar. Apabila x 0 (positif) maka xmempunyai arah ke kanan dan apabila x 0 (negatif) x mempunyaiarah ke kiri. Selanjutnya y adalah unsur vertikal. Apabila y 0 (positif)maka arahnya ke atas dan jika y 0 (negatif) arahnya ke bawah.Perhatikan beberapa contoh berikut.G YGGMotor balapContoh lain penggunaanvektor adalah pada transformasi, kecepatan, medanelektrik, momentum, tenaga,dan percepatan. Besaranvektor juga berlaku padagaya gravitasi dengan arahke pusat bumi sebagai arahpositif.G GG G Sumber: www.motograndprix.comG G G XOC. Ruang Lingkup Vektor1. Kesamaan Dua VektorG G GGDua buah vektor dan dikatakan sama apabilakeduanya mempunyai besar (panjang) dan arah yangGsama. Perhatikan gambar di samping. Terlihat sejajarGGG dan besarnya sama. Diperoleh .Matematika XI SMK/MAKDi unduh dari : Bukupaket.com155
2. Vektor NegatifGVektor negatif dari adalah vektor yang besarnya sama dengan vektorGG , tetapi arahnya berlawanan dan ditulis – . Perhatikan gambar diGGsamping. Vektor sejajar dan sama panjang dengan vektor . KarenaGGGGarah vektor dan saling berlawanan maka – .G G 3. Vektor NolVektor nol adalah vektor yang besar/panjangnya nol dan arahnya taktentu. Pada sistem koordinat cartesius vektor nol digambarkan berupaPerlu Tahu Vektor posisi pada dimensi 2 dapat dinyatakan dengan G G GG 4. Vektor PosisiVektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pusatkoordinat O (0,0) dan titik ujungnya berada pada koordinat lain. Vektorposisi pada R2 dari titik A (x, y) dinyatakan sebagai kombinasi linearvektor satuan sebagai berikut.G GG GGPenulisan vektor dan G menyatakan vektor satuan pada sistemkoordinat. Vektor satuanadalah vektor yang searahdengan sumbuGX positif dan besarnya 1 satuan. Vektor satuan adalah vektor yangsearah dengan sumbu Y dan besarnya 1 satuan.Contoh:G Nyatakan vektor dalam bentuk kombinasi linear vektor satuan dan tentukan panjangnya!Y GXPenyelesaian:G GGKombinasi linear vektor adalah . A Yy . titik. Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan Jadi, panjang vektor A adalah satuan.P (x, y)Vektor yang ditarik dari titik pangkal O ke titik P disebut juga vektorO (0, 0)xXJJJG . Jika koordinat titik P adalah (x, y) maka vektor posisinya adalah JJJGJika koordinat titik A (x1,y1) dan titik B (x2, y2) maka dapatdinyatakan sebagai vektor posisi sebagai berikut.posisi titik P dan dituliskanJJJJGJJJJGY ), y1B (x2, y2)x1A(O156XVektorDi unduh dari : Bukupaket.comJJJG JJJG –
Contoh:1. Diberikan koordinat titik P (2, –3) dan Q (7, 1). Nyatakan keduaJJJGJJJJGkoordinat titik tersebut sebagai vektor posisi dan !Penyelesaian;JJJGJJJJG JJJJGJJJJGJJJJG JJJJGa. b. JJJGJJJJGPerhatikan bahwa dan memiliki besar yang sama danberlawanan arah.JJJJGVektor merupakan vektor posisi, yaitu vektor yangJJJJGmenunjukkan posisi vektor pada koordinat cartesius. PosisiJJJJG vektor dengan komposisi dan dapat ditulis dengan koordinat kutub sebagai berikut.JJJG ( θ )dengan r tan θ Perlu TahuVektor dalam bentuk koordinatcartesius maupun koordinatkutub dapat dicari resultandan besar sudut yang diapit.( ) ( ) JJJGJJJJGBentuk ( θ ) disebut juga resultan vektor .2.Diberikan dua buah vektor yang masing-masing besarnya 4 kN dan3 kN. Tentukan besarnya vektor resultan kedua vektor besertaarahnya!Penyelesaian: ( ) ( ) α α 36º52'Jadi, vektor resultan beserta arahnya adalah (5 36º52')5. Modulus atau Besar VektorModulus menyatakan panjang atau besar vektor. Karena panjang ataubesar vektor selalu bernilai positif maka cara menulis modulusmenggunakan tanda mutlakmaka panjang vektor posisiJJJJG( ) . Jika diketahui koordinat titik P (x, y)JJJJG dirumuskan sebagai berikut. Diketahui titik A (x1, y1) dan B (x2, y2). Secara analitis, diperolehJJJJG komponen vektor . Matematika XI SMK/MAKDi unduh dari : Bukupaket.com157
JJJJGPanjang vektor dapat dirumuskan:JJJJG ( ) ( ) Contoh:Diketahui titik A (3 , –5) dan B (–2 , 7), tentukan hasil operasi vektortersebut!a.JJJJGKomponen vektor JJJJGb. Modulus/besar vektor Penyelesaian:a.JJJJG Komponen vektor b.Besar vektor JJJJG 13 6. Vektor SatuanVektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang (besar) 1 satuan.Vektor satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vektor tersebutdengan besar (panjang) vektor semula.GVektor satuan dari vektor dirumuskanG G G Contoh:GGDiketahui vektor (–3 , 2 ). Hitunglah vektor satuan dari vektor !Penyelesaian:GG Besar vektor GGDiperoleh vektor satuan dari adalah dituliskan dalam bentuk vektor kolomG ( ) atau dapat . Untuk membuktikan bahwa jawaban tersebut benar dapat kita cekkembali menurut definisi panjang vektor G 1.GGKarena modulus adalah 1, terbukti bahwa Gsatuan dari (–3, 2). adalah vektorAplikasiDi dalam sebuah rangkaian listrik arus bolak-balik terdapat tiga buahkomponen penting yaitu L induktor, C kapasitor, dan R resistor.Kombinasi vektor dari resistor dengan reaktansi di dalam L disebutimpedansi yang dilambangkan dengan z dan memiliki satuan ohm ( Ω ).158 VektorDi unduh dari : Bukupaket.com
Diberikan impedansi dari rangkaian seri yang dinyatakan sebagai berikut.Gz 6 . 8 ohmTentukan vektor impedansi tersebut dalam koordinat kutub.Penyelesaian:Vektor impedansi dari z ekuivalen dengan mencari modulus dari z. z 10Sudut yang dibentuk vektor z sebagai berikut.tan μ 1,333 μ 53,1Jadi, koordinat kutub dari vektor impedansi z adalah (10 53,1 ).D. Operasi Hitung Vektor di R21. Penjumlahan Dua VektorSecara geometris penjumlahan dua vektor ada 2 aturan, yaitu:a. Aturan segitigaG G G G GG b.Aturan jajaran genjangG G G Perlu TahuPada penjumlahan vektorberlaku:1. Sifat komutatifG G GG 2. Sifat asosiatifG GG GG G( ) ( )G G InfoG G Secara analitis penjumlahan dua vektor dirumuskan sebagai berikut.GG Jika vektor dan vektor maka G G Contoh: G GG GJika vektor dan vektor maka G G G G Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan cara potigonyaitu tidak perlu tergantungpada urutannya. Pada gambardi atas diperoleh:GGGG G 2. Selisih Dua VektorSelisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan lawan(negatif) vektor kedua.GG GG – (– )Matematika XI SMK/MAKDi unduh dari : Bukupaket.com159
Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut.GG – G G G G G – G G Secara analitis jika diketahui vektor dan vektor maka G G – Contoh:G G G G Jika vektor dan vektor maka – 3. Perkalian Vektora.Perkalian VektorG dengan SkalarHasil kali vektor denganG skalar k adalah vektor yang panjangnyak kali panjang vektor dan arahnya bergantung dengan nilai k.YInfoG3. Apabila titik–titik dalamvektor dapat dinyatakansebagai perkalian vektoryang lain, titik-titik itu disebuttitik-titik kolinear (segaris).G X0Perlu TahuSifat-sifat perkalian vektor.Jika a suatu vektor tak noldan n, p \ maka berlaku:GG1. n GG2. n(– ) GG3. GG4. (np) n GGG5. (n p) G GGG6. n ( ) GGJika vektor maka k . Ada 3 kemungkinan hasil kali suatu vektor dengan skalar k sebagaiberikut.G1. Jika k 0 maka k . adalah suatu vektor yang panjangnya kGGkali vektor dan searah dengan .G2. Jika k 0 maka k . adalah vektor nol.G3. Jika k 0 maka k . adalah suatu vektor yang panjangnya kGGkali vektor dan berlawanan arah dengan .Contoh: GDiketahui vektor . Tentukan hasil operasi vektor berikut! a.160G3. b.G–2 . VektorDi unduh dari : Bukupaket.comc. G.
Penyelesaian:a. G 3. 3. b. G –2 . –2 . c.b. G. Kilas BalikSkalar adalah besaran yanghanya mempunyai nilai dantidak mempunyai arah.Contoh: panjang, lebar, aruslistrik, volume, jarak, dansuhu. . Vektor Segaris (Kolinear)GPerkalian suatu vektor dengan skalar k menghasilkan sebuahGGvektor baru yang panjangnya k kali vektor . Misalnya vektor dapatJJJG dinyatakan sebagai vektor dengan dan . JJJG G. Apabila diberikank . k . GGketentuan bahwa titik pangkal vektor dan vektor k . salingDengan demikian Gberimpit, diperoleh titik pangkal vektor k . adalah . Untuk jelasnya perhatikan gambar berikut. G JJJGJJJGJJJGG Diperoleh bahwa Selanjutnya, diambil sembarang titik yang terletak pada JJJGvektor . Titik A, B, dan D dikatakan segaris apabila vektor yangdibangun oleh dua titik di antaranya dapat dinyatakan sebagaiperkalian vektor dua titik yang lain.Contoh:1. Diberikan tiga buah titik , , dan . Tunjukkan bahwa titik A, B, dan C segaris!Penyelesaian:JJJG . . . (1)JJJG . . . (2)JJJGJJJGDari bentuk (1) dan (2) dapat dilihat bahwa . Dengandemikian terbukti bahwa titik A, B, dan C segaris.Matematika XI SMK/MAKDi unduh dari : Bukupaket.com161
JJJG JJJG . . . (3). . . (4)JJJGJJJGDari bentuk (3) dan (4) dapat dilihat bahwa . Dengandemikian terbukti bahwa titik A, B, dan C segaris.JJJG . . . (5) JJJG . . . (6) JJJGJJJGDari bentuk (5) dan (6) dapat dilihat bahwa . Dengandemikian terbukti bahwa A, B, dan C segaris.Secara gambar dapat ditunjukkan bahwa titik A, B, dan Csegaris.YC (6, 2)B (2, 0)XA (–2, –2)c.Perkalian VektorOperasi perkalian pada vektor dapat dikerjakan melalui dua carasebagai berikut.1) Sudut Antara Kedua Vektor Tidak DiketahuiGGDiberikan vektor (a1, a2) dan (b1, b2). Hasil kali keduavektor dirumuskan sebagai berikut.G G Contoh:G G Diberikan vektor dan . Tentukan hasil kali GGvektor dan !Perlu TahuHasil perkalian dua buahvektor menghasilkan besaranskalar.Penyelesaian:G Diketahui p1 5 dan p2 7 G q1 3 dan q2 –2 G G 5 . 3 7 (–2) 15 (–14) 1GGJadi, hasil kali vektor dan adalah 1.162VektorDi unduh dari : Bukupaket.com
AplikasiY 1 F 2.400 . 60kNDua buah gaya bekerja masing-masing 40 kN dan 60 kN.Kedua gaya tersebut membentuk sudut apit seperti padagambar di samping. Tentukan hasil kali kedua gayatersebut!Penyelesaian:F1 . F2 (40) . (60) . cos 30 30 F2 1.200 X0Jadi, hasil kali kedua gaya adalah 1.200 kN.2)N0k4 Sudut Antara Kedua Vektor DiketahuiGGDiberikan vektor (a1, a2), (b1, b2), dan sudut yangGGdibentuk oleh vektor dan adalah α. Perkalian antaraGGvektor dan dirumuskan sebagai berikut.G G G G αContoh:Tentukan hasil kali kedua vektor pada gambar di bawah ini!Penyelesaian:YDiketahui dua buah vektorsebagai berikut. G a 6 dan a 1 612 G G G b 3 dan b 612 G G 1036X GGG G α Jadi, hasil kali kedua vektor adalah .Matematika XI SMK/MAKDi unduh dari : Bukupaket.com163
Sementara itu, dari dua buah vektor pada sistem koordinat cartesiusdapat kita cari besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor yangdirumuskan sebagai berikut. α G G Contoh:G Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor dan G ! Penyelesaian:G u1 6 dan u2 2 G v1 3 dan v2 4 α G G ( )( ) ( )( ) 0,822 α arc cos (0,822) 34,71 Jadi, sudut yang dibentuk oleh vektor u1 dan v2 sebesar 34,71 .E. Besar dan Arah Vektor Resultan1.Resultan Dua Buah VektorBPerhatikan gambar di samping.DiberikanJJGJG dua buah vektor yaitu vektorJG dan JG serta sudut yangJJG dibentuk oleh vektor terhadap vektorJJG yaituJG sebesarαα. Resultan dari vektor dan adalahsama dengan mencari panjang OC.θMenggunakan aturan segitiga, panjangJJGOC dapat kita cari dengan cara sebagai 0 berikut.JJJJJGJJJJJGJJJJJGJJJG JJJJG αCJG RαA( )( )JJGJGDengan demikian resultan dua buah vektor dan adalah:JJJJJG JJJJJGJJJG JJJJG αJJJG ( )( )atauR JJJGGG αRumusdiJJGJG atas adalah rumus untuk mencari resultan dua buah vektormembentuksudut dan JyangJGJGJG α . Selanjutnya, apabila resultan danyaituvektormembentuk sudut θ terhadap vektordarivektor JJG maka arah dari vektor resultan R dapat dicari dengan rumus sebagaiberikut. θ 164 α VektorDi unduh dari : Bukupaket.com
Contoh:JJGDiberikan dua buah vektor yaitu dengan panjang 4 satuan dan vektorJJGJGJG dengan panjang 6 satuan. Vektor dan vektor membentuk sudut60 . Tentukan besar dan arah vektor resultannya!Penyelesaian:Vektor resultan R diperoleh dengan menggunakan rumus berikut.JJJGGGYR α G G 6 60 θ4 G XJadi, besar vektor resultan adalah satuan.Selanjutnya besar sudut θ diberikan sebagai berikut.sin θ α Kilas Balik Pada bab 1 telah dipelajaritentang trigonometri antaralain sin 60 Dengan demikian θ arc sin . θ 36,87 JJGJGJadi, arah resultan vektor dan adalah 36,87 .AplikasiSebuah kapal mengalami kemacetan di tengahlaut. Untuk membawa kapal tersebut kembali kepelabuhan dibutuhkan dua buah kapal penarik.Gaya yang dibutuhkan kedua kapal serta sudutyang dibentuk tampak pada gambar di samping.Tentukan besarnya resultan gaya yang dihasilkanoleh kedua kapal!R10N 875 R2 105NMatematika XI SMK/MAKDi unduh dari : Bukupaket.com165
Penyelesaian:Resultan gaya kedua kapal digambarkanpada diagram gaya di samping.R1Resultan gaya kedua kapal diberikan sebagaiberikut.R2 α R0N 875 R 105N 147,62Jadi, resultan gaya kedua kapal adalah 147,62 N.2.YBG G θ0G AXResultan Tiga Buah Vektor Atau LebihSebuah vektor pada R2 dapat dijabarkan menjadi vektor komponenberdasarkan sumbu koordinat.Perhatikan gambar di samping.JJGVektor dapat diuraikan menjadi dua macam vektor komponen.GJJGJJGKomponen vektor pada sumbu Y adalah dan komponen vektor Gpada sumbu X adalah . Selanjutnya, dengan menggunakanperbandingan sinus dan cosinus pada segitiga siku-siku OAB diperolehpersamaan sebagai berikut.sin θ θ θ Vektor komponen tersebut dapat kita gunakan untuk mencaribesarnya resultan tiga buah vektor atau lebih. Langkah-langkahnyasebagai berikut.cos θ 1.2.3.4.5.Nyatakan sudut yang dibentuk tiap-tiap vektor pada tiaptiap kuadran menjadi sudut yang besarnya bergantungterhadap sumbu X.Jabarkan tiap-tiap vektor sebagai vektor-vektor komponen.Tentukan resultan vektor tiap-tiap komponen.Hitung resultan vektor dari dua komponen.Tentukan besar sudut arah resultan vektor dengan rumustan θ .Untuk memahami lebih lanjut mengenai langkah-langkah tersebut,perhatikan contoh berikut.Contoh:Hitung resultan vektor dari diagram vektor dan tentukan arah resultanvektor tersebut!166VektorDi unduh dari : Bukupaket.com
Penyelesaian:Langkah 1:Besar sudut masing-masing vektor terhadap sumbu X yaituθ1 30 , θ2 30 , dan θ3 90 – 30 60 Langkah 2: Untuk vektor D1 6 N dan θ1 30 , diperoleh:D2 4ND1 6 N30 D1 6 · cos 30 6 30 30 x D1 6 · sin 30 6 3D3 8 Ny Untuk vektor D2 4 N dan θ2 30 , diperoleh:D2 4 · cos 30 4 x TrikD2 4 · sin 30 4 2y Untuk vektor D3 8 N dan θ3 (90 – 30 ) 60 , diperoleh:Perhatikan bahwa besarnyasudut harus bergantungterhadap sumbu X.D3 8 · cos 60 8( ) 4xD3 8 · sin 60 8 yLangkah 3:Resultan vektor masing-masing komponen sebagai berikut. Komponen sumbu XRx D1 D2 D3xxx 4 5 Komponen sumbu YR y D1 D2 D3yyy 3 2 4 5 4 Langkah 4:Resultan vektor kedua komponen dirumuskan dengan:R Kilas
Vektor dalam bentuk koordinat cartesius maupun koordinat kutub dapat dicari resultan dan besar sudut yang diapit. Contoh: 1. Diberikan koordinat titik P (2, –3) dan Q (7, 1). Nyatakan kedua koordinat titik tersebut sebagai vektor posisi JJJJG dan JJJG! Penyelesaian; a. JJJJG JJJJG JJJJG b. JJJG JJJJG JJJJG
a. Perkalian Titik (Dot Product) b. Perkalian Silang (Cross Product) 1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor C k A k: Skalar A : Vektor Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A Catatan : Jika k positif arah C searah dengan A Jika k negatif arah C berlawanan dengan A k 3, A C 3A 2. PERKALIAN VEKTOR
Perkalian vektor dengan skalar ( perkalian skalar) Misalkan v vektor dan k scalar ( bilangan real), maka hasil perkalian skalar dari vektor v adalah vektor yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari v dengan k. Jika k 0 , maka kv searah dengan v, dan jika k 0 maka kv berlawanan arah dengan v. 2v v -2v Gambar 4.5.
Fisika untuk universitas 3 Jika sebuah dua buah vektor memiliki besar dan arah yang sama maka vektor tersebut dapat dinyatakan sama. Misalnya vektor pada gambar berikut ini, memilik nilai yang sama dengan vektor . Perhatikan gambar. Jika dua vektor tersebut berlawanan arah, tetapi tetap sejajar maka dapat dinyatakan secara
dengan vektor posisi r1 r(t1), dan pada saat t1 benda di titik 2 dengan vektor posisi r2 r(t2). Perpindahan partikel dalam selang waktu ini dinyatakan dengan vektor r dari titik 1 ke titik 2. Vektor r ini disebut vektor perpindahan: r r f – r i Kecepatan rata-rata adalah rasio perpindahan Δx terhadap selang waktu Δt : rata
Aljabar vektor 1. (2x60”) Operasi aljabar vektor 2. Perhitungan Panjang antara 2 Vektor 3. Perhitungan Sudut antar 2 vektor Bentuk: Kuliah Metode: ceramah, problem based learning Menit Mahasiswa mampu memiliki penguasaan tentang konsep teoretis sains, aplikasi pada pemanfaatan vector dan mendeskripsikanny a dalam perhitungan aljabar vektor
Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor. Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnyaPQ. PQdapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau
1 R. Leni Murzaini/0906577381 Bab 1 Ruang Vektor Definisi Misalkan F adalah field, yang elemen-elemennya dinyatakansebagai skalar.Ruang vektor atas F adalah himpunan tak kosong V, yang elemen-elemennya merupakan vektor, bersama dengan dua operasi. Operasi pertama disebut penjumlahan dan dinotasikan dengan , yang dimaksud dengan setiap pasangan (u, v) di V adalah vektor u v di V. Operasi .
in the Japanese Language Proficiency Test (JLPT)—Level 2, which is the equivalent number of the new words introduced in the four chapters of the regular intermediate Japanese language textbook. It contains new intermediate to low-advanced level grammar . 78 patterns normally found in a grammar textbook. Hirata’s plays, as discussed above, are full of strategies commonly used in oral .
