Ecuaciones Diferenciales - Editorial Patria
ECUACIONESDIFERENCIALES
ECUACIONESDIFERENCIALESAna Elizabeth García HernándezDavid ReichInstituto Politécnico NacionalPRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014GRUPO EDITORIAL PATRIA
mxDirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Estela Delfín RamírezProducción: Gerardo Briones GonzálezDiseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísIlustraciones: Adrian Zamorategui BerberFotografías: ThinkstockphotoDiagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.Revisión técnica: Javier León CárdenasEscuela Superior de Ingeniería Química e Industrias ExtractivasInstituto Politécnico NacionalEcuaciones diferencialesDerechos reservados: 2014, Ana Elizabeth García Hernández y David Reich 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan TlihuacaDelegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro Núm. 43ISBN ebook: 978-607-438-907-4Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obraen cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.Impreso en MéxicoPrinted in MexicoPrimera edición ebook: 2014
Grupo Editorial Patria AgradecimientosGracias a Dios por todas sus bendicionesy alegrías de cada momento de mi vidaAna ElizabethAgradezco a Dios por la vida y sus bendiciones,a mi madre Elsa por impulsarme a superarme en todo momento,a mis hijos por ser mi fuente de inspiración y a mi esposa por su apoyo.David
UNIDADVI2Contenido
PresentaciónSin duda alguna, las ecuaciones diferenciales son de gran utilidad en muchas áreas de las matemáticas,las ciencias, la economía y la ingeniería, lo que significa, en otras palabras, que existen numerososfenómenos y situaciones de la vida diaria, que, a pesar de ser diferentes entre ellos en su evolución alo largo del tiempo, al momento de analizarse comparten, desde el punto de vista técnico, una característica común: todos estos pueden modelarse mediante una importante herramienta matemática: lasecuaciones diferenciales. Por ejemplo, las leyes que determinan: la economía, el movimiento de unpéndulo, el estudio de poblaciones, el análisis de la producción, entre otros fenómenos cotidianos.El principal objetivo de este libro es ofrecer al lector una visión completa del vasto campo de lasaplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales y demostrar la utilidad de las herramientas decálculo y álgebra aprendidas en cursos anteriores. Además, busca que los estudiantes aprendan adistinguir tres etapas para la solución de problemas en matemáticas: La formulación matemática del problema. La resolución del problema matemático. La interpretación de los resultados obtenidos.El texto es totalmente flexible; entre sus principales ventajas destaca el hecho de que el alumno y/oel profesor pueden elegir diferentes estrategias de uso de la información del libro y ni uno ni otro seven forzados a estudiar los contenidos unidad por unidad; es decir, es posible ajustarlo a las propiasnecesidades de cada lector.Los problemas resueltos, que se incluyen a lo largo de todas las unidades, ofrecen al alumno laposibilidad de entender, paso a paso, la solución a dichos problemas, proporcionando las herramientas necesarias para resolver, él mismo, los problemas que se encuentran al final de cada unidad.La obra se divide en cinco unidades. La unidad 1 está dedicada a la modelación matemáticausando ecuaciones diferenciales; mientras que en la unidad 2 se expone el tema de solución deecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden; por su parte, en la unidad 3 se presenta el temade las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior; la unidad 4 está dedicada al estudio dela solución de ecuaciones con series de potencias, y, por último, en la unidad 5 se aborda el tema de lasolución de ecuaciones con transformadas de Laplace. Además se incluye un Apéndice: Formulariode matemáticas.VII
ContenidoUNIDAD 1 Modelación matemática usandoecuaciones diferenciales1.1 Introducción121.2 Conceptos básicos y terminología empleadaen las ecuaciones diferenciales 21.3 Clasificación de las ecuaciones diferencialesde acuerdo con su tipo 31.4 Solución de las ecuaciones diferenciales51.5 Curvas ortogonales111.6 Campo direccional121.7 Isóclinas141.8 Solución numérica de una ecuación diferencial151.9 Modelos matemáticos usandoecuaciones diferenciales 19Problemas para resolverProblema retoReferenciasDirecciones electrónicasUNIDAD 2 Solución de ecuaciones diferencialesordinarias de primer orden26303030312.1 Variables separables322.2 Ecuación de la forma dy f (ax by )dx34IX
Contenido2.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas362.4 Ecuaciones diferenciales exactas45Problemas para resolverProblema retoReferencias646666UNIDAD 3 Ecuaciones diferenciales linealesde orden superior3.1 Introducción67683.2 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenhomogéneas con coeficientes constantes 683.3 Método de solución de la ecuación diferencial linealde segundo orden con coeficientes constantes 683.4 Aplicación de la ecuación diferencial linealde segundo orden: movimiento armónico simple 723.5 Ecuación de Cauchy-Euler753.6 Ecuaciones diferenciales lineales de orden mayorque dos 773.7 Solución de ecuaciones diferenciales linealesde segundo grado no homogéneas 783.8 Solución de ecuaciones diferenciales usandowxMaxima 11.04.0 853.9 Solución de sistemas lineales homogéneos concoeficientes constantes 853.10 Aplicaciones de los sistemas de ecuacionesdiferenciales 923.11 Solución de sistemas de ecuaciones diferencialesusando el CAS wxMaxima 11.04.0 963.12 Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuacionesde primer orden 983.13 Aplicaciones de las ecuaciones diferencialesordinarias de segundo orden 102Problemas para resolverProblema retoReferenciasDirecciones electrónicas 108111112112
Grupo Editorial Patria UNIDAD 4 Solución de ecuaciones con seriesde potencias1134.1 Introducción1144.2 Sucesiones y series1144.3 Series con el sistema algebraico computarizadowxMaxima 11.04.0 1234.4 Series de Laurent1244.5 Operaciones con series de potencias1244.6 Método para resolver ecuaciones diferencialesalrededor de puntos ordinarios, usando seriesde potencias 1284.7 Solución de la ecuación diferencial con puntossingulares 1364.8 Funciones especiales1454.9 Solución de ecuaciones diferenciales usandoel sistema algebraico computacionalwxMaxima 11.04.0 149Problemas para resolverProblema retoReferenciasDirecciones electrónicasUNIDAD 5 Solución de ecuaciones contransformadas de Laplace1511541541541555.1 Introducción1565.2 Variable compleja s1565.3 Función compleja F (s)1565.4 Transformada de Laplace1575.5 Solución de ecuaciones diferenciales1745.6 Aplicaciones179Problemas para resolverProblema retoReferencias190192192XI
ContenidoAPÉNDICE 1 Formulario de matemáticasXII193Fórmulas básicas de álgebra194Exponentes y radicales194Fórmulas básicas de trigonometría194Valores de las funciones de ángulos importantes195Límites195Cálculo diferencial196Cálculo integral196
UNIDAD1Modelación matemáticausando ecuacionesdiferencialesObjetivosDiferenciar los tipos de ecuaciones diferenciales.Conocer y aplicar el método de Euler en la solución de problemas.Comprobar que una función es solución de una ecuación diferencial dada.Construir las isóclinas de una ecuación diferencial.Determinar soluciones particulares a partir de la solución general de una ecuacióndiferencial.Modelar con un problema de valor inicial un problema dinámico.¿Qué sabes?¿Qué es una ecuación diferencial?¿Por qué son útiles las ecuaciones diferenciales?¿Cuántos tipos de ecuaciones diferenciales conoces?¿Para qué sirven las ecuaciones diferenciales en economía?¿Por qué son importantes las ecuaciones diferenciales en la arqueología contemporánea?¿Cómo aplicas las ecuaciones diferenciales en ingeniería?
UNIDAD1Modelación matemática usando ecuaciones diferenciales1.1 IntroducciónEn toda actividad científica contemporánea es imperioso describir los fenómenos naturales en el len guaje de las matemáticas. En este capítulo se analizan fenómenos modelados matemáticamente me diante el uso de ecuaciones diferenciales.También, se estudia la terminología empleada en estas ecuaciones, así como una variedad ampliade aplicaciones de las mismas.1.2 C onceptos básicos y terminologíaempleada en las ecuaciones diferencialesUna de las formas de modelar fenómenos naturales es mediante su caracterización a través de unafunción matemática, digamos G G(x, y, z, t ).A su vez, una de las formas para modelar los cambios de esta función, G, de la posición (x, y, z) ydel tiempo t, es a través de una ecuación en la cual están implicadas la función G G(x, y, z, t ) y susderivadas.A continuación se presenta un ejemplo de caída libre de un cuerpo.Cuando un cuerpo cae en caída libre, actúan sobre él la fuerza de la gravedad y, por ende, la ace leración de la gravedad; entonces, su ecuación de movimiento está dada por:nmgFigura 1.1La ecuación de movimiento del objeto es:nnnF ma mgPor tanto, en el eje vertical, la ecuación es: mg mAlertaLa variable dependientees la que se está derivandoy la variable independientees aquélla con respecto a laque se deriva.Por ejemplo, en laecuación diferenciald 2xdx 3 5x 0 ,dt 2dtla variable dependientees x y la variableindependiente es t. d 2ydv g dt 2dtSabemos que g 9.8 m/s2 es una constante, pero la velocidad es una función del tiempo. En estaecuación se está derivando con respecto al tiempo, por lo que es una ecuación diferencial. Entonces,¿qué es una ecuación diferencial?Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene diferenciales dela variable dependiente y de la variable independiente. Asimismo, es unaigualdad que contiene una o más derivadas.dves una ecuación diferencial; la velocidad depende del tiempo. Por tanto, la solu dtción es v(t ), donde v es la variable dependiente y t la variable independiente:Entonces, g g dv dv gdt dtvtv00) dv g dt v (t v 0 gt
Grupo Editorial Patria x[m]4 0002 4002000a[m/s2]1050Figura 1.2 Posición, velocidad y aceleración en caída libre.Generalizando, podemos decir que una ecuación diferencial es de la siguiente forma:dy y′ f ( x , y )dtd 2y y ′′ f ( x , y , y ′)dt 2.d ny y ( n ) f ( x , y , y ′ .y ( n ) )dt nEn estos casos, y es la variable dependiente y x es la variable independiente.Regresando al ejemplo del cuerpo en caída libre; entonces, al resolver la ecuación de movimientoencontramos la velocidad con respecto al tiempo, es decir cómo varía la velocidad con el tiempo; estoes, la velocidad cambia con respecto al tiempo:v (t ) v 0 gtEn general, ¿para qué sirven las ecuaciones diferenciales? La respuesta general es para modelar problemas de cambio. A través de una ecuación diferencial se pueden modelar cambios de cualquier va riable, por ejemplo, de posición, de temperatura, de población, de capital; en fin, de cualquier cambioque se presente en la vida cotidiana.1.3 C lasificación de las ecuaciones diferencialesde acuerdo con su tipoLas ecuaciones diferenciales que contienen derivadas de una o más variables dependientes con res pecto a una sola variable independiente se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ejemplo:d 2 θ dθ 5( θ π ) 0dt 2 dtLas ecuaciones diferenciales que contienen derivadas parciales de una o más variables dependientescon respecto a dos o más variables independientes se llaman ecuaciones diferenciales parciales. Porejemplo: 2u 2u c2 2 02 t x
UNIDAD1Modelación matemática usando ecuaciones diferencialesEl siguiente diagrama ilustra esta clasificación:EcuacionesdiferencialesTiene derivadasTiene derivadasparciales de una omás variablesOrdinariasParcialesFigura 1.3 Clasificación de acuerdo con el ordenEl orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta contenida en ella.f (x, y, y′) 0Primer ordenEcuacionesdiferencialesf (x, y, y′, y′′) 0Segundo ordenf(x, y, y′, y′′, ., y (n)) 0Orden nFigura 1.4 Clasificación de acuerdo con el gradoEl grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada más alta, siemprey cuando la ecuación diferencial esté dada de forma polinomial. Ecuación diferencial ordinaria linealUna ecuación diferencial lineal es aquella en la que: La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.Cada coeficiente de y y sus derivadas dependen solamente de la variable independiente x, o es unaconstante, es decir tiene la forma:an ( x )d nyd n 1ydy an 1( x ) n 1 . a1( x ) a0 ( x )y F ( x )ndxdxdx Ecuación diferencial ordinaria no linealEste tipo de ecuaciones diferenciales no cumple las propiedades anteriores. Observa los ejemplos ysus características: La ecuación diferencial y ′′ xyy ′ sen x es una ecuación diferencial ordinaria, de orden 2, grado1, no lineal.La ecuación diferencial c 2 2 x 2 y A es una ecuación diferencial parcial, de orden 2, grado 1. t 2 r 2La ecuación diferencial x 3 yy ′′′ x 2 yy ′′ y 0 es una ecuación diferencial ordinaria, de orden 3,grado 1, lineal.
Grupo Editorial Patria La ecuación diferencial y ′′ 2x 3 y ′ ( x 1)y xy 3 es una ecuación diferencial ordinaria, de orden2, grado 1, no lineal.2 u 2uxLa ecuación diferencial 2 es una ecuación diferencial parcial, orden 2, grado 1. yy x 1.4 Solución de las ecuaciones diferencialesLa solución de una ecuación diferencial es una función y f (x), determinada en el intervalo (a, b), consus derivadas sucesivas que satisfacen dicha ecuación. Esto significa que al sustituir dicha función y susderivadas en la ecuación diferencial se obtiene una identidad de x en el intervalo (a, b).Por ejemplo, la función y sen x cos x es solución de la ecuación diferencial y′ cos x - sen x;sustituyendo en la ecuación diferencial, se obtiene:cos x - sen x cos x - sen xLa gráfica de una solución de la ecuación diferencial se llama curva integral de la ecuación.yf (x) sen (x) cos (x)f (x) sen (x)1.5f (x) cos (x)10.5x 9 8 7 6 5 4 3 2 1123456789 0.5 1 1.5Figura 1.5Curva solución y curvas que la componen.Problema resueltoSea la función y 2x3 - 2x2 - 13x 22, comprobar que esta es la solución de la ecuación diferencialy ″ 12x - 4.SoluciónPara la comprobación se toman la primera y la segunda derivadas de y:y′ dyd (2x 3 - 2x 2 - 13x 22) (6 x 2 - 4 x - 13)dx dxy ′′ d 2yd (6 x 2 - 4 x - 13) 12x - 4dx 2dxAsí, con la segunda derivada se obtiene precisamente la ecuación diferencial.
UNIDAD1Modelación matemática usando ecuaciones diferenciales Existencia y unicidadCuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia yunicidad de la solución es de suma importancia, pues, se espera tener una solución, debido a quefísicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, ya que si se repiteel experimento en condiciones idénticas, se deben esperar los mismos resultados, siempre y cuando elmodelo sea determinístico. Por tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarsepor los siguientes conceptos:1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema?2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única?3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos?Soluciones de unaecuación diferencial¿Existe la solución general?¿Esta solución es ra 1.6Entonces, para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:y′ f ( x , y )Por tanto, hay que determinar una función y f (x) que satisfaga la ecuación anterior con una condicióninicial y (x0 ) y0.El Teorema de Cauchy solo garantiza la existencia y unicidad de la solución bajo ciertas condicio nes restrictivas:Teorema de CauchySi f (x, y) es analítica en un dominio que contiene al punto (x0, y0 ), existe una, y solo una, función analí tica f(x) que satisface la ecuación:dyy′ f ( x , y ) con y ( x 0 ) y 0dxSe dice que una función es analítica si es derivable un número infinito de veces; una condición menosexigente para que exista solución y sea única (aunque no necesariamente analítica), es que se satisfagauna condición de Lipschitz.Ahora, supongamos que tenemos una función f (x, y) definida en un dominio del plano xy. Se diceque la función f (x, y ) satisface una condición de Lipschitz (respecto de y) en el dominio si existe unaconstante M 0 tal que:f ( x , y1) f ( x , y 2 ) M y1 y 2para todos los puntos (x, y1) y (x, y2) que pertenezcan al dominio. Entonces, a la constante M se llamaconstante de Lipschitz.Una condición suficiente para que se pueda verificar una condición de Lipschitz es que exista f/ yy esté acotada en el dominio, D. Si es así, efectivamente, se satisface una condición de Lipschitz (res pecto de y ) en el dominio, D y M, que está dada por:M sup( x , y ) D f ( x , y ) y
Grupo Editorial Patria En efecto:f ( x , y1) f ( x , y 2 ) ( y1 y 2 ) f ( x , ξ )donde ξ ( y 1, y 2 ) yAhora, supongamos el dominio D definido del siguiente modo:x a; y by la función f (x, y) dada por:f (x, y ) y 2como f/ y existe y está acotada en el dominio D: f ( x , y ) 2y yM sup( x , y ) D f ( x , y ) 2b yEntonces:f ( x , y 1 ) f ( x , y 2 ) y 12 y 22 y 1 y 2 y 1 y 2 2b y 1 y 2Sin embargo, aunque esta condición (sobre la derivada parcial) es una condición suficiente, no es ne cesaria, como se ve en el ejemplo siguiente:f ( x , y ) x y en x a; y bQue cumple una condición de Lipschitz:f ( x , y1) f ( x , y 2 ) x y1 x y 2 x y1 y 2 a y1 y 2a pesar de que la derivada parcial fno existe en el punto (x, 0). yProblema resuelto¿Existe la solución de la ecuación diferencial y ′ 1con y(x0) 0?y2SoluciónAlertaPara un problema con valorinicial:y ′ f ( x , y ) con y (0) y 0Entonces, si:f ( x, y ) 21 f, - 3yy 2 y fEn los puntos (x0, 0) no se cumplen las condiciones. La función f (x, y ) y su derivada parcialson dis ycontinuas en el eje x, por lo que no hay solución al problema de valor inicial.Problema resueltoLa solución existe si f ( x , y )es una función de valoresreales y continua en unaregión abierta que contengael punto.La solución es única sif ( x , y ) es continuamentediferenciable en la regiónabierta que contiene elpunto.Indicar la región del plano xy en donde existe la solución de la ecuación diferencial y ′ xy e - y .SoluciónLa función f ( x , y ) xy e - y y su derivada parcial f x - e - y son continuas con respecto a x y y en ytodos los puntos del plano xy. Por tanto, la vecindad en la que la ecuación dada tiene solución únicaes todo el plano xy.
UNIDAD1Modelación matemática usando ecuaciones diferencialesLa solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbi trarias obtenidas de las integraciones sucesivas.Problema resuelto¿La función y 4 x 2 C1x C 2 es la solución general de la ecuación diferencial y′′ 8?SoluciónTomemos la primera derivada de y:y′ dyd ( 4x 2 C1x C 2 8x C1dx dx)Ahora, tomemos la segunda derivada de y:y ′′ d 2yd dy d ( 8 x C1 8dx 2dx dx dx)Problema resueltox¿La función implícita x 2 y 2 c es la solución de la ecuación diferencial y ′ - ?ySoluciónDerivando implícitamente x 2 y 2 c , obtenemos:2x 2yDespejandodyse obtiene:dxdy 0dxdy2xx dx2yyLa ecuación x 2 y 2 c representa una familia de circunferencias.2x2 y2 C10 1 2 202Figura 1.7Solución implícitaLa ecuación F ( x , y ) 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial en un intervalo dado I, sidefine una o más soluciones explícitas en I.
Grupo Editorial Patria Problema resuelto¿La función implícita x e xy 0 es la solución general de la ecuación diferencial 1 e xy y e xy xy
3.11 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales usando el CAS wxMaxima 11.04.0 96 3.12 Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden 98 3.13 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 102 Problemas para resolver 108 Problema reto 111 Referencias 112 Direcciones electrónicas 112
tre o de un trimestre de ecuaciones diferenciales ordinarias. La versión completa del libro, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, 7a. edición, se puede utilizar para un curso de uno o dos semestres abarcando ecuaciones diferenciales ordina-rias y ecuaciones diferenciales parciales.
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