El Cociente De Espacios Normados, Un Tema Del Curso .

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?El cociente de espacios normadosAlgunos espacios normados de funciones(un tema del curso “Análisis funcional”)Egor Maximenko,http://www.egormaximenko.comInstituto Politécnico Nacional (México)Escuela Superior de Fı́sica y Matemáticas9 de octubre de 2020Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente1Introducción2El cociente de espacios vectoriales (repaso)3Seminorma en el espacio cociente4¿Cuándo V /W es normado?5Completez¿Cuándo V /W es normado?Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?ObjetivosDado un espacio vectorial V y un subespacio vectorial W ,repasar la definición del espacio cociente V /W .Si V es un espacio seminormado, definir una seminorma en V /W .Determinar, cuando V /W es normado.Demostrar que si V es completo, entonces V /W es completo.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cocientePrerrequisitosEl espacio cociente de espacios vectoriales.Seminorma y pseudométrica.La definición del ı́nfimo.Espacios de Banach.¿Cuándo V /W es normado?Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?AplicacionesDefinición de los espacios Lp que repasaremos en clases futuras:Lp (X , µ) : Lp (X , µ)/Z(X , µ).El concepto de conúcleo (cokérnel) de un operador lineal:coker(A) : codom(A)/ clos(im(A)).Ideales y álgebras cocientes A/J en álgebras de operadores.Un subespacio J del álgebra A se llama ideal siJA A,AJ A.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Definición del conjunto V /WSea V un espacio vectorial y sea W un subespacio vectorial de V .WDefinimos una relación binaria en V :Wa b a b W.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Definición del conjunto V /WSea V un espacio vectorial y sea W un subespacio vectorial de V .WDefinimos una relación binaria en V :Wa bW a b W.Ejercicio. Demostrar que es una relación de equivalencia.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Definición del conjunto V /WSea V un espacio vectorial y sea W un subespacio vectorial de V .WDefinimos una relación binaria en V :Wa b a b W.WEjercicio. Demostrar que es una relación de equivalencia.Ejercicio. Sea a V . PongamosDemostrar que [a]W a W . [a]W : {b V : Wb a}.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Definición del conjunto V /WSea V un espacio vectorial y sea W un subespacio vectorial de V .WDefinimos una relación binaria en V :Wa b a b W.WEjercicio. Demostrar que es una relación de equivalencia.Ejercicio. Sea a V . PongamosDemostrar que [a]W a W .[a]W : {b V : Definición.V /W : {a W : a V }.Wb a}.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?aa W0VWCompletez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cocienteOperaciones lineales en el espacio cocienteWWEjercicio. Sean a, b, u, v V , a u, b v , λ C.Demostrar queWW(a b) (u v ),λa λu.¿Cuándo V /W es normado?Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Operaciones lineales en el espacio cocienteWWEjercicio. Sean a, b, u, v V , a u, b v , λ C.Demostrar queWW(a b) (u v ),λa λu.Definición.V /W(a W ) (b W ) : (a b) W ,λV /W·(a W ) : (λa) W .Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Operaciones lineales en el espacio cocienteWWEjercicio. Sean a, b, u, v V , a u, b v , λ C.Demostrar queWW(a b) (u v ),λa λu.Definición.V /W(a W ) (b W ) : (a b) W ,λV /W·(a W ) : (λa) W .Ejercicio. Demostrar que V /W con estas operaciones es un espacio vectorial.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cocienteOtra descripción de la adición en V /WEjercicio. Sean X , Y V /W . Demostrar queV /WX Y X Y.¿Cuándo V /W es normado?Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Otra descripción de la adición en V /WEjercicio. Sean X , Y V /W . Demostrar queV /WX Y X Y.En otras palabras, si a X , b Y , demostrar que v V:v (a b) W v V: x X y Yv x y .Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Otra descripción de la multiplicación por escalares en V /WCompletez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Otra descripción de la multiplicación por escalares en V /WEjercicio. Sean X V /W , λ C \ {0}. Demostrar queλV /W·X λX .En otras palabras, si a X , demostrar que v V:v λa W v V: x Xv λx .Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Otra descripción de la multiplicación por escalares en V /WEjercicio. Sean X V /W , λ C \ {0}. Demostrar queλV /W·X λX .En otras palabras, si a X , demostrar que v V:v λa WEjercicio. Mostrar que 0V /W· v V: x XW puede no coincidir con 0 W .v λx .Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Definición de seminorma (repaso)Sea V un espacio vectorial. Una función N : V [0, ) se llama seminorma , si(N1) es subaditiva: u, v VN(u v ) N(u) N(v ),(N2) es absolutamente homogénea: u V λ CN(λu) λ N(u).Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Proposición (sobre la seminorma en el espacio cociente)Sea (V , N) un espacio seminormado, y sea W un subespacio vectorial de V .Denotamos por V /W al espacio vectorial cociente. Definimos P : V /W [0, ),P(X ) : inf N(u).u XEntonces P es una seminorma.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Demostración de la propiedad subaditiva.Sean X , Y V /W . Sea ε 0. Elegimos u X , v Y tales queεN(u) P(X ) ,2εN(v ) P(Y ) .2Entonces u v X Y yP(X Y ) N(u v ) N(u) N(v ) P(X ) P(Y ) ε.Hemos demostrado que ε 0P(X Y ) P(X ) P(Y ) ε.Por lo tanto, P(X Y ) P(X ) P(Y ).Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?CompletezDemostración de la propiedad absolutamente homogénea.Sean X V /W , λ C.Si λ 0, entonces λV /W·X W y P(λV /W·X ) 0 λP(X ).Consideremos el caso principal, cuando λ 6 0. En este caso λDado ε 0, encontramos u en X tal que N(u) P(X ) ε λ .V /W·X λX .Entonces λu λX yP(λX ) N(λu) λ N(u) λ P(X ) ε.Por otro lado, encontramos v en λX tal que N(v ) P(λX ) ε. Entonces v /λ X y λ P(X ) λ N(v /λ) N(v ) P(λX ) ε.Esto implica que P(λX ) λ P(X ).

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?EjemploEjercicio. Consideramos V C2 con la norma euclideana k · k2 .Sean"#"#47a : ,b : . 15Consideramos el subespacio W : lin(a) y el plano X : b W .Calcular P(X ).Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Criterio para que el espacio cociente sea normadoProposiciónSea (V , N) un espacio seminormado, y sea W un subespacio vectorial de V .Denotamos por V /W al espacio vectorial cociente. Definimos P : V /W [0, ),P(X ) : inf N(u).u XEntonces P es una norma W es cerrado.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado? . Supongamos que P es una norma. Demostremos que W es cerrado.Sean (ak )k N W N , b V ,lim N(b ak ) 0.k Pongamos X : b W . Entonces P(X ) 0.Como P es una norma, X 0V /W W .Por eso b b W X W .Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado? . Supongamos que W es cerrado.Sea X V /W tal que P(X ) 0, esto es,inf N(u) 0.u XUsando la definición del ı́nfimo encontramos una sucesión (vk )k N X N tal quelim N(vk ) 0,k esto es,lim N(vk 0V ) 0.k Como W es cerrado, X también es cerrado (ejercicio).Luego 0V X , esto es, X W .Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Ejercicio sobre un conjunto cerrado desplazadoEn la demostración anterior aplicamos una afirmación simpĺe que se puede demostraraparte y en una situación un poco más general.Ejercicio. Sea (V , N) un espacio vectorial seminormado y sean A V , u V .Pongamos B u A. Demostrar que si A es abierto, entonces B es abierto.Ejercicio. Sea (V , N) un espacio vectorial seminormado y sean A V , u V .Pongamos B u A. Demostrar que si A es cerrado, entonces B es cerrado.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Corolario: el espacio cociente de espacios normadosCorolarioSea (V , N) un espacio normado, y sea W un subespacio vectorial de V .Denotamos por V /W al espacio vectorial cociente. Definimos P : V /W [0, ),P(X ) : inf N(u).u XEntonces P es una seminorma en V /W .Más aún, P es una norma W es cerrado.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Corolario: la receta canónica para construir un espacio normadoa partir de un espacio seminormadoCorolarioSea (V , N) un espacio seminormado, y seaZ : N 1 [{0}],esto es,Z {u V :N(u) 0}.Definimos P : V /Z [0, ) como antes: P(X ) : inf N(u).u XEntonces (V /Z , P) es un espacio normado.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?CompletezCorolario: la receta canónica para construir un espacio normadoa partir de un espacio seminormadoCorolarioSea (V , N) un espacio seminormado, y seaZ : N 1 [{0}],esto es,Z {u V :N(u) 0}.Definimos P : V /Z [0, ) como antes: P(X ) : inf N(u).u XEntonces (V /Z , P) es un espacio normado.Ejercicio. Para demostrar el corolario, verificar que Z es un subespacio cerrado de V .

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?CompletezCompletez del espacio cocienteProposiciónSea (V , N) un espacio seminormado completo, y sea W un subespacio vectorial de V .Entonces V /W es completo.

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Completez del espacio cocienteDemostración, inicio.Sea (Xk )k N una sucesión regular de Cauchy en V /W :P(Xk 1 Xk ) 12k 1,esto es,infv Xk 1 XkN(v ) 12k 1.Completez

IntroducciónEl cociente de espacios vectoriales (repaso)Seminorma en el espacio cociente¿Cuándo V /W es normado?Completez del espacio cocienteDemostración, inicio.Sea (Xk )k N una sucesión regular de Cauchy en V /W :P(Xk 1 Xk ) Elegimos u1 X1 .12k 1,esto es,infv Xk 1 XkN(v ) 12k 1.Completez