Esercizi Sulla Dinamica Dei Corpi Rigidi A Cura Del Prof. T
Esercizi sulla Dinamica dei Corpi RigidiA cura del Prof. T.Papa1. Una palla da biliardo di raggio R e in quiete sul piano del tavolo da giuoco. Ad essaviene impresso un impulso centrale che la fa muovere con velocit a iniziale v0 . Si calcoli lavelocit a angolare della palla nell'istante in cui il suo moto diventa di puro rotolamento.(v0 0; 5 m s, R 5 cm, I 2mR2 5).Il piano del tavolo presenta attrito, quindi la velocit a decresce secondo la legge:v v0 gt:(1)Dalla seconda equazione cardinale della dinamica si haM gR IIntegrando:d! gR 5 g :dtI2Rd!;dt! 5 gt:2R(2)Nell'istante t in cui si ha puro rotolamento:v(t ) R! (t ):Dunque, combinando le (1) e (2):t 2 v0;7 g!(t ) 5 v0 7; 14 rad s:7R2.Una sbarretta omogenea di massa m 300 gm e lunghezza l e incernierata, senzaattrito, ad un estremo O ed e mantenuta in posizione di equilibrio orizzontale da unamolla ideale, ad asse verticale, di costante elastica k 103 N m, agganciata alla sbarrettanel punto distante 2l 3 dall'estremo O. Si determini il periodo delle piccole oscillazioniverticali della sbarretta. Supponendo che la molla all'equilibrio sia allungata di y, per l'uguaglianza dei momenti delle forze rispetto ad O, si hal 2mg lk y;2 3)3k y mg:4(1)Impartendo un piccolo spostamento verticale y, il sistema inizia ad oscillare. Dalla secondaequazione cardinale dei sistemi rigidi si ha:mgl22d!l k( y y) I :3dt1
Tenuto conto della (1), si ha2d!lky I :3dt(2)Ma detto l'angolo formato dalla sbarretta con l'orizzontale, per piccoli spostamentiverticali si pu o scrivere y 2l 3 ed ! d dt. Ricordando inoltre che il momentod'inerzia della sbarretta rispetto all'estremo e I ml2 3, la (2) diventa,d2 4 k 0:dt2 3 mIl periodo risultar2 3mT 2 !4k 0; 09 s:3. Un sistema articolato e costituito da due masse m1 ed m2 uguali che possono scorreresenza attrito su due guide disposte ad angolo retto, una verticale e l'altra orizzontale. Ledue masse sono incernierate ad un'asta di lunghezza l, anch'essa di massa uguale alle altre,in modo che possano scorrere liberamente sulle guide. Inizialmente il sistema e in quietecon l'asta inclinata di un angolo 0 rispetto all'orizzontale. Lasciato il sistema libero dimuoversi, determinare la velocit a delle due masse quando l'asta raggiunge la posizioneverticale. Le reazioni vincolari, ortogonali alle guide non compiono lavoro quindi va applicato ilteorema di conservazione dell'energia. La massa m2 , scorrendo sulla guida orizzontale haenergia potenziale costante. Posta uguale a zero l'energia potenziale nella con gurazioneverticale e detto l'angolo che durante il moto l'asta forma con l'orizzontale, l'energiapotenziale del sistema e somma dell'energia potenziale di m1 e dell'asta. La prima eU1 mgl(1 sin );la seconda,Sommando si ha:lUa mg (1 sin ):23U U1 Ua mgl(1 sin ):2Durante il moto, l'energia cinetica del sistema e data dalla somma dell'energia cineticadell'asta, che ruota attorno al centro istantaneo di rotazione, e dell'energia cinetica dellemasse m1 ed m2 .Il centro istantaneo di rotazione Q si trova all'intersezione delle normali alle guidecondotte dagli estremi dell'asta, alla distanza l 2 dal suo baricentro. Dunque l'energiacinetica dell'asta risulta1111Ta IQ !2 ml2 !2 ml2 !2 :2236Le masse m1 ed m2 hanno rispettivamente velocit a:v1 !l cos ;v2 !l sin ;2(1)
quindi energie cinetiche:11T1 mv12 m!2 l2 cos2 ;2211T2 mv22 m!2 l2 sin2 :22Per la conservazione dell'energia si ha:33Ta T1 T2 mgl(1 sin ) mgl(1 sin 0 );22ossia:1 22 1 22 213m! l m! l cos m!2 l2 sin2 mgl(sin sin 0 );6222da cui si ricava:!2 9g(sin sin 0 ):4l(2)Ma la velocit a del baricentro dell'asta e2! vC ;lvC !l 2;(3)quindi sostituendo nella (2):vC29 gl(sin 16r)sin 0 );vC 9gl(sin 16sin 0 ):quando l'asta e verticale sin 1, si harvC 9gl(1 sin 0 ):16In ne, tenuto conto delle (1) e (3), le velocit a delle masse risultano:rv1 0 ;v2 2 v C 9gl(1 sin 0 ):4Va osservato che il sistema oscilla: m1 ed asta sulla guida verticale, m2 su quella orizzzontale. Dalla (2), essendo ! , si ha9g 2 (sin 4lSeparando le variabili:sin 0 );)d dtpsin d sin 0rr9g(sin 4lsin 0 ):9gdt:4lQuesta equazione e simile a quella delle grandi oscillazioni del pendolo semplice; essa vaintegrata col metodo indicato in T. Papa; Lezioni di Fisica, Meccanica, pagina 241.4. Un'asta omogenea di massa m 0; 5 kg e lunghezza l 1 m reca agli estremi due massepuntiformi m1 0; 2 kg ed m2 0; 3 kg. L'asta e posta in rotazione con velocit a angolare!0 costante, attorno ad un asse ad essa ortogonale, passante per un punto a distanza x dam1 . L'unica sollecitazione alla quale e soggetta l'asta consiste in una coppia frenante dimomento costante. Determinare il valore di x a nch e si fermi nel minor tempo possibile.Detto M il momento della coppia frenante, dalla seconda equazione della dinamicadei corpi rigidi si ha,M I3d!;dt
dove I e il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse x. Integrando:Mt:I! !0Il tempo di arresto tA si ottiene per ! 0, quindi,tA I!0:MIl momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse x e dato da:I ml2l m122 2x m1 x2 m2 (l x)2 :Perch e l'asta si fermi nel minor tempo possibile, tale momento d'inerzia dev'essere minimo:dI 0;dxInfatti,)x l(2m2 m) 0; 55 m:2(m m1 m2 )d2 I 2(m m1 m2 ) 0:dt25. Una sbarretta omogenea di lunghezza l 60 cm, soggetta alla gravit a, pu o oscillareattorno ad un asse orizzontale passante per un punto P , posto tra il centro O della sbarrettaed il suo estremo superiore. Determinare la distanza x OP per la quale il periodo dellepiccole oscillazioni e minimo.Come noto, il periodo delle piccole oscillazioni del pendolo composto esT 2 doveIP IO mx2 Pertanto,sT 2 IP;mgx1 2ml mx2 :12l2x :12gx g(1)Il valore minimo del periodo si ha annullando la derivata prima della (1) rispetto ad x;dT 0;dxcui corrisponde:)rxmin l2 17; 3 cm;12psl 3Tmin 2 1; 18 s:g 36. Una sbarra omogenea AB di sezione costante, lunghezza l 34 cm e massa m 250 gm e sospesa ad un so tto per mezzo di due molle ideali verticali, di uguale lunghezza ariposo e costanti elastiche k1 50 N m e k2 13 N m, poste agli estremi A e B . Allo scopodi disporre la sbarra in equilibrio orizzontale, viene ssato ad essa un corpo puntiformedi massa m1 750 gm in un punto O compreso tra gli estremi. Determinare:a) la distanza di tale punto dall'estremo A;4
b) la frequenza delle piccole oscillazioni quando il sistema viene spostato verticalmentedalla posizione di equilibrio. A causa delle masse sospese, le molle vengono allungate di una quantit a y0 rispetto allaloro lunghezza a riposo; si ha:(k1 k2 )y0 (m m1 )g;)y0 m m1g 0; 15 m:k1 k2(1)Detta x la distanza OA, l'equilibrio dei momenti delle forze applicate rispetto ad A, fornisce:m1 gx mgl2k2 y 0 l 0)x 1lk y l mg 3; 3 cm:m1 g 2 02La frequenza delle piccole oscillazioni va ricavata considerando l'equazione della dinamicadel sistema. Detto y lo spostamento rispetto ad y0 , si ha:(m m1 ) y (m m1 )ge sostituendo a y0 la (1),Si ricava.(k1 k2 )(y0 y);(m m1 ) y (k1 k2 )y 0:1 2 rk1 k2 1; 26 s 1 :m m17. Un'asta omogenea di sezione costante, lunghezza l e massa m, oscilla attorno ad un asseorizzontale sso, passante per un suo estremo. Determinare l'espressione della reazionevincolare esercitata dall'asse.Le forze applicate all'asta sono il peso e la reazione vincolare. Come sempre vannoconsiderate le equazioni cardinali della dinamica dei corpi rigidi:M I ddt! ;F mg R ;dove R e la reazione vincolare, M il momento risultante delle forze ed I il momentod'inerzia della sbarra rispetto all'asse di rotazione.Dalla prima, assumendo positive la rotazione antioraria e la direzione centripeta, siha:mat mg sin Rt ;Dalla seconda:man mg cos Rn :d!almg sin I I t :2dtl 2Poich e il momento d'inerzia rispetto all'asse di oscillazione e I ml2 3, si haat 3g sin :45
Pertanto:1Rt mg sin ;41Rn mg cos ml!2 :28. Una sbarretta omogenea di massa m, sezione costante e lunghezza l 1; 2 m pu o ruotarein un piano verticale attorno ad un asse orizzontale, privo d'attrito, passante ad unadistanza l 4 da un suo estremo. Assegnata la velocit a angolare massima !max 8 rad s,si determini il valore minimo della velocit a del centro di massa durante il moto.La velocit a angolare massima si ha nel punto pi u basso della traiettoria, dove l'energiapotenziale si assume nulla, mentre la velocit a angolare minima si ha nel punto pi u altodove l'energia potenziale e massima, pertantol 1 21 2I! mg I!min:2 max2 2EssendoI si ottiene:r!min 1 2 1 2 7 2ml ml ml ;12164848 g 2; 83 rad s;7 l2!maxlvC !min 0; 85 m s:49.Un'asta omogenea di sezione costante, lunghezza l e massa M e adagiata, senza altrivincoli, su un piano orizzontale privo di attrito. Inizialmente l'asta e in quiete; quindiviene urtata elasticamente da una pallina di massa m, animata di velocit a v0 ortogonaleall'asta, in un punto distante d dal suo centro. Determinare l'espressione di m a nch edopo l'urto la pallina si arresti.Si ha conservazione della quantit a di moto, del momento angolare e dell'energia cinetica:mv0 MvC ;1 2 1 2 1 2mv Mv I! ;2 0 2 C 2mv0 d I!;(1)essendo vC ed I rispettivamente la velocit a del centro di massa e il momento d'inerziadell'asta rispetto a quest'ultimo, avendo tenuto conto che l'asta, dopo l'urto, assume unmovimento rototraslatorio.Tenendo presente la prima e la seconda delle (1), la terza diventa:mv02m2 v02 m2 v02 d2 ;MI) 1 d2m 1;M Ied, introducendo il momento d'inerzia della asta I Ml2 12, si ottiene:Ml2m 2:l 12d210.Un disco omogeneo di masssa M 4 kg e raggio R e libero di ruotare senza attritoattorno al suo asse, disposto orizzontalmente. Lungo il suo bordo e avvolto, in modoche non possa slittare, un lo ideale alla cui estremit a e ssata una massa m 2 kg.All'istante iniziale il disco e fermo; quindi viene lasciato libero e la massa m cominciascendere mettendo in moto il disco. Determinare l'energia cinetica del disco all'istantet 2 s.Detta T l'energia cinetica del disco, per la conservazione dell'energia, si ha111mgh mv2 T mv2 I!2 :2226(1)
Dalle equazioni cardinali della dinamica,M I ddt! ;F maC ;detta la tensione del lo e proiettando su un asse verticale volto in basso, si hamg maC ;R Id!:dt(2)Poich e il lo non slitta aC !R; quindi la seconda delle (2) fornisce:a I C2 :RSostituendo nella prima:mgaI C2 maC ;R)aC mgmg: m I R2 m M 2(3)Il moto della massa e uniformemente accelerato, dunque la quota h di cui scende e lavelocit a acquistata sono11 mgh aC t2 t2 ;22 m M 2v aC t;(4)pertanto, tenuto conto delle (3) e (4), dalla (1) si ottiene:1 mg1 2mv mgt2T mgh22 m M 2 2Mmg t2 96 J4 m M 2 1mgm2m M 2 2t2In alternativa, la prima delle (3) si pu o scriveremg!RI 2 m!R;Rda cui:! Integrando,! )mgR ! (mR2 I );mgR:mR2 ImgRmgt t:mR2 ImR MR 2Pertanto l'energia cinetica del disco risulta:Mm2 g 21t2 96 J:T I!2 24 (m M 2)211.Una matita di lunghezza l 15 cm, viene appoggiata in posizione verticale su unpiano con attrito. Essa, inizialmente ferma, cade ruotando attorno al punto di contattocol piano. Ricavare velocit a ed accelerazione angolare nell'istante dell'impatto col piano.Per la conservazione dell'energia, detta m la massa della matita, si ha:l 1mg I!2 ;2 27(1)
dove I e il momento d'inerzia della matita rispetto all'estremo poggiato sul piano, pari aml2 3.Dalla (1) si ottiene:r3g 14 rad s:l! Per la seconda equazione della dinamica dei sistemi rigidi,M ddtL ;al momento dell'impatto, si ha:lmg I !;2)! 3g 98 rad s2 :2l12. Sul bordo di una piattaforma circolare di raggio r che pu o ruotare senza attritoattorno al suo asse verticale, e ssato un dispositivo di massa M , munito di una mollaideale di costante k, atto a lanciare un corpo di massa m lungo una traiettoria tangente allapiattaforma. Determinare la velocit a angolare della piattaforma dopo il lancio del corpo,supponendo che inizialmente il sistema sia in quiete e che la molla sia stata compressadi un tratto l. (r 50 cm; M 1 kg; m 200 gm; k 100 N m; l 20 cm; momentod'inerzia della piattaforma I 0; 75 kg m2 )Per la conservazione dell'energia cinetica:1 2 11mv (I Mr2 )!2 k( l)2 ;222(1)per la conservazione del momento angolare, detta v la velocit a del corpo, si ha:mvrda cui si ricava:v Sostituendo nella (1) si ottiene:s! (I(I Mr2 )! 0;(I Mr2 ) !:mrkmr2 ( l)22 Mr )2 mr2 (I Mr2 ) 0; 44 rad s:13. Un disco omogeneo di massa m e raggio R viene fatto rotolare lungo un pianoinclinato. Determinare l'angolo massimo di inclinazione, oltre il quale il moto non e pi udi puro rotolamento sapendo che s 0; 5.Come sempre, il problema va risolto mediante le equazioni cardinali della dinamicadei corpi rigidi,(1)F maC ;M I ddt! ;dove F e la somma delle forze agenti, peso, forza d'attrito e reazione normale, M la sommadei momenti di tali forze, I mR2 2 il momento d'inerzia del disco rispetto al suo asse.Nel caso di puro rotolamento, detta FA la forza d'attrito, proiettando la prima delle (1)lungo il piano inclinato, nel verso discendente, si ha:mg sin FA maC ;8(2)
Inoltre, assunti i momenti delle forze rispetto all'asse del disco, la seconda delle (1) fornisce,FA R I !:Poich e aC !R, quest'ultima diventa:FA R IaC;RaFA I C2 ;R)e sostituendo nella (2) si trova:aC mg sin 2 g sin :m I R2 3Quindi la forza d'attrito vale:a1FA I C2 mg sin :R3Ma per il puro rotolamento deve essere,FA s Rn ;Pertanto,) 13 mg sin s mg cos :tan 3 s 56; 3 :)14.Un corpo puntiforme di massa m percorre, su un piano orizzontale scabro, unatraiettoria circolare di raggio R con velocit a angolare iniziale !0 . Calcolare il numerodi giri n che compie prima di arrestarsi, sapendo che una sbarra omogenea di sezionecostante, lunghezza 2R e massa m uguale, animata della stessa velocit a angolare iniziale,ruotando sullo stesso piano intorno al proprio asse baricentrale, si arresta dopo un giro.Assumere che il coe cienete d'attrito dinamico per il corpo e la sbarra sia lo stesso.Supponendo che sulla sbarra agisca un momento frenate M costante, dovuto alla forzad'attrito mg, il lavoro dissipato e dato daLs M 1 m g R2 1 :Tale lavoro e pari all'energia cinetica iniziale:R1 m g 1 I!02 ;22(1)dove I m(2R)2 12 e il momento d'inerzia della sbarra rispetto all'asse di rotazione.Dalla (1) si trae:Il lavoro dissipato dal corpo risulta1 g 1 R!02 :3(2)Lc m g R 2 ;uguale all'energia cinetica iniziale del corpo;1 m g R 2 mR2 !02 ;2)1 g 2 R!02 :2Dalle (2) e (3) si ricava: 1 1R 2!;3 g 0 2 1R 2!2 g 09) 2 3 ; 1 2(3)
ed essendo 1 2 ,) 2 3 ;n 1; 5 giri:15. Una sbarra omogenea di sezione costante ed un corpo puntiforme, di masse m1 m2 1 kg, sono adagiati senza altri vincoli, su un piano orizzontale liscio. Una molla dicostante elastica k 5 104 N m, compressa di x 7 cm, e disposta ortogonalmente traun estremo della sbarra ed il corpo. Trovare la velocit a v del corpo dopo che la mollaviene sbloccata.Dopo il rilascio della molla, il moto della sbarra e rototraslatorio mentre il moto delcorpo e rettilineo. Detta vC la velocit a del centro di massa della sbarra, si ha conservazionedell'energia,della quantit a di moto,1111k( x)2 I!2 m1 vC2 m2 v2 ;2222(1)m1 vC m2 v;(2)lI! m2 v;2(3)e del momento angolare:dove l e la lunghezza della sbarra.Tenuto conto che m1 m2 , dalle (2) e (3) si ha:v vC ;! 1lmv:2IRicordando che il momento d'inerzia della sbarra rispetto al baricentro e I ml2 12 esostituendo nella (1) si ricava:k( x)2 3mv2 2mv2 5mv2 ;)rv k( x)2 7 m s:5m16.Un carrello, costituito da un telaio di massa M , e da quattro ruote, assimilabili adischi di raggio R e massa m M 16 ognuno, viene lanciato con velocit a iniziale v0 7 m slungo una rotaia che ha la pendenza del 15%. Determinare il tratto percorso dal carrellono al suo arresto. Trascurare ogni altro attrito oltre a quello che determina il purorotolamento.In condizioni di puro rotolamento si ha conservazione dell'energia:11(M 4m)v02 I!2 (M 4m)gh:22(1)Il primo termine rappresenta l'energia cinetica iniziale, comprendente quella del carrelloe delle ruote, il secondo l'energia potenziale assunta nel punto di arresto. Calcolando ilmomento d'inerzia delle quattro ruote rispetto al loro asse e ricordando la condizione dirotolamento:I 4la (1) diventa,1M 2R2 16! v0 R;11 v02:20 gD'altra parte, detta d la proiezione orizzontale del percorso l, si ha11 2 20Mv Mgh16 0 16)h h 0; 15;d) 8; 53 :tan 10
Pertanto:h l sin ;)l h11 v02 18; 54 msin 20 g sin 17.Nella gola di una carrucola di massa m e raggio r ad asse orizzontale, intorno alquale pu o ruotare senza attrito, e diposto un lo ideale che non slitta. Gli estremi diquest'ultimo sono collegati a due molle ideali di costante elastica k, ssate a loro volta adun supporto rigido, come in gura. Determinare il periodo delle oscillazioni e la velocit aangolare massima della carrucola, quando il sistema viene spostato dalla sua posizione diequilibrio. Il sistema ha un solo grado di libert a: l'angolo di rotazione. Per la seconda equazionecardinale della dinamica dei corpi rigidi,M Id!;dtindicando con l'angolo di rotazione, si ha:1d2 2k(r )r mr2 2 ;2dtdover! 4k;m)) 12 m 2k 0:T 2 rm:4kIl moto oscillatorio e la velocit a angolare possono essere espressi dalle equazioni 0 sin !t;) 0 ! sin !t;dove 0 e l'angolo massimo di rotazione della carrucola. Quindi, tenendo conto della (1),la velocit a angolare massima risulta:r!max 0 ! 04k:mDa notare che inevitabilmente, velocit a angolare e pulsazione sono espresse con lo stessosimbolo.Si lascia al lettore risolvere il problema mediante la conservazione dell'energia: cineticaed elastica.18. Una sbarretta omogenea di sezione costante, lunghezza l e massa m, e adagiata senzaaltri vincoli, su un piano orizzontale liscio. Sullo stesso piano una particella, anch'essadi massa m, animata di velocit a v che forma un angolo con la sbarretta, colpisce unestremo di questa aderendovi all'istante. Determinare l'espressione dell'energia cineticadel sistema dopo l'urto.11
Il sistema dopo l'urto anelastico, assume un movimento rototraslatorio piano. Nonagendo forze esterne, tranne la reazione del vincolo, che non compie lavoro perch e ortogonale al piano, l'energia cinetica nale risulta somma di due termini: uno di traslazionedel centro di massa, l'altro di rotazione intorno ad esso. Il centro di massa del sistema,dopo l'urto si trova alla distanza l 4 dall'estremo della sbarretta. Si ha conservazione dellaquantit a di moto e del momento angolare, prima e dopo l'urto:lmv sin IC !;4mv 2mvC ;(1)dove IC e il momento d'inerzia del sistema rispetto al centro di massa. Dalle (1) si trae:vC v2 ;IC m 2 2l25ll m m ml2 :124424Quindi, dalla seconda delle (1),! L'energia cinetica risulta:6vsin :5l 1113T (2m)vC2 IC !2 mv2 1 sin2 :224519.Una ruota, assimilabile ad un disco di massa m 10 kg e raggio r, rotola senzastrisciare su una rotaia orizzontale, trainata da una forza, parallela alla rotaia e applicataal centro di massa, di intensit a che varia nel tempo con la legge F kt, con k 1 N s.Determinare l'istante in cui cessa il rotolamento puro, sapendo che il coe ciente d'attritostatico e s 0; 2.Come in tutti i problemi che riguardano il movimento di un corpo rigido, vannoapplicate le equazioni:F maC ;M I ddt! ;in cui F e la somma delle forze agenti ed M la somma dei momenti di dette forze. Nel casodel problema le forze agenti sono la forza d'attrito FA , opposta alla direzione del moto, ela forza di traino. Proiettando sull'asse orizzontale e assumendo i momenti delle forze edil momento d'inerzia rispetto al centro di massa della ruota, si ha:kt FA
Esercizi sulla Dinamica dei Corpi Rigidi A cura del Prof. T.Papa 1. Una palla da biliardo di raggio R e in quiete sul piano del tavolo da giuoco. Ad essa viene impresso un impulso centrale che la fa muovere con velocit a iniziale v0. Si calcoli la velocit a angolare della palla nell'istante in cui il suo moto diventa di puro rotolamento.
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