STATISTIEK I - Universiteit Gent
STATISTIEK IProf. dr. Jan De NeveAcademiejaar 2019–2020
VoorwoordDe cursus ‘Statistiek I’ is een inleiding tot de statistiek. De statistische techniekendie behandeld worden, vormen de basis voor verschillende vervolgcursussen (zoals Statistiek II, Psychometrie, Onderzoeksmethoden I en II en Toegepaste data-analyse).Kennis in statistiek kan pas verworven worden nadat het duidelijk is waarom statistieknoodzakelijk is. Daarom zijn delen van de cursus opgebouwd rond studies uit de gedragswetenschappen die gebruik maken van statistische analyses om een antwoord tegeven op een onderzoeksvraag. Dit is ook hoe statistiek in de praktijk aan bod komt:ze vormt een ondersteunende, maar essentiële schakel in kwantitatief onderzoek.De hoofdstukken in deze syllabus bouwen verder op elkaar. Voordat je een hoofdstuk kan aanvatten, moet je dus eerst alle voorgaande hoofdstukken bestuderen. Dezesyllabus is quasi gelijk aan de vorige (‘Statistiek I’, academiejaar 2018–2019).Het studeren van enkel deze syllabus is zeker niet voldoende om de inhoud van decursus te beheersen: de oefeningen vormen ook een essentieel onderdeel. Statistischekennis verwerf je door afwisselend theorie te studeren en oefeningen te maken: eerststudeer je een hoofdstuk, vervolgens maak je enkele oefeningen om dan terug hetzelfdehoofdstuk te bestuderen. Deze cyclus herhaal je tot je zowel de theorie als de oefeningenbegrijpt. Het begrijpen van de cursus is het ultieme doel, meer dan het memoriseren ofreproduceren.De syllabus bevat vele figuren en tabellen en die staan vaak in de buurt van de tekstwaar ze besproken worden. Soms kan het echter gebeuren dat ze enkele pagina’s verderstaan. Begrippen die belangrijk zijn om het vervolg van de syllabus te kunnen begrijpen,worden met een uitroepingsteken aangeduid:! Dit is een belangrijk begrip om het vervolg van de syllabus te begrijpen.Sommige figuren maken gebruik van kleuren en zijn zo opgesteld dat ze ook duidelijkzouden moeten zijn in zwart-wit. Via Minerva is het mogelijk om gratis de digitaleversie van de syllabus te raadplegen indien sommige figuren toch onduidelijk zoudenzijn.De syllabus werd zorgvuldig nagelezen, maar bevat zonder twijfel nog een aantal fouten.Deze mogen steeds worden gemeld door te mailen naar Jan.DeNeve@UGent.be.Ik wens de mensen te bedanken die hebben bijgedragen aan de totstandkoming van dezesyllabus: Tim Bal, Marieke Danneels, Heidelinde Dehaene, Jacob Denolf, Maarten DeSchryver, Ines Devlieger, Haeike Josephy, Sanne Roels, Lara Stas, Wouter Talloen,i
Helen Tibboel en Ilse Verhaert. Tot slot wil ik professor Thierry Marchant bedankenvoor het beschikbaar stellen van zijn cursusmateriaal.ii
Inhoudsopgave1 Inleiding1.11.21.31.47Enkele misvattingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.1.1“Met statistiek kan je alles bewijzen” . . . . . . . . . . . . . . .71.1.2“Statistiek is nutteloos voor de gedragswetenschappen” . . . . .91.1.3“Statistiek is enkel wiskunde” . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11De betekenis van statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2.1Een voorbeeld rond intelligentie . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2.2Enkele definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Eigenschappen van variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.3.1Schaalfamilies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.3.2Discrete en continue variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . .19Informatie over de syllabus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.4.1Het softwarepakket R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.4.2Indeling van de syllabus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27iii
IBeschrijvende statistiek282 Visualiseren van data2.129Onderzoek naar raciale voorkeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.1.1De onderzoeksvraag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.1.2De populatie en de steekproef . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.1.3Het IAT-experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312.1.4De data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352.2Cirkeldiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372.3Staafdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.4Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.5Cumulatieve frequentiecurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .522.5.1Ongegroepeerde data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .522.5.2Gegroepeerde data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .572.6Een voorbeeld: grafische voorstelling van raciale voorkeur . . . . . . . .592.7Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .643 Samenvatten van data3.13.266Centrummaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663.1.1Het gemiddelde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663.1.2De mediaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .763.1.3De modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .803.1.4Gevoeligheid aan outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82Spreidingsmaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83iv
3.2.1De variatiebreedte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843.2.2De gemiddelde absolute afwijking . . . . . . . . . . . . . . . . .863.2.3De variantie en de standaarddeviatie . . . . . . . . . . . . . . .893.2.4De interkwartielafstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .923.2.5De spreidingsmaat d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .963.2.6Gevoeligheid aan outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .973.3Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .973.4Een voorbeeld: samenvatten van raciale voorkeur . . . . . . . . . . . .1023.5Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1034 Samenhang tussen twee variabelen4.1105Onderzoek naar intelligentie en hersengrootte . . . . . . . . . . . . . .1054.1.1De onderzoeksvraag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1054.1.2De populatie en de steekproef . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1064.1.3De data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1074.2Bivariate frequentieverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1094.3Spreidingsdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1114.4Maten van samenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164.4.1De covariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164.4.2De correlatiecoëfficiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1194.4.3Kendall’s τ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1224.4.4Lineaire en niet-lineaire verbanden . . . . . . . . . . . . . . . .1244.4.5Gevoeligheid aan outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126v
4.5De regressielijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1264.5.1Formules indien het lineair verband perfect is . . . . . . . . . .1284.5.2Formules indien het lineair verband niet perfect is . . . . . . . .1294.6Samenhang en causaliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1334.7Een voorbeeld: samenvatten en grafisch voorstellen van onderzoek naarintelligentie en hersengrootte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1364.8IIKansrekening1375 De populatie en verdelingsfuncties5.15.25.35.45.5Verdelingsfunctie discrete variabelen138. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1395.1.1De kansverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1405.1.2De cumulatieve verdelingsfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . .140Verdelingsfunctie continue variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1435.2.1De cumulatieve verdelingsfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . .1445.2.2De dichtheidsfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145Populatieparameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1515.3.1Populatiegemiddelde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1515.3.2Populatievariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154Bivariate kansverdelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1565.4.1Discrete variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1575.4.2Continue variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159Nuttige stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160vi
5.65.7IIIBijzondere verdelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1635.6.1De binomiale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1645.6.2De normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1705.6.3De χ2 -verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1795.6.4De t-verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185Inductieve statistiek1866 De steekproevenverdeling1876.1Steekproeftrekking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1876.2Steekproevenverdeling van het gemiddelde . . . . . . . . . . . . . . . .1916.3Steekproevenverdeling van de variantie . . . . . . . . . . . . . . . . . .2016.4Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2037 Betrouwbaarheidsintervallen en statistische toetsen voor het populatiegemiddelde2047.17.2Schatters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2047.1.1Het gemiddelde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2057.1.2De variantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Betrouwbaarheidsintervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2077.2.1X normaal verdeeld en gekende populatievariantie . . . . . . . .2087.2.2X normaal verdeeld en ongekende populatievariantie . . . . . .2167.2.3X niet normaal verdeeld en ongekende populatievariantie . . . .221vii
7.37.4Statistische toetsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2237.3.1Toetsingsgrootheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2247.3.2Beslissingsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2287.3.3Type I en type II fout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2307.3.4Beslissingsregels op basis van het betrouwbaarheidsinterval . . .2327.3.5Eenzijdige en tweezijdige toetsen . . . . . . . . . . . . . . . . .2357.3.6p-waarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2407.3.7Overzicht en opmerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251viii
Hoofdstuk 1InleidingStatistiek is de wetenschap van het verzamelen en interpreteren van dataa , meestal meteen duidelijke onderzoeksvraag voor ogen. Het is echter ook een wetenschap waar veelmisvattingen rond bestaan. We bespreken enkele van die misvattingen in paragraaf 1.1.In paragraaf 1.2 gaan we dieper in op de betekenis van statistiek en we illustreren ditaan de hand van een voorbeeld. In paragraaf 1.3 bespreken we enkele eigenschappen vanvariabelen en introduceren we schaalfamilies. In paragraaf 1.4 illustreren we de softwareR en RStudio en geven we duiding bij de drie delen waaruit de cursus is opgebouwd.1.11.1.1Enkele misvattingen“Met statistiek kan je alles bewijzen”De uitspraak “Met statistiek kan je alles bewijzen” is volkomen incorrect. Echter, doorstatistische analyses verkeerdelijk toe te passen, kan je wel de impressie wekken dat jekan aantonen wat je wil en dit kan nefaste gevolgen hebben.We illustreren dit kort aan de hand van een rechtszaak waar statistisch bewijs eenbelangrijk onderdeel vormde van het proces.Op 4 september 2001 wordt aangifte gedaan van een mogelijks onnatuurlijke dood vaneen baby in het Juliana Kinderziekenhuis (Den Haag) waar verpleegster Lucia de B.aMet data bedoelen we een verzameling van gegevens, vaak afkomstig van personen vb. de leeftijd,het IQ, het gewicht, etc.7
werkzaam is. Haar aanwezigheid bij dit overlijden wordt als verdacht beschouwd en menonderzoekt ook voorgaande sterfgevallen waar Lucia de B. bij aanwezig was. In totaalzijn er 9 onverwachte en medisch onverklaarbare overlijdens. Naar aanleiding hiervanarresteert de politie haar op 13 december 2001. Op 24 maart 2003 wordt ze veroordeeldtot een levenslange gevangenisstraf voor de moord op 4 patiënten en poging tot moordop 3 patiënten. Op 18 juni 2004 wordt ze in hoger beroep zelfs schuldig verklaard aan7 moorden en 3 pogingen tot moord en wordt ze levenslang veroordeeld samen met eenterbeschikkingstellingb .Tijdens het proces was er een gebrek aan harde bewijzen: Lucia de B. werd nooit opheterdaad betrapt en ze heeft altijd ontkend schuldig te zijn. Omwille van dit gebrekaan harde bewijzen werd er onder andere gebruik gemaakt van statistisch bewijs. Eenprofessor strafrecht liet hierover optekenen in een uitzending:In de Lucia de B.-zaak is het statistisch bewijs ontzettend belangrijk geweest. Ik zieniet hoe men zonder dat bewijs tot een veroordeling zou zijn gekomen.Dit statistisch bewijs bestond uit de berekening en interpretatie van de volgende kans:De kans dat een verpleegkundige, werkzaam op de drie ziekenhuisafdelingen, bij toevalbij zoveel van de onverklaarbare overlijdensgevallen en reanimaties op elk van de drieafdelingen aanwezig was, is één op 342 miljoen.Men interpreteerde deze uitspraak als volgt: het is zeer onwaarschijnlijk dat Lucia de B.per toeval aanwezig was bij deze verdachte overlijdens en bijgevolg moet ze wel schuldigzijn. Deze kans werd berekend op basis van meerdere gegevens, waaronder die in Tabel1.1. Verschillende wetenschappers waren het echter niet eens met de berekening eninterpretatie van deze kans omdat o.a. foute gegevens en incorrecte statistische analyseswaren gebruikt. Volgens statisticus Richard Gill ligt de geschatte kans ergens tussenéén op 48 (2%) en één op 5 (20%), wat dus veel groter is dan één op 342 miljoen.Als gevolg van deze verkeerde statistische analyses en andere onregelmatigheden beslistede Hoge Raad der Nederlanden op 7 oktober 2008 dat de zaak moest heropend wordenwegens twijfel aan het bewijs. Terecht, zo bleek: op 14 april 2010 wordt Lucia de B.formeel vrijgesproken. Bij de uiteindelijke uitspraak bleek zelfs dat de onverwachte enmedisch onverklaarbare overlijdens niet het gevolg waren van een misdrijf. In totaalverbleef Lucia de B. meer dan zes jaar onschuldig in de gevangenis als gevolg van,bOmdat de combinatie levenslang en terbeschikkingstelling niet kan, besliste de Hoge Raad inCassatie op 14 maart 2006 om deze terbeschikkingstelling te laten vallen.8
Aantal dienstenmet incidentLucia dienst9Lucia geen dienst0Totaal9Aantal dienstenzonder incident1338871020Totaal1428871029Tabel 1.1: In deze tabel staat het overzicht van diensten en incidenten in het Juliana Kinderziekenhuistussen 1 oktober 2000 en 9 september 2001. Met incidenten wordt het overlijden van een patiënt,een reanimatie of een verdachte gebeurtenis bedoeld. Er zijn in totaal drie tabellen voor verschillendeperiodes en verschillende werkplekken van Lucia de B. gebruikt. Bron: Smeets, I. (2007, 20 juni). Tochstatistiek in de zaak Lucia de B. Geraadpleegd op 2 september, 2015, van http: // www. kennislink.nl/ publicaties/ toch-statistiek-in-de-zaak-lucia-de-bonder andere, foutieve statistische analyses. Voor meer informatie verwijzen we naarBuchanan (2007) en Meester et al. (2006) (deze laatste referentie bevat uitgebreideinformatie over de statistische analyses).Dit voorbeeld geeft aan dat je met foutieve statistische analyses volledig verkeerdebesluiten kan trekken. Gelukkig hebben niet alle foutieve analyses dergelijke drastischegevolgen.1.1.2“Statistiek is nutteloos voor de gedragswetenschappen”De gedragswetenschappen zijn gebaseerd op empirisch onderzoek. Met empirisch wordtbedoeld dat kennis wordt verworven door middel van observaties en metingen. Dezeobservaties en metingen geven aanleiding tot data (gegevens). De data wordenc op hunbeurt vaak statistisch geanalyseerd om zo meer inzicht te verwerven in de processendie bestudeerd worden. In dit opzicht vormt statistiek een belangrijke schakel in detotstandkoming en het begrijpen van vele inzichten binnen de gedragswetenschappen.We geven enkele voorbeelden om dit te illustreren.Het visueel geheugen onderzoekenOm leermoeilijkheden bij kinderen te identificeren, kan het visueel geheugen onderzochtworden via de Benton Visual Retention Test. Elk kind krijgt een afbeelding gelijkaardigaan de bovenste in Figuur 1.1 gedurende tien seconden te zien. Daarna moet hij/zijdeze afbeelding trachten te selecteren uit de vier mogelijkheden onderaan. Dit wordt eenaantal keer herhaald met verschillende afbeeldingen. Vervolgens zal de onderzoeker hetcHet woord ‘data’ is een meervoudsvorm.9
aantal correcte antwoorden scoren per kind. Deze scores vormen dan de basis voor destatistische analyses die dan kunnen onthullen welke kinderen leermoeilijkheden hebben.Figuur 1.1: Een voorbeeldafbeelding (bovenaan) en de meerkeuze mogelijkheden die gebruikt worden inde Benton Visual Retention Test.Impliciete voorkeuren bepalenDe Impliciete Associatie Test (IAT) is een reactietaak die gebruikt wordt om implicietevoorkeuren te meten. Op een computer moeten personen verschillende taken uitvoerenen bij elke taak wordt de reactietijd geregistreerd. Deze tijden bevatten informatie overde impliciete voorkeur en via statistische analyses kunnen we deze informatie beterbegrijpen. In Hoofdstukken 2 en 3 bespreken we dit in detail en illustreren we hoewe impliciete raciale voorkeuren kunnen onderzoeken en hoe statistiek ons hierbij kanhelpen.Intelligentie en hersengrootte bestuderenZijn mensen met grotere hersenen slimmer? Om deze vraag te beantwoorden, zullenonderzoekers de samenhang bestuderen tussen de hersengrootte en het IQ.Hiervoor zal men via intelligentietesten het IQ meten van 40 personen. Vervolgens zalmen van elke persoon de hersengrootte bepalen via een MRI-hersenscan (Magnetic Resonance Imaging). Tabel 1.2 geeft de IQ-scores en hersengroottes weer voor 5 van de40 personen. Via statistische methodes kunnen we meer inzicht krijgen in de samenhang tussen het IQ en de hersengrootte. In Hoofdstuk 4 wordt dit experiment en destatistische analyse in detail besproken.10
IQ-score 5132951.54Tabel 1.2: Illustratie van de IQ-scores en de hersengrootte (uitgedrukt in 1000 pixel) voor 5 van de 40personen.Voorgaande voorbeelden geven aan dat statistiek kan bijdragen tot het beter begrijpen van informatie bekomen door het verzamelen van gegevens (d.m.v. een BentonVisual Retention Test, een IAT, het meten van de hersenen, etc.). Het is daarom nietverwonderlijk dat vele van de inzichten binnen de psychologie en de pedagogische wetenschappen tot stand zijn gekomen door gebruik te maken van statistiek. Een basiskennisstatistiek is dan ook noodzakelijk om deze inzichten te begrijpen en te kaderen.1.1.3“Statistiek is enkel wiskunde”Het is correct dat wiskunde een belangrijke rol speelt binnen de statistiek, maar naastwiskundige kennis zijn ook andere vaardigheden vereist. Statistiek is dus zeker nietenkel wiskunde. In een cursus statistiek komen typisch volgende aspecten aan bod: Wiskunde: De methodes die we zullen bestuderen zijn geschreven in de taal vande wiskunde. Vooral (basis) algebra en kansrekening spelen een prominente rol.Bij deze cursus ligt de nadruk echter op het correct analyseren van data en zullenwe de wiskunde tot een minimum beperken. Software: Om al die wiskundige methodes op data te kunnen toepassen, hebbenwe statistische software nodig. Voorbeelden hiervan zijn R, S-Plus, SPSS enSAS. Wij zullen gebruik maken van het gratis softwarepakket R en de omgevingRStudio. Interpretatie en besluitvorming: Statistiek wordt vaak aangewend om op basisvan gegevens een on
De cursus ‘Statistiek I’ is een inleiding tot de statistiek. De statistische technieken die behandeld worden, vormen de basis voor verschillende vervolgcursussen (zoals Sta-tistiek II, Psychometrie, Onderzoeksmethoden I en II en Toegepaste data-analyse). Kennis in statistiek kan pas verworven worden nadat het duidelijk is waarom statistiek
Rijksuniversiteit Groningen, Technische Universiteit Delft, Technische Universiteit Eindhoven, Tilburg University, Universiteit Leiden, Universiteit Maastricht, Universiteit Twente, Universiteit Utrecht, Universiteit van Amsterdam, Vrije Universiteit Amsterdam en Wageningen Universiteit. Zij hebben medewerking aan het onderzoek verleend door
Examencommissie: Prof. Dr. Ir. Filip de Turck (voorzitter) Universiteit Gent, INTEC Prof. Dr. Ir. Peter Bienstman (promotor) Universiteit Gent, INTEC Prof. Dr. Ir. Joni Dambre (promotor) Universiteit Gent, ELIS Dr. Ir. Thomas Van Vaerenbergh Hewlett Packard Enterprise, USA Prof. Dr. Ir. Guy Van der Sande Vrije Universiteit Brussel
Texts of Wow Rosh Hashana II 5780 - Congregation Shearith Israel, Atlanta Georgia Wow ׳ג ׳א:׳א תישארב (א) ׃ץרֶָֽאָּהָּ תאֵֵ֥וְּ םִימִַׁ֖שַָּה תאֵֵ֥ םיקִִ֑לֹאֱ ארָָּ֣ Îָּ תישִִׁ֖ארֵ Îְּ(ב) חַורְָּ֣ו ם
Statistiek van niet-onderscheidbare deeltjes - Bose-Einstein statistiek voor bosonen (bijvoorbeeld fotonen, mesonen, enz.) - Fermi-Dirac statistiek voor fermionen (bijvoorbeeld elektronen, nucleonen, enz.)
honden een dergelijk sesambeen voorkwam op RX en CT. Interobserver statistiek werd toegepast a.d.h.v. Cohen’s Kappa statistiek. Daarnaast heeft men ook gekeken naar aanwezigheid van elleboog dysplasie en of er een verband was met aanwezigheid van het sesambeen (χ2 statistiek). Bij gemiddeld 8,33% van de honden werd een sesambeen gevonden op RX.
Stedelijke subcentra en korte verplaatsingen: is er een verband? Het geval van de lagere scholen in Vlaanderen Kobe Boussauw Universiteit Gent - Afdeling Mobiliteit en Ruimtelijke Planning, en Vakgroep Geografie kobe.boussauw@ugent.be Georges Allaert Universiteit Gent - Afdeling Mobiliteit en Ruimtelijke Planning georges.allaert@ugent.be
Statistiek. Rapport van de SoHo-overleggroep wiskunde Pagina 52 De afbakening tussen de verschillende onderdelen is uiteraard niet altijd scherp en eenduidig; soms zijn er ‘grijze zones’ en overlappingen. We hebben er voor gekozen om alle eindtermen eenmaal op te nemen in het overzicht en ze te plaatsen zoals de overheid het voorzien heeft. .
RUSSIAN LANGUAGE The Honour course in Russian aims to develop a good active and passive command of correct spoken and written Russian for non-technical purposes, with some appreciation of different stylistic registers. This is done by means of regular obligatory classes in translation to and from Russian, instruction in writing essays in Russian, grammar classes as needed, and classes allowing .
