Mathematik F Ur Informatiker - Univie.ac.at
Gerald TeschlSusanne TeschlMathematik fürInformatikerBand 2: Analysis und Statistik2. AuflageMit 102 Abbildungen123
Gerald TeschlUniversität WienFakultät für MathematikNordbergstraße 151090 Wien, at.univie.ac.at/ gerald/Susanne TeschlFachhochschule Technikum WienHöchstädtplatz 51200 Wien, p://www.esi.ac.at/ susanne/Bibliografische Information der Deutschen BibliothekDie Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.ISSN 1614-5216ISBN-13 978-3-540-72451-3 Springer Berlin Heidelberg New YorkDieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die derÜbersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, derFunksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfallnur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der BundesrepublikDeutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlichvergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.Springer ist ein Unternehmen von Springer Science Business Mediaspringer.dec Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werkberechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutzgesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher vonjedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet.Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgenweder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen.Satz: Druckfertige LATEX-Daten der AutorenHerstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, LeipzigUmschlaggestaltung: KünkelLopka Werbeagentur, HeidelbergGedruckt auf säurefreiem Papier 175/3180 YL - 5 4 3 2 1 0
Für Simon
VorwortBand 2Der vorliegende zweite Band schließt nahtlos an den ersten an und bildet mit diesem eine Einheit. Aufgrund der Stoffauswahl ergibt sich zwar eine weitgehende Unabhängigkeit, aber bestimmte Grundbegriffe aus Band 1 werden natürlich vorausgesetzt. Wir werden Sie aber immer wieder an diese erinnern bzw. auf die entsprechenden Abschnitte in Band 1 verweisen. Insbesondere möchten wir das gleich andieser Stelle tun, indem wir auf das dortige Vorwort verweisen.ComputereinsatzAuch in diesem Band haben wir Beispiele, bei denen uns der Computereinsatz sinnvoll erscheint, mit CAS“ gekennzeichnet und im zugehörigen Abschnitt Mit dem””digitalen Rechenmeister“ mit Mathematica gelöst. Die Notebooks dazu sind wie gewohnt auf der Website zum Buch (URL siehe unten) zu finden. Dort finden Sie auchdie Einführung in Mathematica aus Band 1.Eine Bitte.Auch in Band 2 haben wir fleißig Unkraut gejätet, es sind aber trotz aller Bemühungen sicher noch ein paar unentdeckte Fehler darin. Wir freuen uns daher, wenn Sieuns diese mitteilen. Auch Ihr Feedback und Verbesserungsvorschläge sind herzlichwillkommen. Die Liste der Korrekturen sowie Ergänzungen finden Sie im Internetunter:http://www.mat.univie.ac.at/ gerald/ftp/book-mfi/Zur zweiten AuflageAn dieser Stelle möchten wir uns zunächst für die zahlreichen Rückmeldungen zurersten Auflage bedanken. Große Änderungen hat es nicht gegeben. Dafür aber eineReihe kleinerer Detailverbesserungen auf Anregungen unserer Leserinnen und Leser.
VIIIVorwortDanksagungenUnsere Studentinnen und Studenten haben uns auch für diesen Band mit Hinweisenauf Druckfehler und mit Verbesserungsvorschlägen versorgt. Hervorheben möchtenwir dabei wieder Markus Horehled, Rudolf Kunschek, Alexander-Philipp Lintenhofer, Christian Scholz, Markus Steindl und Gerhard Sztasek, die sich durch besonderslange Listen ausgezeichnet haben. Unsere Kollegen Oliver Fasching, Markus Fulmek,Florian Wisser und Karl Unterkofler haben wieder zahlreiche Abschnitte kritisch gelesen und uns mit wertvollem Feedback unterstützt. Unschätzbar war insbesonderedie Hilfe von Johanna Michor und Wolfgang Timischl. Ihnen allen möchten wir herzlich danken!Die Open-Source-Projekte (vor allem TEX, LATEX, TEXShop und Vim), mit welchen diese Seiten erstellt wurden, sollen nicht unerwähnt bleiben.Wir danken dem Springer-Verlag für die gute Zusammenarbeit, die sich auch beidiesem Band bewährt hat.Viel Freude und Erfolg mit diesem Buch!Wien, im Mai 2007Gerald und Susanne Teschl
InhaltsverzeichnisAnalysis18 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.1 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.1.1 Anwendung: Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.1.2 Anwendung: Verteilte Geheimnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.2 Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .18.3 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.4 Polardarstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.5 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.6 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11121516232833354019 Differentialrechnung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19.1 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19.2 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19.2.1 Anwendung: Ableitungen in der Wirtschaftsmathematik . . . . .19.3 Berechnung von Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19.3.1 Anwendung: Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19.4 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19.5 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49495761636870707320 Differentialrechnung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7720.1 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7720.2 Monotonie, Krümmung und Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8320.2.1 Anwendung: Preispolitik eines Monopolisten . . . . . . . . . . . . . . . 9120.3 Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9220.3.1 Ausblick: Kontraktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9620.3.2 Anwendung: Marktgleichgewicht im Oligopol . . . . . . . . . . . . . . . 9720.3.3 Anwendung: Dioden-Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9820.4 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10020.5 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
XInhaltsverzeichnis20.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10521 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.1 Die Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.2 Bestimmte Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.3 Uneigentliches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.3.1 Ausblick: Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.4 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.5 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11111111712212612812913022 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.1.1 Anwendung: JPEG und MP3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.1.2 Ausblick: Fourierreihen als Orthogonalentwicklung . . . . . . . . . .22.2 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.3 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13513514214214414614723 Differentialrechnung in mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.1 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.2 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.2.1 Ausblick: Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.4 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.5 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14914915315816016616716824 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24.1.1 Anwendung: Parabolspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24.2 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24.2.1 Ausblick: Systeme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . .24.3 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24.4 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171171179181192194195197Statistik25 Beschreibende Statistik und Zusammenhangsanalysen . . . . . . . . . .25.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25.2 Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25.2.1 Anwendung: Benford’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25.3 Kennwerte einer Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25.4 Lineare Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25.5 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25.5.1 Ausblick: Multivariate lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . .201201203206207211215217
InhaltsverzeichnisXI25.6 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21825.7 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22025.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22326 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.1 Zufallsexperimente und Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.2 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.2.1 Anwendung: Geburtstagsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.3.1 Anwendung: Bayes’scher SPAM-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.3.2 Anwendung: Optimale Stoppstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.4 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.5 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22722722923423624224324424424627 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.1 Diskrete und stetige Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.2 Erwartungswert und Varianz einer Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.2.1 Anwendung: Moderne Portfoliotheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.3 Das Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.4 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.5 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25125126127327527927928128 Spezielle diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28.1 Die hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28.2 Die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28.2.1 Anwendung: Moderne Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . .28.3 Die Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28.4 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28.5 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28728729029629930230330429 Spezielle stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29.1 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29.1.1 Anwendung: Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29.2 Die Normalverteilung als Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29.3 Drei wichtige Prüfverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29.4 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29.5 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30930931531531932332532730 Schließende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30.2 Punktschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30.3 Intervallschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30.4 Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30.5 Mit dem digitalen Rechenmeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331331332335348359
XIIInhaltsverzeichnis30.6 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36230.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364AnhangATabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.1 Differentiation und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.2 Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.3 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.4 Quantile der t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.5 Quantile der F -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .367367368369370371BLösungen zu den weiterführenden Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.18 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.19 Differentialrechnung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.20 Differentialrechnung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.21 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.22 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.23 Differentialrechnung in mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.24 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.25 Beschreibende Statistik und Zusammenhangsanalysen . . . . . . . . . . . . .B.26 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.27 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.28 Spezielle diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.29 Spezielle stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.30 Schließende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Verzeichnis der Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
19Differentialrechnung I19.1 Grenzwert und Stetigkeit einer FunktionBetrachten wir die Funktion f (x) sin(x)x . Sie ist an der Stelle x0 0 nicht definiert,es gibt hier also keinen Funktionswert. Wir können uns nun fragen, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn sich das Argument x dem Wert 0 nähert. Man könntevermuten, dass die Funktionswerte dann wegen des Faktors x1 über alle Schrankenwachsen. Andererseits verschwindet aber auch sin(x) an der Stelle x0 0, daherkö
Definition 19.1 Sei f : D R R eine Funktion und x 0 R (muss nicht notwendigerweise im Definitionsbereich D von f liegen). Wenn f ur jede Folge x n D\{x 0} mit x n x 0 gilt, dass f(x n) y 0, dann nennt man y 0 den Grenzwert von f f ur x gegen x 0 und schreibt daf ur kurz: lim x x 0 f(x) y 0. Wie bei Folgen ist y
Mathematik f ur Informatiker Algebraische Strukturen Vorlesungsmanuskript Sommersemester 2012 Janko B ohm 6. Mai 2014
f : Rn D f!Rm; x 7!f(x): Begriffe wie Abbildungsvorschrift, Definitions- und Wertebereich haben dabei die gewohnteBedeutung. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Mathematik II Sommersemester 2014 195 / 415
Formelsammlung Höhere Mathematik von Wilhelm Göhler, Barbara Ralle 17., bearb. Aufl. Formelsammlung Höhere Mathematik – Göhler / Ralle . Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder von Teilen daraus sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages .
Ergebnisse von Mathematik für alleErgebnisse von Mathematik für alle Mathe-Gesamt Punktdiagramm A f(x) ln(x ) B g(x) (x ) (C) k(x) cos(x ) 132 114 These: 4.1 Skizzieren Sie jede Funktion qualitativ in einem eigenen Koordinatensystem
1.FS P V P S P 3.FS VS VS V P S S 7.FS S 6.FS S 2.FS P V P 4.FS5.FS LP P V V Ab-schluss 8.FS9.FS10.F VSP VSPVSP Mathematik 1 FP 7 Mathematik 1 für Wirtschaftsingenieure 4 02 PL 90min 7 Mathematik 2 FP 7 . Werkstofftechnik 2 MO
Periodic boundary conditions in pde2path Tom a s Dohnal1, Hannes Uecker2 1 Institut fur Mathematik, MLU Halle{Wittenberg, D06099 Halle (Saale), tomas.dohnal@mathematik.uni-halle.de 2 Institut fur Mathematik, Universit at Oldenburg, D26111 Oldenburg, hannes.uecker@uni-oldenburg.de April 30, 2018 Abstract We describe the implementation of
www.kit.edu KIT-FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK KIT - Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft Modulhandbuch Mathematik Bachelor 2016 (Bachelor of Science (B.Sc.))
Kilkenny Archaeological Society and the Heritage Council to produce and publish the Kilkenny City Walls Heritage Conservation Plan (2006) was key. That Conservation Plan provides an impetus and a foundation on which a better understanding of the City Walls can be communicated, provides guidance and prioritisation as to the ongoing
