Esercizi Di Analisi Matematica II - UniFI
Esercizi di Analisi Matematica IIIngegneria Ambiente e Risorse — Ingegneria Ambiente e Territorio — Ingegneria Civile — Ingegneria EdileMarco SpadiniEdizione n. 20130205 del 7 febbraio 2013Questa è una raccolta di esercizi proposti agli studenti dei vari corsi da me tenuti. Si tratta di materiale disponibile in rete alla paginawww.dma.unifi.it/ spadini. La copia e la redistribuzione sono proibiti senza l’esplicito consenso scritto dell’autore.
Indice1 Serie1.1 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1132Funzioni reali di due o più variabili reali2.1 Dominio, continuità, derivate parziali etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Estremi locali ed assoluti, insiemi di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .669103Equazioni differenziali3.1 Struttura delle soluzioni, integrale generale, analisi qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Problemi al bordo e misti, altri problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181823304Curve nel piano e nello spazio. Superfici4.1 Sistemi di coordinate e parametrizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Curve descritte implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Problemi geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353536385Integrali curvilinei5.1 Integrali curvilinei rispetto al parametro d’arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Grandezze geometriche e fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Lavoro, campi vettoriali e forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434344476Integrali multipli e di superficie6.1 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3 Integrali di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .535357617Vari7.1 Algebra dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2 Operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .666667ii
Capitolo 1Serie1.1 Serie numericheQuest’ultima serie converge per il criterio del confronto congli integrali impropri. Infatti,Esercizio svolto: Studiare il carattere della seguente serienumerica Xen sin(nπ n/2).n! 3nn 1Z 11x3/2dx 2 .Ne segue che la serie in esame è convergente.Svolgimento. Osserviamo cheEsercizio svolto: Studiare il carattere della seguente serienumerica Xn! 1.n! 2nn 1enen sin(nπ n/2)en .n! 3nn! 3n n!Dunque, per il teorema sulla convergenza assoluta e per ilcriterio del confronto, se la serie Xenn 1n!.Svolgimento. Osserviamo chen! 1 1.n n! 2n(A)limconverge, allora convergerà anche quella in esame. Applichiamo il criterio del rapporto alla serie (A).Sihaen!en 1 lim· 0.limn n 1n (n 1)! enIn particolare esso non è zero. Quindi la serie non può convergere. Dunque, essendo una serie a termini non negativi,necessariamente diverge.Esercizio svolto: Studiare il carattere della seguente serienumerica e calcolarne la somma.Dunque la serie (A) converge. Per quanto detto sopra anchela serie in esame converge. X1.2 nnEsercizio svolto: Studiare il carattere della seguente serien 1numerica!#3 "X1Svolgimento. Osserviamo che.arctan nn 1n 1n1 . 2 nSvolgimento. Applichiamo il criterio del confronto asintotin 1nn co. Per n , si ha 1/ n 0 Allora, usando lo sviluppoPosto an n 1di McLaurin di arctan(x), si vede chen , si haS limn 3arctan 1n1n3/2S N : 1.NXn 1NX1 (an 1 an )2n n n 1 aN 1 a1 Dunque la serie in esame ha lo stesso carattere di X1.3/2nn 1Dunque la serie converge perchè limN S N S 21 .1N.N 112.Inoltre
CAPITOLO 1. SERIE2Esercizio 1.1:convergonoStabilire se le seguenti serie numericheEsercizio 1.8: Determinare per quali valori di α 0 laseguente serie numerica converge: X( 1)n e2n3e2n n2n 12 X( 1)n en3en nn 12[Soluzione:Esercizio 1.2:numericheper α R? XNo.]n 1Studiare il carattere delle seguenti serien 1(n 2)! 1cos( π2 1nα )Converge per 0 α 1 diverge per α 1.]Esercizio 1.9:Si consideri, per α 0, la seguentesuccessione {aαj } j N R { } definita da Xn3 2ne ,n 1n 2 X5n cos(2n)[Soluzione:n2aαj . Xn j 1.1 πn3 cos 2α2 nαEsercizio 1.3: Determinare il carattere delle seguenti serie Stabilire per quali valori di α si ha a j R. Determinare poiper quali, tra questi valori di α, si hanumeriche:aαj 1 nXX2 sin n2 n2lim 1.,ne ,j aαn!jn 1n 1 Xsin(nπ π/2)nn 1[Soluzione:.Esercizio 1.10: Studiare il carattere della seguente serienumerica e calcolarne la somma.Esercizio 1.4: Mediante il criterio del confronto asintotico,stabilire il carattere delle seguenti serie!#3!# " "XX111 coscosnnn 1n 1Esercizio 1.5: Stabilire il carattere della seguente serie.S [Soluzione: Xn 2 Xnα 1 αn 2Esercizio 1.6: Stabilire il carattere delle seguenti serie. 3 XXnn,.2n2n arctan(e )n arctan(n)i 1i 1La prima diverge, la seconda converge.]Converge, S 2/3.]Esercizio 1.11: Studiare, in dipendenza di α 0, il caratteredella seguente serie numerica e calcolarne la somma.Sα Converge.]2.n2 n[Soluzione: Xsin( π2 ne n )n.sin 3 n 2n 31 n2i 1[Soluzione:α 3/2, tutti.][Soluzione:n2 nαn .Converge per α (0, 1] con S α α2 ; diverge per α 1.]Esercizio 1.12:numerica:Studiare il carattere della seguente serie Xn n ( 1)n n2.n3 nn 1Esercizio 1.7: Determinare per quali valori di α R la Suggerimento. Scrivere la serie come la seguente somma: Xseguente serie numerica converge:n n ( 1)n n2 X n n X ( 1)n n2 ,n3 nn3 nn3 n Xn 1n 1n 1sin( π nπ)2n 1n cos( π2 1nα )e mostrare che entrambe le serie addendo convergono.[Soluzione: Converge.]Come cambia il risultato se si considera la serie numerica (aEsercizio 1.13: Studiare il carattere della seguente serietermini positivi) data da:numerica: XXsin( π2 nπ)n n5 ( 1)n n2.π1n3 nn 1n 1 n cos( 2 nα )
1.2. SERIE DI POTENZE3Suggerimento. Scrivere la serie come la seguente somma: Xn n5 ( 1)n n2 X n n5 X ( 1)n n2 ,n3 nn3 nn3 nn 1n 1n 1e mostrare che le serie addendo sono, rispettivamente, divergente econvergente.[Soluzione:Esercizio 1.14:numerica:Diverge.]Per determinare la somma della serie poniamo, per t Ptn[ 1, 1), f (t) n 1 n 1 e consideriamog(t) : t f (t) Si ha, per t ( 1, 1), g′ (t) Studiare il carattere della seguente serie 3 X n2 ( 1)n 5n . ( 1) nn 1Diverge.]Esercizio 1.15: Studiare, in dipendenza dal parametro α R, il carattere della seguente serie numerica: 3 αXn ( 1)3n n2.n3n 2Suggerimento. Scrivere la serie come la seguente somma: 3 3 α Xn ( 1)3n n2 X nα X ( 1)3n n2 ,n3n3n3n 2n 1n 1e studiare il carattere delle serie addendo.[Soluzione:P n 1ln(1 t)tConverge per α 4, diverge per α 4.] X x2( 1)n x2n f() 3n (n 1)3n 01.2 Serie di potenzeEsercizio svolto: Determinare l’insieme D di convergenzadella seguente serie e trovarne la somma.Svolgimento. Poniamo t x23 ,la serie diventat1 t ,dunqueper t , 0 2 3 ln(1 x ) x2 3 1per x (0, 3),per x 0.Esercizio svolto: Sia Fn la successione di Fibonacci definitaper ricorrenza daF0 0, F1 1, Fn 1 Fn Fn 1 per n 1.(1) Determinare il raggio di convergenza r della serieP nn 0 F n x .Pn(2) Trovare una formula per la somma della serie n 0 F n xnel suo dominio di convergenza.(3) Determinare l’insieme di convergenza.Svolgimento. (1) Cerchiamo di calcolare il raggio diconvergenza usando il limiter lim X( 1)n x2n3n (n 1)n 0tn e f (0) 1. Infine,Suggerimento. Osservare che ( 1)5n ( 1)n e poi adattare ilsuggerimento dell’esercizio 1.13.[Soluzione:f (t) Xtn 1.n 1n 1n Fn 1.FnPoniamo, per n 1, γn FFn 1(osserviamo che Fn , 0 pernogni n N). Inoltre, visto che Fn Fn 1 , si osserva che0 γn 1. Cerchiamo di i punti di accumulazione per lasuccessione {γn }n N . Si ha1γn 1 Fn 1Fn Fn 1 1 γn .FnFnAllora se γ è un punto di accumulazione, deve soddisfare2 1 γ 1 γ cioè γ 0 γ 1 e l’equazione γ Xtn11 0.Lesoluzionidiquestaequazionesonodue:2 ( 1 n 15),n 0 ma l’unica di esse che è nell’intervallo (0, 1) è γ 15 1). In definitiva, la successione limitata {γn }n N ha(Il suo raggio di convergenza è 1, inoltre quest’ultima serie 2un unico punto di accumulazione, dunque è convergente edconverge per t 1 e diverge per t 1. In definitiva l’ultiil suo limite vale γ . Quindi il raggio di convergenza dellama serie converge per t [ 1, 1). Quindi la serie assegnataserie data è r γ .Pconverge per quei valori di x tali chen(2) Se x è tale che n 0 F n x converge, poniamo G(x) P nn 0 F n x . Allora x2 [ 1, 1)3 XX xG(x) Fn xn 1 Fn 1 xn ,cioè 0 x 3.n 0n 1
CAPITOLO 1. SERIE4analogamente,nei punti x 1/2, x 1, x 3/2.x2G(x) XFn xn 2 n 0 XEsercizio 1.20: Determinare l’intervallo di convergenzadella seguente serie di potenze:Fn 2 xn .n 2 X(n2 3)2n 1Dunque,5nn 1G(x) xG(x) x2G(x) F0 (F1 F0 )x Xn 2tnDedurne il carattere della seguente serie:(Fn Fn 1 Fn 2 ) xn F1 x x, X(n2 3)2n 15nn 1(x 1)ninfatti Fn Fn 1 Fn 2 0, per costruzione, quando n 2. nei punti x 3/2, x 1, x 1/2.xNe segue che G(x) 1 x x2 è la formula cercata.Esercizio 1.21: Data la serie di potenze(3) Sappiamo già che l’insieme di convergenza è contenu to in [ r, r] e contiene ( r, r). Basta dunque verificare (oX1 n2xn ,escludere) la convergenza per x r. Se la serie fosse con3 n) log n(nn 2vergente in x r allora G( r) sarebbe finito ma così nonè. Ne segue che il dominio cercato è ( r, r).determinarne l’insieme di convergenza.Esercizio 1.16: Dati a, b positivi, sia Ln la successionedefinita per ricorrenza daEsercizio 1.22: Determinare l’intervallo di convergenzadella serie di potenze:L0 a, L1 b, Ln 1 Ln Ln 1 per n 1. Xn n n3 tn 1n 1(Per a 2 e b 1 gli Ln sono detti numeri di Lucas.)PnTrovare una formula per la somma della serie n 0 Ln xnel suo dominio di convergenza e determinare l’insieme diconvergenza.Esercizio 1.17: Trovare l’insieme di convergenza dellaseguente serie di potenze: X3n ln(1/n)n 2n ln(n2 )xn .[ 13 , 31 ).]Esercizio 1.18: Trovare l’insieme di convergenza dellaseguente serie di potenze: X5n nn x .3 3nnnn 5Esercizio 1.19: Determinare l’intervallo di convergenzadella seguente serie di potenze:Dedurne il carattere della seguente serie: Xn2n 1(x 1)n2 35nn 0 X2n sin(2nπ 2)n 1n2 3ntn .Esercizio 1.24: Determinare il raggio di convergenza dellaseguente serie di potenze[Soluzione: Xn2n 1 nt5n2 3n 0Esercizio 1.23: Determinare l’intervallo di convergenzadella seguente serie di potenze: X3 nt .2nn 1Studiarne il carattere nei punti estremi dell’intervallo diconvergenza.Dedurre per quali valori di x converge la serie: X n3 2x 2n2n 1Esercizio 1.25: Determinare l’insieme di convergenza dellaserie x nXn2.n2 log n x 1n 2Suggerimento. Usare la sostituzione t x.x 1
1.2. SERIE DI POTENZE5Esercizio 1.26: Determinare l’insieme di convergenza dellaserie x nXen n2.n2 n log n x 1n 2Suggerimento. Usare la sostituzione t x.x 1Esercizio 1.27: Determinare l’insieme di convergenza dellaserie X( 1)n nx .n(log n)2n 2Esercizio 1.28: Determinare l’insieme di convergenza dellaserie X( 1)nxn .n22(logn)n 2Esercizio 1.29:funzione:Determinare il dominio della seguentef (t) Xen 2nn 1n 1tn ,ed usare il risultato per determinare per quali valori di x lafunzione X x n 2ng(x) n 1n 1risulta definita.Esercizio 1.30: Determinare l’intervallo di convergenzadella seguente serie di potenze: X3n 2n nt ,ln(n 1)n 1ed usare il risultato per determinare per quali valori di x laserie X x n 2nn 1ln(n 1)converge.Suggerimento. Usare la sostituzione x 1 3t.Esercizio 1.31:definita da:Determinare il dominio della funzione ff (x) Xi 13n2 nx .n(n 1)Esercizio 1.32: Determinare il dominio (in R) delle seguentifunzionih(x) : g(x) : X2n n(x2 1)n ,3n2 nn 12 X3n n3( x 1)n .2 n5nn 10Esercizio 1.33: Trovare l’insieme di convergenza dellaseguente serie di potenze: X3n n xn .1 2n nn 5Esercizio 1.34:funzione:Determinare il dominio della seguentef (x, y) X3n x y n ln(x y)n 022n (1 n).Determinare poi i valori di f nei punti (0, 1), (1, 1) e (2, 1) seivi definita.
Capitolo 2Funzioni reali di due o più variabili reali2.1 Dominio, continuità, derivate parziali e direzionali, differenziabilità, piano tangente, etc.mentre1.2Esercizio svolto: Determinare i punti critici della funzionef (x, y) xe(x 1)y x.Svolgimento. Si ha f (x, y) e(x 1)y xye(x 1)y 1 , x(x 1)e(x 1)y .lim f s (x, x2 ) x 0Esercizio svolto: Trovare e disegnare il dominio dellaseguente funzione:p x2 y22g(x, y) 3x x .x y(x 3x y 111111000000000000111111111111e(x 1)y xye(x 1)y 1 0x(x 1)e(x 1)y 0Dalla seconda equazione si ricava che deve essere x 0oppure x 1. Sostituendo x 0 nella prima equazione siottiene y 0. La stessa cosa si ottiene sostituendo x 1.Abbiamo quindi due punti critici: (0, 0) e (1, 0).x0y x Svolgimento. Il Dominio è l’insieme dei punti (x, y) del pianotali che (x y)(x y) 0, x y 0, x(3 x) 0.RisolviamoDominio di g.Esercizio svolto: Consideriamo la funzioneEsercizio svolto: Dato s R, studiare la continuità elimitatezza della seguente funzione x2 y x4 y2 per (x, y) , (0, 0)f s (x, y) sper (x, y) (0, 0)f (x, y) xy x2 y, (x, y) R2Stabilire in quali punti (x, y) R2 il vettore v 101 èparallelo al piano tangente al grafico di f in x, y, f (x, y) .Svolgimento. Il grafico G di f è l’insieme Svolgimento. Osserviamo che (x2 y)2 0 per ogni (x, y) G (x, y, z) R3 : z xy x2 y .1 4222R . Quindi x y 2 (x y ). Allora f s è limitata, infatti perQuindi possiamo scrivere G come con l’insieme di livelloogni (x, y) R2zero della funzione g(x, y, z) z xy x2 y. Allora il vetx4 y21x2 ytore g(x, y, z) è ortogonale al piano tangente a G nel punto , 2x4 y22(x4 y2 )(x, y, z) z, y, f (x, y) . In definitiva, basta richiedere che ilsia nullo il prodotto scalare h g(x, y, z), vi. Si hae dunque f s (x, y) max{1/2, s } per ogni (x, y) R2 . Vediamo che s non può essere scelto in modo tale da* 1 2x y rendere f s continua. Infatti0 hv, g(x, y, z)i 0 , x 1 2x y 1. x2 y11lim(x,y) (0,0) x4 y2I punti cercati sono allora tutti quelli per cui y 2x 1.non esiste. Per verificare questa affermazione osserviamoEsercizio svolto: Consideriamo la funzionechelim f s (x, mx) 0per ogni m R,f (x, y) xy x2 y, (x, y) R2x 06
2.1. DOMINIO, CONTINUITÀ, DERIVATE PARZIALI ETC.Stabilire in quali punti (x, y) R2 il vettore v 101è 7non è richiesto lo studio della natura locale dei punti criticideterminati.Scrivere inoltre l’equazione del piano tangente al grafico dif nei punti (0, 2) e (1, 1).ortogonale al piano tangente al grafico di f in x, y, f (x, y) .Svolgimento. Procedendo come nell’esercizio precedentesi vede che basta richidere che v sia parallelo a g(x, y, z).Questo si ottiene, per esempio, imponendo cheEsercizio 2.7: Determinare il piano tangente al grafico della funzione 1 2x y f (x, y) xe xy y sin x 1 rango 0 x 1 2 nel punto di coordinate (0,0,1).11o, equivalentemente, che il prodotto vettoriale v g(x, y, z) 0. Da una qualunque di queste due condizioni segue che non esistono punti con la proprietà richiesta.Esercizio 2.8:funzioneEsercizio 2.1: Determinare il dominio della funzionep(x y)xf (x, y) p(x y)yEsercizio 2.9:Trovare l’insieme di definizione della seguente funzione di più variabili e rappresentarlograficamenteqe calcolare, se esiste, il piano tangente al grafico nel puntocorrispondente a (x, y) (1, 2).Esercizio 2.2: Determinare il dominio della funzionepf (x, y) xy 1e calcolare, se esiste, il piano tangente al grafico nel puntocorrispondente a (x, y) (1, 2).Calcolare le derivate prime della seguentexe y ye x z1 x2 y2nei punti di coordinate (0, 0, 1) e (1, 0, 0)f (x, y, z) f (x, y) log(2y2 x)[Soluzione:L’insieme di definizione è {(x, y) R2: x y2y2 1}. Graficamente:xEsercizio 2.3: Determinare il dominio della funzionef (x, y) ln ( xy x )e calcolare, se esiste, il piano tangente al grafico nel puntocorrispondente a (x, y) (2, 2).Esercizio 2.4: Trovare e disegnare il dominio della seguentefunzione:pg(x, y) x(x y)e determinare per quali valori di α 0 la derivata direzionale f22,perν , ν22 , nel punto corrispondente a (x, y) (1, α) risulta uguale a 2.Esercizio 2.5: Considerare la funzione:23 xf (x, y) x y y e .Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico nel punto di coordinate 0, 1, f (0, 1) , e calcolarela derivata direzionale di f in (0, 1) nella direzione (1/ 5, 2/ 5).Esercizio 2.6: Determinare il dominio ed i punti critici dellaseguente funzionef (x, y) xy 2x;x 3yil dominio è la parte ombreggiata del piano esterna alla parabola inclusa.]Esercizio 2.10:Trovare l’insieme di definizione della seguente funzione di due variabili e rappresentarlograficamenteq4f (x, y) 2 (x 1)2 (y 1)2 ln(2y x).Esercizio 2.11:Trovare l’insieme di definizione della seguente funzione di più variabili e rappresentarlograficamente 1 e x yf (x, y) py2 x2 1Esercizio 2.12:Trovare l’insieme di definizione della seguente funzione di più variabili e rappresentarlograficamente x yf (x, y) p2y2 1/x
CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI DUE O PIÙ VARIABILI REALI8Esercizio 2.13:Trovare l’insieme di definizione della seguente funzione di più variabili e rappresentarlograficamentef (x, y) p4ln x ln(2y2 x)[Soluzione:L’insieme di definizione è {(x, y) R2 : 0 x 2y2 1}. Graficamente:yx(0, 1)il dominio è la parte ombreggiata del piano escluse le curve tratteggiate.Esercizio 2.14:della funzione.]Determinare il piano tangente al graficoScrivere poi l’equazione del piano tangente al grafico di fnel punto (2, 3, 0) e di g nel punto (3, 2, 0). Determinare edisegnare, inoltre, il dominio di ln(2 x y) xh(x, y) py2 x2Esercizio 2.21: Si consideri la funzioneg(x, y) 2x2 y2 4xe si determini l’insieme di livello C {(x, y) R2 : g(x, y) 2}. Calcolare il piano tangente al grafico di g in ogni(ξ, η) C. Determinare, infine, se esiste, per quale dei puntiappena considerati il piano tangente è parallelo al piano xy.Esercizio 2.22:funzione:f (x, y) f (x, y) xe xy y cos x 1nel punto di coordinate (0,0,-1).Esercizio 2.15: Calcolare le derivate prime della seguentefunzione3x y2 ez z2f (x, y, z) 1 y2nei punti di coordinate (0, 0, 1) e (1, 0, 0)Esercizio 2.16: Calcolare le derivate prime della seguentefunzionef (x, y, z) 3x2 y2 y2 z z2nei pun
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