Révision De La Cinématique Et La Statique Du Solide

Sciences industriellesTD/ Cinématique - StatiqueThéorème de la résultante statique au cylindre (4) en projection sur y3 :R ( 5 4 ) .y3 R ( 3 4 ) .y3 R ( Huile 4 ) .y3 0 0 : pivot glissant d'axe y3R 54 Fv 0 R 54 - Fv R 45 FvQ16. En isolant l’ensemble (E) 5,6 , et en appliquant le théorème de votre choix,déterminer l’effort Fv du vérin.Théorème du moment statique appliqué au point A sur l’ensemble (E) 5,6 :M A ( 4 5) M A ( 0 5 ) M A ( pesanteur 5 ) M A ( pesanteur 6 ) 0 0 : pivotM A ( 4 5 ) M C ( 4 5 ) AC R ( 4 5 ) c.x 5 R 45 .y 3 c.R 45 cos ( ) .z 0 Lh M A ( pesanteur 5 ) M G ( g 5 ) AG mg y 0 d x 5 y5 mg y 03 20 Lh M A ( Pesanteur 5) mg d cos sin z 03 2 M A ( pesanteur 6 ) M G P ( g 6 ) AG P Mg y0 H.x 5 x G x 0 yG y0 Mg y00 M A ( pesanteur 6 ) Mg H.cos x G z 0On peut écrire : Lh c.R 45 cos ( ) .z 0 mg d cos sin z 0 Mg H.cos x G z 0 03 2 , la relation (3) : c. .cos( ) y(t )R 45 FvOn a :𝑦(𝑡) (𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2 (𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑎)2, y (t ) 1 c.cos( ) y (t )c . ( a cos b sin )y (t )( b c cos ) ( c sin a )c ( a cos b sin )2et2Donc :( b ccos ) ( csin a )c ( a cos bsin )2Fv CPGE / MP - PSI2 L h mg dcos sin MgH.cos x G 3 2 - Page: 10/12 -Prof : A.ELFARH

Sciences industriellesTD/ Cinématique - StatiqueQ17. Déterminer le couple moteur Cm. Expliquez la démarche (l’isolement et le théorèmeappliqué).Théorème du moment statique appliqué au point D sur (6) :M D ( Moteur 6 ) M D ( 5 6 ) M D ( pesanteur 6 ) 0 Cm z 0 ( 0 : pivot) DG p Mgy0C m .z0 xG x0 yG y0 Mgy0 0 CPGE / MP - PSICm .z0 MgxG .z0 0 - Page: 11/12 -𝑪𝒎 𝑴𝒈𝒙𝑮Prof : A.ELFARH

Cinétiquedu solideProposé par Mr : A. OUIKASSICPGE / MP - PSI- Page: 12/12 -Prof : A.ELFARH

Classe : Prof. : Ouikassi1. Masse d’un système matériel1.1. DéfinitionLa masse mD d’un système matériel D est définie par la relation : mD ρ(M) . dvDM DdvM M : point courant du système matériel D ; ρ(M) désigne la masse volumique au voisinage du point M (Kg.m ) ; dv : le volume élémentaire autour du point M (m ) ; mD en Kg.x-331.2. RemarqueSi on assimile D à une surface ou une ligne, on raisonne de la même manière en utilisant la masse surfacique ou linéique.1.3. Rappels utiles1.4. Principe de la conservation de masse1-4.a. EnoncéUn système matériel D est à masse conservative si toute partie d de D est à masse constante au cours du temps.1-4.b. Conséquences Soit f une fonction scalaire définie relativement à la mesure de masse dm. On a le résultat suivant :𝐝𝐝[ 𝐟 (𝐌) ] . 𝐝𝐦[ 𝐟 (𝐌) . 𝐝𝐦 ] 𝐝𝐭𝐝𝐭𝐃 𝐃Cette relation reste vraie dans le cas d’une fonction vectorielle.2. Centre de gravité (Centre d’inertie)D2-1. DéfinitionLe centre de gravité du système matériel D est le point G tel que :GxxM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐆𝐌 . 𝐝𝐦 ⃗𝟎𝐌 𝐃1

2-2. RemarqueSoit A point quelconque : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐀𝐌 . 𝐝𝐦 𝐦𝐃 . ⃗⃗⃗⃗⃗𝐀𝐆𝐌 𝐃2-3. Application :Déterminer le centre de gravité d’une portion de disque creux d’angle 𝜋/2, homogène de rayon intérieur r et extérieur R etde masse m.Résultat : ⃗⃗⃗⃗⃗𝑂𝐺4 (𝑅 3 𝑟 3 ) 3 𝜋 (𝑅 2 𝑟 2 )(𝑥 𝑦 )2-4. Propriétés Si le système matériel D possède un élément de symétrie matérielle alors G appartient à cet élément. SiD nSi1avec : Si solide de masse mi et de centre de gravité Gi ;G : centre de gravité de D ;A : point quelconque ;nAlors :AG m AGiiRelation du barycentre1n mi12-5. Application :Le solide (S) est formé de deux plaques planes homogènes (S1) et (S2) de même matériau et d’épaisseur négligeable.Déterminer la position de son centre de gravité.𝑧S1𝑦OS2𝑥⃗⃗⃗⃗⃗Résultat : 𝑂𝐺 12 (𝑏 𝑐)(𝑏 2 𝑥 𝑐 2 𝑧 )2-6. Vitesse et accélération du centre de gravitéSoit D système matériel de centre de gravité G, et O origine d’un repère R. On a :⃗ (𝑮/𝑹) ⃗𝒎𝑫 . 𝑽𝑽. 𝒅𝒎𝑴 𝑫 (𝑴/𝑹) mD . ⃗⃗⃗⃗⃗OG ⃗ (𝐆/𝐑) ⃗𝐦𝐃 . 𝚪𝚪. 𝐝𝐦𝐌 𝐃 (𝐌/𝐑)Démonstration :⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . dm OMM Det ddd⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . dm ] mD . [ ⃗⃗⃗⃗⃗[mD . ⃗⃗⃗⃗⃗OG]R [ OMOG ]R dtdtdtM DR M Dd⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] dm[ OMRdt2

⃗ (G/R) d′ où : mD . V⃗ (M, VD/R) . dmM DEt on a aussi : mD . Γ(G/R) M D Γ(M, D/R) . dmRemarque :nSiD nS i , alors : V (G / R ) n mi V (Gi / R )11etn m (G / R ) i1 m i( Gi / R )1n mi12-7. Théorèmes de GULDINPremier théorème EnoncéL’aire de la surface engendrée par la rotation d’une courbe plane et homogène, autour d’un axe de son plan ne la traversantpas, est le produit de la longueur de la courbe par le périmètre du cercle décrit par son centre de gravité. IllustrationCG rG𝑺 𝟐 𝝅 𝒓𝑮 𝓵 Avec : S est l’aire de la surface, et ℓ longueur de CApplication :Déterminer le centre de gravité d’un fil demi-circulaire homogène, de rayon R, et de masse m.⃗⃗⃗⃗⃗Résultat : 𝑂𝐺 2𝑅𝜋𝑦𝛥Deuxième théorème EnoncéLe volume engendré par la rotation d’une surface plane et homogène, autour d’un axe de sonplan ne la traversant pas, est le produit de l’aire de la surface par le périmètre du cercle décritpar son centre de gravité : 𝑽 𝟐 𝝅 𝒓𝑮 𝑺rG𝒮𝐺xApplication :Déterminer le centre de gravité d’un demi-disque homogène, de rayon R et de masse m.3

Résultat : ⃗⃗⃗⃗⃗𝑂𝐺 4𝑅3𝜋𝑦3. Opérateur d’inertie d’un solide S en un point Q3-1. DéfinitionL’opérateur d’inertie du solide S au point Q quelconque, appliqué au vecteur u a pour expression :𝑱(𝑸, ⃗ )𝑺, 𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑸𝑴 (𝒖𝑸𝑴 ) . 𝒅𝒎𝑴 𝑺Remarque :Cet opérateur est linéaire et symétrique ; il est alors représentable par une matrice 3x3 symétrique, notée ̿𝑰(𝑸,𝑱(𝑸,⃗)𝑺, 𝒖 𝑰̿(𝑸,𝑺)telle que:⃗𝑺) . 𝒖Cette matrice est appelée : Matrice d’inertie du solide S au point Q.3-2. Expressions des éléments de la matrice d’inertieDans la base orthonormée directe⃗𝑘⃗𝑄𝑀 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑧 𝑘(i , j , k ) on pose : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗zOn a alors :𝟐𝟐 𝑺(𝒚 𝒛 ). 𝒅𝒎̿𝑰(𝑸,𝑺) [ 𝑺 𝒙𝒚 . 𝒅𝒎 𝑺 𝒙𝒚 . 𝒅𝒎 𝑺 𝒙𝒛 . 𝒅𝒎 𝑺(𝒙𝟐 𝒛𝟐 ). 𝒅𝒎 𝑺 𝒚𝒛 . 𝒅𝒎 𝑺 𝒚𝒛 . 𝒅𝒎 𝑺(𝒙𝟐 𝒚𝟐 ) . 𝒅𝒎 𝑺 𝒙𝒛 . 𝒅𝒎 SMxQ]y𝑗x(𝒊, 𝒋, ⃗𝒌 )𝒊Démonstration :Dans une base orthonormée directe ( 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ), la matrice d’inertie du solide S au point Q a pour expression :̿𝑰(𝑸,𝐽(𝑄,𝐽(𝑄,𝑆, 𝑖 ) 𝑺) [ ] (𝒊,𝑆, 𝑖 )𝐽(𝑄,⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 (𝑖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 ) . 𝑑𝑚 𝑀 𝑆𝑆, 𝐽 )⃗ )𝒋, 𝒌𝐽(𝑄,𝑆, ⃗𝑘 )𝑄𝑀2 . 𝑖 ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 𝑖 ) . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 ] . 𝑑𝑚[ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑀 𝑆On pose : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑧 𝑘⃗Donc : 𝐽(𝑄,𝑆, 𝐼 )⃗ ) ] . 𝑑𝑚 𝑀 𝑆[ (𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ) 𝑖⃗ 𝑥 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 ] . 𝑑𝑚 𝑀 𝑆[ (𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ) 𝑖 𝑥 . (𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑧 𝑘𝐽(𝑄,𝑆, 𝐼 ) [ 𝑀 𝑆(𝑦 2 𝑧 2 ) 𝑑𝑚] 𝑖⃗ - [ 𝑀 𝑆 𝑥 𝑦 .𝑑𝑚] j⃗ [ 𝑀 𝑆 𝑥 z .𝑑𝑚] ⃗⃗k4

𝑀 𝑆(𝑦 2 𝑧 2 ) 𝑑𝑚 ̿𝑰(𝑸,On déduit alors que :𝑺) [𝐽(𝑄,De même :𝑆, 𝑗 ) 𝑀 𝑆 𝑥 𝑦 .𝑑𝑚 𝑀 𝑆 𝑥 z .𝑑𝑚 ](𝒊,𝒋, ⃗𝒌 ) 𝑀 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 ( ⃗𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 ) . 𝑑𝑚 𝑀 𝑆[ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀2 . 𝑗 ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 𝑗 ) . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 ] . 𝑑𝑚 [ (𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ) 𝑗 𝑦 . (𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑧 𝑘⃗ ) ] . 𝑑𝑚𝑀 𝑆Donc : 𝐽(𝑄,𝑆, 𝑗 ) [ 𝑀 𝑆 𝑥 𝑦 . 𝑑𝑚] ⃗𝑖 [ 𝑀 𝑆(𝑥 2 𝑧 2 ) 𝑑𝑚] ⃗𝑗 [ 𝑀 𝑆 𝑦 z .𝑑𝑚] ⃗⃗𝑘⃗𝐽(𝑄,𝑆, ⃗𝑘 ) [ 𝑀 𝑆 𝑥 𝑧 . 𝑑𝑚] ⃗𝑖 [ 𝑀 𝑆 𝑦 z .𝑑𝑚] ⃗𝑗 [ 𝑀 𝑆(𝑥 2 𝑦 2 ) 𝑑𝑚] ⃗⃗𝑘⃗Et :On obtient finalement :𝑰̿(𝑸,𝑺) 𝑺(𝒚2 𝒛2 ). 𝒅𝒎 𝑺 𝒙𝒚 . 𝒅𝒎 𝑺 𝒙𝒛 . 𝒅𝒎 𝑺 𝒙𝒚 . 𝒅𝒎 𝑺(𝒙2 𝒛2 ). 𝒅𝒎 𝑺 𝒚𝒛 . 𝒅𝒎 𝑺 𝒚𝒛 . 𝒅𝒎 𝑺(𝒙2 𝒚2 ) . 𝒅𝒎] [ 𝑺 𝒙𝒛 . 𝒅𝒎𝑰̿(𝑸,Cette matrice est habituellement notée : 𝑺)⃗ )(𝒊, 𝒋, 𝒌𝑨 𝑭 𝑬 [ 𝑭 𝑩 𝑫] 𝑬 𝑫 𝑪 (𝒊,⃗ )𝒋, 𝒌Définitions :⃗ ) respectivement (en Kg.m2) ;A, B et C sont les moments d’inertie de S autour des axes (𝑄, 𝑖 ), (𝑄, 𝑗 ) 𝑒𝑡 (𝑄, 𝑘D, E et F sont les produits d’inertie (en Kg.m2). Application :Soit une tige rectiligne (T) de longueur L, de dimensions transversales négligeables, homogène, de masse m et de centred’inertie G. R(G, x, y , z ) est un repère orthonormé direct, dont l’axe (G, y ) est confondu avec l’axe de la tige (T).Déterminer la matrice d’inertie de (T) au point G et relativement à la base ( xA 0 0avec : 𝐴 0 0]0 0 A (x⃗,y⃗,z⃗ )̿Résultat : I(G,T) [0, y , z ).𝑚 𝐿2123-3. Base principale d’inertie et Moments principaux d’inertieLa matrice d’inertie est symétrique, elle est alors diagonalisable.C'est-à-dire qu’il existe une base orthonormée directe̿𝑰(𝑸,𝑺)(x p , y p , z p ) telle que :𝑨𝑷 [𝟎𝟎𝟎𝑩𝑷𝟎𝟎𝟎]𝑪𝑷 (𝒙⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑷⃗⃗⃗⃗⃗𝒚𝑷 , ⃗⃗⃗⃗𝒛𝑷 )Ap, Bp et Cp sont appelés : moments principaux d’inertie ;Les axes (Q , x p ) ,La base(Q , y p ) et (Q , z p ) sont appelés : axes principaux d’inertie.(x p , y p , z p ) est appelée : base principale d’inertie.5

3-4. Effet de la symétrie matérielle d’un solide sur la forme de sa matrice d’inertie1er cas : S possède un plan de symétrie matérielle(Q, i, j ) plan de symétrie matérielle de S.QOn alors :̿𝑰(𝑸, 𝑺)𝑨 𝑭 𝟎 [ 𝑭 𝑩 𝟎]𝟎𝟎 𝑪 (𝒊,𝒋, ⃗𝒌 )Démonstration :Le plan (Q, 𝑖 , 𝑗 ) est plan de symétrie matérielle du solide S. On peut écrire : 𝑆 𝑆𝑠 𝑆𝑖 , avec 𝑆𝑠 𝑆𝑖𝑥𝑠𝑴𝒔 [𝑦𝑠 ]𝑧𝑠 (𝑄,⃗𝒌⃗ )𝑖, 𝑗, 𝑘Ssx𝒋Qx𝒊𝑥𝑖𝑴𝒊 [𝑦𝑖 ]𝑧𝑖 (𝑄,Si𝑖, 𝑗, ⃗𝑘 )𝑥𝑠 [ 𝑦𝑠 ] 𝑧𝑠 (𝑄,⃗ )𝑖 𝑗, 𝑘 𝐷 𝑺 y z . 𝑑𝑚 𝑺𝒔 𝑦𝑠 𝑧𝑠 . 𝑑𝑚 𝑺𝒊 𝑦𝑖 𝑧𝑖 . 𝑑𝑚 𝑺𝒔 𝑦𝑠 𝑧𝑠 . 𝑑𝑚 𝑺𝒔 𝑦𝑠 𝑧𝑠 . 𝑑𝑚 0 𝐸 x z . 𝑑𝑚 0𝑺Donc : ̿𝐼(𝑄,𝑆)𝐴 𝐹 [ F 𝐵0000]𝐶 (𝑖,⃗ )𝑗, 𝑘Conclusion : si S possède un plan de symétrie matérielle alors l’axe à ce plan est axe principald’inertie. Remarque : Si S possède deux plans de symétrie matérielle perpendiculaires, alors sa matriced’inertie est diagonale. Application :Soit un disque (D) du plan (G, x⃗,y⃗ ) de centre d’inertie G, de rayon R, d’épaisseur négligeable devant son rayon et de masse m.Déterminer la matrice d’inertie de (D) au point G et relativement à la base (x⃗,y⃗ , z).6

C/2̿Résultat : I(G,D) [ 000𝐶/200avec : 𝐶 0]C (x⃗,y⃗,z⃗ )𝑚 𝑅222ème cas : S est une plaque plane𝑥𝑴 [𝑦 ]0 (𝑄,On alors :𝑰̿(𝑸, 𝑺)𝑨 𝑭𝟎 [ 𝑭 𝑩𝟎 ]𝟎𝟎 𝑨 𝑩 (𝒊,⃗ )𝑖, 𝑗, 𝑘xQ⃗ )𝒋, 𝒌Démonstration :Le solide S est contenu dans le plan (Q, 𝑖 , 𝑗 ) , donc : 𝐴 𝑺(𝒚2 𝒛2 ). 𝒅𝒎 𝑺 𝑦 2 . 𝑑𝑚 𝐵 𝑺( 𝒙2 𝒛2 ) . 𝒅𝒎 𝑺 𝒙2 . 𝑑𝑚 𝐴 𝐵 (𝑥 2 𝑦 2 ). 𝑑𝑚 𝐶𝑆 𝐸 𝑺 𝑥 𝑧 . 𝑑𝑚 0Donc : 𝐷 𝑺 𝑦 𝑧 . 𝑑𝑚 0̿𝐼(𝑄,𝑆)𝐴 𝐹 [ F 𝐵0000 ]𝐴 𝐵 (𝑖,⃗ )𝑗, 𝑘Conclusion : si S est une plaque plane alors l’axe à son plan est axe principal d’inertie, et lemoment d’inertie par rapport à cet axe est la somme des deux autres moments d’inertie.3ème cas : S possède un axe de révolutionQOn a alors : 𝑰̿(𝑸,𝑺)𝑨 𝟎 𝟎 [ 𝟎 𝑨 𝟎]𝟎 𝟎 𝑪 ( , ,⃗ )𝒌Démonstration :̿Les plans (Q, 𝑖 , 𝑘⃗ ) et (Q, 𝑗 , 𝑘⃗ ) sont plans de symétrie matérielle du solide S, Donc : 𝐼(𝑄,̿Les axes (Q, 𝑖 ) et (Q, 𝑗 ) jouent le même rôle pour S, Donc : 𝐼(𝑄,𝑆)̿Tous les axes passant par Q jouent le même rôle pour S, Donc : 𝐼(𝑄,𝐴 [00𝑆)𝐴 [000 0𝐴 0]0 𝐶 (𝑖,0𝐴0𝑆)𝐴 0 [0 𝐵0 000]𝐶 (𝑖,𝑗, ⃗𝑘 )𝑗, ⃗𝑘 )00]𝐶 ( , ,⃗𝑘 )7

3-5. Application :Soit un cylindre creux (C), de rayon extérieur R et de rayon intérieur r, de hauteur h, homogène et de masse m, de centred’inertie G, et d’axe de révolution matérielle (G, z ).Déterminer la matrice d’inertie de (C) au point G et relativement à la base ( xA̿Résultat : I(G,C) [000𝐴0, y , z ).0𝑅2 𝑟 2avec : 𝐴 𝑚 ( 4 0]C (x⃗,y⃗,z⃗ )ℎ212);𝐶 𝑚𝑅2 𝑟 223-6. Matrice d’inertie des solides usuels :Voir Annexe 23-7. Matrice d’inertie d’un ensemble de solidesSoit D nS i , on a alors : 𝑰̿(𝑸,𝑫) 𝒏𝟏 𝑰̿(𝑸,𝑺𝒊 )13-8. Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axeSOn considère un solide S et Q point quelconque : est une droite passant par Q et de directeur .Le moment d’inertie de S par rapport à est :𝑱(𝑺/𝚫) ⃗𝜹𝒕 . [𝑰̿(𝑸, 𝑺) . ⃗𝜹] ⃗𝜹Démonstration :Q𝐽 𝑆 / ⃗⃗⃗⃗⃗⃗MH 2 . dmM SOn a :22⃗⃗⃗⃗⃗⃗MH 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗QM 2 – ⃗⃗⃗⃗⃗QH 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗QM 2 – ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 . 𝛿 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗QM 2 . 𝛿 2 ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 . 𝛿 )⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 𝛿 ( 𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝛿 ) 𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] 𝛿 . [ 𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝛿 𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ] 𝛿 . [ QM𝛿On injecte cette expression dans la relation précédente :𝐽 𝑆 / ⃗⃗⃗⃗⃗⃗MH 2 . dm 𝛿 . [ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 (𝛿 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 ) ] . dm 𝛿 . [ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 (𝛿 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 ) ] . dmM S𝐽 𝑆 / 𝛿 .M S𝑱(𝑸,M S⃗ )𝑺, 𝒖D’où l’on tire : 𝐽 𝑆 / 𝛿 . [ 𝑰̿(Q, 𝑺).𝛿 ]3-9. Théorème de HUYGENSS : solide de centre de gravité G.Q : point quelconque.8

̿𝑰(𝑸,Le théorème de HUYGENS s’écrit : ̿𝑰(𝑮,𝑺)𝑺) ̿𝑰(𝑸,𝑴𝒔 , 𝑮)Matrice d’inertie, au point Q, dela masse de S localisée en G Démonstration :Pour un vecteur ⃗⃗⃗𝑢 quelconque : 𝐽(𝑄,⃗ )𝑆, 𝑢⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 (𝑢𝑄𝑀 ) . 𝑑𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , on aura :Avec : 𝑄𝑀𝐽(𝑄,𝑀 𝑆𝐽(𝑄,⃗ )𝑆, 𝑢⃗ )𝑆, 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝐺 ( 𝑢𝑄𝑀 ) . 𝑑𝑚 ⃗ )𝑆, 𝑢𝐽(𝑄,⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 𝑆( 𝑄𝐺𝐺𝑀 ) ( 𝑢𝑄𝑀) . 𝑑𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐺𝑀 ( 𝑢𝑄𝑀 ) . 𝑑𝑚𝑀 𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) . 𝑑𝑚 ⃗⃗⃗ 𝑄𝑀𝑄𝐺 𝑀 𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ ) . 𝑑𝑚 ⃗⃗⃗ 𝑄𝐺𝐺𝑀𝑀 𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) . 𝑑𝑚⃗⃗⃗ 𝐺𝑀𝐺𝑀𝑀 𝑆 𝑀 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝐺 ( ⃗⃗⃗𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 ) . 𝑑𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝐺 ( ⃗⃗⃗𝑢 𝑀 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 . dm ) 𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝐺 𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝐺 ) 𝐽(𝑄, {𝑮,( ⃗⃗⃗⃗ )𝒎} , 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ ) . 𝑑𝑚 ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . dm ) ( 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ ) 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝐺⃗⃗⃗ 𝑄𝐺 𝑀 𝑆 𝐺𝑀𝐺𝑀𝑀 𝑆⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐺𝑀 ( 𝑢𝐺𝑀 ) . 𝑑𝑚 𝐽(𝐺,Donc : 𝐽(𝑄,⃗ )𝑆, 𝑢 𝐽(𝐺,⃗ )𝑆, 𝑢 𝐽(𝑄, {𝑮,̿𝑰(𝐐 ,𝑺) . 𝒖⃗ ̿𝑰(𝐆 ,𝑺) . 𝒖⃗ ̿𝑰(𝐐 ,Soit alors :⃗ )𝑆, 𝑢⃗ )𝒎} , 𝑢{𝑮, 𝒎} ) .⃗𝒖On en déduit finalement que : ̿𝑰(𝐐 ,𝑺) ̿𝑰(𝐆 ,𝑺) ̿𝑰(𝐐 , {𝑮, 𝒎} )Remarque :Soit QG X G x YG y Z G z , alors :SG̿𝑰(𝑸,Q𝑴𝒔 , 𝑮)𝒀𝑮 𝟐 𝒁𝑮 𝟐 𝑴𝑺 [ 𝑿𝑮 𝒀𝑮 𝑿𝑮 𝒁𝑮 𝑿𝑮 𝒀𝑮𝑿𝑮 𝟐 𝒁𝑮 𝟐 𝒀𝑮 𝒁𝑮 𝑿𝑮 𝒁𝑮 𝒀𝑮 𝒁𝑮 ]𝑿𝑮 𝟐 𝒀𝑮 𝟐 (𝒙⃗,⃗, 𝒛𝒚⃗ )Application :Soit un vilebrequin (V) modélisé par trois cylindres 𝒞𝑖 , chacun centre de gravité Gi, de masse mi et d’axe de révolutionmatérielle (Gi, z ).On donne : G1G 2 a 2 x c2 zetG1G 3 a 3 x c3 zDéterminer la matrice d’inertie de (V) au point G1 et relativement à la base ( xA0𝐵 E 0̿Résultat : I(G1,V) [0, y , z ). E0]C (x⃗,y⃗,z⃗ )avec : 𝐴 31 𝐴𝑖 32 𝑚𝑖 . 𝑐𝑖2 ; 𝐵 31 𝐴𝑖 32 𝑚𝑖 . (𝑎𝑖2 𝑐𝑖2 ) ; 𝐶 31 𝐶𝑖 32 𝑚𝑖 . 𝑎𝑖2 𝑒𝑡 𝐸 32 𝑚𝑖 . 𝑎𝑖 . 𝑐𝑖Ai et Ci sont les éléments de la matrice d’inertie du cylindre 𝒞𝑖 au point Gi et relativement à la base ( x, y ,z).9

4. Torseur cinétique4-1. DéfinitionLe torseur cinétique du système matériel D, dans son mouvement par rapport à un repère R, en un point Q quelconque est :𝑴𝝐𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑴/𝑹) . 𝒅𝒎 𝑸𝑴 𝑽{ 𝑴𝝐𝑫}𝑸𝑸 ⃗ (𝑴/𝑹) . 𝒅𝒎𝑽 ⃗⃗ 𝒄(𝑫/𝑹)𝑹{𝓒(𝑫 /𝑹) } {} ⃗ 𝑸(𝑫/𝑹)𝝈Sa résultante est appelée : résultante Cinétique de D dans son mouvement par rapport à R (ou quantité demouvement) (en Kg.m.S-1) ; Son moment est appelé : moment cinétique au point Q de D dans son mouvement par rapport à R (en Kg.m2.S-1).4-2. Expressions pratiques Résultante cinétique :⃗𝑹⃗ 𝒄 (𝑫/ 𝑹) 𝒎𝑫 . ⃗𝑽(𝑮 / 𝑹)Pour un système matériel D :Démonstration :Nous avons déjà montré que :⃗ (𝑀,𝑉 𝐷 𝑅)⃗ (𝐺 𝑅). 𝑑𝑚 𝑚𝐷 . 𝑉𝑀𝜖𝐷𝑅⃗𝑐 (𝐷 𝑅) Donc :⃗ (𝑀,𝑉𝐷 𝑅)⃗ (𝐺 𝑅). 𝑑𝑚 𝑚𝐷 . 𝑉𝑀𝜖𝐷 Moment cinétique :⃗ (𝑺 𝑹) 𝒎 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑸 (𝑺 𝑹) ̿𝑰(𝑸 , 𝑺) . ⃗𝜴𝝈𝑸𝑮 ⃗𝑽(𝑸,Pour un solide S :𝑺 𝑹 )Démonstration :On a :𝜎𝑄 (𝑆 𝑅) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉⃗ (𝑀 ,𝑄𝑀𝑑𝑚𝑆 𝑅)𝑀𝜖𝑆Pour le point Q lié au solide S, on peut écrire :Donc :⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑉⃗ (𝑄 ,𝑄𝑀𝜎𝑄 (𝑆 𝑅) ⃗ (𝑀 ,𝑉𝑆 𝑅)𝑆 𝑅)⃗ (𝑄 , 𝑉𝑆 𝑅)⃗ (𝑆 𝑅) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑀𝑄 𝛺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛺⃗ (𝑆 𝑅) ) dm 𝑀𝑄𝑀𝜖𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉⃗ (𝑄 ,( 𝑄𝑀𝜎𝑄 (𝑆 𝑅) 𝑆 𝑅)𝑀𝜖𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉⃗ (𝑄 ,( 𝑄𝑀𝜎𝑄 (𝑆 𝑅) 𝑆 𝑅)) 𝑑𝑚 𝑀𝜖𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝛺⃗ (𝑆 𝑅) 𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑑𝑚𝑄𝑀𝑀𝜖𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑚) 𝑉⃗ (𝑄 ,𝑄𝑀𝜎𝑄 (𝑆 𝑅) ( 𝑆 𝑅)𝑀𝜖𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉⃗ (𝑄 ,𝜎𝑄 (𝑆 𝑅) 𝑚 𝑄𝐺D’où il vient :⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑀𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛺⃗ (𝑆 𝑅) ) 𝑑𝑚𝑄𝑀) 𝑑𝑚 𝑀𝜖𝑆𝑆 𝑅) 𝐽(𝑄 ,⃗ (𝑆 𝑅) )𝑆 , ⃗𝛺⃗ (𝑆 𝑅)̿ , 𝑆) . 𝛺 𝐼(𝑄⃗ (𝑆 𝑅) 𝑚 . ⃗⃗⃗⃗⃗̿ , 𝑆) . 𝛺⃗ (𝑄,𝜎𝑄 (𝑆 𝑅) 𝐼(𝑄𝑄𝐺 𝑉𝑆 𝑅 )Cas particuliers :Voir Annexe 34-3. Torseur cinétique d’un ensemble de solidesSoitD nSi :{𝓒(𝑫 𝑹) } 𝒏𝟏 {𝓒(𝑺𝒊 𝑹) }110

Résultante cinétique :⃗𝑹⃗ 𝒄 (𝑫 𝑹) 𝒏𝟏 ⃗𝑹⃗ 𝒄 (𝑺𝒊 𝑹) 𝒏𝟏 𝒎𝒊 . ⃗𝑽 (𝑮𝒊 𝑹)Moment cinétique :⃗ 𝑸 (𝑫 𝑹) 𝒏𝟏 𝝈⃗ 𝑸 (𝑺𝒊 𝑹) 𝒏𝟏 [ 𝑰̿(𝑸 ,𝝈𝑺𝒊)⃗⃗ (𝑺𝒊 𝑹) 𝒎𝒊 . 𝑸𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒊 𝑽⃗ (𝑸,. 𝜴𝑺𝒊 𝑹)]5. Torseur dynamique5-1. DéfinitionLe torseur dynamique du système matériel D, dans son mouvement par rapport à un repère R, en un point Q quelconque est :⃗𝑹⃗ 𝒅(𝑫/𝑹){𝓓(𝑫 /𝑹) } {} ⃗𝜹𝑸(𝑫/𝑹)𝑸⃗ (𝑴/𝑹) . 𝒅𝒎𝚪 𝑴𝝐𝑫{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑸𝑴 ⃗𝚪(𝑴/𝑹) . 𝒅𝒎}𝑸𝑴𝝐𝑫 Sa résultante est appelée : résultante dynamique de D dans son mouvement par rapport à R (en Kg.m.S-2); Son moment est appelé : moment dynamique au point Q de D dans son mouvement par rapport à R (en Kg.m2.S-2).5-2. Expressions pratiques Résultante dynamique⃗⃗ 𝒅 (𝑫/ 𝑹) 𝒎𝑫 . 𝚪⃗ (𝑮 / 𝑹)𝑹Pour un système matériel D :Démonstration :Nous avons déjà montré que : 𝛤(𝑀,𝐷 𝑅). 𝑑𝑚 𝑚𝐷 . 𝛤(𝐺 𝑅)𝛤(𝑀,𝐷 𝑅). 𝑑𝑚 𝑚𝐷 . 𝛤(𝐺 𝑅)𝑀𝜖𝐷𝑅⃗d (𝐷 𝑅) Donc :𝑀𝜖𝐷 Moment dynamique⃗ 𝑸 (𝑫 𝑹) [𝒅 𝝈⃗𝑸 (𝑫 𝑹)] 𝒎𝑫 . 𝑽⃗ (𝑸 𝑹) 𝑽⃗ (𝑮 𝑹)𝜹Pour un système matériel D :𝒅𝒕𝑹Démonstration :On a :[⃗ (𝑀 ,𝑑 ( 𝑀 𝜖 𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 𝑉𝑑 𝜎𝑄 (𝐷 𝑅)] [𝑑𝑡𝑑𝑡𝑅 ( [𝑀𝜖𝐷Donc :D 𝑅)𝑑𝑚 )] 𝑅𝑀𝜖𝐷⃗ (𝑀 ,𝑑 ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀 𝑉[𝑑𝑡)] 𝑑𝑚𝑅⃗ (𝑀 , 𝐷 𝑅 )𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑄𝑀𝑑 𝑉⃗ (𝑀 , D 𝑅) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 𝑉𝑄𝑀 [] ) 𝑑𝑚𝑑𝑡 𝑅𝑑𝑡𝑅[𝑑 𝜎𝑄 (𝐷 𝑅)⃗ (𝑀 ,] ([𝑉𝑑𝑡𝑀𝜖𝐷𝑅[𝑑 𝜎𝑄 (𝐷 𝑅)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Γ(𝑀 , D 𝑅) ) 𝑑𝑚⃗ (𝑄 𝑅) 𝑉⃗ (𝑀 , D 𝑅) 𝑄𝑀] ( 𝑉𝑑𝑡𝑀𝜖𝐷𝑅 D 𝑅)D 𝑅)⃗ (𝑄 𝑅) ] 𝑉⃗ (𝑀 , 𝑉D 𝑅)⃗ (𝑄 𝑅) 𝑉⃗ (𝑀 , D 𝑅) 𝑑𝑚 𝑉𝑀𝜖𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Γ(𝑀 , D 𝑅) ) 𝑑𝑚 𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Γ(𝑀 , D 𝑅) ) 𝑑𝑚𝑄𝑀𝑀𝜖𝐷⃗ (𝑄 𝑅) 𝑉⃗ (𝑀 ,𝑉D 𝑅 )⃗ (𝑄 𝑅) 𝑉⃗ (𝐺 𝑅) 𝛿𝑄 (𝐷 𝑅)𝑑𝑚 𝛿𝑄 (𝐷 𝑅) 𝑚𝐷 . 𝑉𝑀𝜖𝐷D’où il vient :𝑑 𝜎𝑄 (𝐷 𝑅)⃗ (𝑄 𝑅) 𝑉⃗ (𝐺 𝑅)𝛿𝑄 (𝐷 𝑅) [] 𝑚𝐷 . 𝑉𝑑𝑡𝑅11

Cas particuliers :Voir Annexe 35-3. Torseur dynamique d’un ensemble de solidesSoitnD S i : {𝓓(𝑫 𝑹) } 𝒏𝟏 {𝓓(𝑺𝒊 𝑹) }1 ⃗ 𝒅 (𝑫 𝑹) 𝒏𝟏 ⃗𝑹⃗ 𝒅 (𝑺𝒊 𝑹) 𝒏𝟏 𝒎𝒊 . 𝜞⃗ (𝑮𝒊 𝑹)Résultante dynamique : ⃗𝑹 Moment dynamique : ⃗𝜹𝑸 (𝑫 𝑹) 𝒏𝟏 ⃗𝜹𝑸 (𝑺𝒊 𝑹) 𝒏𝟏( [⃗ 𝑸 (𝑺𝒊 𝑹)𝒅𝝈𝒅𝒕] 𝒎𝒊 . ⃗𝑽(𝑸 𝑹) ⃗𝑽(𝑮𝒊 𝑹) )𝑹5-4. ApplicationDéterminons le moment cinétique au point P de 3, dans son mouvement par rapport à 0.Déterminer le torseur cinétique au point P de 2, dans son mouvement par rapport à 0.Déterminons le torseur dynamique au point P de 2 dans son mouvement par rapport à 0.Résultat : 𝜎𝑃 (3 𝑅0 ) 𝜃̇ ( 𝐹 ⃗⃗⃗⃗𝑋3 𝐷 ⃗⃗⃗⃗𝑍3 ) [𝑚3 . 𝑟 ( 𝑥̇ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑟 𝜃̇ ) 𝐵𝜃̇ ] ⃗⃗⃗𝑌0𝑚 . 𝑥̇ ⃗⃗⃗⃗𝑋0𝑚 . 𝑥̈ ⃗⃗⃗⃗𝑋0{𝒞(2 𝑅0) } { 2} ; {𝒟(2 𝑅) } { 2}⃗⃗00𝑃𝑃6. Energie cinétique :6-1. DéfinitionL’énergie cinétique d’un système matériel D dans son mouvement par rapport au repère R est :𝑻(𝑫 / 𝑹) 𝟏⃗ 𝟐 𝐕. 𝒅𝒎𝟐 𝑴 𝝐 𝑫 (𝑴/𝑹)𝑻(𝑺 / 𝑹) 𝟏𝟐6-2. Expression pratiquePour un solide S :{𝓥(𝑺/𝑹) } {𝓒(𝑺/𝑹) }12

Démonstration :On a :𝑇(𝑆 𝑅 ) On sait que :⃗ (𝑀,𝑉donc :𝑆 𝑅 )𝑇(𝑆 𝑅 ) 112⃗ (𝑀,⃗ (𝑀, 𝑉 𝑉𝐷 𝑅 ) . 𝑑𝑚 22𝑀 S S⃗ ( 𝑆𝑀⃗ (𝑄, 𝑆 𝑅 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑀𝑄 ⃗Ω 𝑅 )1⃗ (𝑀, 𝑉2𝑆 𝑅 ) .⃗ (𝑄,[𝑉𝑆 𝑅 )⃗𝑆 𝑅 ) . 𝑉(𝑀, 𝑆 𝑅 )𝑑𝑚⃗ ( 𝑆 𝑅 ) ] 𝑑𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑀𝑄 ⃗Ω𝑀 S𝑇(𝑆 𝑅 ) 1⃗ (𝑀, [𝑉2𝑆 𝑅 )⃗ (𝑄,. 𝑉𝑆 𝑅 )⃗ (𝑀, 𝑉𝑆 𝑅 )⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗Ω⃗ ( 𝑆 𝑅 ) ) ] 𝑑𝑚. (𝑀𝑄𝑀 SCe qui se traduit par :𝑇(𝑆 𝑅 ) 1⃗ (𝐺,[𝑚 𝑉2𝑆 𝑅 )1⃗ (𝐺,[𝑚 𝑉2𝑆 𝑅 )𝑇(𝑆 𝑅 ) D’où :⃗ (𝑄,. 𝑉𝑆 𝑅 )⃗⃗ ( 𝑆 𝑅 ) . 𝑉⃗ (𝑀, Ω𝑆 𝑅 )⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑚 ] 𝑀𝑄𝑀 𝑆𝑇(𝑆 𝑅) ⃗ (𝑄,. 𝑉𝑆 𝑅 )⃗ ( 𝑆 𝑅 ) . 𝜎𝑄 ⃗Ω(S 𝑅)]1{𝒱(𝑆 𝑅) } . {𝒞(𝑆 𝑅) }2Cas particuliers :Voir Annexe 36-3. Pour un ensemble de solidesSoit D nSi :𝑻(𝑫 / 𝑹) 𝒏𝟏 𝑻(𝑺𝒊 / 𝑹) 𝒏𝟏1𝟏𝟐{𝓥(𝑺𝒊/𝑹) } {𝓒(𝑺𝒊/𝑹) }6-4. Inertie équivalente IntérêtL'intérêt d'exprimer une " inertie équivalente " est de quantifier l'inertie " ressentie " par un moteur entrainant une chained'énergie. UtilitéL’utilisation d’une inertie équivalente ou d’une masse équivalente permet d’étudier la loi de mouvement de l’une des piècesdu mécanisme en tenant

Le pivotement autour de l'axe Y (axe 2) : La tourelle 1 peut pivoter par rapport au châssis autour d'un axe vertical. La rotation autour de l'axe Z (axe 3) : Le berceau peut tourner par rapport à la tourelle 2 autour d'un axe horizontal. Un système de sécurité peut, à tout moment, stopper le déplacement de la plate-forme