Synthese - Cinematique 1 : Modelisation Des Mecanismes
Synthèse - Modélisation des mécanismesSII - CinématiqueSYNTHESE - CINEMATIQUE 1 : MODELISATION DES MECANISMESLa CINEMATIQUE permet de décrire et caractériser les mouvements des solides, indépendamment des causes quiles produisent.1. R ÉF ÉRENTIEL D ’ UN M ÉCANISME CIN ÉMATIQUE1.1. N OTION DE TEMPSLe TEMPS t permet de repérer tout instant par une date.Un INSTANT est un point de ce repère temporel.Une DATE correspond à l’abscisse de cet instant.1.2. N OTION D ’ ESPACE PHYSIQUEL’ESPACE PHYSIQUE est associé à un espace e de dimension 3 dans lequel ondéfinit : O : un point de e pris comme origine. E : espace vectoriel réel associé à e muni d’une base B orthonormée directe(sauf mention contraire rarissime). R(O, B) : un repère de l’espace e.Le système de référence défini peut être aussi appelé espace-temps, référentiel, observateur ou simplement repère.1.3. N OTION DE SOLIDES IND ÉFORMABLESUn SOLIDE est dit INDEFORMABLE lorsque, quels que soient les points A et B de ce solide, la distance AB resteconstante au cours du mouvement. A SetB S, t, AB cste2. D IFF ÉRENTS TYPES DE MOUVEMENTSLa TRAJECTOIRE d’un point (ou d’un solide) est l’ensemble des positions successives de ce point (ou de ce solide) enMOUVEMENT, au cours du temps.On définit toujours un mouvement ou une trajectoire par rapport à une référence.On visualise 5 types de mouvements, qui sont principalement définis grâce à l’analyse de leur trajectoire :Laurène LEVEUGLEpage 1/4Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Modélisation des mécanismesSII - Cinématique3. M OD ÉLISATION DES M ÉCANISMES3.1. L IBERT ÉS D ’ UN SOLIDE DANS L’ ESPACEDans l’espace, un solide possède 6 DEGRES DE LIBERTE :trois rotations et trois translations indépendantes.Pour positionner un solide dans l’espace, il faut donc 6 paramètres :— 3 paramètres angulaires permettant de définir l’orientation du solide (homogènes à une mesure angulaire).— 3 paramètres linéaires permettant de positionner unpoint du solide (homogène à une longueur).3.2. L IAISONS ENTRE DEUX SOLIDESPrenons le cas de figure où l’avion est posé sur une piste.On dit que l’avion, en tant que solide indéformable, est enLIAISON avec le sol. Les liaisons permettent de supprimerun certain nombre de degrés de liberté pour réaliser une fonction.Les différentes liaisons mécaniques peuvent être modéliser à partir de 3 surfaces élémentaires :Le CYLINDRE DE REVOLUTIONModèle : cylindricité parfaite (circularité du profilet rectitude), état de surface parfait et longueursans toléranceLe PLANModèle : planéité, rugosité et dimensions parfaitesLa SPHEREModèle : rugosité, dimensions parfaitesLe tableau des liaisons normalisées est disponible en Annexe.Les liaisons sont à connaı̂tre sous toute leur forme (dénomination, schématisation 2D et 3D, torseurs cinématiques).3.3. U TILIT É DES LIAISONS NORMALIS ÉES : GRAPHE DE LIAISONS ET SCH ÉMA CIN ÉMATIQUEPour concevoir ou comprendre un mécanisme mécanique, les ingénieurs doivent être capables de modéliser les mouvements attendus par un simple schéma. Cela est rendu possible grâce aux liaisons normalisées, et aux outils que sont leGRAPHE DE LIAISONS et le SCHEMA CINEMATIQUE.Pour établir ces outils, on choisira une position du mécanisme quelconque, i.e. hors des positions extrêmes (débutet fin du mouvement, ou toute autre position particulière).Laurène LEVEUGLEpage 2/4Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Modélisation des mécanismesSII - CinématiqueOutils de modélisation cinématique :Démarche de construction d’un GRAPHE DE LIAISONS et d’un SCHEMA CINEMATIQUE :On souhaite représenter les mécanismes cinématiques par un schéma, afin de présenter rapidement et précisément lesmouvements entre les éléments étudiés. Etape 1 : on identifie les différentes CLASSE D’EQUIVALENCE CINEMATIQUES, c’est-à-dire tous lesregroupements de pièces liées par une liaison encastrement (aucun mouvement relatif entre elles). Etape 2 : entre chaque classe d’équivalence, on répond successivement à ces trois questions :— Y a-t-il un contact entre ces deux classes d’équivalence ? Si oui, on poursuit.— Quelle est la nature des surfaces en contact entre les solides ?— Quels sont les mouvements relatifs possibles entre les solides ? Etape 3 : on trace le GRAPHE DE LIAISONS pour définir précisément chaque liaison.— On positionne chaque chiffre représentant les différentes classes d’équivalence dans des ronds. Si deux classesd’équivalence sont mis dans la configuration de rester immobile durant l’ensemble du mouvement étudié(simplification du sujet), mettre les deux solides dans le même rond.— On représente les liaisons par un trait reliant les classes précédemment indiquées. Attention : évitez de croiserles traits de liaison.— On renseigne chaque trait par la nature de la liaison, avec le point d’application de la liaison si il estdéfini, et la direction de la liaison. Attention : une liaison non renseignée est inutile ! ! Etape 4 : on élabore le SCHEMA CINEMATIQUE en s’appuyant sur un repère préalablement défini, sur legraphe de liaisons (définitions géométriques) et sur les représentations normalisées des différents composantstechnologiques (engrenages, roues de friction, etc.).— On positionne approximativement les points d’application des liaisons dans l’espace ou le plan de définitionvoulu pour le schéma cinématique ; ainsi que le repère de base.— On représente les liaisons à l’aide des symboles normalisées (qu’il faut donc connaı̂tre par coeur !) à la positionde leur point d’application. Il est judicieux de reprendre les couleurs des classes d’équivalence.— On relie par des traits les différentes liaisons pour reconstituer la position des solides.Un schéma cinématique est correctement réalisé si l’on peut superposer celui-ci au mécanisme étudié.Laurène LEVEUGLEpage 3/4Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Modélisation des mécanismesSII - Cinématique4. PARAM ÉTRAGE D ’ UN M ÉCANISME OU D ’ UN SCH ÉMA CIN ÉMATIQUE4.1. PARAM ÉTRAGE DE LA POSITION D ’ UN POINT DANS UN REP ÈREOn utilise usuellement 3 types de coordonnées pour définir la position de OS dans le repère R :Coordonnées cartésiennesCoordonnées cylindriquesCoordonnées sphériques4.2. PARAM ÉTRAGE D ’ UN SOLIDEComme le solide est considéré comme indéformable et que la position relative des axes d’un repère est invariante au coursdu temps, on peut considérer qu’il y a équivalence entre le solide et son repère associé. Pour définir la position d’un solide Si par rapport à un repère R(O, x , y , z ), il faut commencer par lier à ce solide unrepère Ri dédié (i, le numéro du solide), puis il faut définir la position du repère Ri par rapport au repère R. Le repère Ri est caractérisé par son origine Oi et sa base ( xi , yi , zi ). Pour définir la position du solide, il suffit alors d’étudier la position et l’orientation de la base ( xi , yi , zi ) de Ri par rapport à la base ( x , y , z ) de R.Pour représenter la position d’un solide par rapport à un autre avec son repère associé, on va tracer des FIGURESPLANES ou des FIGURES DE CACLUL.Démarche de construction d’une FIGURE PLANE :On souhaite construire une figure plane indiquant la position du solide Si par rapport au solide S j . Etape 1 : on identifie l’axe commun entre le repère du solide Si et du solide S j . Il y en a toujours un. Etape 2 : on trace le repère de référence, ici le repère R j du solide S j . Etape 3 : on trace le repère R j de l’autre solide S j , en intégrant le paramètre angulaire ou linéaire entre lesdeux repères. Quelque soit la valeur du paramètre angulaire, l’angle entre les deux repères n’excédera par 30 sur la représentation.Le paramètre doit être orienté.Remarques :— Une figure plane n’est pas rattachée à un point, seules les bases sont considérées !— Les bases doivent toujours être représentées de manière directes (sauf exception spécifiquement indiquée dans lesujet).— Il n’est pas nécessaire de représenter les figures planes de deux solides en translation, puisque dans ce cas, leursbases associées sont confondues.Laurène LEVEUGLEpage 4/4Lycée Pierre d’Ailly
FormulaireSIITABLEAU DES LIAISONS MECANIQUESDans les torseurs cinématiques, on notera : ωx , ωy et ωz , les vitesses de rotation du solide (issues des mouvements de rotation présents), en rad/s ; vOx , vOy et vOz , les vitesses de translation du solide (issues des mouvements de translation présents), en m/s.Liaison normaliséSymbole 3DSymbole 2DTorseurcinématiqueLiaisonsphère/plan ouponctuelle en O de normale (O, z) ωxωy ωz vOx vOy 0(O,R)Liaison linéairerectiligne d’axe (O, x ) et de normale (O, z) ωx0 ωz vOx vOy 0(O,R)Liaisonsphère/cylindre oulinéaire annulaire d’axe (O, x) ωxωy ωz vOx 0 0(O,R)Liaison appui plan de normale (O, z) 00 ωz vOx vOy 0(O,R)Liaison rotule aupoint O ωxωy ωzLiaison pivotglissant d’axe (O, x)Laurène LEVEUGLE ωx0 0page 1/2 0 0 0 (O,R) vOx 0 0(O,R)Lycée Pierre d’Ailly
FormulaireSIILiaison normaliséSymbole 3DSymbole 2DLiaison pivot d’axe (O, x)Torseurcinématique ωx0 0Liaison glissière d’axe (O, x) 00 0Liaison hélicoı̈dale d’axe (O, x) ωx0 0Avec :Liaison complète ouencastrementLaurène LEVEUGLE 00 0page 2/2 0 0 0 (O,R) vOx 0 0(O,R) vOx 0 0(O,R)vOxωx pas2.π 0 0 0 (O,R)Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Loi E/S géométriqueSII - CinématiqueSYNTHESE - CINEMATIQUE 2 : LOI ENTREE-SORTIE GEOMETRIQUEL’objectif de l’étude cinématique est, à terme, de trouver les équations différentielles, autrement appelé LOI ENTREESORTIE propre à un mécanisme cinématique.1. A NALYSE DE LA CHA ÎNE CIN ÉMATIQUEL’analyse d’un mécanisme se fait grâce au graphe de liaisons. Il en existe trois types :Chaı̂ne cinématique ouverteLe graphe ne comporte pas deboucle.Chaı̂ne cinématique ferméesimpleLe graphe comporte une seuleboucle fermée.Chaı̂ne cinématique complexeLe graphe comporte deux ou plusboucles imbriquées.Une chaı̂ne cinématique complexe est caractérisée par le NOMBRE CYCLOMATIQUE, noté γ. Ce nombre précise lenombre minimal de boucles qu’il est nécessaire d’étudier pour définir complètement le mécanisme. Une chaı̂ne ferméesimple a un nombre cyclomatique de 1.γ L N 1Avec L, le nombre de liaisons dans le mécanisme, et N, le nombre de solides du mécanisme.Laurène LEVEUGLEpage 1/2Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Loi E/S géométriqueSII - Cinématique2. L OI ENTR ÉE - SORTIE G ÉOM ÉTRIQUELa LOI ENTREE-SORTIE GEOMETRIQUE a pour objectif de déterminer l’évolution de la position d’un point d’unsolide, en fonction de l’évolution de l’actionneur (moteur, vérin) qui donne l’énergie mécanique permettant le mouvementdu mécanisme.Démarche de résolution d’une loi entrée-sortie géométrique (valable uniquement pour les chaı̂nes fermée etcomplexe) :On souhaite déterminer la loi entrée-sortie d’un mécanisme cinématique, qui se traduit par la génération d’une équationdifférentielle liant un paramètre cinématique d’entrée (variable angulaire ou linéaire) et un autre de sortie (variableangulaire ou linéaire), indépendamment de tout autre paramètre. Etape 1 : on détermine le nombre cyclomatique du mécanisme (complexité). Etape 2 : on détermine autant de FERMETURE GEOMETRIQUE que la valeur du nombre cyclomatiqueprécédent. Etape 3 : on projette chacune des relations vectorielles dans un même repère (choisi ou imposé). Etape 4 : on en déduit les équations scalaires en projection suivant les axes du repère considéré à l’étape 3. La relation entrée-sortie souhaitée apparaı̂t à cette étape. L’étape 4 génère plusieurs relations avec les paramètres d’entrée et de sortie souhaitée, ainsi qu’un paramètreangulaire (qu’on nommera ici α(t)) non recherché posez alorscos2 (α(t)) sin2 (α(t)) 1 L’étape 4 génère plusieurs relations avec les paramètres d’entrée et de sortie souhaitée, ainsi qu’un paramètrelinéaire ou plusieurs paramètres angulaires le sujet vous indiquera la manière de résoudre, voir la solution.La loi entrée-sortie géométrique d’une chaı̂ne cinématique ouverte consiste à déterminer la position d’un point appartenant au dernier solide de la chaı̂ne, en fonction des paramètres présents dans le paramétrage du mécanisme.Laurène LEVEUGLEpage 2/2Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Vecteurs vitessesSII - CinématiqueSYNTHESE - CINEMATIQUE 3 : VECTEURS VITESSESLa CINEMATIQUE permet de décrire et caractériser les mouvements des solides, indépendamment des causes quiles produisent.1. V ECTEURS VITESSESPour décrire le mouvement d’un solide Si par rapport à un autre solide S j , il suffit de décrire le mouvement de la base liéBi par rapport à la seconde Bj .Un solide Si dans son mouvement par rapport à un solide S j est caractérisé par deux vitesses différentes : Vitesse de rotation du solide Si dans son mouvement par rapport à un solide S j . Vitesse linéaire du solide Si dans son mouvement par rapport à un solide S j .Ces vitesses sont représentées par des vecteurs.Rappels mathématiques : différence entre SCALAIRES de VECTEURSLes SCALAIRES sont des nombres positifs, négatifs ou nuls, utilisés pour représenter des quantités diverses :temps, température, masse, énergie, etc.Exemples : une hauteur de 20m, un volume de 18m2 , une puissance de 200MW. Un VECTEUR V est une grandeur définie par : Une direction : droite qui porte le vecteur. Un sens : orientation origine-extrémité du vecteur, symbolisé par une flèche, d’où V x. x y. y z. z,avec x, y et z les composantes du vecteur. Une norme (ou intensité ou module) : valeur de la grandeur mesurée par le vecteur, notéep V x2 y2 z2 .1.1. V ECTEUR VITESSE DE ROTATION - R ÉSULTANTE CIN ÉMATIQUE Le VECTEUR ROTATION d’une base Bi par rapport à une base Bj , noté Ωi/j , est caractérisé par : Sa direction : axe de rotation de Bi par rapport à Bj . Sa norme : vitesse angulaire, c’est-à-dire la dérivée de la position angulaire. Son sens : sens de rotation.Astuce : le meilleur moyen de trouver le vecteur rotation est de s’appuyer sur les figures planes caractéristiques desdéplacements angulaires.Exemple :On observe sur une figure plane qu’une base (ici b1 tourne d’un angle θ autour de l’axe z par rapport à une base b0 ,considéré fixe). Sachant que la vitesse est la dérivée dela position : Ω1/0 θ̇. z0 On appelle le vecteur rotation Ωi/j , la RESULTANTE CINEMATIQUE ; il est indépendant du point choisi pourl’exprimer.Laurène LEVEUGLEpage 1/3Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Vecteurs vitessesSII - Cinématique1.2. V ECTEUR VITESSE D ’ UN POINT - M OMENT CIN ÉMATIQUESoit un solide Si lié à un repère Ri , en mouvement parrapport à un repère R j . On note VP i/j , la vitesse du point P appartenant au solideSi dans son mouvement par rapport au repère R j . Par commodité, on note souvent VP i/j VP,i/j .L’ensemble des vecteurs vitesses des points d’un solideSi est appelé CHAMP DES VECTEURS VITESSES dusolide Si .Méthode 1 : Calcul du vecteur vitesse d’un point par DERIVATION VECTORIELLE" #dO j P VP,i/j VP/j ”P Si ” dt ”P Si ”RjRappels mathématiques : Calcul de la dérivée d’un vecteur V x. x y. y z. z par rapport à un repère R0 ." # dVd xd yd z ẋ. x x. ẏ. y y. ż. z z.dtdt R0dt R0dt R0R0 Calcul de la dérivée d’un vecteur unitaire xi mobile par rapport à un repère R j . d xi Ωi/j xidt R j Calcul vectoriel de deux vecteurs V x. x y. y z. z et A α. x β. y γ. z : xαy.γ z.β V A y β ( x.γ z.α) zγx.β y.αRemarque : Pour réaliser un calcul vectoriel, les deux vecteurs doivent être dans le même repère. Le produit vectoriel de 2 vecteurs est un vecteur, noté V A , de direction perpendiculaire au plan ( V , A ), de sens tel que le trièdre ( V , A , V A ) soit direct, et de norme V A V . A . sin( V , A ) . V A 0 si V 0 ou si A 0 ou si sin( V , A ) V k A .Méthode 2 : Calcul du vecteur vitesse d’un point par le CHAMP DES VECTEURS VITESSESOn se propose de déterminer une relation entre les vitesses de deux points d’un même solide. On note VA,1/0 et VB,1/0 , la vitesse des points A et B du solide S1 par rapport au repère R0 .[d AB] B0dtd d [ OB] B0 [ OA] B0dtdt VB,1/0 VA,1/0Or la dérivée vectorielle d’un vecteur quelconque se détermine par :[Laurène LEVEUGLEd AB] B0dt [ d AB] B1 Ω1/0 ABdtpage 2/3Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Vecteurs vitessesSII - Cinématique d Avec [ dtAB] B1 0 puisque AB est un vecteur constant dans R1 .D’où : VB,1/0 VA,1/0 Ω1/0 ABLa relation entre les vitesses de deux points d’un solide s’écrit finalement : VB,1/0 VA,1/0 BA Ω1/0On nomme cette relation :— Relation de changement de point ;— Relation de transport ;— Relation de Varignon.2. T ORSEURS CIN ÉMATIQUESOutils mathématiques en SII : notion de torseurLe torseur permet de modéliser globalement le comportement mécanique des solides. On définira : Torseur cinématique {Vi/j } (en MPSI-PCSI). Torseur des actions transmissibles {Fi/j } (en MPSI-PCSI). Torseur cinétique {Ci/j } (en MP-PSI). Torseur dynamique {Di/j } (en MP-PSI).Un TORSEUR est un ensemble de deux vecteurs : Un vecteur appelé RESULTANTE, noté R , constante en tout point. Un vecteur appelé MOMENT, noté MB variable en fonction du point, vérifiant la relation de Varignon : MB M A AB RNotation des torseurs : ( ) Rx R x . x Ry . y Rz . zRRy{Ti/j } MBx . x MBy . y MBz . z MB ( B,R)( B)Rz M Ax M Ay M Az( B,R) R et MB sont les ELEMENTS DE REDUCTION du torseur au point B (point où est exprimé le moment). Onindique toujours ce point d’expression, nommé POINT DE REDUCTION, en bas à droite du torseur.On remarque que si les axes d’expression des torseurs ne sont pas indiqués à l’intérieur de celui-ci (notationhorizontale), alors on indique le repère d’expression en bas à gauche (notation verticale), dans ce cas les composantesdoivent bien toutes être dans le même repère.Dans la notation horizontale, il n’est pas dérangeant de faire apparaı̂tre plusieurs repères différents.Le TORSEUR CINEMATIQUE du solide Si dans son mouvement par rapport au solide S j est le couple formé par : Comme résultante : le VECTEUR ROTATION Ωi/j ωx . x ω y . y ω z . z. Comme moment : le VECTEUR VITESSE V v . x v . y v . z .P,i/jPxPyPzChaque liaison possède son propre torseur cinématique (donné sur le tableau des liaisons normalisées).Laurène LEVEUGLEpage 3/3Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Composition de mouvementSII - CinématiqueSYNTHESE - CINEMATIQUE 4 : VECTEURS VITESSESPour aborder une étude cinématique, on s’intéresse systématiquement à la nature du mouvement des solides et onconstate souvent que ce mouvement peut être complexe. Pour calculer un vecteur vitesse, il peut donc être judicieux dedécomposer ce mouvement complexe en plusieurs mouvement simples : c’est la composition de mouvement.1. C OMPOSITION DES V ECTEURS VITESSES1.1. D ÉFINITIONSoit M un point d’un solide S1 en mouvement par rapport à deux référentiels R0 et R. On a : OM OO1 O1 M OO1 x. i y. j z. kEn dérivant cette relation par rapport au temps dans le référentiel R0 , on obtient :" " " " #" # # # # d id jdkdOMdOO1 x. y. z. ẋ. i ẏ. j ż. kdtdtdtdtdt{z} RR0R0R0R0 {z }0 {z} V ITESSE RELATIVEV ITESSE D 0 ENTRAI NEMENTV ITESSE ABSOLUEDans l’exemple ci-dessus, cela se traduit par : VM,balle/sol {z }V ITESSEABSOLUE VM,chariot/sol {z}V ITESSED 0 ENTRAI NEMENT VM,balle/chariot {z}V ITESSERELATIVE1.2. G ÉN ÉRALISATIONSi un solide S est en mouvement par rapport au repère Rn , lui-même en mouvement par rapport au repère Rn 1 ,.,lui-même en mouvement par rapport au repère Ri ,., lui-même au mouvement par rapport au repère Ri 1 ,., lui-mêmeen mouvement par rapport au repère R, alors, pour tout point appartenant à S : VM,S/R VM,S/Rn . VM,Ri /Ri 1 . VM,1/0La composition des vecteurs vitesse reprend, au niveau des repères, le principe de la relation de Chasles desvecteurs.Laurène LEVEUGLEpage 1/2Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Composition de mouvementSII - Cinématique2. C OMPOSITION DES V ECTEURS V ITESSE I NSTANTAN É DE R OTATION2.1. D ÉFINITIONSi on considère le solide 2 auquel est associé le repère R2 , en mouvement par rapport au repère R1 lui-même en mouvementpar rapport au repère R0 , les mouvements relatifs des 3 repères R0 , R1 , R2 induisent l’existence des 3 vecteurs vitesse instantanée de rotation Ω2/0 , Ω2/1 et Ω1/0 . On montre que : Ω2/0 Ω2/1 Ω1/02.2. G ÉN ÉRALISATIONSi un solide S est en mouvement par rapport au repère Rn , lui-même en mouvement par rapport au repère Rn 1 ,.,lui-même en mouvement par rapport au repère Ri ,., lui-même au mouvement par rapport au repère Ri 1 ,., lui-mêmeen mouvement par rapport au repère R, alors, pour tout point appartenant à S : ΩS/R ΩS/Rn . Ω Ri /Ri 1 . Ω1/03. C OMPOSITION DES T ORSEURS C IN ÉMATIQUESLa composition des torseurs cinématiques n’est qu’une formevecteurs vitesse instantanée de rotation.( )(( )ΩS/RnΩS/R . VM,S/R MVM,S/Rn Mcondensée des compositions des vecteurs vitesse et des( )Ω Ri /Ri 1 . VM,Ri /Ri 1 M )Ω1/0 VM,1/0 MSoit :{VS/R } {VS/Rn } . {VRi /Ri 1 } . {V1/0 }4. C OMPOSITION DES V ECTEURS A CC ÉL ÉRATIONSoit le solide S en mouvement par rapport au repère R1 lui-même en mouvement par rapport au repère R. Pour toutpoint M S on montre que : Γ M,S/R Γ M,S/R1 Γ M,R1 /R ΓCoriolisAvec : Γ M,S/R , le vecteur accélération absolue ; Γ M,S/R1 , le vecteur accélération relative ; Γ M,R1 /R , le vecteur accélération d’entraı̂nement ; ΓCoriolis 2.Ω R1 /R VM,S/R1 , le vecteur accélération de Coriolis.Dans la pratique, on n’utilise que très rarement (pour ne pas dire jamais) la composition des vecteurs accélérations. Onpréfèrera dériver le vecteur vitesse.Laurène LEVEUGLEpage 2/2Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Composition de mouvementSII - CinématiqueSYNTHESE - CINEMATIQUE 5 : CINEMATIQUE DU POINT PONCTUELLa cinématique du point ponctuel est à l’origine de la démonstration de bon nombre de mécanismes fondamentaux(engrenages, poulie-courroie, etc.).1. H YPOTH ÈSES ET M OD ÈLESOn considère un solide S2 en mouvement relatif et en contact par rapport à un solide S1 .Pour construire le modèle, on définit un point de contact I, une normale au contact n 12 et un plan tangent au contact(π) entre les deux solides (S1 est en dessous de (π), S2 est au-dessus de (π)).Le mouvement relatif de S2 par rapport à S1 peut être caractérisé cinématiquement par le torseur {V2/1 } exprimé aupoint I :( )Ω2/1{V2/1 } VI,2/1 IAu cours du mouvement relatif de S2 par rapport à S1 , on suppose qu’il existe toujours un point de contact (nonrupture du contact).2. M ISE EN E VIDENCE DU P OINT C O ÏNCIDENT DE C ONTACTLa définition du— Le point— Le point— Le pointpoint I sur le modèle recouvre en fait, du point de vue cinématique, l’existence de 3 points particuliers :I matériel appartenant au solide 1 ;I matériel appartenant au solide 2 ;I qui correspond au point géométrique de contact.Les deux premiers points ont une existence matérielle différente et coı̈ncident au moment du contact avec le 3ème. Les3 points sont confondus à l’instant t, et ne le sont plus à l’instant t t. Par conséquent : VI,2/R 6 VI,/R et VI,1/R 6 VI,/RExemple : veloSoit un vélo en mouvement de translation rectiligne uniforme ; le point de contact entre la roue avant et le sol peutêtre définit : I appartenant à la roue du vélo.Trajectoire : cercle de centre A, de rayon [ AI ]. I appartenant au sol. Trajectoire : segment de droite de direction x0 . I point coı̈ncident de contact (n’appartenant ni à laroue, ni au sol).Laurène LEVEUGLEpage 1/2Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Composition de mouvementSII - Cinématique3. D ÉFINITIONS3.1. V ITESSE DE GLISSEMENT On appelle le VECTEUR VITESSE DE GLISSEMENT en I de S2 /S1 , le vecteur VI,2/1 .Puisque l’on suppose qu’il n’y a pas de rupture de contact entre les 2 solides, et que ce sont des solide indéformables, le vecteur vitesse VI,2/1 est nécessairement contenu dans le plan (π).On ne calculera jamais une vitesse de glissement par calcul direct ! !3.2. C ONDITION DE ROULEMENT SANS GLISSEMENTLa condition de roulement sans glissement en I, de S2 par rapport à S1 s’écrit : VI,2/1 0Pour le calculer, on utilisera toujours :Laurène LEVEUGLE VI,2/1 VI,2/0 VI,1/0page 2/2Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Composition de mouvementSII - CinématiqueSYNTHESE - CINEMATIQUE 6 : LOI ENTREE-SORTIECINEMATIQUESi la loi entrée-sortie géométrique permet de déterminer la position d’un point en fonction de l’évolution d’un paramètrecontrôlé, la loi entrée-sortie cinématique permet de faire un lien entre deux vitesses.1. Etude des mécanismes quelconques1.1. Méthode 1 : dérivation de la loi entrée-sortie géométriqueUne première solution pour déterminer la loi entrée-sortie cinématique consiste à dériver dans le temps la loi entréesortie géométrique, puisque la vitesse est la dérivée de la position.Dans le cas d’une chaı̂ne cinématique ouverte, c’est la seule solution pour générer une loi entrée-sortie cinématique.1.2. Méthode 2 : composition des torseurs cinématiquesDémarche de résolution d’une loi entrée-sortie cinématique :On souhaite déterminer la loi entrée-sortie d’un mécanisme cinématique, qui se traduit par la génération d’une équationdifférentielle liant une vitesse d’entrée (variable angulaire ou linéaire) et vitesse de sortie (variable angulaire ou linéaire),indépendamment de tout autre vitesse. Etape 1 : on détermine le nombre cyclomatique du mécanisme (complexité). Etape 2 : on détermine autant de FERMETURE CINEMATIQUE que la valeur du nombre cyclomatiqueprécédent.{Vi/j } {Vj/k } {Vk/i } {0}ATTENTION : il n’est possible d’additionner des torseurs que s’ils sont au même point, c’est-à-dire que lesvitesses sont exprimées au même point. Etape 3 : on projette chacune des relations vectorielles dans un même repère (choisi ou imposé). Etape 4 : on en déduit les équations scalaires en projection suivant les axes du repère considéré à l’étape 3.2. Etude des réducteursLes réducteurs (et multiplicateurs) sont des transmetteurs de puissance. Leur place dans la chaı̂ne d’énergie est lasuivante :L’actionneur associé aux réducteurs et multiplicateurs, est principalement un moteur électrique, thermique, hydrauliqueou pneumatique.Laurène LEVEUGLEpage 1/6Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Composition de mouvementSII - Cinématique2.1. DéfinitionLe RAPPORT DE TRANSMISSION est défini comme étant le quotient de la vitesse angulaire de l’arbre de sortie ω2par celle de l’arbre d’entrée ω1 du système transmetteur de puissance.r ω2ω1Le rapport de transmission est positif lorsque les vitesses angulaires sont de même sens, et négatif lorsqu’elles sont desens inverse.Lorsque r 1, on parle de système réducteur et de rapport de réduction.Lorsque r 1, on parle de système multiplicateur et de rapport de multiplication.Le RENDEMENT η d’un système est le rapport :η Pentree PpertesPpertesPsortie 1 PentreePentreePentreeSi le rendement du réducteur ou du multiplicateur est idéal,on a la relation de conservation de la puissance mécaniqueentre l’entrée et la sortie du système de transmission de puissance :P C1 .ω1 C2 .ω2On en déduit alors :C2ω1 C1ω2Si l’on prend en compte le rendement η de la transmission, on a :η P2C2 .ω2C2 .rP1C1 .ω1C12.2. Les principales solutions constructives2.2.1. Transmission de puissance par poulie-courroieUtilisée depuis le début de l’époque industrielle, elle permetde véhiculer l’énergie mécanique entre deux arbres parallèleset relativement éloignés.Ce type de transmission est constitué : D’une poulie motrice (1), assemblée à l’arbre moteur ; D’une poulie réceptrice (2), liée à l’organe à entraı̂ner ; D’une courroie (3) qui s’enroule sur chacune despoulies.Le mouvement est transmis de l’arbre moteur à l’arbre récepteur par l’adhérence de la courroie sur les deux poulies.Les poulies peuvent être plates, trapézoı̈dales ou striées.Au passage sur les poulies, la courroie se déforme et provoque un glissement dit ”fonctionnel” (différent du patinage). Ceglissement introduit une variation, et donc une imprécision, du rapport de transmission. Si on admet que la transmissions’effectue sans glissement et que la courroie est inextensible, alors on peut définir le rapport de transmission :r Laurène LEVEUGLEω2/0ωrecepteurR1 ωmoteurω1/0R2page 2/6Lycée Pierre d’Ailly
Synthèse - Composition de mouvementSII - Cinématique2.2.2. Transmission de puissance par chaı̂ne et pignonsSeule l’architecture ressemble à celle de la transmission parpoulies-courroie, car la transmission de puissance par pignonset chaı̂ne s’effectue par obstacle.L’arbre moteur et l’arbre récepteur sont aussi relativementéloignés. La première figure représente l’engrènement de lachaı̂ne sur une roue dentée. La deuxie
SYNTHESE - CINEMATIQUE 2 : LOI ENTREE-SORTIE GEOMETRIQUE L'objectif de l' etude cin ematique est, a terme, de trouver les equations di erentielles, autrement appel e LOI ENTREE-SORTIE propre a un m ecanisme cin ematique. 1. ANALYSE DE LA CHAˆINE CINEMATIQUE L'analyse d'un m ecanisme se fait gr ace au graphe de liaisons.
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