CINEMATIQUE - S21182c7956f6fcf0.jimcontent

3 Dérivation vectorielle et vecteur rotation3.1Dérivée d’un vecteur, exprimé dans B0, par rapport à R0 un repère fixe ou mobileSoit le vecteur u (t ) , exprimé dans B0, tel que u (t) a(t) i0 b(t) j0 c(t) k0 . La dérivée de u (t ) parrapport à R0 est telle que :dadbdc du (t ) dt dt i0 dt j0 dt k0 a i0 b j0 c k0 .R0Dans ce cas, il suffit de dériver les composantes du vecteur par rapport au temps.3.2Dérivée d’un vecteur, exprimé dans B1 base d’un repère mobile, par rapport à R0 unrepère fixe ou mobileSoit le vecteur u (t ) exprimé dans B1, tel que u (t) a(t) i1 b(t) j1 c(t) k1 .La dérivée de u (t ) par rapport à R0 peut s’exprimer en fonction de la dérivée de u (t ) parrapport à un autre repère R1 : du (t ) du (t ) dt dt ( R1 / R0 ) u (t )R0R1formule dedérivationvectorielleoù :- ( R1 / R0 ) est le vecteur vitesse de rotation (ou vecteur rotation) de R1 par rapport à R0,- ( R1 / R0 ) u (t ) est le produit vectoriel : voir annexe 1.Le vecteur vitesse de rotation ( R1 / R0 ) : ( R1 / R0 ) , appelé vecteur vitesse de rotation de R1 par rapport à R0, définit à l’instant t la vitesse derotation du repère R1 par rapport au repère R0. L’unité de la norme du vecteur vitesse de rotation est lerad/s.Exemple : Dans le cas de la figure ci-dessous, on passe du repère R1 au repère R0 par rotation autour de l’axe(O, z0 ) d’un angle . On définit le vecteur rotation par :Ω R1 / R0 Lycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 8 / 30

Cas général : On peut définir 3 angles d’Euler :Alors :Ω R1 / R0 Cas particulier : Translation de 2 repèresΩ R1 / R0 cas particuliers: dérivée d’un vecteur d’une base mobile par rapport à un repère R0 fixe3.3En cinématique, le vecteur position ou vecteur vitesse d’un point s’exprime souvent comme unesomme de vecteurs qui ne sont pas les vecteurs directeurs du repère R0 par rapport auquel on étudiele mouvement. Il est donc très courant de devoir dériver un vecteur unitaire d’une base mobile parrapport à un repère R0 fixe.Application : dérivée de x1 dans R03.4Propriétés-soient 1 (t ) et 2 (t ) deux fonctions scalaires et w1 et w2 deux vecteurs, alors : d 1 (t ).w1 2 (t ).w2 d (t )d (t ) dw1 dw 1 .w1 2 (t ). 2 2 .w2 . 1 (t ). dtdtdt dt R0 dt R0 R0Lycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 9 / 30

-dérivée du produit scalaire :-dérivée du produit vectoriel : d w1.w2 dw1 dw .w2 w1. 2 dt R0 dt R0 dt R0 d w1 w2 dw1 dw w2 w1 2 dt dt R0 R0 dt R0Attention au sens4 Accélération d’un point d’un solide par rapport à un repèreOn note (M ,1/ R0 ) le vecteur accélération du point Mappartenant au solide 1 dans son mouvement par rapport aurepère R0.Par définition, à chaque instant t, (M ,1/ R0 ) est la dérivée,par rapport au temps, du vecteur vitesse V ( M ,1/ R0 ) dans lerepère par rapport auquel on considère le mouvement, d2 d ( M ,1/ R0 ) V ( M ,1/ R0 ) 2 OM (t ) dt R0 dt R0 Dérivation d’un vecteur, voir formule de dérivation vectorielleL’unité de la norme du vecteur accélération est le m/s2.Propriété : le vecteur accélération (M ,1/ R0 ) traduit à chaque instant la variation instantanée du vecteurvitesse.Remarques et interprétations sur le vecteur accélération :-le vecteur accélération peut toujours se décomposer en une somme de deux vecteurs : (M ,1/ R0 ) at .t an .naccélération tangentielleaccélération normaleavect est le vecteur unitaire directeur tangent à la trajectoire, donc colinéaire et de même sens queV ( M ,1/ R0 ) ,n est le vecteur unitaire perpendiculaire à t , orienté vers l’intérieur de la trajectoire T(M,1/R0).Lycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 10 / 30

-l’accélération tangentielle at .t représente la variation de l’intensité du vecteur vitesse V ( M ,1/ R0 ) , siat 0 la vitesse du point M augmente, si at 0 sa vitesse diminue.-l’accélération normale an .n (avec an 0 ) représente la variation de l’orientation du vecteur vitesseV ( M ,1/ R0 ) .-à chaque instant t, toute portion de la trajectoire autour du point M peut être assimilée à un cercledans le plan ( M , t , n ) . Le rayon de ce cercle, noté R, est appelé le rayon local de giration.En notant V V ( M ,1/ R0 ) , on montre quedVat dtV2an RetANNEXE : Produit vectoriel w u v :-le produit vectoriel est un opérateur antisymétrique : si w u v , alors w v u ,le vecteur w est par construction perpendiculaire à u et à v , il est un vecteur directeur de la normaleau plan (u , v ) ,-la norme de w vérifie-si u et v sont colinéaires alors w 0 ,w est tel que l’on passe de u à v par rotation positive autour de w d’un angle inférieur à , voirfigure ci-dessous,w u . v . sin(u , v )où l’angle (u , v ) compris entre 0, ,Plan (u,v )Plan (u,v )Sens uw uSens v-si uBab et vcBdefvwsont exprimés dans une même base B(i , j , k ) , les composantes de w dansB(i , j , k ) sont :w uBab vcBde fBb. f e.cd .c a. fa.e d .bPratique :-dans une base orthonormée directe B(i , j , k ) on a i j k , j k i et k i j ,-d’une manière générale, avec votre main droite : pouce index majeur . Lycée Vauvenargues PTSICinématique page 11 / 30

Ch 3 : CHAMP DES VECTEURS VITESSE. TORSEUR CINEMATIQUEObjectifs : Etre capable de déterminer la vitesse en un point connaissant la vitesse en un autre pointConnaitre la distribution des vitesses pour des mouvements particuliersModéliser tout mouvement par un torseur.1 Champ des vecteurs vitesse de points d’un solide.On considère le mouvement d’un solide Si par rapport àun autre solide Sj (repère Rj lié à Sj).A tout instant t, tout point M lié au solide Si possède unevitesse par rapport à Rj notée V ( M , Si / R j ) .L’ensemble des vecteurs vitesse V ( M , Si / R j ) pour toutpoint M de Si constitue le champ des vecteurs vitesse dusolide Si par rapport à Rj.2 Relation entre vitesses en différents points: relation de moment.Problème : dans le mouvement de Si par rapport à Rj, connaissant la vitesse en un point A, onsouhaite déterminer la vitesse en un point B.A partir de la définition du vecteur vitesse et de la dérivation vectorielle, on démontre aisément que :V ( B, Si / R j ) V ( A, Si / R j ) ( Si / R j ) ABRelation de moment, encore appeléeformule de changement de point, ouformule de Varignon3 Cas particuliers31. mouvement de rotation de R1 / R0 autour de Oz0y0On a :V(O,1/0) OA aV(A,1/0) OB bV(B,1/0) OB’ bV(B’,1/0) y1x1B’BA Oz0 z1Lycée Vauvenargues PTSIx0Cinématiquepage 12 / 30

32. mouvement de translationSoit un solide 1 en translation par rapport à R0 de direction x0. Alorsy1y0V(A,1/0)ABO O1z0z1SupposonsV(A,1/0) connuAlorsV(B,1/0) 1x0x1Translation rectiligne : Si la trajectoire d’un point par rapport à un repère (donc de tout point) estune droite.Mxy0Instant t1MxT(M, Ro)Instant t2x0O z0Translation circulaire : Si la trajectoire d’un point par rapport à un repère (donc de tout point) estun cercle.Mécanisme 4 barres à parallélogramme déformable.Translation quelconque :Instant t2Instant t1y0MMT(M, Ro)xxx0z0OExemple : portes de métro : la trajectoire est donnée par une rainure au sol incurvée pour lafermeture.Lycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 13 / 30

4 Torseur cinématiqueOn peut remarquer, à partir de la relation de moment, que pour déterminer la vitesse en tout pointd’un solide par rapport à un repère, il nous faut connaître la vitesse en un autre point et le vecteurrotation correspondant.Ces 2 renseignements sont réunis dans un seul outil mathématique appelé torseur. Il s’agira ici dutorseur cinématique du mouvement de Si par rapport à Rj.Notation :résultante du torseur cinématiqueΩ (Si / Rj)V(A,Si/Rj)moment du torseur cinématiqueAayant la propriété :V ( B, Si / R j ) V ( A, Si / R j ) ( Si / R j ) ABcentre de réduction du torseurLe mouvement quelconque d’un solide i par rapport à un solide j est alors modélisé par letorseur cinématique { V i/j }.5 Torseur cinématique des liaisonsvoir annexe jointe6 Champ des accélération des points d’un solideOn considère le mouvement d’un solide Si par rapport à un autre solide Sj (repère Rj lié à Sj).A tout instant t, tout point M lié au solide Si possède une accélération par rapport à Rj notée : ( M , Si / R j ) .L’ensemble des vecteurs accélération ( M , Si / R j ) pour tout point M de Si constitue le champ desvecteurs accélération du solide Si par rapport à Rj.Soient A et B deux points liés au solide Si en mouvement par rapport à Rj. A partir de la relation demoment, et après dérivation, on démontre que : d ( B, Si / R j ) ( A, Si / R j ) ( Si / R j ) AB ( Si / R j ) ( Si / R j ) AB dt Rj Cette formule est peu aisée d’application. En pratique, pour calculer une accélération en un point, oncalculera d’abord le vecteur vitesse (en utilisant par exemple la relation de moment), puis on dériverapar rapport au temps.Remarques : Pour un mouvement de translation, la formule ci-dessus donne pour Si on qu’une composante de l’accélération surOn calculepar exemple :, puisAlorsLycée Vauvenargues PTSI:soit :Cinématiquepage 14 / 30

ANNEXE SUR LES TORSEURSC’est un outil mathématique construit par l’association : d’un vecteur (donc indépendant du point d’écriture du torseur) appelé résultante du torseur : d’un champ de vecteurappelé moment du torseur possédant la propriété de changementde point suivante :Notation :Représentation :Eléments de réduction dutorseurCentre de réduction dutorseurM(A)RRASomme de 2 torseurs et produit par un scalaire :Soient 2 torseurs exprimés en un même point. Si ce n’est pas le cas, on applique la relation dechangement de point pour l’un des 2 torseurs :etAlorset(avec a réel)Torseurs particuliersTorseur nul :Torseur couple :Torseur glisseur :Propriété de l’équiprojectivitéLe champ de moment d’un torseur est équiprojectif , c’est-à-dire que :quels que soient 2 points A et B de l’espace, on a :Cette propriété servira pour des résolutions de cinématique graphique.Lycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 15 / 30

Ch 4 : COMPOSITION DES MOUVEMENTSObjectifs : Établir les relations entre les différents mouvements des divers solides au sein d’un mécanismeDéfinir une vitesse de glissement et un roulement sans glissement1 Points coincidents.On considère deux solides 1 et 2 en mouvements par rapport à Ro (liaison glissière 2/0 de directionz0 et liaison pivot 1/0 d’axe Ox0). Ces deux solides sont également en contact entre eux en un point B.A un instant t1, appelons :B1 : le point B lié à 1B2 : le point B lié à 2.A un instant t2, les 2 points ont suivis leurs trajectoiresrespectives, et se retrouvent séparés.A l’instant t1, on dit que les 2 points sont coïncidents, eton notera B ce point commun.Il est alors impératif de préciser à quel solide est lié lepoint B lorsqu’on veut calculer sa vitesse ou sonaccélération :Ces vitesses sont toutes différentes (leurs trajectoires nesont pas les mêmes), mais sont liées entre elles.Lycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 16 / 30

2 Composition des mouvementsConsidérons deux solides1 et 2 en mouvement par rapport à un solide 0 (ou repère Ro).On peut indistinctement calculer les 3 vecteurs vitessesuivants :Entre ces vecteurs, on démontre la relation suivante :Cette relation est une relation de Chasles. Elle peut s’écrire en faisant intervenir autant de solidesintermédiaires que voulus, à condition de respecter l’ordre relatif des indices. Toutes les vitesses sontcalculées au même point.De même, pour les vecteurs rotation, nous pouvons écrire la relation suivante :Les 2 relations précédentes peuvent être synthétisées par une relation sur les torseurs cinématiques :, relation qui peut être généralisée à n solides.3 Vitesse de glissement. Roulement sans glissement.31. vitesse de glissementConsidérons 2 solides en contact permanent entre eux, en un point M.plan tangent communau contact en MOn appelle vitesse de glissement de 2 par rapport à 1 la vitesse :Lycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 17 / 30

Propriétés :Application :La vitesse de glissement entre 2 et 1 peuts’écrire sous la forme :En appliquant la composition desmouvements en B, on pourra alors trouverles relations entre la vitesse de rotation 1/0,la vitesse de sortie 2/0, et la vitesse deglissement 2/1. (Voir application)32. Roulement sans glissementSoit M le point de contact entre deux solides 1 et 2.On dit qu’il y a roulement sans glissement entre1 et 2 (ou que 1 roule sans glisser sur 2) si :AlorsEn partant de cette relation et en appliquant la composition des mouvements, on pourra déterminer larelation entre les vitesses à l’entrée et la sortie d’un mécanisme.Exemple : Roue sur solLe roulement sans glissement entre le pneuet la route permet au véhicule d’avancer 33. Décomposition du vecteur rotationPosonsle vecteur rotation entre 2 et 1 en contact ponctuel.peut se décomposer en :- Un vecteur dans le plan tangent commun au contact- Un vecteur normal au plan tangent commun au contact Voir application : Transmission parengrenagesLycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 18 / 30

4 Composition des accélération des points d’un solideConsidérons un solide1 en mouvement par rapport à un solide 0(ou repère Ro).Considérons un point M d’un solide S en mouvement par rapportaux 2 repères Ro et R1.On montre que : (M , S / R0 ) (M , S / R1 ) entraînement Coriolisoù : (M , S / R0 ) est l’accélération absolue du point M dans le mouvement de S par rapport à R0, (M , S / R1 ) est l’accélération relative du point M dans le mouvement de S par rapport à R1, d entraînement (O1 , R1 / R0 ) ( R1 / R0 ) O1M ( R1 / R0 ) ( R1 / R0 ) O1M est l’accélération dt R0 On montre que :d’entraînement du point M supposé attaché au repère R1 par rapport à R0, notée aussi (M , R1 / R0 ) , Coriolis 2 ( R1 / R0 ) V (M , S / R1 ) est l’accélération de Coriolis.Cette formule est peu aisée d’application. En pratique, pour calculer une accélération en un point,on calculera d’abord le vecteur vitesse (en utilisant par exemple la composition des mouvementset/ou la formule de changement de point), puis on dérivera par rapport au temps.Ch 5 : ANALYSE CINEMATIQUE GLOBALE D’UN MECANISMEObjectifs :Proposer une modélisation géométrique d’un système mécaniqueMettre en place une méthodologie d’étude cinématiqueProblème posé : A partir d’un cahier des charges ou des performances souhaitées d’un mécanisme, il nousfaut calculer les mouvements moteurs, ainsi que les mouvements dans les différentesliaisons afin de justifier certaines solutions techniques.1. Modélisation cinématique. (graphe de liaison)1ère étape : recenser les différents ensembles cinématiques2ème étape : faire l’inventaire des mouvements entre 2 ensembles cinématiques, en déduire les liaisons.3éme étape : faire le graphe de liaisonsLycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 19 / 30

Graphe de liaison (rappel) :Dans ce graphe, les sous-ensembles cinématiques sont schématisés par des cercles, les liaisons sontreprésentées par des arcs ou traits entre les cercles.Ce graphe peut être ouvertou fermé, et dans ce derniercas présenter plusieursboucles.Il convient de préciser ladésignation (nom caractéristiques) associée àla liaison selon le repère decontact.2. Méthodologie d’étude cinématique d’un système mécaniqueConsidérons un mécanisme en chaîne fermée neprésentant qu’une boucle. Soient 1, 2, .Ns les différentsensembles cinématiques.Chaque liaison est (i / j) .définie par son torseur cinématiqueUne analyse cinématique systématique peut être réaliséesuivant la méthodologie suivante : Ecrire les torseurs cinématiques de chaque liaison. Exprimer tous ces torseurs en un même point. Ecrire la composition des mouvements mise en évidence par la boucle.La relation de bouclage cinématique s’écrit : (Ns / Ns 1) (Ns 1/ Ns 2) . (2 /1) (1/ Ns) 0 Projeter les 2 équations vectorielles surdépendantes. Résoudre le système.3 directions de l’espace non linéairementRemarques :- S’il y a plusieurs boucles, on répète les opérations précédentes pour chaque boucle.-On aura dans le cas général un système de 6 équations significatives pour un problèmespatial, 3 équations significatives pour un problème plan.-Le nombre d’inconnues moins le nombre d’équations significatives nous renseigne sur lenombre de mouvements à imposer (moteurs ou vérins) pour pouvoir déterminer de manièreunique tous les autres mouvements. On l’appelle la mobilité du système mécanique noté mc.mc Ic- rc.Ic: nombre d’inconnues cinématiques (termes nonnuls des torseurs cinématiques des liaisons)rc : rang du système cinématiqueLycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 20 / 30

Ch 6 : METHODES DE RESOLUTION GRAPHIQUEObjectifs : Quantifier les vitesses de points de solides dans des positions définiesProposer une alternative non calculatoire pour certains systèmes1 Définition d’un problème plan.Soit un ensemble de solides en mouvement les uns par rapport aux autres. Ex système biellemanivelle :Ces mouvements forment un système plan si les vecteurs rotations des différents mouvementsobservables sont colinéaires.Une autre façon de le vérifier est de constater que toutes les trajectoires des points par rapport àn’importe quel repère se situent dans des plans parallèles (ou confondus).Lorsqu’un mécanisme est plan, on peut alors adopter les méthodes de résolution graphique quisuivent.2 Centre Instantané de RotationSoit un solide 1 en mouvement plan par rapport à un solide 0 (ou repère Ro).A un instant donné, il existe un et un seulpoint, dans le plan, qui a une vitesse nulle dansle mouvement de 1 / 0.Ce point, noté I10, s’appelle le CentreInstantané de Rotation du mouvement de 1 /0.Lycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 21 / 30

Propriétés :vitesse AI10 A un instant donné, le mouvement de 1/0 peut être assimilé à une rotation plane de centre I10. ll V (A,1/0) ll AI10. ω 10. La positon de I10 peut être variable au cours du temps, d’où le nom de centre INSTANTANEde rotation.Notation : on notera Iij le CIR de i dans son mouvement par rapport à j.3 Relation entre vecteurs vitesses de 2 points d’un solide.31. Méthode du C.I.R.Considérons un solide 1 mouvement plan par rapport à un repère Ro. Supposons connuet le CIR I10On souhaite tracer32. EquiprojectivitéC’est la traduction graphique de la relation de changement de point des vecteurs vitesses. Pour un solide(1) en mouvement par rapport à Ro, on a :Si on projette cette expression sur la droite (AB), on a :Soit :Conclusion :Dans le mouvement de 1/0, les vitesses en deux points quelconques A et B ont la mêmeprojection sur l’axe AB.Lycée Vauvenargues PTSICinématiquepage 22 / 30

Application :Supposons connuet la direction de. On souhaite tracer33. Remarques Ce tracé n’est exploitable q

Lycée Vauvenargues PTSI Cinématique page 1 / 30 CINEMATIQUE But : Le but de la cinématique est de modéliser les mouvements des pièces d'un système mécanique, sans s'intéresser aux causes qui les produisent. On cherchera les relations entre ces mouvements, en vue de vérifier les performances d'un