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P : CINÉMATIQUE DU POINT1La cinématique consiste à analyser de façon purement mathématique le mouvement des corps en assimilant à des pointsmatériels sans se préoccuper des causes de ce mouvement. Les grandeurs physiques de la cinématique sont le temps, laposition, la vitesse et l’accélération.I. Notion de système :Dans ce qui suit, ou plus globalement en physique, on s’intéresse aux propriétés d’un objet ou d’un ensemble d’objets : parexemple on s’intéressera au mouvement d’un véhicule, aux interactions entre la Terre et la Lune, etc., le véhicule,l’ensemble Terre-Lune, etc., constitue le système étudié.Le système étudié peut être indéformable : si la distance de deux points quelconques de ses points demeure invariable aucours de son évolution : les solides constituent un exemple de tels systèmes. Dans le cas contraire, le système estdéformable : cas de la pâte à modeler par exemple.Pour ce qui nous concerne, en cinématique et ultérieurement en dynamique, les systèmes que nous considérerons serontponctuels ou encore des points matériels, c’est-à-dire des solides dont les dimensions sont suffisamment petites pour qu’onpuisse les assimilés à un point. En général, on assimilera un solide à un point matériel qui est confondu avec le centred’inertie du solide et dont la masse est égale à la masse du solide considéré.II.Vecteur position :%%%%%%⃗.La position d’un mobile M, à un instant t est définie dans le repère R (O, ⃗ı, ⃗ȷ, %⃗k) par le vecteur position OM⃗ . Sa norme est : 𝐎𝐌 2𝐱 𝟐 𝐲 𝟐 𝐳 𝟐La position du point M est repérée par son vecteur position %%%%%%%⃗𝐎𝐌 𝐱,⃗ 𝐲/⃗ 𝐳𝐤Ö Si le repère est orthonormé x, y, z sont appelés coordonnées cartésiennes du point M.Ö Si le mobile M est immobile dans le repère R ses coordonnées sont indépendantes du temps.Ö Si M est en mouvement dans le repère R, ses coordonnées sont en fonction du temps. Ainsi x(t), y(t) et z(t) sontappelées équations horaires ou équations paramétriques du mouvement.Ö Pour déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire, on élimine la variable temps t entre les paramètres x, y et z.Application 1 : On donne les équations horaires d’un mouvement d’un point M sous la forme : x(t) 2t 3 ety(t) 4t 2. Déterminer l’équation de la trajectoire décrite par le point M.Application 2 : On donne les équations horaires d’un mouvement d’un point M sous la forme : x(t) t 1 et y(t) t2 2t. Déterminer l’équation de la trajectoire décrite par le point M.Application 3 : On donne les équations horaires d’un mouvement d’un point M sous la forme : x(t) 2cos(t) 2et y(t) 2sin(t) – 1. Déterminer l’équation de la trajectoire d’écrite par le point M.III. Vecteur vitesse :1. Définition :Page 1 sur 7

%%%%%%%⃗𝐎𝐌La vitesse instantanée à un instant t est : 𝐯%⃗ 𝐝𝐭Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée première du vecteur position par rapport au temps.Les caractéristiques du vecteur vitesse sont :Ö Point d’application : point M ou l’on veut définir la vitesseÖ Direction : la tangente en la trajectoire en ce point MÖ Sens : celui du mouvementÖ Norme : l’intensité du vecteur vitesse. Elle s’exprime en m/s ou m.s-12. Vecteur vitesse et coordonnées cartésiennes :Par définition : v%⃗ %%%%%%%⃗89:8;%⃗ v%⃗ 8 Dxı⃗ yȷ⃗ zk%⃗E 8F ⃗ı 8G ⃗ȷ 8H %⃗%%%%%%⃗ xı⃗ yȷ⃗ zkavec OMk 8;8;8;8;8F vF ẋ 8; ⃗ %v⃗ vG ẏ 8G𝐯%⃗ 𝐱̇ ⃗, 𝐲̇ ⃗/ 𝐳̇ 𝐤En norme : 𝐯 2𝐱̇ 𝟐 𝐲̇ 𝟐 𝐳̇ 𝟐8; v ż 8H H8;Nous allons reprendre les exemples vus plus haut et donner dans chaque cas le vecteur vitesse et sa norme.Exercice à faire à la maison : Dans un repère orthonormé (O, ⃗ı, ⃗ȷ) le vecteur position d’un mobile M est défini par :%%%%%%%⃗𝐎𝐌 𝟏𝟎,⃗ ( 𝟓𝐭 𝟐 𝟏𝟎𝐭)/⃗. Les coordonnées sont en mètre et le temps en secondes.a. Déterminer l’équation de la trajectoire. La représenter.b. Déterminer l’expression du vecteur vitesse du mobile M.c. En déduire :§ La valeur de la vitesse à la date t 2 s§ La valeur de la vitesse lorsque le mobile passe au sommet de satrajectoire.3. Vecteur vitesse et coordonnée curviligne :𝐯 U𝐎𝐌𝐝𝐭 𝐝𝐬𝐝𝐭 𝐬̇ ; s étant l’abscisse curviligne𝐝𝐬𝐯%⃗ %𝐮⃗ 𝐬̇ 𝐮%⃗𝐝𝐭%𝐮⃗ 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐞𝐮𝐫 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐢𝐫𝐞 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭 à 𝐥𝐚 𝐭𝐫𝐚𝐣𝐞𝐜𝐭𝐨𝐢𝐫𝐞 𝐞𝐭 𝐨𝐫𝐢𝐞𝐧𝐭é 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝐥𝐞 𝐬𝐞𝐧𝐬 𝐝𝐮 𝐦𝐨𝐮𝐯𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭IV. Accélération :1. Définition :On appelle vecteur accélération d’un point mobile à la date t, le vecteur dérivé par rapport au temps du vecteurvitesse. Elle s’exprime m/s2.%%%%%%%⃗%%%%%%%⃗𝐝𝐯%⃗ 𝐝 𝐝𝐎𝐌𝐝𝟐 𝐎𝐌𝐝𝟐 %%%%%%%⃗𝐎𝐌%⃗𝑎⃗ fg 𝐚 𝟐𝐝𝐭 𝐝𝐭 𝐝𝐭𝐝𝐭𝐝𝐭 𝟐%%%%%%%⃗𝐝𝐯%⃗ 𝐝𝟐 𝐎𝐌 𝐝𝐭𝐝𝐭 𝟐On peut définir ainsi le vecteur accélération comme la dérivée seconde par rapport au temps du vecteur position.2. Vecteur accélération et coordonnées cartésiennes :𝐚%⃗ 𝐚%⃗ 𝐚𝐱 𝐱̈%%%%%%%⃗𝐝𝐯%⃗ 𝐝𝟐 𝐎𝐌𝐝𝟐𝐝𝟐 𝐱𝐝𝟐 𝐲𝐝𝟐 𝐳⃗E ⃗ 𝐚⃗ 𝐚%⃗ i𝐚𝐲 𝐲̈⃗⃗⃗⃗%⃗⃗⃗ D𝐱, 𝐲/ 𝐳𝐤, / 𝐤 𝐱̈, 𝐲̈/ 𝐳̈𝐤𝐝𝐭𝐝𝐭 𝟐𝐝𝐭 𝟐𝐝𝐭 𝟐𝐝𝐭 𝟐𝐝𝐭 𝟐𝐚𝐳 𝐳̈Nous allons maintenant reprendre les exemples vus plus haut et donner dans chacun des cas, le vecteuraccélération ainsi que sa norme.Page 2 sur 7

3. Vecteur accélération et coordonnées curvilignes :%⃗ le vecteur unitaire tangent en M à la trajectoire et orientéSoit 𝐓dans le sens du mouvement.%⃗𝐝𝐝𝐯𝐝𝐓%⃗ D𝐯𝐭⃗E 𝐓𝐯𝐝𝐭𝐝𝐭𝐝𝐭Le vecteur accélération peut se décomposer en deux vecteurs :%⃗ 𝐚%⃗ 𝐯%⃗ 𝐯𝐓𝐝𝐯§%%%⃗𝐭 L’accélération tangentielle : 𝐚§L’accélération normale : %%%%⃗𝐚𝐧 𝐯 𝐝𝐭𝐝𝐭%⃗𝐓%⃗𝐝𝐓%⃗ le vecteur unitaire orthogonal à 𝑇%⃗ et orienté vers l’intérieur de la trajectoire. On démontre que :Soit 𝑁%⃗𝐝𝐓%%%%⃗𝐧 𝐯 𝐚𝐝𝐭𝐯𝟐𝐑%%⃗ ; avec R le rayon de courbure de la trajectoire.𝐍𝟐%⃗ 𝐚𝐧 𝐍%%⃗ 𝐚%⃗ 𝐝𝐯 𝐓%⃗ 𝐯 𝐍%%⃗Donc : 𝐚%⃗ 𝐚𝐭 𝐓𝐝𝐭𝐑%⃗, 𝐍%%⃗) constitue la base de Frenet. (M, 𝐓%⃗, 𝐍%%⃗) est le repère de Frenet.La base (𝐓4. Mouvement accéléré, retardé ou uniforme :Un mouvement est dit accéléré si la mesure ‖v%⃗‖ de la vitesse augmente, retardé si elle diminue, uniforme si elle estconstante.Lorsque v2 augmente𝐝𝐯%⃗𝟐𝐝𝐭𝐝𝐯%⃗ 𝟐𝐯%⃗. 𝐝𝐭 𝟐𝐯.%%⃗ 𝐚%⃗ 𝟎%⃗ 𝟎 (a%%%⃗; et %%%%⃗Ö Si v augmente le mouvement est accéléré et 𝐯%⃗. 𝐚vr sont de même sens)%⃗ 𝟎 (a%%%⃗; et vÖ Si v diminue le mouvement est décéléré et 𝐯%⃗. 𝐚%%%%⃗r sont de sens opposés)Ö Si v est constante le mouvement est uniforme et 𝐯%⃗. 𝐚%⃗ 𝟎 (at 0)Ö Si 𝑎⃗ et %%%%⃗𝑣u sont de même direction, le mouvement est rectiligne.Page 3 sur 7

V. Étude de quelques mouvements :1. Mouvement rectiligne uniforme :a.Définition :Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniforme lorsque sa trajectoire est une droite et le vecteurvitesse constant (𝐯%⃗ 𝐯𝟎⃗,). C’est un mouvement à vecteur accélération nul.b. Équation horaire :Conditions initiales : A t 0 Þ x x0 et v v0dvv vv cte a 0 𝐚 𝟎 et v vv x vv t Cdt(C constante d’intégration déterminée par les conditions initiales)A t O, x xv x xv xv vv x0 C C xv d} ou 𝐱 𝐯𝟎 𝐭 𝐱 𝟎𝐚 𝟎Equations horaires d} unmouvement rectiligne uniforme: Œ 𝐯 𝐯𝟎𝐱 𝐯𝟎 𝐭 𝐱 𝟎Remarque : Toutes les grandeurs qui apparaissent dans les équations horaires sont algébriques.On donne ici les graphes des fonctions x, v et a en fonction du tempsLa pente de la droite donne v0 du mouvement, son ordonnéeà l’origine donne l’abscisse x0 à l’origine des tempsLe diagramme des vitesses est la droite parallèle à l’axe destemps d’ordonnée l’origine v0.Le diagramme des accélérations se réduit à l’axe des tempsc. Application :𝐱 𝐭%%%%%%⃗%%%%%%%⃗Les équations paramétriques du mouvement donnant le vecteur position OM sont : 𝐎𝐌 Œ𝐲 𝟐𝐭 𝟒𝐳 𝟎Page 4 sur 7

Montrer que ce point est animé d’un mouvement rectiligne uniforme.2. Mouvement rectiligne uniformément varié :a.Définition :Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié si sa trajectoire est une droite et son vecteur%⃗ 𝒂𝟎 ⃗)accélération constant (𝒂b. Équation horaire :‘“”“ ’–𝒙 xv a vv“”“ –𝟏𝐚 𝐚𝟎 𝐜𝐭𝐞 𝐯 𝐚𝐭 𝐯𝟎 𝐱 𝐚𝐭 𝟐 𝐯𝟎 𝐭 𝐱 𝟎𝟐v vvv at vv t a“— ”“— 𝐯 𝟐 ”𝐯𝟎𝟐 𝐱 𝐱𝟎 (Formule de Torricelli)’–𝟐𝐚𝐚 𝐜𝐭𝐞 𝐯 𝐚𝐭 𝐯𝟎𝟏𝟐Équations horaires d’un MRUV : 𝐱 𝟐 𝐚𝐭 𝐯𝟎 𝐭 𝐱 𝟎𝐯 𝟐 𝐯𝟎𝟐 𝟐𝐚(𝐱 𝐱 𝟎 )On donne ici les représentations graphiques de x, v et a en fonction du tempsLe graphique des espaces, est une parabole à concavité tournéevers le haut ou le bas selon que l’accélération a est positive ounégative ; l’ordonnée à l’origine de cette courbe donne x0,position du mobile à l’origine des temps à l’origine des temps.Le diagramme des vitesses, est une droite dont la pente estégale à l’accélération et dont l’ordonnée à l’origine est la vitesseinitiale (à l’instant t 0) v0 du mobileLe diagramme des accélérations, est la droite parallèle à l’axedes temps dont l’ordonnée à l’origine est l’accélération dumouvement a.Page 5 sur 7