BASES Y DIMENSIÓN - Unican.es

3) Expresar en forma implícita el subespacio S { (α, 2α, 3α) } de ℜ 3.1ª forma.nº ecuaciones 2nº parámetros libres (es decir, dim S) 3 (en ℜ 3) 1 3Hacen falta, por tanto, 2 ecuaciones implícitas. Tratemos de buscar dos relaciones entrelas coordenadas x,y,z,t del vector genérico (α, 2α, 3α ).Estas dos relaciones son z 3x ; y 2x. Estas son las ecuaciones implícitas.2ª forma. Obtenemos una base de S:(α, 2α, 3α ) α ( 1,2,3 )luego (1,2,3) es una base.(Por tanto dimS 1).Ahora, un vector (x,y,z) de ℜ 3 pertenecerá a S si es combinación lineal de (1,2,3)por tanto si al añadirlo a él , el rango no aumenta y sigue siendo 1. 1 x Debe ser rg 2 y 1. Escalonamos esta matriz para ver su rango. 3 z 1 x 2 y 3 z x 1 0 y 2x 0 z 3x La primera fila de la matriz es no nula, así que el rango será 1 cuando la tercera y cuartafilas sean nulas, es decir, cuando y - 2x 0 ; z - 3x 0. Estas son las ecuacionesimplícitas buscadas. Notar que son las mismas que se obtuvieron en la 1ª forma.4) Expresar en forma implícita el subespacio S { (α 2β, 2α 4β, 3α 6β) } de ℜ 3.A pesar de las apariencias, pues hay dos parámetros, la dimensión de S no es dos. Ello sedebe a que los parámetros no son libres. Se aprecia al hallar una base:( α 2β, 2α 4β, 3α 6β ) α ( 1,2,3 ) β ( 2,4,6 ) Sistema generador (1,2,3) , (2,4,6)Pero no son independientes, luego no son base. Hay que quitar el segundo vector, que esmúltiplo del primero: La base es (1,2,3), por tanto se trata del mismo espacio del ejemplo 3).5) Expresar en forma implícita el subespacio S { (6α 2β, 0, 0, α 4β, 0) } de ℜ 5.Es inmediato por la 1ª forma:nº ecuaciones 3 nº parámetros libres (es decir, dim S)2Hay que buscar tres relaciones entre las coordenadas(6α 2β, 0, 0, α 4β, 0). 5 (enℜ5)5x,y,z,t,s del vector genéricoObviamente se tiene: y 0 , z 0 , s 0. Por tanto, estas son las ecuaciones implícitas.(Nota: una forma paramétrica más sencilla de este subespacio es (λ, 0, 0, µ, 0) ).Neila CamposÁLGEBRA LINEALEspacios Vectoriales26

COORDENADAS Y CAMBIO DE BASEDefinición: Coordenadas.En un espacio vectorial V, fijada una base {v1,v2,. . . vn} , todo vector u V puede ponerse deforma única como combinación lineal de dicha base:u α 1 v1 α 2 v2 . . . α n vnLos escalares α 1, α 2, . . . , α n se llaman coordenadas del vector u en la base {v1,v2,. . . vn}.Ejemplos de coordenadas.1. Coordenadas en distintas bases.En ℜ 2 fijemos la base canónica, { (1,0), (0,1) }. Consideremos el vector v (1,2). Para hallarsus coordenadas en esta base, ponemos u como combinación lineal de la misma:(1,2) 1·(1,0) 2·(0,1)Por tanto, (1,2) son las coordenadas de v en base canónica.Cuando se utiliza la base canónica, obtenemos el sentido usual de “coordenadas”.Pero cuando se utiliza otra base no es así.Por ejemplo, en ℜ 2 fijemos ahora la base B { (2,3), (1,–1) } y consideremos el mismovector v (1,2). Hallemos sus coordenadas en la base B. Para poner v como combinaciónlineal de dicha base, planteamos el sistema(1,2) α (2,3) β (1,–1)v cuya solución es α 13, β – . Así pues,5513(2,3) –(1,–1)551 3Por tanto, , son las coordenadas de v en base B.5 5No debe confundirse el vector con sus coordenadas; aquí el vector sigue siendo v (1,2), y1 3, son un par de números que indican cómo expresar v enlas coordenadas 5 5combinación lineal de la base B.2. Si u es el vector que tiene como coordenadas (5, –6) en la base (1,2) (3,4), ¿cuál es elvector u?Según la definición de coordenadas,u 5 (1,2) (–6) (3,4) (–13, –14).3. El vector cero tiene coordenadas (0, . . . ,0) en cualquier base.Neila CamposÁLGEBRA LINEALEspacios Vectoriales27

4. Coordenadas en un subespacio.En ℜ 3 , sea el subespacio S generado por los vectores (1,1,0) y (0,0,1). (Se trata del planox y en ℜ 3). Los dos vectores son independientes, por tanto forman base de S.Consideremos el vector v (2,2,3) perteneciente a S. Hallemos las coordenadas de estevector respecto a la base (1,1,0), (0,0,1) de S. Para ello expresamos v como combinaciónlineal de dicha base:(2,2,3) 2·(1,1,0) 3·(0,0,1)Así pues, las coordenadas de v en esta base de S son (2,3).No debe sorprendernos que v tenga sólo 2 coordenadas. El vector v ciertamente tendría 3coordenadas como elemento de ℜ 3, pero tiene 2 coordenadas como elemento del plano S,que es un subespacio de dimensión 2.Definición: Matriz del cambio de base.En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’ , se llama matriz de cambio de base (o decambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas lascoordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.Su utilidad es la siguiente: Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitiráhallar las coordenadas de dicho vector en base B’.En efecto, sean (a1, a2, . . . an) las coordenadas de un vector en base B, y sea P la matriz decambio de base de B a B’. Entonces: a1 b1 a b P· 2 2 MM a b n n o lo que es lo mismo, a1 a2 -1 # P a n b1 b2 # b n obteniéndose así (b1, b2, . . . bn) las coordenadas del vector en base B’.Ejemplo.Consideremos en ℜ 2 las dos bases siguientes:la base del ejemplo (1) anterior, B { (2,3), (1, –1) }la base canónica B’ { (1,0), (0,1) } Vamos a construir la matriz de cambio de base de B a B’.Para ello debemos expresar los vectores de la base B en función de la base canónica B’.(2,3) 2·(1,0) 3·(0,1) Æ coordenadas (2,3)(–1,1) 1·(1,0) –1·(0,1) Æ coordenadas (1, –1)Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz decambio de base de B a B’: 2 1 P 3 1 Neila CamposÁLGEBRA LINEALEspacios Vectoriales28

Del mismo modo podemos construir la matriz de cambio de base de B’ a B.Para ello expresamos los vectores de la base canónica B’ en función de la base B. Podemoshallarlo planteando dos sistemas de ecuaciones, de los cuales se obtendrá(1,0) 311 3(2,3) (1,–1) Æ coordenadas ( , )55 55(0,1) 1212(2,3) – (1,–1) Æ coordenadas ( , – )5555Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz decambio de base de B’ a B. 15Q 3 5 52 15Vamos a aplicar estas matrices para hallar las coordenadas en base B del vector v (1,2).Tenemos sus coordenadas en la base canónica B’ que son (1,2). Utilizamos la matriz Q decambio de base de B’ a B: 15 3 5 1 53 52 2 15 151 3, , las coordenadas de v en base B. Comprobar que son lasAsí hemos obtenido 5 5mismas que se obtuvieron en el ejemplo (1) anterior.Podemos volver a las coordenadas en base B’ utilizando la matriz P de cambio de base de B a B': 2 1 53 1 1 3 1 5 2 Propiedades de las matrices de cambio de base .1. Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio alque se refieren las bases.2. Toda matriz de cambio de base es inversible (es decir, con determinante no nulo).Además, la matriz de cambio de B a B’ es inversa de la matriz de cambio de B’ a B. Comprobar en el ejemplo anterior que P y Q son inversas entre sí. Por tanto, después dehallar P, podríamos haber hallado Q como P –1 .3. La matriz de cambio de una base B a la misma base B, es la matriz identidad. Observar en el ejemplo anterior que la matriz más fácil de obtener es la P, que pasa de unabase B a la base canónica, pues basta escribir en las columnas la base B.PBase BBase canónica-1P base B en columnas; Q PQNeila CamposÁLGEBRA LINEALEspacios Vectoriales29

SUMA DIRECTA Y SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOSDados dos subespacios S, T, consideramos el subespacio suma:S T { u v : u S , v T}Uniendo un sistema generador de S con uno de T se obtiene un sistema generador de S T.Sin embargo, no siempre es cierto que uniendo una base de S con una base de T seobtenga una base de S T.Ejemplo.En ℜ 3, consideremos los subespaciosS planoXY, una base es (1,0,0), (0,2,0).T planoXZ, una base es (3,0,0), (0,0,4).S T resulta ser el espacio total ℜ 3. En efecto, un sistema generador de S T es la unión deambos,(1,0,0), (0,2,0), (3,0,0), (0,0,4)que es un sistema generador de ℜ 3. Pero no es una base, pues no es linealmenteindependiente.(Ello ocurre porque S T no es cero)Definición: Suma directa.Se dice que la suma es directa, S T, si su intersección S T es solamente el vector cero.Teorema.Si la suma S T es directa, al unir una base de S y una base de T se obtiene una base deS T.Ejemplo.En ℜ 3, consideremos los subespaciosS planoXY, una base es (1,0,0), (0,2,0).H eje Z, una base es (0,0,5)La suma es directa pues S H {0}. El subespacio suma S H resulta ser el espacio totalℜ 3. Por el teorema anterior, uniendo las bases de S y de H se obtendrá una base delsubespacio suma:(1,0,0), (0,2,0), (0,0,5)que efectivamente es base de ℜ 3.Neila CamposÁLGEBRA LINEALEspacios Vectoriales30

Fórmulas de las dimensiones.Del teorema anterior se deduce la siguiente fórmula: si la suma es directa,dim (S T) dim (S) dim (T)Si la suma no es directa, hay que añadir un término más, teniéndose la fórmuladim (S T) dim (S T) dim (S) dim (T)(la primera fórmula se puede obtener de la segunda, pues en el caso de suma directa, eltérmino de la intersección vale cero).Definición (subespacio suplementario):Si dos subespacios S, T están en suma directa y además su suma es igual al espacio total,S T V, se dice que S y T son suplementarios (o complementarios).Todo subespacio tiene infinitos suplementarios, salvo el {0}, cuyo único suplementario es eltotal, y el total, cuyo único suplementario es el {0}.Ejemplo.En ℜ 3, el suplementario de un plano es cualquier recta que no esté contenida en el plano.Igualmente el suplementario de una recta es cualquier plano que no la contenga.Cálculo de una base de un suplementario:Dada una base de S, la prolongamos añadiendo vectores, independientes de los anteriores,hasta formar una base del espacio total. (Para ello podemos elegir cualesquiera vectores,por ejemplo elegirlos entre los de la base canónica).Los vectores añadidos forman así una base de un suplementario de S.Ejemplo.En ℜ 4, sea S el subespacio cuya base es v1 (1,0,2,0), v2 (3,0,0,0). Vamos a hallar unsuplementario de S. Para ello prolongamos la base dada añadiendo vectores que elegimosentre los de la base canónica. Han de ser independientes de los anteriores. No podemos añadir (1,0,0,0) porque no es independiente de los anteriores. (Es múltiplo dev2). Podemos añadir v3 (0,1,0,0) pues es independiente de v1 , v2 (La matriz formada porv1, v2, v3 tiene rango 3). No podemos añadir w (0,0,1,0) pues no es independiente de los anteriores. (La matrizformada por v1, v2, v3 ,w tiene rango 3; su determinante es cero). Podemos añadir v4 (0,0,0,1) pues es independiente de v1 , v2 (La matriz formada porv1, v2, v3 ,v4 tiene rango 4; su determinante es no nulo).- Ya hemos terminado, pues tenemos 4 vectores independientes y por tanto una base deltotal ℜ 4. Los dos vectores que hemos añadido, v3 (0,1,0,0) y v4 (0,0,0,1), forman unabase de un suplementario de S.Neila CamposÁLGEBRA LINEALEspacios Vectoriales31

Teorema y definición: Dimensión. Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio. Ejemplos de dimensión. 1. ℜ. n. tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica). 2. M. 2x2 {matrices 2x2 con términos reales} tiene .