Matematika - Sciencemathematicseducation.files.wordpress
Nugroho Soedyarto MaryantoMatematikaUntuk SMA dan MA Kelas XI Program IPAPusat Perbukuan2Departemen Pendidikan Nasionali
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-UndangMatematikaJilid 2 untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPAPenulis: Nugroho SoedyartoMaryantoIlustrasi, Tata Letak : Tim Dept. GrafisPerancang Kulit: Alfi S.Ukuran Buku: 17,5 25 cmSumber Gambar Sampul RTO, NugrohoMatematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPANugroho Soedyarto, Maryanto – Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional, 2008.vii, 272 hlm.: ilus.; 25 Cm.Bibliografi: hlm.271-272ISBN 979-462-586-81. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Matematika 2II. MaryantoDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh .ii
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya,Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membelihak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepadamasyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telahditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakandalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbityang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen PendidikanNasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada DepartemenPendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan,atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial hargapenjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkanbahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruhIndonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumberbelajar ini.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kamiucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwabuku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kamiharapkan.Jakarta, Juli 2008Kepala Pusat Perbukuaniiiiii
Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atasberkah, rahmat, dan karunia-Nya, penyusunan buku Matematika untuk SMA danMA kelas XI Program IPA dapat diselesaikan.Buku ini disusun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatanbelajar mengajar mata pelajaran Matematika di sekolah.Dalam buku ini disajikan materi pembelajaran matematika secara sederhana,efektif, dan mudah dimengerti yang disertai contoh dalam kehidupan. Simbol, tabel,diagram, dan grafik disajikan untuk mempermudah kamu dalam memahami materiyang sedang dipelajari. Buku ini juga dilengkapi contoh soal dan tugas-tugas di setiapsubbab dan akhir bab.Sesuai dengan tujuan dalam pembelajaran Matematika, kamu diharapkan dapatmemahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep, danmengaplikasikannya untuk memecahkan masalah.Kamu juga diharapkan mampu menggunakan penalaran, mengomunikasikangagasan dengan berbagai perangkat matematika, serta memiliki sikap menghargaimatematika dalam kehidupan.Akhirnya kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telahmembantu penerbitan buku ini.Surakarta, Mei 2008Penyusuniv
Buku Matematika ini disusun untuk membantu siswa SMA memahami Matematika.Buku Matematika ini juga diharapkan dapat menjadi referensi bagi guru dalam membimbingsiswa mempelajari Matematika.Bab-bab dalam buku ini disusun dengan sistematika yang unik, sehingga mempermudahsiswa dalam mempelajari materi yang disajikan. Sistematika buku ini adalah sebagai berikut.1. Awal bab, setiap bab diawali dengan ilustrasi berupa gambar dan aktivitas yang relevandengan isi bab yang akan dipelajari. Selain ilustrasi, juga dipaparkan tujuan pembelajaransesuai dengan Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar yang harus dicapai siswa.2. Peta konsep, berisi konsep-konsep dari materi yang akan dipelajari serta hubunganantarkonsep.3. Kata kunci, berisi kata-kata penting yang menjadi kunci pembahasan dalam bab tersebut.4. Uraian materi, materi pembelajaran dalam buku Matematika ini disajikan dengan kalimatyang sederhana sehingga mudah dipahami siswa.5. Contoh soal, setiap pembahasan suatu materi dilengkapi dengan contoh soal untukmemperjelas konsep yang dipelajari.6. Latihan, berisi soal-soal untuk menguji kemampuan siswa dalam memahami materiyang telah dipelajari.7. Rangkuman, berisi pokok-pokok pembicaraan di dalam bab yang telah selesai dipelajari.8. Evaluasi, berisi soal-soal untuk melatih kemampuan siswa dalam menguasai materidalam bab yang telah dipelajari.9. Glosarium, berisi daftar kata-kata sulit yang dijumpai di dalam buku. Glosarium dapatkamu gunakan sebagai pegangan atau semacam kamus dalam mempelajari materi.10. Indeks, berisi kata-kata atau istilah penting yang disertai dengan nomor halaman tempatkata atau istilah tersebut muncul. Melalui indeks, kamu dapat dengan cepat menemukanhal-hal yang sedang dicari.11. Notasi atau Simbol, berisi kumpulan simbol atau notasi beserta penjelasannya.12. Kunci Jawaban, berupa jawaban dari beberapa soal terpilih.Berikut langkah-langkah yang disarankan bagi siswa dalam menggunakan bukuMatematika ini.1. Baca tujuan pembelajaran yang ada di awal bab.2. Pelajari peta konsep terlebih dahulu dan perhatikan kata kunci yang akan menjadikunci pembahasan materi dalam bab itu.3. Pahami uraian materi dengan saksama dan perhatikan contoh soal yang diberikandengan sebaik-baiknya.4. Bila menemukan kata-kata yang sukar di mengerti atau notasi yang belum dipahami,carilah arti kata itu dalam Glosarium yang ditempatkan di akhir buku, sedangkan artinotasi dapat kamu temukan dalam Notasi Matematika, juga diletakkan di akhir buku.5. Kerjakan latihan soal yang ada di setiap subbabnya.6. Baca kembali rangkuman yang ada di akhir bab.7. Kerjakan soal-soal yang ada di akhir bab.v v
Sambutan . .Kata Pengantar .Petunjuk Penggunaan .Daftar Isi . .iiiivvviSemester IBab 1 StatistikaABCMenyajikan Data dalam Bentuk Diagram .Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi .Menghitung Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak, dan UkuranPenyebaran Data .Rangkuman .Evaluasi .511204649Bab 2 PeluangAAturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam PemecahanMasalah .B. Ruang Sampel Suatu Percobaan .C. Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya .Rangkuman .Evaluasi .5770728182Bab 3 TrigonometriAPenggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut,Selisih Dua Sudut, dan Sudut Ganda . 89B Penurunan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus . 98C Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus . 106Rangkuman . 108Evaluasi . 110Bab 4 LingkaranA Persamaan Lingkaran .B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran .Rangkuman .Evaluasi .vivi117127136137
Semester IIBab 5 Suku BanyakA Algoritma Pembagian Suku Banyak .B Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor .C. Akar-Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak .Rangkuman .Evaluasi .145154162165167Bab 6 Komposisi Fungsi dan Invers FungsiA Relasi dan Fungsi .B Aljabar Fungsi .C Fungsi Komposisi .D Fungsi Invers .Rangkuman .Evaluasi .173180181187193194Bab 7 Limit FungsiABPengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga .Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu FungsiAljabar dan Trigonometri .Rangkuman .Evaluasi .199205216217Bab 8 Turunan FungsiA.BPenggunaan Konsep dan Aturan Turunan .Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik SuatuFungsi .C Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan denganEkstrim Fungsi .D Penyelesaian Model Matematika dari Masalah yang Berkaitandengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya .E Teorema L’Hopital .Rangkuman .Evaluasi .223Glosarium .Notasi Matematika .Kunci Jawaban .Daftar Pustaka .Indeks . .261264266271272237248251254255257vii
viii
1StatistikaMenyajikan Data dalam Bentuk Diagram ;Menyajikan Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi ;Menghitung Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak, dan Ukuran ;Penyebaran DataKalau kamu ke kantor kelurahan, kantor pajak, kantor sekolah, atau kantor instansipemerintahan, apakah yang dapat kamu lihat di papan informasi? Biasanya di papaninformasi terdapat gambar lingkaran, grafik garis, batang, atau balok-balok. Grafikgrafik itu merupakan gambaran mengenai pencacahan penduduk, perhitungan pajak,dan perkembangan kemajuan sekolah. Contoh-contoh tersebut merupakan salah satuaplikasi dari konsep statistika.Dalam perkembangannya, statistika sekarang banyak dimanfaatkan dalamberbagai bidang seperti bidang ekonomi, kedokteran, pertanian dan sebagainya.Penelitian jenis manapun dirasa kurang lengkap apabila tidak memanfaatkanperhitungan-perhitungan statistika. Dalam bab ini kamu akan belajar menggunakanaturan statistika, sehingga dapat membaca dan menyajikan data dalam bentuk tabeldan berbagai diagram serta menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuranpenyebaran data beserta penafsirannya.
STATISTIKAMembaca data dalambentuk tabel dandiagram batang, garis,lingkaran, dan ogiveSajian data dalambentuk diagramgaris, diagramlingkaran, dandiagram batangMenyajikan data dalambentuk tabel dan diagrambatang, garis, lingkaran, danogive serta penafsirannyaMengidentifikasinilai suatu datayang ditampilkanpada tabel daridiagramUkuranpemusatanrataan, modus,medianData dalam bentukdiagram batang, garis,lingkaran, dan ogiveserta penafsirannya 4diagram lingkarandiagram batangogivehistogramrataanmodusmedian Menghitung ukuranpemusatan, ukuran letak,dan ukuran penyebarandata serta penafsirannyaMenafsirkan datadalam bentuk diagrambatang, garis,lingkaran, dan ogivekuartildesilpersentiljangkauansimpangan kuartilvariansisimpangan bakuMatematika SMA dan MA Kelas XI Program i,variansi,dandan simpangansimpanganbakuUkuran letakkuartil, desil
AMenyajikan Data dalam Bentuk DiagramStatistika adalah cabang dari matematika terapan yang mempunyai cara-cara, maksudnyamengkaji/membahas, mengumpulkan, dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data,serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan, menafsirkanparameter, dan menguji hipotesa yang didasarkan pada hasil pengolahan data. Contoh: statistikjumlah lulusan siswa SMA dari tahun ke tahun, statistik jumlah kendaraan yang melewatisuatu jalan, statistik perdagangan antara negara-negara di Asia, dan sebagainya.1. Diagram GarisPenyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebutdiagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untukmenyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktusecara berurutan.Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkannilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatanmembentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatantadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafikgaris. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.Contoh soalFluktuasi nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampaidengan tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkan oleh tabel sebagai berikut.TanggalKurs BeliKurs Jual18/219/220/2Rp. 9.091 Rp. 9.093 Rp. 9.128Rp. 9.181 Rp. 9.185 Rp. 9.22021/222/2Rp. 9.123 Rp. 9.129Rp. 9.215 Rp. 9.221Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram garis.PenyelesaianJika digambar dengan menggunakan diagram garis adalah sebagai berikut.Fluktuasi nilai tukar rupiah terhadap dolar AS9.1009.2009.3009.091 9.0939.183 9.1859.128 9.123 9.1299.220 9.215 9.221Kurs BeliKurs Jual9.4009.50018/219/220/221/222/2Statistika5
2. Diagram LingkaranDiagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambaryang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahuluditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnyasudut pusat sektor lingkaran. Perhatikan contoh berikut ini.Contoh soalRanah privat (pengaduan) dari koran Solo Pos pada tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkanseperti tabel berikut.No1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.Ranah n/gangguan jalanMasalah lingkungan/ kebersihanKesehatan/PKMS/AskeskinLalu lintas/penertiban jalanRevitalisasi/budaya bangunan liarPLN dan PDAMProvider HPTayangan TV/radio/koranLain-lainJumlah5%9%6%3%6%20 %3%7%10 %2%2%7%3%17 %100 %Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram lingkaran.PenyelesaianSebelum data pada tabel di atas disajikan dengan diagram lingkaran, terlebih dahuluditentukan besarnya sudut dalam lingkaran dari data tersebut.61.5 360 18 CPNS/Honda/GTT 1002.3.9 360 32,4 Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan 1006 360 21,6 Masalah lingkungan/kebersihan 1004.3 360 10,8 Kesehatan/PKMS/Askeskin 1005.6 360 21,6 Lalu lintas/penertiban jalan 1006.20 360 72 Revitalisasi/budaya Jawa 100Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
7.3 360 10,8 Parkir 1008.7 360 25,2 Pekat/penipuan/preman 1009.10 360 36 Persis/olahraga 1002 360o 7,2 10. PKL/Bangunan liar 1002 360 7,2 11. PLN dan PDAM 1007 360 25,2 12. Provider HP 1003 360 10,8 13. Tayangan TV/radio/koran 10017 360 61,2 14. Lain-lain 100Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut.Ranah da/GTT5%Masalah lingkungan/kebersihan6%Provider HP7%PLN dan PDAM2%Kesehatan/PKMS/Askeskin3%Lalu lintas/penertiban jalan6%PKL/Bangunan liar2%Persis/olah n/gangguan jalan9%Parkir3%Revitalisasi/budayaJawa20%3. Diagram BatangDiagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilaisuatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkanketerangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebardengan batang-batang terpisah. Perhatikan contoh berikut ini.Statistika7
Contoh soalJumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalahsebagai Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.PenyelesaianData tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.Banyak lulusanLulusan SMA X Tahun 2001 - 200412010080604020020002001200220032004Tahun4. Diagram Batang DaunDiagram batang daun dapat diajukan sebagai contoh penyebaran data. Dalamdiagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan lebih dulu dari data ukuran terkecilsampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram ini terdiri dari dua bagian, yaitu batangdan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.Perhatikan contoh soal berikut, agar kamu dapat segera memahami.Contoh soalBuatlah diagram batang-daun dari data berikut.45 10 20 31 48 20 29 27 11 825 21 42 24 22 36 33 22 23 1334 29 25 39 32 38 50 58Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
PenyelesaianMula-mula kita buat diagram batang-daun di sebelah kiri kemudian membuat diagrambatang-daun di sebelah kanan agar data terurut.Batang543210Daun0510088 26 3 4 9 2 80 9 7 1 4 2 2 3 9 515Batang543210Daun0210055 82 3 4 6 8 90 1 2 2 3 4 5 5 7 9 918Dari diagram batang-daun di atas dapat dibaca beberapa ukuran tertentu, antara lain:a. ukuran terkecil adalah 5;b. ukuran terbesar adalah 50;c. ukuran ke-1 sampai ukuran ke-10 berturut-turut adalah 5, 8, 10, 11, 20, 20, 21, 22,22 dan 23;d. ukuran ke-16 adalah: 29.5. Diagram Kotak GarisData statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalahstatistik Lima Serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan data terbesar),Q1, Q2, dan Q3. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut.Contoh soalDiketahui data sebagai berikut:41, 52, 66, 86, 91, 65, 86, 88, 41, 62, 42, 59, 72, 99, 53,69, 87, 93, 64, 44, 64, 42, 92, 54, 78, 86, 92, 100, 79, 47a.b.Tentukan statistik Lima Serangkai.Buatlah diagram kotak garis.Penyelesaiana.Setelah data diurutkan menjadi:41, 41, 42, 42, 44, 47, 52, 53, 54, 59, 62, 64, 64, 65, 66, 69,72, 78, 79, 86, 86, 86, 87, 88, 91, 92, 92, 93, 99, 100Diperoleh:x min 41 merupakan data yang nilainya terendahx maks 100 merupakan data yang nilainya tertinggiQ1 53 merupakan kuartil bawahQ2 67,5 merupakan kuartil tengah atau medianQ3 87 merupakan kuartil atasStatistika9
Atau ditulis menjadi:Q2 67,5b.Q1 53Q3 87xmin 41xmax 100Diagram kotak garisnya sebagai berikut. Q2Q3Q1304050607080901001.1Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Suhu badan Budi selama 10 hari ditunjukkan oleh tabel berikut.Hari ke:Suhu (oC)1352363374536 37,56387378938 38,51037a. Buatlah diagram garisnya.b. Hari ke berapakah suhu terendah Budi.c. Hari ke berapakah suhu tertinggi Budi.2. Jumlah penduduk dari suatu kelurahan sebanyak 3.600 orang, dengan berbagaitingkat pendidikannya ditunjukkan seperti pada gambar berikut.PendidikanSDSMPSMA/SMKPerguruan TinggiJumlah pendudukJumlah100 orang500 orang2.100 orang900 orang3.600 orangJika data tersebut dibuat diagram lingkaran, maka tentukan:a. besarnya sudut sektor lingkaran untuk pendidikan SD, SMP, SMA/SMKdan Perguruan Tinggi;b. diagram lingkarannya.10Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
3. Dari hasil tes matematika kelas XI IPA sebanyak 20 siswa diperoleh hasil sebagaiberikut.85 52 47 35 39 62 83 52 75 9572 65 80 78 76 56 68 85 92 43a. Buatlah diagram batang daun dari data di atas.b. Berapakah nilai terendah dan tertinggi yang dicapai siswa kelas XI IPA4. Jumlah lulusan SD X dari tahun 2001 sampai dengan tahun 2005 ditunjukkanoleh tabel sebagai 5170a. Buatlah diagram batangnya.b. Pada tahun berapakah jumlah lulusannya mencapai 175 siswa?c. Dari tahun 2001 sampai dengan tahun 2005, tahun berapakah jumlahlulusannya terendah?5. Di bawah ini adalah daftar berat badan (kg) dari siswa di sebuah 362734303333253327363726363535344133a. Tentukan statistik lima serangkai.b. Buatlah diagram kotak garis.BPenyajian Data dalam Bentuk Tabel DistribusiFrekuensiSelain dalam bentuk diagram, penyajian data juga dengan menggunakan tabel distribusifrekuensi. Berikut ini akan dipelajari lebih jelas mengenai tabel distribusi frekuensi tersebut.1. Distribusi Frekuensi TunggalData tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkaladinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggalmerupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit. Perhatikan contoh data berikut.5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 3, 4, 6, 68, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 7, 4, 8, 7, 6Statistika11
Dari data di atas tidak tampak adanya pola yang tertentu maka agar mudah dianalisisdata tersebut disajikan dalam tabel seperti di bawah ini.NilaiTally (Turus)Frekuensi 345678910176108611 Daftar di atas sering disebut sebagai distribusi frekuensi dan karena datanyatunggal maka disebut distribusi frekuensi tunggal.2. Distribusi Frekuensi BergolongTabel distribusi frekuensi bergolong biasa digunakan untuk menyusun data yangmemiliki kuantitas yang besar dengan mengelompokkan ke dalam interval-interval kelasyang sama panjang. Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematikadari 40 siswa kelas XI berikut 7475747274757472687971806971707080Apabila data di atas dibuat dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi tunggal,maka penyelesaiannya akan panjang sekali. Oleh karena itu dibuat tabel distribusifrekuensi bergolong dengan langkah-langkah sebagai berikut.a. Mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang, misalnya65 – 67, 68 – 70, , 80 – 82. Data 66 masuk dalam kelompok 65 – 67.b. Membuat turus (tally), untuk menentukan sebuah nilai termasuk ke dalam kelasyang mana.c. Menghitung banyaknya turus pada setiap kelas, kemudian menuliskan banyaknyaturus pada setiap kelas sebagai frekuensi data kelas tersebut. Tulis dalam kolomfrekuensi.d. Ketiga langkah di atas direpresentasikan pada tabel berikut ini.12Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
Hasil TugasTitik Tengah65 – 6768 – 7071 – 7374 – 7677 – 7980 – 82666972757881TurusFrekuensi Jumlah2513144240Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensibergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.a. Interval KelasTiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelassaja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.65 – 67 Interval kelas pertama68 – 70 Interval kelas kedua71 – 73 Interval kelas ketiga74 – 76 Interval kelas keempat77 – 79 Interval kelas kelima80 – 82 Interval kelas keenamb. Batas KelasBerdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79,dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.c.Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.Tepi bawah batas bawah – 0,5Tepi atas batas atas 0,5Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepibawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.d. Lebar kelasUntuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:Lebar kelas tepi atas – tepi bawahJadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 3.Statistika13
e. Titik TengahUntuk mencari titik tengah dapat dipakai rumus:Titik tengah 12 (batas atas batas bawah)Dari tabel di atas: titik tengah kelas pertama 12 (67 65) 66titik tengah kedua 12 (70 68) 69dan seterusnya.3. Distribusi Frekuensi Kumulatifa.b.Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.Data41 – 4546 – 5051 – 5556 – 6061 – 6566 – 70Frekuensi Tepi Bawah340,5645,51050,51255,5560,5465,5Tepi Atas45,550,555,560,565,570,5Dari tabel di atas dapat dibuat daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebihdari seperti berikut.DataFrekuensi KumulatifKurang DariData 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,53919313640 40,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5Frekuensi KumulatifLebih Dari40373121944. HistogramDari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dandisajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang,gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya14Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusifrekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutansebagai berikut.Hari12345678Banyaknya siswa absen515101520251510Berdasarkan data diatas dapat dibentuk histogramnya seperti berikut dengan membuattabel distribusi frekuensi tunggal terlebih dahulu.5. Poligon FrekuensiApabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atasdapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Statistika15
Contoh soalHasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusibergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.Berat Badan (kg)15 – 1920 – 2425 – 2930 – 3435 – 3940 – 4445 – 4950 – 5455 – 5960 – 64Titik 100PenyelesaianfrekuensiHistogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.poligon frekuensihistogramberat badan6. Poligon Frekuensi KumulatifDari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligonfrekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yangdisebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soal16Hasil UlanganFrekuensi65 – 6768 – 7071 – 7374 – 7677 – 7980 – 822513144240Hasil tes ulangan Matematika terhadap40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalamtabel di samping.a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurangdari dan lebih dari.b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun.Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
Penyelesaiana. Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut.Data 67,5 70,5 73,5 76,5 79,5 82,5Data 64,5 67,5 70,5 73,5 76,5 79,5Frekuensi KumulatifLebih Dari4038332062Ogive naik dan ogive turunDaftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidangCartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; ; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; ; 79,5)diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensikumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukandihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive,yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkandistribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.Ogive naik dan ogive turun data di atas adala
Buku Matematika ini disusun untuk membantu siswa SMA memahami Matematika. Buku Matematika ini juga diharapkan dapat menjadi referensi bagi guru dalam membimbing siswa mempelajari Matematika. Bab-bab dalam buku ini disusun dengan sistematika yang unik, sehingga mempermudah siswa dalam mempelajari materi yang disajikan.
Soal Matematika Model PISA Indonesia Tahun 2015 Soal Matematika Model PISA Menggunakan Konteks Lam. Soal UAN dan Jawaban Matematika SMA Lingkaran Soal UN dan Jawaban Matematika Peluang Soal Matematika Eksponen UM UNDIP Contoh Soal Matematika Masuk UGM Soal UN dan Jawaban Persamaan Linier Soal UN dan Jawaban Trigonometri
c. Tujuan Pembelajaran Matematika 10 d. Perlunya Belajar Matematika 10 e. Kesulitan Belajar Matematika 11 f. Penyebab kesulitan Belajar Matematika 13 g. Upaya Dalam Mengatasi Penyebab Kesulitan Belajar Matematika 22 2. Tunarungu 25 a. Pengertian Tunarungu 25 b
Tuntutan Perubahan Strategi Pembelajaran Matematika A. Praktek Pembelajaran Matematika Masa Lalu Pembahasan mata diklat strategi pembelajaran matematika ini akan dimulai dengan kegiatan mengilas-balik, merefleksi, atau merenungkan tentang hal-hal yang sudah dilakukan para guru matematika SMK selama bertahun-tahun di kelasnya masing-masing.
Memiliki kemampuan mengembangkan silabus dan RPP Matematika SMP. B. Peta Bahan Ajar 1. Bahan ajar ini merupakan bahan ajar pada Diklat Guru Pemandu/Guru Inti/Pengembang Matematika SMP/MTs Tahun 2010 2. Mata diklat: a. Teknik Pengembangan Silabus dan RPP Matematika SMP (3 jam). b. Pengembangan Silabus dan RPP Matematika SMP (10 jam). 3.
mengatakan bahwa karakteristik anak yang mengalami kesulitan belajar matematika ditandai oleh . Laporan Studi Matematika dan Ilmu Pengetahuan Internasional Ketiga (Nurdiana, 2014) . dalam menyelesaiakan soal matematika materi persa
bidang Aljabar pada Program Studi S1 Matematika, S1 Ilmu Aktuaria, S2 Matematika dan S3 Matematika antara lain: Program Studi Mata Kuliah S1 Matematika Teori Bilangan, Aljabar Linear, Aplikasi Aljabar Linear, Matematika Diskret, Struktur Aljabar I , Struktur Aljabar
2.1 Kajian Teori 2.1.1 Matematika 2.1.1.1 Hakikat Matematika Matematika menurut Ruseffendi dalam Heruman (2013:1) mengemukakan bahwa “ bahasa simbol, ilmu yang mempunyai pola teratur, terstruktur. Matematika merupakan suatu dasar pembekalan pendidikan untuk melatih siswa untuk dapa
Many community courts handle criminal cases only, but others are experimenting with a broader range of matters, including juvenile delinquency and housing code violations. Some community courts were initiated by courts, and some have been championed by a district attorney. These differences reflect a central aspect of community courts: they focus on neighborhoods and are designed to respond to .
