Mathématiques Pour La Physique. - Université Grenoble Alpes

11La théorie des tenseurs sera également dans un chapitre. Nousnous contenterons essentiellement des tenseurs dans un espaceeuclidien où il n’y a pas à faire de différence entre les vecteurs et lescovecteurs.La théorie des fonctions analytique complexe est également abordée, ainsi que de façon très sommaire, l’intégration de Lebesgue etles intégrales de chemin.Enfin un petit chapitre est consacré aux nombres. Nous les manipulons depuis si longtemps que nous avons oublié comment on lesa construit. Ce chapitre tente de remédier à cet oubli.Bon, suffisamment digressé, voyons du concret.

2Éléments d’analyse fonctionnelle.Les espaces vectoriels jouent un rôle unificateur fondamentalen mathématiques. Peut-être cela rappelle au lecteur des souvenirsde matrices, de bases et de ses changements, . Nous allons revoirtout cela de façon assez légère mais surtout appliquée à l’ensembleextrêmement vaste des fonctions. Nous allons voir que nous pouvons décrire les fonctions comme des vecteurs dans des espaces dedimensions infinies, en utilisant pratiquement les mêmes outils quepour des vecteurs à trois dimensions. Cela s’appelle analyse fonctionnelle et a été formalisé par Hilbert au début des années 1900.Le reste de ce cours s’appuie constamment sur les résultats de cechapitre dont la lecture est indispensable.2.1 Les espaces vectoriels.Figure 2.1 – Exemple de vecteurs géométriques dans leplan.Qu’est ce qu’un espace vectoriel ?Nous connaissons déjà certains ensemble célèbre comme celuides nombres réels R ou complexes C. On les appellera dans la suiteindifféremment l’ensemble des scalaires S. Un espace vectoriel estun ensemble E où l’opération a un sens. Pas n’importe quel sensd’ailleurs, mais ce qu’on associe instinctivement 1 à cette opération :(i) si a et b appartiennent à notre ensemble, alors a b aussi ;1. un instinct forgé par une douzained’année d’étude.(ii) a b b a .En plus, multiplier un vecteur par un scalaire a un sens, qui plusest, lui aussi “très naturel”. Si s, s1 , s2 S et a, b E , alors :(iii) sa E ;(iv) (s1 s2 ) a s1 a s2 a ;(v) s( a b) sa sb ;(vi) E possède un élément zéro, qu’on notera 0 2 tel que a 0 a, a, 0 E .N’oublions pas que quand on parle de sa, on parle bien d’un vecteur et non d’un scalaire. L’ensemble des maisons d’une ville parexemple n’a pas vraiment une structure d’espace vectoriel. Parcontre, l’ensemble des vecteurs dans un plan, l’ensemble des polynômes, ou l’ensemble des fonctions définies sur [0, 1] ont une2. En caractère gras pour ne pas leconfondre avec le 0 des scalaires.

14CHAPITRE 2. ÉLÉMENTS D’ANALYSE FONCTIONNELLE.structure d’espace vectoriel. L’intérêt majeur est que tout 3 ce quel’on peut affirmer pour l’un de ces ensembles (en rapport avec soncaractère vectoriel) pourra être généralisé aux autres.3. Bon, il faut, de temps en temps,prendre des précautions.Bases d’espace vectoriel.Une base est l’ensemble de certains éléments de notre espace Equi nous permet de décrire tout les autres. Pour être plus rigoureux, supposons que e1 , e2 , e3 , ., ei E , soit une base. Dans ce cas,pour n’importe quel élément a de E , on peut trouver des scalaires (des chiffres donc) si tel que a i si ei . On dit que a est une combinaison linéaire des vecteurs ei . Bien sûr, il faut prendre le minimumde ei qui rende cette description faisable. Pour cela, il suffit d’exigerqu’aucun des ei ne puisse être une combinaison linéaire des autres(on dit alors que ces vecteurs sont linéairement indépendant). Lesscalaire si qu’on aura trouvé pour la description de a sont alorsunique. On les appelle les composantes du vecteur a dans la base{ e }.Le grand intérêt des bases est qu’elles nous permettent de manipuler les vecteurs comme des collections de chiffres. Pour lesvecteurs dans le plan, nous ne sommes pas obligé de faire des dessins, nous pouvons les représenter par des doublets ( x1 , x2 ) si nousnous sommes fixés à l’avance deux vecteurs de références. A partirdu moment où on peut représenter les objets par des chiffres, onpeut pratiquement tout faire (ehem). 4Pour l’espace vectoriel des polynômes, les polynômes 1, X, X 2 , .constituent une base. Une autre serait {1, (1 X ), (1 X )2 , .}.Bien sûr, le choix de la base n’est pas unique. On peut cependantremarquer que l’ensemble des vecteurs du plan est de dimension2 (il suffit de deux vecteurs pour définir une base), tandis que l’ensemble des polynômes est de dimension infinie. Ce n’est pas unetrès grande infinie, le nombre d’éléments dans la base qui couvreles polynômes est le même que celui des nombres dans N. On ditalors que c’est une infinie dénombrable 5 .Qu’en est il de l’espace des fonctions ? A priori, c’est un espaced’une très grande dimension. On verra par la suite que si on sedonne quelques restrictions, on peut également définir une basedénombrable pour cet espace. C’est un des théorèmes les plus fascinants d’analyse.Figure 2.2 – Ici, a 2 e1 e2 ,donc dans la base ( e1 e2 ), levecteur a est représenté par lecouple (2, 1).4. Comme 8 19x 29x2 21x3 6x4 6(1 x )4 3(1 x )3 2(1 x )2 3, nous voyons que le vecteur (8, 19, 29, 21, 6, 0, 0, .) dansla base des X n est représenté par(3, 0, 2, 3, 6, 0, 0, .) dans la base des(1 X ) n .5. C’est le plus petit des infinis. Sansrentrer dans les détails, l’infini quiensuite est vraiment plus grande queN est celui de R. L’ensemble de toutesles fonctions est une infinie encoreplus grande.Le produit scalaire.On peut enrichir la structure d’espace vectoriel en rajoutantd’autres opération que le et le produit par un scalaire. L’opération la plus utile à définir pour l’Analyse est le produit scalaire(qu’on appelle également le produit intérieur). Le produit scalaireest une opération qui, à deux vecteurs, associe un scalaire 6 . Nousnoterons le produit scalaire de deux vecteurs ( a, b). En physique, on a plus l’habitude de le noter par a . b , en mécanique quantiquepar h a bi.6. (., .) : E E S.Si l’espace vectorielest associé aux réels (complexes), lescalaire est un réel (complexe).

152.1. LES ESPACES VECTORIELS.Nous sommes assez habitués depuis les années du lycée avec ceconcept. Un “bon” produit scalaire doit avoir ces quelques propriétés :(i) (sa, b) s( a, b) où s S, et a, b E .(ii) ( a b, c) ( a, c) (b, c). où a, b, c E .(iii) ( a, a) R et ( a, a) 0 si a 6 0 et ( a, a) 0 si a 0.Par exemple, dans l’ensemble des vecteurs du plan, on peut définirun produit scalaire par ( a, b) xi yi où xi et yi sont les composantes des deux vecteurs a et b.La propriété (iii) est très intéressante. Elle nous permet de définir la longueur d’un vecteur, qu’on appelle sa norme et que l’onnote k ak2 ( a, a). L’intérêt de pouvoir disposer d’une norme estimmense. On peut par exemple savoir si deux vecteurs a, b sont“proches” l’un de l’autre en regardant la norme de leur différencek a bk, ce qui nous permet à son tour de définir la notion de limite(souvenez vous, les blabla, blabla tel que blablabla .). Cela paraît évident si l’on parle des vecteurs d’un plan, ça l’est beaucoupmoins quand on discute des espaces vectoriels plus riches commecelui des fonctions. Est ce que par exemple, on peut dire que lafonction sin(.) et log(.) sont proches ?Nous avons besoin aussi de préciser la commutativité. Nousexigeons du produit scalaire :Figure 2.3 – Le produit scalaire (., .) associe, de façonlinéaire, à deux vecteurs del’espace E un scalaire de l’ensemble S .(iv) ( a, b) (b, a) si E est associé aux réels ;(iv’) ( a, b) (b, a) si E est associé aux complexes.Par exemple, pour les vecteurs de C2 , on peut définir le produitscalaire de a, b par i xi yi où xi , yi sont les composantes de a et b.Notez bien que l’on doit multiplier la composante de l’un par lecomplexe conjugué de l’autre si on veut respecter la propriété (iii)et disposer d’une norme 7 . La propriété (iv) ou (iv)’, combinée à lapropriété (i) nous donne :(i’) ( a, sb) s( a, b) si E est associé aux réels ;(i”) ( a, sb) s ( a, b) si E est associé aux réels.L’orthogonalité.Nous nous souvenons que pour les vecteurs dans Rn , deux vecteurs (6 0) sont perpendiculaires (qu’on note a b ) ssi leur produit scalaire est nul. Nous acceptons cette définitions pour tout espace vectoriel. On appelle une base orthogonale une base telle quetout ses éléments soit perpendiculaire l’un à l’autre. Nous avons unavantage fantastique à utiliser des bases orthogonales. D’abord, siles vecteurs e1 , e2 , . sont orthogonales les uns aux autres, ils sontlinéairement indépendants. Si notre espace vectoriel est de dimension n, il nous suffit donc de trouver n vecteurs tous les uns auxautres et le tour est joué : nous disposons d’une base !On peut exiger encore plus d’une base : qu’elle soit orthonormée,c’est à dire que la norme de tous ses éléments soit l’unité. Si nous7. Un exemple intéressant de “produit scalaire” qui ne respecte pas(iii) est donné par la relativité restreinte. On repère un événementpar ses quatre coordonnées spatio–temporelles ( x, y, z, t) et le produitscalaire de deux événement est définipar x1 x2 y1 y2 z1 z2 t1 t2 . Deuxévénement distincts peuvent donc êtreà distance nulle l’un de l’autre.

CHAPITRE 2. ÉLÉMENTS D’ANALYSE FONCTIONNELLE.disposons d’une base orthonormé, on peut trouver les composantesd’un vecteur quelconque de façon extrêmement simple : si a est unvecteur et (e1 , .en ) une base orthonormée, alors a ( a, ei )ei , c’està dire que la composante de a selon ei est ( a, ei ). Comme exemple,prenez le cas des vecteurs dans Rn .Exercices.§ 2.1 Démontrer que les deux vecteurs (1, 0) (0, 1) forment une base pour l’espacevectoriel C2 associé à C. Même chose pour les deux vecteurs (i, 0) et (0, i ).§ 2.2 Démontrer que si k a bk 0, alors a b.§ 2.3 Démontrer que pour l’espace des matrices n n, ai,j bi,j est un produitscalaire. Ce produit scalaire est souvent utilisé en analyse matricielle numériquepour l’évaluation de la stabilité des méthode itératives.§ 2.4 Démontrer que si n vecteurs sont mutuellement orthogonaux, alors ils sontlinéairement indépendants.§ 2.5 Démontrer que si {e1 , ., en } est une base orthonormée, alors n’importe quelvecteur a peut s’écrire sous la formena (a, ei )eii 1Comment doit on modifier cette formule si la base est simplement orthogonal, maispas orthonormée ?§ 2.6 Inégalité triangulaire.En réalité, une norme pour pouvoir légalement porter cenom, doit respecter l’inégalité triangulaire :k a bk k ak kbkDémontrez que la norme définie par le produit scalaire vérifie cette inégalité. Pourcela il faut d’abord démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz : ( a, b) 2 k ak.kbkqu’on peut assez facilement démontrer en considérant le produit ( a λb, a λb) 0.§ 2.7 Pouvez vous généraliser le produit scalaire dans Rn à l’espace des polynômes ? Et surtout démontrer qu’il respecte toutes les propriétés d’un produitscalaire ?§ 2.8 Un opérateur linéaire est une fonction linéaire de l’espace vectoriel dans luimême : il prend un vecteur en entrée et produit un vecteur en sortie. La linéarité veutdire que si L est un opérateur linéaire, a, b deux membres quelconques de l’espacevectoriel et λ, µ deux scalaires, alorsL(λa µb) λL( a) µL(b)(N’oublions pas que L( a) et L(b) sont des vecteurs au même titre que a et b). Si onse donne une base {ei }, l’opérateur peut être caractérisé par son action sur chaquevecteur de la base :L(e j ) Lij eiiLes nombres Lij sont les composantes de l’application L dans la base des {ei }. Engénéral, pour les représenter, on les dispose dans un tableau (appelé matrice) où lai ème ligne et la j ème colonne contient le nombre Lij .Démontrez que les composantes de deux vecteurs quelconque a et b tel queb L( a) sont relié par la relation (noter l’ordre des sommations)bi Lij a jj16

172.2. L’ESPACE VECTORIEL DES FONCTIONS.§ 2.9 Démontrer alors que si la base est orthonormale,Lij (ei , L(e j ))En langage claire, pour connaître la composante Lij d’une matrice, il faut trouverd’abord le vecteur qui résulte de l’application de l’opérateur au j ème vecteur de labase p L(e j ), et former le produit scalaire de ce vecteur avec le i ème vecteur dela base.§ 2.10 Soit deux bases {ei } et { f i } et P une application linéaire tel queP ( ei )P 1( fi ) f i i 1, 2, ., n eiP est couramment appelé l’application de passage. Soit A une application linéairequelconque dont les éléments dans la base des { f i } sont données par la matriceaij . Soit maintenant l’application linéaire P 1 AP. Calculer ses éléments de matricedans la base des {ei }.2.2 L’espace vectoriel des fonctions.Manipuler des vecteurs dans l’espace Rn c’est bien, mais nousnous intéressons à un espace beaucoup plus vaste, celui des fonctions. Soit F l’ensemble des fonctions R R définies sur unintervalle donnée I. Les fonctions sont en faite des boites noire quiprennent des chiffres en entrée et produisent des chiffres en sortie.La fonction sin(.) par exemple, à une valeur x I associe le nombresin x. On peut voir les fonctions comme des points dans un espaceimmensément grand où en se baladant, on rencontrerai de tempsen temps des fonctions connues comme log(.), exp(.), exp(2.) et laplupart de temps des fonctions qui n’ont pas de nom 8 .Le produit scalaire.Il est évident que F possède une structure d’espace vectoriel. Onne sait pas encore si nous pouvons étendre la notion de base à cetespace, mais on peut parfaitement définir des produits scalaires. Leproduit scalaire que l’on utilisera abondamment est le suivant :ˆ( f , g) f ( x ) g( x )dxIOn démontrera dans un exercice que ce produit scalaire a toute lesbonnes propriétés. Mais on peut noter que cette définition généralise la somme xi yi du produit scalaire dans Rn , quand n (souvenez vous de la définition de l’intégral).Bien, nous disposons d’un produit scalaire, on peut donc définirla norme d’une fonction.ˆk f k2 [ f ( x )]2 dxICette norme, appelée L2 , est très populaire. voyons quelquesexemples, pour l’intervalle [0, 2π ], 2π1. kexp(.)k2 0 exp2 ( x )dx (exp 4π 1)/2.8. En faite, si on se baladait dans cetespace de façon aléatoire, on ne rencontrerai jamais des fonctions connues.

18CHAPITRE 2. ÉLÉMENTS D’ANALYSE FONCTIONNELLE.2. ksin(.)k π3. klog(.)k ? à faire en exercice.4. k1/(.)n k si n 1.On voit ici les premières bizarreries des ces grands espaces ( dedimension infini) apparaître : un élément à priori sympathique peutavoir une norme infinie.Le lecteur a remarqué que jusque là, nous avons utilisé une notation particulière pour distinguer une fonction (un point dansl’espace vectoriel des fonctions) de la valeur que prend cette fonction pour une entrée particulière : la première est notée f (.) est ladeuxième f ( x ). Comme cette notation est quelque peu lourde etque nous espérons que le lecteur est maintenant habitué à cette distinction, nous emploierons à partir de maintenant indifféremmentla notation f ( x ) pour les deux notions. Le contexte détermine si onparle de la fonction ou de sa valeur.Nous avons mentionné plus haut que disposer d’une normenous permet de savoir si deux fonctions sont proches ou mêmeidentique si k f gk 0. Considérons alors les deux fonctions,définies sur [0, 1] : f ( x ) 1 et g( x ) 1 si x 6 0 et g( x ) 0 si x 0.Au sens de notre norme L2 , ces deux fonctions sont identiques 9 !Grossièrement parlant, notre norme est une lunette pas trop préciseet ne distingue pas les différences subtiles entre deux fonctions.Elle ne va retenir que les traits les plus importants 10 . Ainsi, quandn , la suite des fonctions f n ( x ) x n converge vers f ( x ) 0sur l’intervalle [0, 1] au sens L2 , mais ne converge pas au sens desconvergences uniformes.Notons enfin que si nous manipulons l’ensemble des fonctionsqui associent à une valeur réelle un nombre complexe, i.e. f : R C,nous devons légèrement modifier la définition du produit scalaire :9. C’est même pire : Si la fonction gest définie par g( x ) 0 si x Qet g( x ) 1 sinon, au sens de notrenorme, elle est identique à la fonction f . Bien sûr, on aurait besoin deredéfinir ce que l’on entend par uneintégrale.10. Il existe bien sûr des normes auxpouvoirs de résolutions beaucoup plusgrande, comme celle utilisée pour laconvergence uniforme des suites defonctions.ˆf ( x ) g( x ) dx( f , g) I1.0où le symbole désigne le complexe conjugué.0.5L’orthogonalité.La notion d’orthogonalité se généralise immédiatement auxfonctions : f et g (6 0) sont orthogonales si ( f , g) 0. Ainsi, surl’intervalle [ 1, 1], les fonctions 1 et x sont orthogonales. De mêmepour les fonction exp( x/2) et exp( x/2)(1 x ) sur l’intervalle[0, ].Nous avons vu plus haut que la notion d’orthogonalité nousdonne un sérieux coup de main pour trouver une base. En particulier, dans un espace de dimension n, il nous suffit de trouver nvecteurs orthogonaux pour avoir une base. Peut on généraliser cerésultat à des espaces de dimension infinie ? la réponse est oui sion prend des précautions. Les fonctions de normes infinies nousposent de sérieux problèmes. Nous allons donc restreindre notre-1.00.5-0.51.0-0.5-1.0Figure 2.4 – Les polynômes deLegendre Pn ( x ) sur l’intervalle[ 1, 1] et n 0, 1, 2, 3, 4. Pn (.)est un polynôme de degré n.Les Pn (.) sont orthogonales lesuns aux autres et forment unebase de l’espace des fonctions(de carré sommable) sur l’intervalle [ 1, 1]. (voir chapitre12 )

192.2. L’ESPACE VECTORIEL DES FONCTIONS.espace de fonctions en nous contentant des fonctions de carré som mable, c’est à dire des fonction f tel que I f ( x ) 2 dx . Nousavons alors le théorème fondamental suivant :Dans l’espace des fonctions de carré sommable, on peut trouver desensembles infini dénombrable de fonctions orthogonaux qui chacunconstitue une base.Le lecteur peut méditer sur ce théorème : pour l’énoncer ( sans ledémontrer ) nous avons pris de nombreux raccourcies sans mêmeavoir précisé certains termes, encore moins leur donner un peu derigueur et de décence. Nous allons dans la suite clarifier un peumieux les choses, sans les démontrer. Mais avant cela, voyons lecôté étrange de ce théorème.Comme nous l’avons indiqué, l’infini dénombrable, celui desnombres entiers, est le plus petit des infinis. Il a cette particularitéque pour un nombre donné, on peut indiquer celui qui est justeavant et celui qui est juste après. L’

1 Introduction 9 2 Éléments d'analyse fonctionnelle. 13 2.1 Les espaces vectoriels. 13 2.2 L'espace vectoriel des fonctions. 17 3 Les séries de Fourier. 23 3.1 Introduction. 23 3.2 Les séries de Fourier. 24 3.3 Pourquoi les séries de Fourier sont intéressantes? 27 3.4 Un peu de généralisation. 29 3.5 Les séries de sinus et de .