Chapitre 4 LA PARTICULE LIBRE ET LA MARCHE DE POTENTIEL.
Chapitre 4LA PARTICULE LIBRE ET LA MARCHE DE POTENTIEL.4.1La particule libreConsidérons une particule libre, de masse m, à une dimension. Son énergie sep̂2réduit à l’énergie cinétique. L’opérateur hamiltonien est donc Ĥ Êc .2m4.1.1 Solution de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonienL’équation aux valeurs propres de l’énergie s’écrit Ĥ ψi E ψi soit : 2 d2ψ (x) E ψ (x)2m dx2On distingue deux cas :1. E 0. La solution de l’équation s’écrit sous la formeψ (x) Aeγx Be γx1 2mE. Les coefficients A et B sont des constantes d’intégration. Lorsque x , la fonction Be γx s’annule tandis que Aeγx devient infini, saufpour A 0. Les fonctions d’onde étant bornées nous devons poser A 0.Lorsque x , la fonction Aeγx s’annule tandis que Be γx devient infini, saufpour B 0. Les fonctions d’onde étant bornées nous devons poser B 0.La seule fonction d’onde convenable est donc la fonction d’onde ψ (x) 0. Une tellefonction d’onde ne représente pas une particule qui serait présente quelque part surOx. On en déduit que E 0 n’appartient pas au spectre de l’hamiltonien.Ce résultat est conforme au résultat classique qui donne une valeur positive ou nulleà l’énergie cinétique.avec γ 2. E 0. La solution se met sous la formeψ (x) Aeikx Be ikx1 2mE tandis que A et B sont des constantes d’intégration arbitraires. La solution la plus générale apparaît comme la superposition des deux solutionsuD (x) et uG (x) :avec k uD (x) : Aeikx etuG (x) Be ikx .On constate que E étant positif arbitraire il existe toujours deux fonctions propresindépendantes uD et uG , admettant E pour valeur propre. Le spectre de Ĥ est donccontinu et dégénéré d’ordre 2 pour E 0. En anticipant sur l’interprétation de
La particule libre et la marche de potentiel.52uD (x) et uG (x) donnée au paragraphe suivant, soulignons que cette dégénérescenceest liée à la possibilité de disposer de deux sources de particules : l’une située enx , produit un flux de particules se dirigeant vers les x positifs, l’autre sourcesituée en x produit un flux de particules se dirigeant vers les x négatifs (voiraussi la discussion paragraphe 5.1.3, page 68).Une base orthonormalisée de fonctions propres de Ĥ peut être prise sous la forme1up (x) eipx/ , la valeur propre correspondante de l’énergie est E p2 /2m. Re2π dmarquons que up (x) est aussi une fonction propre de l’impulsion, p̂ i . Nous endxdéduisons que p̂ et Ĥ commutent, ce que l’on peut vérifier directement.4.1.2 Interprétation des états propres de l’énergiea) Interprétons la fonctions uD (x) : Aeikx :duD (x) satisfait la relation p̂ uD (x) : i uD (x) kuD (x) . C’est une foncdxtion propre de l’impulsion. Cette fonction d’onde représente donc des particules d’impul 2π2π sion pD k 2mE ; la longueur d’onde de deBroglie associée est λ k pD L’interprétation hydrodynamique permet d’associer à la fonction d’onde uD (x) : ikxAeunfluide de particules, indépendantes et dans le même état physique d’impulsion 22mE. La densité linéaire des particules est A ; la répartition des particules est donc k kuniforme. Dans ce modèle, le flux de particules en un point est ΦD A 2où mmr2Ereprésente la vitesse des particules. Ce flux se dirige vers les x 0.mb) Interprétons uG (x) Be ikx de la même façon. La fonction uG (x) représente des particules d’impulsion pG k 2mE ;2π2π k pG Le fluide correspondant de l’interprétation hydrodynamique présente une densité linéaire uniforme, B 2 et un flux de particule, ΦG , dirigé vers les x 0, égal àr2E2ΦG ΦG B .mla longueur d’onde de de Broglie associée est λ soitOn peut faire le bilan du flux de particules en un point. Φ ΦD ΦG ΦD ΦG r 2E ³ 2 A B 2mNous pouvons calculer le courant J en un point quelconque :µ¶ ¡ i dψ dψJ : ψ ψ k AA BB Φ2mdxdxΦ On retrouve un résultat déjà mentionné : dans les problèmes à une dimension, le flux departicule est identique au courant J (voir page 15).
La particule libre53Etant donnée une fonction d’onde, remarquons que l’expression du flux (du courant) en un point se calcule sans qu’il soit nécessaire de connaître la fonction d’ondepartout. Par contre, pour affirmer que l’impulsion est bien définie, il faut connaître lafonction d’onde partout. Toute référence à une particule qui aurait une impulsion précisedans telle région limité de l’espace est dénuée de sens en mécanique ondulatoire car laparticule qui a une impulsion précise, p, occupe tout l’espace : sa fonction d’onde estAeipx/ . Par contre tout état présente un courant bien défini en chaque point.ABxFigure 4-1.Sur la figure 4-1, on a schématisé les ondes et leur courantInterférencesConsidérons l’expression ψ (x) Aeikx Be ikx . Cette fonction d’onde est lasuperposition de deux fonctions d’onde dont les courants sont de sens opposés. Chacunedes ondes uD (x) Aeikx et uG (x) Be ikx présente une densité linéaire uniforme maisleur superposition fait apparaître une figure d’interférences. Nous posons AB AB eiθ .La densité de présence associée à l’onde ψ (x) estρ ψ (x) 2 A 2 B 2 2 AB cos (2kx θ) . La présence du terme d’interférences,2 AB cos (2kx θ) , est caractéristique du comportement ondulatoire des phénomènesétudiés. Ses effets sont bien connus, en optique par exemple.4.1.3ψ2A Bψ2λ/2A Bλ/2xxfrange sombrefrange brillanteFigure 4-2.frange noirefrange brillantePour des corpuscules, on pourrait s’attendre à ce que les densités s’additionnentcomme pour les automobiles sur une autoroute où le nombre de voiture par kilomètre, ρc ,est égale à la somme du nombre de voiture par kilomètre qui se dirigent dans un sens et du22nombre de voitures par kilomètre qui se dirigent en sens contraire (ρc A B ). Cen’est pas le cas. La mécanique ondulatoire nous enseigne ainsi que le concept de corpusculeest un modèle dont la pertinence est limitée. Remarquons que le terme d’interférence estnul en moyenne sur une longueur λ/2. Par conséquent, il ne peut pas être observé si lepouvoir séparateur des instruments disponibles n’est pas suffisant : le terme d’interférencene modifie pas le nombre moyen de particule par unité de longueur, il modifie seulementla répartition des particules qui se retrouvent de préférence sur une frange brillante, auxpoints d’abscisse x, tels que cos (2kx θ) 1.4.1.4 Evolution d’un paquet d’ondeConsidérons la fonction d’onde d’une particule qui à l’instant t 0 est donnéesous la forme ψ (0, x) ψ 0 (x) . Nous décomposons ψ 0 (x) sur la base des fonctions up (x) ,
La particule libre et la marche de potentiel.54fonctions propres de Ĥ pour la valeur propreψ 0 (x) Zp2:2mf (p) up (x) dpLa relation d’orthonormalisation, hup uq i δ (p q), permet de calculer f (p) :ZZ1 e ipx ψ 0 (x) dxf (p) up (x) ψ 0 (x) dx 2π A l’instant t, quelconque, la fonction d’onde a pour expression :ψ (t, x) Z iEp t/ f (p) eup (x) dp Z2p1eipx dpf (p) e i 2m t 2π Figure 4-3.Sur la figure 4-3 nous avons représenté l’évolution d’un paquet d’onde : la fonctionf (p) ainsi que la densité de présence à divers instants. On constate que le centre du paquetd’onde se déplace ; en termes classique cela signifie que la particule se déplace. La vitessecorrespondante est la "vitesse de groupe" du paquet d’ondes.L’étalement du paquet d’ondes varie aussi avec le temps. Dans un premier tempsle paquet se ressert pour atteindre un étalement minimal à l’instant 4θ. Il commence alorsà s’étaler, ce qui n’aura plus de cesse.Bien que la figure 4-3 ne concerne qu’un paquet d’ondes particulier les résultatsmis en évidence sont très généraux.Considérons le cas d’un paquet d’ondes dont l’expression est de la forme ψ (t, x) f (p) eiΦ(p,t,x) dp. Nous supposons que f (p) présente un maximum très net pour lavaleur p p0 . La contribution principale à l’intégrale qui définit ψ (t, x) provient donc desvaleurs p p0 . La phase Φ varie rapidement avec p sauf lorsque t et x prennent des valeursdΦtelles que 0; dans un tel cas la phase est dite "stationnaire". La contribution àdpl’intégrale est négligeable si p est très différent de p0 ; elle est également négligeable si laphase n’est pas stationnaire pour p p0 . Dans ce cas, en effet, intégrer f (p) eiΦ(p,t,x) auvoisinage de p0 revient à supposer que f (p) ' f (p0 ) ' constante, tandis que l’intégralede l’exponentielle est négligeable dans la mesure où elle se réduit à l’intégrale d’un sinuset d’un cosinus sur plusieurs périodes. La fonction ψ (t, x) présente donc un maximumR
La marche de potentiel55¶dΦpour 0. Cette condition définit une relation entre x et t que l’on écrit sous ladp p0forme x x(t). Le point géométrique dont l’abscisse est x x(t) à chaque instant t estsitué dans la région où la densité de présence est maximale. La vitesse de ce point estla vitesse de groupe vg .µpxp2t ξ.Dans le cas de la particule libre il vient f (p) f (p) eiξ et Φ 2m µ ¶µ ¶µ ¶xdξp0p0dΦdξt 0 soit x t . La vitesseOn en déduitdp p0m dp p0mdp p0 de groupe est doncp0vg mLa quantité p0 est ce que l’on croyait être l’impulsion de la particule avant l’introduction de la théorie quantique. vg est donc ce que l’on croyait être la vitesse de laparticule. Effectivement, si la région où l’on a des chances de trouver la particule est assezpetite pour qu’on puisse l’assimiler à un point, la vitesse de déplacement de ce point estassimilé à la vitesse de la particule et c’est précisément vg .On introduit parfois ”lesvitesses de phase” du paquet d’onde. ConsidéronsRla fonction d’onde ψ (t, x) f (p) eiΦ(p,t,x) dp. Cette fonction apparaît comme la superposition d’ondes f (p) eiΦ(p,t,x) dont la phase est Φ (p, t, x) . Considérons un pointgéométrique qui se déplace de dx pendant le temps dt. Le paramètre p étant donné, la Φ Φvariation de la phase est dΦ dx dt. Imposons que la phase reste constante sur x t Φ Φle point considéré. Cela impliquedx dt 0. Les quantités dx et dt satisfont alors x tla relationdx Φ Φ /vΦ dt t xLa vitesse, vΦ , de déplacement de ce point est la ”vitesse de phase”. Dans le cas de lapxpp2t ξ et par conséquent vΦ . Remarquonsparticule libre il vient Φ 2m 2m qu’il n’y a qu’une seule vitesse de groupe pour un paquet d’ondes mais qu’il y a autantde vitesse de phase que de valeur de p dans le spectre de la fonction d’onde (une infinitéen général).4.2La marche de potentielConsidérons une particule de masse m soumise à l’énergie potentielle½0 pour x 0 : région IV (x) V0 pour x 0 : région IIUne telle "marche de potentiel" peut être réalisée par le montage suggéré figure4-4 pour des électrons, à la limite où leurs longueurs d’onde de de Broglie sont trèssupérieures à a.La marche de potentiel permet de décrire divers systèmes physiques en premièreapproximation : la surface d’un métal par exemple. Dans le métal, on peut considérer, enpremière approximation, que les électrons de conduction sont mis en commun et constituent un gaz d’électrons susceptibles de se déplacer librement. Les électrons restent piégésdans le métal car il ne possèdent pas une énergie cinétique suffisante pour s’échapper.
La particule libre et la marche de potentiel.56La région I de la figure 4-4 représente alors le métal tandis que la région II représentel’extérieur du métal. L’énergie des électrons étant E (avec E V0 ), le seuil en fréquencede l’effet photoélectrique est ν 0 , tel que E hP ν 0 V0 .V(x)V0eÉnergie potentielleRégion I : x 0 eRégion II : x 0x a Figure 4-4.L’hamiltonien du système est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :p̂2Ĥ V (x)2mL’équation aux valeurs propres de l’énergie s’écrit Ĥψ Eψ. On distingue les deux casE V0 et E V0 . Pour chacun des cas il faut étudier la solution dans la région I et dansla région II et assurer le raccordement entre les expressions de la solution obtenues pourchacune des régions.4.2.1Le cas E V0 .a) Les solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonienL’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien prend deux formes différentesselon que l’on considère la région I : x 0 ou la région II : x 0 : 2 d2 ψ 2 2 E ψ pour x 0 d ψ2mdx2 V (x)ψ E ψ 2 22 2m dx d ψ V0 ψ E ψ pour x 02m dx2Posons k 1 1p2mE et k 0 2m (E V0 ) . Il vient ½ψ I (x) Aeikx Be ikx pour x 000ψ ψ II (x) Ceik x De ik x pour x 0Les diverse ondes et leur courant sont schématisés ci-dessous :
La marche de potentiel57ACBDxFigure 4-5.La fonction d’onde est continue : On en déduit ψ I (0) ψ II (0) soitA B C DLa dérivée de la fonction d’onde est continue :µdψdx I¶ (0)µdψdx II¶soit(0)k (A B) k 0 (C D)Les 4 coefficientsA, B, C et D sont reliés entre eux par deux équations. Les coefficients B et C peuvent donc s’exprimer en fonction de A et D. Nous définissons lesfonctions uD et uG correspondant respectivement au cas D 0 et au cas A 0. OntrouveuD (x) uG (x) avec½½A eikx RA e ikx pour x 00T A eik x pour x 0T 0 D e ikx pour x 000D e ik x R0 D eik x pour x 0k k0k k0k0 kR0 0k kR 2kk k02k0T0 0k kT Remarquons que R et T sont réels dans le cas considéré.Les solutions uD et uG sont respectivement proportionnelles aux coefficients arbitraires A et D. La solution générale est la superposition des deux fonctions : u uD uGpour des valeurs de A et D a priori arbitraires, mais adaptées aux conditions physiquesimposées.AR’DTARAxa)T’DDxb)Figure 4-6.Les courants correspondants aux diverses composantes de uD et uG sont représentés sur la figure 4-6. L’interprétation des solutions uD et uG s’en déduit.
La particule libre et la marche de potentiel.58b) L’interprétation physiqueLa fonction uD (x) représente une onde incidente issue de la région I : ψ i Aeikx . Le kcourant est A 2, il est positif. Cette onde donne naissance, dans la région I, à l’ondem ikxψ R AR e, réfléchie en x 0. Le courant correspondant se dirige vers les x négatifs,02 kil vaut AR . Une onde est transmise dans la région II : ψ T AT eik x . Le courantm k0correspondant est positif : AT 2.mLes coefficients R et T sont les "coefficients de réflexion et de transmissionen amplitude".L’état physique décrit par uD est engendré par une source de particules (un canonà électrons par exemple) située dans la région x 0.L’interprétation hydrodynamique nous permet d’assimiler le système décrit paruD à un fluide dont la densité linéaire moyenne de particule est A 2 dans le courant22incident, AR dans le courant réfléchi et AT dans le courant transmis. Le nombre departicules incidentes qui atteint le point d’abscisse x 0 pendant l’unité de temps est2 kle courant associé au flux incident : Φi A . Le nombre de particules qui quittem k0dans le courantle point d’abscisse x 0 pendant l’unité de temps est ΦT AT 2m ktransmis et ΦR AR 2dans le courant réfléchi. On vérifie directement la relationm0k1 R 2 T 2 . On en déduit Φi ΦR ΦT . Cette relation signifie que le nombrekde particules reste constant : il n’y a pas de particules qui disparaissent ni de particulesqui apparaissent en x 0, car toutes les particules qui y parviennent en repartent : il y aconservation du nombre de particules.Dans le cadre classique, la particule possède l’énergie cinétique E dans la régionI. Cette énergie cinétique est suffisante pour que la particule passe dans la région II oùl’énergie cinétique de la particule est E V0 0. Aucune particule n’est réfléchie. Lephénomène de réflexion est donc un phénomène typiquement ondulatoire.Il est possible de mettre en évidence une analogie avec l’optique. Dans chacune2π2πdes régions on peut définir une longueur d’onde : λI et λII 0 . L’indice du milieukkλIk0II par rapport au milieu I est définis comme en optique : n : . On en déduitλIIk1 n2R et T .Ces coefficient sont précisément les coefficients de réflexion et de1 n1 ntransmission en amplitude d’une onde lumineuse au passage d’un dioptre sous l’incidencenormale.L’analogie avec l’optique se poursuit lorsqu’on étudie la densité linéaire moyennede particules décrites par la fonction d’onde uD (voir la figure 4-7)¡ ρ uD 2 A 2 1 R2 2R cos (2kx) .
La marche de potentiel59R 0 ( i.e. k k’’ )ARAρ uD 2TAλ/22A (1-R)A 2(1 R)22xFigure 4-7.La superposition des ondes incidente et réfléchie construit une figure d’interférences sur fond sombre, d’interfrange λ/2 π/k.0La fonction uG (x) représente une onde incidente issue de la région II : ψ 0i De ik x .02 k, il est négatif. Cette onde donne naissance, dans la région II, àLe courant est D m00l’onde ψ R DR0 eik x , réfléchie en x 0. Le courant correspondant se dirige vers les x002 kpositifs, il vaut DR0 . Une onde est transmise dans la région I : ψ 0T DT 0 e ik x .m2 kLe courant correspondant est négatif : DT 0 .mL’état physique décrit par uG est engendré par une source de particules situéedans la région x 0.Ici encore on vérifie la conservation du nombre de particules, tandis que l’analogieavec l’optique peut-être établie comme dans le cas précédent de la fonction uD .4.2.2Le cas 0 E V0 .a) Les solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonienL’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien prend deux formes différentesselon que l’on considère la région I : x 0 ou la région II : x 0. 2 2 d ψ E ψ pour x 02 2 d ψ2mdx2 V (x)ψ E ψ 2 2 dψ 2m dx2 V0 ψ E ψ pour x 02m dx2Posons k 1 1p2mE et γ 2m (V0 E) . Il vient ψ ½ψ I (x) Aeikx Be ikx pour x 0ψ II (x) αeγx βe γx pour x 0La fonction d’onde est bornée. Cela implique α 0; en effet si ce n’était pas lecas ψ deviendrait infini pour x .La fonction d’onde est continue : On en déduit ψ I (0) ψ II (0) soitA B β
La particule libre et la marche de potentiel.60La dérivée de la fonction d’onde est continue :µdψdx I¶ (0)µdψdx II¶soit(0)ik (A B) γβDe ce qui précède on déduit l’expression de ψ :ψ I (x) Aeikx RAe ikx ,R ik γ,ik γτ ψ II (x) τ Ae γxavec2ikik γb) L’interprétation physiqueDans la région I, la fonction d’onde est la superposition de l’onde ψ i Aeikx etde l’onde ψ r RAe ikx . kL’onde ψ i décrit un flux de particules de courant positif A 2, venues de lamrégion x et se dirigeant vers la marche de potentiel. Une telle onde représentel’onde "incidente". knégatif et seL’onde ψ r représente un flux de particule de courant B 2mdirigeant donc vers la région x ; l’onde ψ r est l’onde "réfléchie". Le coefficient Rest le coefficient de réflexion en amplitude. Le coefficient de réflexion en nombrede particules est le rapport du nombre de particules réfléchiesau nombre de particules 2 B incidentes dans le même temps. Ici, c’est le rapport R 2 . Calculons R 2 enAutilisant l’expression de R; il vient R 2 1 . L’onde subit donc une réflexion totale dansla mesure où toute particule incidente est réfléchie.Les ondes incidente et réfléchie construisent une figure d’interférences dans la ré2gion I. La densité de présence est ρI ψ I . Posons R R eiθ , il vientρI 2 (1 cos (2kx θ)) . La réflexion étant totale, le minimum de ρI correspond à unefrange noire. Dans la région x 0 on observe donc une alternance de franges brillantes etπλde frange noires. L’interfrange est 2k2ARAΨ ρonde évanescentexλ/2Dans la région II, la fonction d’onde est ψ II τ Ae γx . En utilisant l’expression1.5 (voir aussi page 15) on vérifie aisément que le courant est nul. La densité de présencedécroît de façon exponentielle quand x . L’onde présente dans la région II est appelée"onde évanescente".
La marche de potentiel61Dans la théorie classique, aucune particule ne peut passer dans la région II sison énergie cinétique dans la région I est inférieure à V0 (soit E V0 ). Ici la situationest différente et ressemble à la situation que l’on rencontre en optique où le mécanismede réflexion totale sur un dioptre engendre une onde évanescente dans le milieu le plusréfringent.iγOn peut aussi remarquer la relation e γx ei(iγx) et définir l’indice n .kLorsqu’une onde électromagnétique tombe sur un métal, celui-ci peut être décrit au moyend’un indice complexe. L’onde électromagnétique pénètre dans le métal où son amplitudedécroît exponentiellement avec de la profondeur de pénétration. L’onde dans le métal estune onde évanescente. On retrouve ici un résultat similaire.Remarques1. Les particules produites avec l’énergie E V0 ne peuvent être produites que dansla région I: x 0.2. Considérons la densité de présence en x 0. On vérifie que celle-ci tend vers zéro àla limite V0 . Ainsi dans la région II, la fonction d’onde est elle nulle dans cecas.Dans ces conditions la continuité de la fonction d’onde peut être assurée en posantA B 0. Par contre si on impose aussi la continuité de la dérivée il vient A B 0. La fonction d’onde serait alors identiquement nulle. Pour traiter "le mur" depotentiel correspondant à V0 , on abandonne donc cette dernière condition pourprivilégier la continuité de la fonction d’onde. La solution s’écrit ψ I cte sin kxavec ψ II 0.3. Le cas E 0 peut être étudié sans difficulté. La seule solution est ψ 0. Aucuneparticule ne peut donc présenter une énergie négative.4.2.3ConclusionLe spectre de l’hamiltonien est donc un spectre continu borné inférieurement ; lesvaleurs propres sont arbitraires dans l’intervalle [0, ] . Elles ne sont pas dégénérées pourE [0, V0 ] . Les valeurs propres de H̃ sont dégénérées d’ordre 2 pour E V0 .A l’instar de la mécanique classique, la mécanique ondulatoire prévoit que lesparticules d’énergie assez grande (E V0 ) peuvent passer de la région I à la régionII.Dans le cas contraire (E V0 ), la mécanique ondulatoire prévoit, conformémentà la mécanique classique, que les particules issues de la région I sont toutes réfléchies parla marche de potentiel et n’engendrent aucun courant dans la région II.
La particule libre et la marche de potentiel.62mécanique ondulatoireV(x)courantE V0V0onde évanescenteE V0xmécanique classiqueE V0E V0e e ee a Figure 4-8.A la différence de ce que prévoit la mécanique classique, dans le cas E V0 , toutesles particules issues de la région I (resp. II) ne sont pas transmises dans la région II (resp.I) : certaines d’entre-elles sont réfléchies. La proportion de particules réfléchies est le rapport du courants de particules réfléchies au courant de particules incidentes, soit R 2 .La proportion de particules transmises est le rapport des courants correspondants, soit0222 k T k0 /k. La relation R T 100% : 1 peut être vérifiée directement. Ellekexprime la conservation du nombre de particules au passage de l’une des régions à l’autre.Dans le cas E V0 , il n’est pas impossible de trouver des particules dans la régionII où existe une onde évanescente que ne prévoit pas la mécanique classique.La mécanique ondulatoire apparaît donc comme compatible avec la mécaniqueclassique du point matériel ; elle présente cependant de fortes analogies avec l’optique (onutilise parfois l’expression ”optique électronique”, pour décrire le fonctionnement d’unmicroscope électronique par exemple).
Chapitre 5LA BARRIÈRE ET LE PUITS DE POTENTIEL.5.1La barrière de potentielConsidérons une particule à une dimension de masse m soumise à l’énergie potentielle V (x) :½0pour x aV (x) V0 pour x 0avec V0 0.V(x)V0Région : IRégion : II-aRégion : IIIaxFigure 5-1.Les fonctions propres de l’énergie satisfont l’équation 2 d2 ψ Eψ2mdx2 2 d2 ψ V0 ψ Eψ 2m dx2 pour x apour x aNous distinguons les deux cas E V0 et E V0 .5.1.1Le cas E V0 .a) Les solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonienLa solution de l’équation aux valeurs propres de l’énergie est donnée ci-dessouspour chacune des trois régions indiquées figure 5-1 x a :ψ I Aeikx Be ikxavec k p2mE / 00 a x a : ψ II Ceik x De ik x avec k 0 2m (E V0 ) / ikx ikxx a :ψ III F e Geavec k 2mE / La fonction ainsi définie est bornée. Nous devons nous assurer de sa continuité etde celle de sa dérivée.
La barrière et le puits de potentiel.64La continuité de la fonction d’onde impose ψ I ( a) ψ II ( a) (continuité enx a) et ψ II (a) ψ III (a) (continuité en x a) :Ae ika Beika00Ceik a De ik a00 Ce ik a Deik a F eika Ge ikadψ Idψ IILa continuité de la dérivée impose dxdx etx adψ IIdψ III dxdx :x a³ ¡00k Ae ika Beika k 0 Ce ik a Deik a³ ¡ 00 k F eika Ge ikak0 Ceik a De ik aLes six constantes d’intégration A, B, C, D, F et G sont reliées entre elles par 4 équations.Il est possible d’exprimer B, C, D et F en fonction de A et G. La solution générale estla superposition des deux fonctions uD et uG correspondant respectivement aux valeursG 0 et A 0.On trouveuD (x) ½A eikx RA e ikx pour x a0T A eik x pour x a00uD (x) Aα eik x Aβ e ik x pour a x a½ 0T G e ikx pour x a00uG (x) G eik x R0 G e ik x pour x a00uG (x) Gα0 eik x Gβ 0 e ik x pour a x aLes quatre équations de raccordement permettent de calculer les coefficients R, T, R0et T ainsi que les coefficients α, β, α0 et β 0 . On trouve par exemple0T e 2ikacos (2k 0 a) ik2 k022k k0sin (2k 0 a)(5.1)La solution générale, fonction propre de l’énergie pour la valeur propre E V0 , estψ (x) uD (x) uG (x) pour des valeurs de A et B arbitraires, a priori, mais adaptéesaux conditions physiques imposées.b) Interprétation physiqueLa fonction d’onde uD (x) représente une onde incidente, issue de la région I.Cette onde est partiellement réfléchie et partiellement transmise dans la région III. Lafonction d’onde uG représente une onde issue de la région III qui est partiellement réfléchieet partiellement transmise dans la région I. Les coefficients R et T sont les coefficientde réflexion et de transmission en amplitude de l’onde uD , tandis que R0 et T 0 sont lescoefficients de réflexion et de transmission associés à l’onde uG (voir la figure 5-2)
La barrière de potentiel65GAT’ ATAR’ GRAIIRégion IIIIRégion IuDIIIIIuGFigure 5-2. k k, le flux transmis dans la région III est T A 2. Lemm2coefficient de transmission en intensité est le rapport de ces deux flux, il vaut T . De222même, le coefficient de réflexion en intensité est R . La relation R T 1 peutêtre vérifiée à partir de l’expression de R et T. Elle assure la conservation du nombre departicules : le nombre de particules qui pénètrent dans la barrière est égal aux nombre departicules qui en sortent pendant le même temps.De même, on peut démontrer la conservation du nombre de particules à l’interfaceentre deux régions voisines. Entre les régions I et II par exemple, on écrit que le nombrede particules qui atteignent le point d’abscisse x a pendant le temps dt est égalau nombre de particules qui s’éloignent de ce même point pendant le même temps : k k 0 k k 0 A 2 β 2 RA 2 α 2.mmmmNous donnons ci-dessous (figure 5-3) la représentation de la densité de présence2d’une particule dont la fonction d’onde est uD (x) : ρ(x) uD (x) .Le flux incident est A 2αAAρ(x)TAβARAx-aaFigure 5-3.On remarquera la continuité de ρ et de sa dérivée, conséquences des conditionsde passage en x a et x a. Dans la région II la densité de présence maximale estsupérieure à la densité maximale dans la région I, cependant le courant y est inférieur aucourant incident car k0 k.L’expression 5.1 du coefficient de transmission montre que celui-ci est toujours2inférieur ou égal à l’unité. Pour T 1 la transmission est totale ; le coefficient deréflexion est alors nul. Ceci se produit pour 2k 0 a N π, où N est un entier. En introduisantλ0λ0 , longueur d’onde de de Broglie dans la région II, il vient 2a N . C’est une condition2semblable que l’on impose aux couches antireflet ; dans ce cas ce sont des ondes lumineusesqui sont concernées et non des ondes de matière mais l’analogie méritait d’être soulignée.
La barrière et le puits de potentiel.66Lorsque la transmission est totale, la barrière introduit, sur l’onde incidente, undéphasage en x a, mais n’en modifie pas l’amplitude.5.1.2Le cas 0 E V0 .a) Les solutions de l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonienLa solution de l’équation aux valeurs propres de l’énergie est donnée ci-dessouspour chacune des trois régions indiquées figure 5-1 avec k p2mE / x a :ψ I Aeikx Be ikx a x a : ψ II Ceγx De γxavec γ 2m (V0 E) / ikx ikxavec k 2mE / x a :ψ III F e GeLa fonction ainsi définie est bornée. Nous devons nous assurer de sa continuité etde celle de sa dérivée. Les équations de passage sontAe ika BeikaCeγa De γa ¡ ikaik Ae Beika ¡γa Ceγa De γa Ce γa Deγa F eika Ge ika¡ γa Ce γa Deγa¡ ik Aeika Be ikaIci encore nous distinguons les deux solutions uD correspondant à G 0 et uGcorrespondant à A 0.La solution générale, fonction propre de l’énergie pour la valeur propre E V0 , estψ (x) uD (x) uG (x) pour des valeurs de A et B arbitraires, a priori, mais adaptéesaux conditions physiques imposées.La fonction d’onde uD (x) décrit un courant positif, de particules incidentes issuesde la région I tandis que uG (x) décrit des particules issues de la région III :uD (x) ½Aeikx AR e ikx pour x aAT eikx pour x auD (x) Aαeγx Aβe γxLe coefficient de transmission, T, se déduit de l’expression 5.1 ci-dessus en effec 1¡ θe e θtuant la substitution ik 0 γ et en utilisant la relation cos (iθ) cosh θ : 2 i¡ θe e θ :ainsi que sin (iθ) i sinh θ 2T e 2ika22 γcosh (2γa) i k 2kγsinh (2γa)b) L’effet tunnelDans le cadre de la théorie classique, l’énergie cinétique des particules dans larégion I est E. Cette valeur est insuffisante pour que les particules issues de la régionI passent dans la région II où leur énergie potentielle, V0 , serait supérieure à E. Lesparticules sont toutes réfléchies. La situation est différente dans le cadre de la mécanique
La barrière de potentiel67ondulatoire où la barrière de potentiel présente un coefficient de transmission non nul.Cet effet est appelé "effet tunnel ".L’image véhi
La particule libre 53 Etant donnée une fonction d'onde, remarquons que l'expression du flux (du cou-rant) en un point se calcule sans qu'il soit nécessaire de connaître la fonction d'onde partout. Par contre, pour affirmer que l'impulsion est bien définie, il faut connaître la fonction d'onde partout.
Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 Chapitre 7 Chapitre 8 Chapitre 9 Chapitre 10 Chapitre 11 Chapitre 12 Chapitre 13. Chapitre 14 Chapitre 15 Chapitre 16 Chapitre 17 Chapitre 18 Chapitre 19 Chapitre 20 Chapitre 21 Épilogue. Prologue : la voie du destin. Angleterre, 1804
III CHAPITRE 1 Définition et principes de la comptabilité 1 CHAPITRE 2 L’écriture comptable 8 CHAPITRE 3 Actif et passif 22 CHAPITRE 4 Charges et produits 31 CHAPITRE 5 La taxe sur la valeur ajoutée 37 CHAPITRE 6 Les achats 48 CHAPITRE 7 Les ventes 56 CHAPITRE 8 Les réductions sur achats et ventes 65 CHAPITRE
sommaire avant-propos v chapitre 1 premier contact 1 chapitre 2 gÉomÉtrie i 13 chapitre 3 couleur i : le noir et blanc 25 chapitre 4 variables i 29 chapitre 5 setup() et draw() 35 chapitre 6 opÉrateurs 39 chapitre 7 structures conditionnelles et itÉratives 45 chapitre 8 interactivitÉ avec la souris 55 chapitre 9 gÉomÉtrie ii : transformations 67
Des livres Chapitre XI De la cruauté Chapitre XII Apologie de Raimond de Sebonde Chapitre XIII De juger de la mort d'autruy Chapitre XIV Comme nostre esprit s'empesche soy mesme Chapitre XV Que nostre desir s'accroit par la malaisance Chapitre XVI De la gloire Les Essais Livre II 2. Chapitre XVII De la presumption Chapitre XVIII Du desmentir Chapitre XIX De la liberté de conscience .
7 Dedication Contents Introduction Chapitre 1: Infested with Parasites! Chapitre 2: In the Classroom Chapitre 3: Magnifying your Microbes Chapitre 4: Bonner's Private Investigation Chapitre 5: A beautiful Case Chapitre 6: Giving Hope to the World Chapitre 7: Getting Through It Chapitre 8: To Each his own Burden Chapitre 9: A Small Hisory of Amoebiasis .
La particule libre en mécanique quantique En mécanique quantique, l'état d'une particule ponctuelle est décrit par une fonction d'onde (on se limitera ici au cas à une dimension) Description probabiliste : Une mesure de position donnera le résultat à près avec la probabilité
Table des matières Avant de commencer : les cinq grandes dimensions de la personnalité 5 Avant-propos 9 Chapitre 1 Le visage 11 Chapitre 2 Les mimiques 57 Chapitre 3 La voix et le regard 87 Chapitre 4 Les mains 107 Chapitre 5 Les mouvements et les postures 143 Chapitre 6 Les goûts et préférences 179 Chapitre 7 Les
27 Science Zoology Dr. O. P. Sharma Amrita Mallick Full Time 18/2009 11.06.2009 Evaluation of Genotxic Effects & Changes in Protein Profile in Muscle Tissue of Freshwater Fish Channa Punctatus Exposed to Herbicides Page 3 of 10. Sl. No. Faculty Department Name of the supervisor Name of the Ph.D. Scholar with Aadhar Number/Photo ID Mode of Ph.D. (Full Time/Part-Time) Registration Number Date of .
