Caractéristiques D'inertie Des Solides - Technologue Pro
Mécanique GénéraleISET NabeulPLAN DE LEÇONCARACTÉRISTIQUES D’INERTIE DES SOLIDES Objectifs spécifiques :1. Déterminer le centre de gravité d’un solide.2. Ecrire la matrice d’inertie d’un solide par rapport à un repère.3. Ecrire la matrice d’inertie d’un solide réel. Motivation :En s’appuyant sur les notions vues en mécanique générale en 1er semestrel’étudiant essayera de déterminer la matrice d’inertie d’un solide Pré acquis : calcul intégral simple notions de physique. Moyens d’enseignement : tableau, Auditeurs :Etudiants des I.S.E.T.Profil : Génie Mécanique.Option : Tronc commun.Niveau : L1/S2. Durée : 6 séances de 1h : 30 Evaluation :- Formative au cours de la séance (TD N 6)- Sommative : Test d’évaluation.L1Page 53
Mécanique GénéraleISET NabeulChap.5: CARACTERISTIQUES D’INERTIE DES SOLIDESLa géométrie des masses permet de déterminer le centre de gravité et la matrice d’inertied’un solide, notions utilisées dans les chapitres suivants.I- Centre d’inertie – Centre de masse –centre de gravité :Pour un solide homogène, où l’accélération de pesanteur est constante, les trois centres sontconfondus :1- Système discret.nn1OG mi OP i ; M miM i 1i iG est le barycentre des points Pi affectés des masses mi .2- Système continu.OG 1. OP.dm xGM S 1M Sx dm;yG 1M Sy dmetzG 1M z dmSCas Particulier des solides homogènesNature du solideMasse spécifiqueMasseLigne LElément dlMasse linéiquem λ . dlOG 1 OP.dlL LSurface SElément dsMasse surfaciquem σ . dsOG 1 OP.dsS SVolume VElément dvMasse volumiquem ρ . dvOG 1 OP.dvV Vdm λ .dldm σ .dsdm ρ .dvCentre d’inertieLSV3- Exemples :3.1 Cône de révolution :Le centre d’inertie d’un cône de révolution de rayon R ,de hauteur h , plein et homogèneL1Page 54
Mécanique GénéraleISET NabeulLe volume v du cône est V 1πR2h3zG 1 z dvV Edzhdv πr 2dzytgα R r r R z ;h zhRzG 1 π 2 z3 dz V E h2finalementzG 3 h43.2 Demi-cerceau : xP R Cosθ P yP R SinθL π Rππ 2 ππ L xG xPdl 2π R Cosθ R dθ R2 2π Cosθ dθ 2 R2L2L yG yPdl 2π R Sinθ R dθ R2 2π Sinθ dθ 0Ld’ou22 xG 2Rπ OG yG 0 II- Théorème de Guldin :Les deux théorèmes de Guldin ne sont valables que pour le cas de courbe plane ou surface plane. x1- Premier théorème :Dans un plan π , considérons une courbe C de longueur L et un axe (O, x ) ne traversant pas, la position du centre de gravité Gde cette courbe est donnée parCrGS 2π rG L rG : distance séparant G de (O, x ) . S : aire engendrée par C en tournant autour de (O, x ) .L1OPage 55
Mécanique GénéraleISET Nabeul x2- Deuxième théorème :Dans un plan π , considérons une surface d’air S et un axe(O, x ) ne traversant pas, la position du centre de gravité G decette surface est donnée parrGV 2π rG S rG : distance séparant G de (O, x ) .O V : volume engendré par S en tournant autour de (O, x ) .III- Applications :1- Déterminer l’air d’une surface conique (S) de hauteur h et de rayon RCorrection :La longueur :L R 2 h 2Le centre d’inertie :La section :xG R2S 2πLxGFinalement S πR R2 h22- Déterminer la position du centre de gravité G d’un demi-cerceau.Correction :R ySRLa longueur du demi-cercle : L πRLa surface générée du demi-cercle : S 4πR2xGxAppliquant le théorème de GULDIN xG 2Rπ3- Déterminer la position du centre de gravité G d’une plaque demi-circulaire de rayon R et desection S.L1Page 56
Mécanique GénéraleISET NabeulCorrection : yL'axe Ox coupe la plaque en deux morceaux identiquesLe volume V 4πR33 xOLa surface S π R22finalementxG 4R3π(S)4- Déterminer le volume d’un ToreCorrection :Déterminer le volume d’un tore(V )de rayons r et R .La surface S πR2yrRLe volume V 2ππr 2RV 2π 2 r 2 R5- Le volant représenté figure 1 est caractérisé par sa masse m et son rayon R. Il comporte un troucirculaire centré en A (OA a) et de rayon r. Déterminer le centre d’inertie G du volant.6- Un solide (S) homogène de masse M est constitué par un cylindre plein de hauteur H, de rayonR et un cône de rayon R et de hauteur h. Le cylindre et le cône sont assemblés par soudurecomme l’indique la figure 2L1Page 57
Mécanique GénéraleISET Nabeul z yORH.A x yOh xFig.1Fig.2IV- Matrice d’inertie d’un solide (S).1. Moment d’inertie de (S) par rapport un point.Etant donné un solide ( S ) de masse m . δ zOn appelle moment d’inertie du solide ( S )par rapport à un point A , la quantité positive :I (S ) AMA2SMdm(S)dmA yO2. Moment d’inertie de (S) par rapport un axe ( ).(Δ ) xOn appelle moment d’inertie du solide ( S ).Hpar rapport à un axe (Δ) , la quantité positive :I (S ) HMΔS2dm3. Expressions analytiques dans un repère orthonormé :()Un point M d’un solide ( S ) ayant pour coordonnées x, y,z dans le repère O,x, y,z : OM x.x y. y z.zMoment d’inertie de S /(point O) :zI ( S / O) (x2M y 2 z 2 ).dmdmM SMoment d’inertie de S /(axe Oz) :I ( S / Oz ) (x2 y 2 ).dmM S Moment d’inertie de S /[plan ( O, x , y )] : I ( S / OXY ) (z2J ( S / xoy ) ).dm x. y.dmM SL1 yOxM SProduit d’inertie de S /( axex :Ox et Oy) z x.Page 58y
Mécanique GénéraleISET Nabeul4. Matrice d’inertie d’un solide (S) en O :La matrice d’inertie s’écrit sous la forme suivante :[I ( ) ](SIox O, x , y, z ) J ( xoy ) J ( xoz ) (yS J ( xoy ) J ( yoz ) Ioy J ( xoz ) J ( yoz )Ioz xy.dm xz.dm xy.dm2 ( x z ).dm yz.dm xz.dm yz.dm2 z 2 ).dmSSS2SSS (xS2 y 2 ).dmSAutre notation de la matrice d’inertie[I ( ) ]SOA F E F EB D D C ( O , x , y , z ) A, B et C : Moments d’inertie par rapport (O, x ); (O, y )et (O, z )D, E et F : Produits d’inertieSi le solide admet des plans de symétrie : Si (O, x , y ) plan de symétrie, alors z varie de z0 donc :E xz.dm 0 etSD yz.dm 0S Si (O, y , z ) plan de symétrie, alors x varie de x0 donc :E xz.dm 0 etSF xy.dm 0S Si (O, x , z ) plan de symétrie, alors y varie de y0 donc :F xy.dm 0 etSD yz.dm 0S D’autre part si le solide admet (O, x , y ) comme plan de symétrie alors l’axe (O, z ) est un axe principal d’inertie. Si (O, x ) joue le même rôle que (O, y ) alors A B5.Moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe (Δ) quelconque passant par un point Ooù la matrice d’inertie est connue.On connaît la matrice d’inertie au point O : [I ( S ) ]OOn veut calculer le moment d’inertie par rapport à l’axe Δ : I ( S / Δ )L1Page 59
Mécanique GénéraleISET Nabeul a x u b OP y c z R R La distance de P à Δ peut être exprimée par : d u OPI (S / Δ) 2 d .dm P S 2(u OP ) .dmP SI (S / Δ) A.a 2 B.b 2 C.c 2 2.a.b.F 2.b.c.D 2.c.a.EAutre expression :[ ] I (S / Δ) t u I (S ) O u6. Théorème de Huygens :On connaît la matrice d’inertie de (S) dans le repère (G, x , y, z ) .G est le centre d’inertie de (S).[I ( ) ]SGAG FG EG FGBG DG EG DGCG z (G , x , y , z )On donne : xG x x 1 OG y G , OM y et GM y1 z z 1 zG ( )( ) yz1MzGOn veut calculer la matrice d’inertie de (S) [I ( S ) ]O dans le repère (O, x , y, z ) en fonction de [I ( S ) ]G( ) z(S)x1OxG xG. xy1 y.yG xG x1 On a OM OG GM y G y1 z z 1 GL1Page 60
Mécanique GénéraleISET Nabeul (y Le moment d’inertie par rapport à (G, x ) : AG 212) z1 dmM S Calculons le moment d’inertie par rapport à (O, x ) : A (yPar définition : A A (y2M S)) z 2 dm [ (y z 2 dm M S2 y G ) ( z1 z G )21M S (y122) z1 dm M S (yM S2G2]dm2) y z G dm 2 y G1 dm 2 z GM S z1 dmM SLe point unique G (centre d’inertie de (S)) défini par la relation : GM dm 0S x dm y dm z dm 0 11M S A (y122)( m (x (y2GM S2De même : B BG m xG z GC CG M S z1 dm M S 1M S2G yG222)(2 z G dm A AG m y G z G2)))En suite : D DG m yG z GE EG m xG z GF DG m xG y G7- Base principale d’inertie.7.1 Définition : La matrice d’inertie possède trois vecteurs propres orthogonaux deux à deux,puisqu’elle est symétrique. Donc il existe en tout point, au moins une base ortuonomée directe, appelée, baseprincipale d’inertie dans laquelle la matrice est diagonale. Soit (x , y, z ) la base principale d’inertie de (S) en O :[I ( ) ]SL1OA 0 0(O, x ); (O, y ); (O, z ) : sont les axes principaux d’inertie de (S) en O. 0 B 0A, B, C : sont les moments principaux d’inertie de (S) en O0 0 C ( O , x , y , z )Page 61
Mécanique GénéraleISET Nabeul7.2 Détermination des axes principaux d’inertie :RÈGLES :(i)(ii)chaque plan de symétrie matérielle passant par O donne lieu à un axe principal d’inertie. Si par exemple le plan (O, y , z ) est un plan de symétrie alors (O, x ) est un axe principal d’inertie. ayant obtenu deux axes propres d’inertie soit par exemple u et v ,alors le troisième axe sera obtenu par un simple produit vectoriel w u v7.3 Matrice centrale d’inertie :Lorsque la matrice est calculée au point G, centre de gravité du solide, elle est dite matrice centraled’inertie.Lorsque la matrice est calculée au point G est diagonale,alors elle est dite matrice centrale principaled’inertie.V. Application :1-DETERMINATION DES CONSTANTES D’INERTIE D’UN ARBRE ETAGE (DS 2009) :l’arbre comme le montre la perspective figure 1 (homogène de masse volumique ρ) est constituéde deux cylindres (un premier cylindre de masse m1,de rayon R1 et de hauteur H1) et (un deuxièmecylindre de masse m2,de rayon R2et de hauteur H2) comme le montre la figure 2. y0 x0O1Figure.1L1 z0Page 62
Mécanique GénéraleISET Nabeul y0R1R2 y0 z0 x0 O1H1H2O1 z0Figure.21) En considérant que l’arbre étagé est un système discret, former par la liaison des deux cylindres, Donner dans le repère (O1 , x0 , y 0 , z 0 ) la position du centre de gravité del’arbre (1)en appliquant la formule OG 1 Mnni 1i i mi OG i ; M mi .2) Déterminer la matrice centrale principale d’inertie du cylindre (1) en G1, relativement à la base (G1 , x0 , y 0 , z 0 )[I (]cylindre1) G1AG100 0BG1000BG1[O1 en utilisant le théorème de Huygens. I (cylinres1)]O1.puis exprimer la en ( G1 , x , y , z )A1 00B10000B1 (O , x , y , z )1H12Sachant que 2 BG1 AG1 2 x 2 dm H12pour le calcul de AG1, nous exprimons l’éléments du volume du cylindre par :dv r. dr.dθ .dxL1Page 63
Mécanique GénéraleISET Nabeul3) Déterminer la matrice centrale principale d’inertie du cylindre (2) en G2, relativement[ à la base (G2 , x0 , y 0 , z 0 ) I (cylindre 2 )]G2AG200 0BG2000BG2[en utilisant le théorème de Huygens. I (cylinres 2 )Sachant que 2 BG 2 AG 2 2H22 x2]O1A2 00puis exprimer la en O1. ( G2 , x , y , z )0B2000B2 ( O1 , x , y , z )dmH2 2pour le calcul de AG2, nous exprimons l’ éléments du volume du cylindrepar :4) En déduire, dans la basedv r. dr.dθ .dx(O1 , x 0 , y 0 , z 0 ) la matrice d’inertie principaleetcentrale de l’arbre (1) en O1.[I ( ) ]SL1O1[ I (cylinres1)] [I (O1]cylinres 2 ) O1A 0 0 B0000B (O , x , y , z )1Page 64
Mécanique GénéraleISET NabeulCorrection :Question N 1 AvecDonc : Question 2 : ρ. .OrDonc :2L1 2Page 65
Mécanique GénéraleISET Nabeul OrDoncPar suiteDonc Transfert de la matrice d’inertie du cylindre (1) au point : doncetFinalement : Question (3) : matrice d’inertieL1Page 66
Mécanique GénéraleISET NabeulPar analogie avec la question (2) on aura : Par analogie avec la réponse (2) au point QUESTIONS (4) Donc : L1Page 67
Mécanique GénéraleISET Nabeul2-DETERMINATION DES CONSTANTES D’INERTIE D’UNCylindre évidé: (DS 2011)On considère un cylindre de révolution (homogène de masse volumique ρ) comprenant unévidement cylindrique défini ci-dessous, comme le montre la perspective est constitué d’unpremier cylindre de masse m1, de rayon r1 2d et de hauteur h et d’un évidement c'est-à-dire uncylindre vide de masse m2, de rayon.r2 1d2et de hauteur h comme le montre la figure 1.G1G2Figure.1Remarque : la matrice d’inertie du solide dans ce cas se calcule comme la matrice d’inertie ducylindre plein moins celuidu cylindre retiré « l’évidement » réduit au point G1.1) Donner les coordonnés du centre de masse du premier cylindre de masse m1, de rayon r1 2d et de hauteur h dans le repère (G1 , x , y, z ) .2) Donner les coordonnés du centre de masse du cylindre vide de masse m2, de rayonr2 d2 et de hauteur h, dans le repère (G1 , x , y, z ) .3) En considérant que le cylindre évidé est un système discret, constitué d’un premier cylindrede masse m1, de rayon r1 2d et de hauteur h et d’un évidement c'est-à-dire un cylindre vide de masse m2, de rayon r d et de hauteur h, Donner dans le repère (G1 , x , y, z ) la2positionduformule OG L1centre1 Mde2gravitédunni 1i icylindreévidéenappliquantla mi OG i ; M mi .Page 68
Mécanique GénéraleISET Nabeul4) Déterminer la matrice centrale principale d’inertie du premier cylindre en G1,[I ( relativement à la base (G1 , x , y, z )]cylindre1) G1AG100 0AG1000CG1 ( G1 , x , y , z )Calculer CG1, nous exprimons l’élément du volume du cylindre par : dv r.dr.dθ .dzh2Calculer AG1 en fonction de m1, d et h Sachant que 2 AG1 C G1 2 z 2 dm h2Nous exprimons l’élément du volume du cylindre par dv π .r12 .dz5) Sachant que la matrice centrale principale d’inertie de l’évidement « cylindre vide »[I ( en G2, relativement à la base (G2 , x , y, z )]cylindre 2 ) G2AG200 0AG2000CG2 ( G2 , x , y , z )telque :AG2 m2 (d 2 h2 )16 12[Exprimer alors la matrice d’inertie I (cylindre 2 )[Huygens. I (cylinres 2 )]G1A200 0A2000C2CG2 m2 .et]d28en G1 en utilisant le théorème deSachant queG 1G2 d .x ( G1 , x , y , z ) 6) En déduire, dans la base (G1 , x , y, z ) la matrice d’inertie principale et centraledu cylindre évidé en G1.[I ( ) ]SL1G1[ I (cylinre1)] [I (G1]cylinre 2 ) G1A00 0A000C ( G , x , y , z )1Page 69
Mécanique GénéraleISET NabeulCorrection1) Détermination du centre de masse du premier cylindre (masse m1 et de rayon r1 2d) dans le repèrele centre de masse est 2) Les coordonnées du centre de masse du cylindre vide dans le repère,est le centre de masse avec3) Soit G le centre de gravité du cylindre évidé4)My rxL1Page 70
Mécanique GénéraleL1ISET NabeulPage 71
Mécanique GénéraleISET Nabeul5)D’où :6)L1Page 72
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Mécanique Générale ISET Nabeul L1 Page 57 y Correction : L'axe Ox coupe la plaque en deux morceaux identiques (S) 4- Déterminer le volume d'un Tore Correction : r R 5-Le volant représenté figure 1 est caractérisé par sa masse m et son rayon R.Il comporte un trou circulaire centré en A (OA a) et de rayon r.Déterminer le centre d'inertie G du volant.
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