Origami: História De Uma Geometria Axiomática - ULisboa

1.1. Definição de RectaEm Origami, as rectas são criadas através de vincos resultantes de dobragens dopapel. Cada recta divide o papel em duas regiões distintas, que iremos designar porregião estacionária e região de movimento [Lang03]. A correspondência entre a regiãoe a sua designação é arbitrária, uma vez que a sua utilidade é unicamente de distinção.Uma recta pode ser definida de várias formas.Um dos procedimentos corresponde a um dos Axiomas da GeometriaEuclidiana, a saber, através de dois pontos passa uma e uma só recta. Note-se que estadefinição nos permite definir uma recta por quaisquer dois pontos da mesma.Uma segunda forma de definir uma recta provém da sua equação reduzida obtidaalgebricamente com coordenadas cartesianas, a saber: y mx b , onde m é o declive(tangente da inclinação) e b a ordenada na origem dessa mesma recta. A recta fica entãodefinida como o conjunto dos pares ordenados ( x, y ) que satisfaçam a equação. Noentanto, esta definição tem também um problema inerente, uma vez que não permitedescrever rectas paralelas ao eixo das ordenadas, por o seu declive ser infinito e aordenada na origem indefinida. Estas rectas terão então de ser definidas separadamente,com equações do tipo x a .Esta definição permite-nos verificar que as rectas têm dois graus de liberdade,uma vez que dependem de dois parâmetros que podem variar independentemente.Uma recta pode ainda ser definida através de vectores. Comecemos então pordefinir um vector unitário como U (α ) : (cos α , sin α ) com α [0º ,180º[ a suainclinação. Uma recta define-se como o conjunto de todos os pontos P que satisfazem aequação(P dU (α )).U (α ) 0 ,onde d IR e a operação . representa o produtointerno. Deste modo, uma recta é uma função l (d , α ) , que depende dos parâmetros d eα.Saliente-se que a definição anterior pode ser apresentada de uma outra forma. Defacto:(P dU (α )).U (α ) 0 P.U (α ) dU (α ).U (α ) 0 6

P.U (α ) d 0 ,pelo que é possível definir uma recta como sendo o conjunto de pontos P quesatisfazem a equação P.U (α ) d 0 .Além do que já foi apresentado, sendo P ( x, y ) um vector e considerandoP ( y, x ) um seu vector perpendicular, podemos ainda definir uma recta comosendo o conjunto de pontos P que satisfazem a equação P dU (α ) tU (α ) paraalgum t IR .1.2. Definição de PontoA intersecção de duas rectas não paralelas constrói um ponto.Um ponto P é então é um par ordenado ( x, y ) em IR 2 .Deste modo, podemos verificar que um ponto tem, tal como uma recta, doisgraus de liberdade, uma vez que as suas duas coordenadas podem variarindependentemente.7

2. Descrição Axiomática do OrigamiNa década de 1970 começaram a realizar-se estudos para enumerar as possíveisdobragens em Origami e a estudar combinações entre elas. Destacou-se nesta áreaHumiaki Huzita, que descreveu seis operações básicas para definir um único vinco que,por si só, alinha várias combinações de pontos e rectas já existentes. Estas seisoperações tornaram-se conhecidas por Axiomas de Huzita e forneceram a primeiradescrição formal do tipo de construções geométricas possíveis com origami.Mais tarde, em 1989, Jacques Justin publicou um artigo em que apresentava nãoseis, mas sim sete combinações possíveis com uma única dobragem. No entanto, foiapenas em 2002, quando Koshiro Hatori apresentou uma dobragem que não era descritapelos axiomas de Huzita, que surgiu formalmente um sétimo axioma.Os sete axiomas tornaram-se conhecidos por Axiomas de Huzita-Hatori e vieramabalar o mundo científico do origami relativamente à completude da lista.Em 2003, o físico americano Robert Lang dá a dúvida por terminada. Afirmaque não existem mais axiomas e publica, na sua página da internet, um estudo quedemonstra a sua convicção.Dentro da teoria matemática de construções geométricas do origami, os seteaxiomas de Huzita-Hatori definem o que é possível construir com uma única dobragem,fazendo incidir combinações de pontos e rectas.8

2.1. Os Axiomas de Huzita-HatoriAxioma 1: Dados dois pontos, P1 e P2, há uma dobragem que passa pelos dois pontos.Axioma 2: Dados dois pontos, P1 e P2, há uma dobragem que os torna coincidentes.Axioma 3: Dadas duas rectas, l1 e l2, há uma dobragem que as torna coincidentes.Axioma 4: Dados um ponto P e uma recta l, há uma dobragem perpendicular a l quepassa por P.9

Axioma 5: Dados dois pontos, P1 e P2, e uma recta, l, se a distância de P1 a P2 for igualou superior à distância de P2 a l, há uma dobragem que faz incidir P1 em l eque passa por P2.Axioma 6: Dados dois pontos, P1 e P2, e duas rectas, l1 e l2, se as rectas não foremparalelas e se a distância entre as rectas não for superior à distância entre ospontos, há uma dobragem que faz incidir P1 em l1 e P2 em l2.Axioma 7: Dado um ponto, P, e duas rectas, l1 e l2, se as rectas não forem paralelas, háuma dobragem que faz incidir P em l1 e é perpendicular a l2.10

2.2. Explicação dos AxiomasPara efectuar uma explicação analítica dos axiomas da geometria do Origami esuas consequências, vamos considerar um referencial ortonormado na folha de papel naque pretendemos realizar as dobragens.Axioma 1: Dobragem única por dois pontosConsideremos os pontos P1 ( x1 , y1 ) e P2 ( x 2 , y 2 ) .Este axioma resume-se a uma dobragem pela recta que passa pelos doispontos dados inicialmente, ou seja, é equivalente a resolver equações deprimeiro grau.De facto, pretende-se encontrar os valores de m e b na equação y mx b ,sendom y 2 y1x 2 x1b y1 m x1ou, equivalentemente, b y 2 m x 2Axioma 2: Dobragem única que torna dois pontos coincidentesConsideremos os pontos P1 ( x1 , y1 ) e P2 ( x 2 , y 2 ) .Este axioma refere-se a uma dobragem pela mediatriz do segmento de rectadefinido pelos dois pontos iniciais, sendo também equivalente a resolverequações do primeiro grau.Para tal é necessário determinar uma recta perpendicular à que é definidapelos dois pontos dados inicialmente e que passa pelo ponto médio do segmentodefinido pelos mesmos. Assim, uma vez que o referido ponto médio é dado x x 2 y1 y 2 pelas coordenadas 1, , basta realizar uma dobragem pela recta2 2y mx b ondem x 2 x1y 2 y1eb y1 y 2x x2 m 12211

Axioma 3: Dobragem única que torna duas rectas coincidentesConsideremos as rectas l1 : y m1 b1 e l 2 : y m2 b2 .Se l1 e l2 forem paralelas, é necessário realizar uma dobragem por uma rectaparalela às iniciais e que se encontre à mesma distância de ambas.Analiticamente, é necessário começar por escolher um ponto de uma das rectasiniciais. Sem perda de generalidade, seja P1 ( x1 , y1 ) , pertencente à recta l1.Temos dois casos a considerar, a saber: m1 0 ou m1 0 .Comecemos por ver o que se passa se m1 0 .Neste caso, as rectas iniciais são da forma l1 : y b1 e l 2 : y b2 , pelo queP1 (x1 ,b1 ) . A recta perpendicular a l1 que passa em P1 é dada pela equaçãox x1 , sendo portanto P2 ( x1 ,b2 ) o seu ponto de intersecção com a recta l2.Resta então realizar a dobragem que torna os pontos P1 e P2 coincidentes, talcomo é descrito no axioma 2.Vejamos agora o que se passa para m1 0 .Neste caso a recta perpendicular a l1, é dada pela equação de primeiro grau:y 11x x1 y1 m1 m1O ponto de intersecção P2 entre esta última recta e l2 é solução do sistema: 1 1x x1 y1 y m1 m1 y m x b22 1 1x x1 y1 m 2 x b2 m1 m1 y m x b22 12

1 1 x x1 y1 b2 m2 m1 m1 y m x b22 1 x1 y1 b2 m1 x 1 m2 m1 y m2 x b2 x1 y1 m1 b2 m1 x m2 m1 1 x y1 m1 b2 m1 y m2 1 b2 m2 m1 1x1 y1 m1 b2 m1 x m2 m1 1 x m y1 m2 m1 b2 m1 m2 b2 m1 m2 b2 y 1 2 m2 m1 1x1 y1 m1 b2 m1 x m2 m1 1 x1 m2 y1 m2 m1 b2 y m2 m1 1 x y1 m1 b2 m1 x1 m2 y1 m2 m1 b2ou seja, P2 1,m2 m1 1m2 m1 1 . Resta então realizar a dobragem que torna os pontos P1 e P2 coincidentes, talcomo é descrito no axioma 2.13

Vamos agora supor que l1 e l2 não são paralelas. Neste caso, basta fazer abissecção de um dos ângulos definidos pelas duas rectas.Comecemos então por determinar o ponto P0 de intersecção das duas rectas: y m1 x b1 y m2 x b2 m x b2 m1 x b1 2 y m 2 x b2 (m m1 )x b1 b2 2 y m 2 x b2b1 b2 x m m21 b1 b2 y m2 b2 m2 m1b1 b2 x m2 m1 m2 b1 m2 b2 m2 b2 m1b2 y m2 m1b1 b2 x m m21 m2b1 m1b2 y m2 m1Donde b b2 m2 b1 m1b2P0 ( x0 , y 0 ) 1,m2 m1 m2 m1 . Dereferirqueesteprocedimento é possível pois as rectas não são paralelas, pelo que m1 m2 e,consequentemente, m2 m1 0 .Consideremos então uma circunferência nãodegenerada de centro P0 e raio arbitrário,digamosr,dada( x x 0 )2 ( y y 0 )2pelaequação: r2.P1,1P2,1P0P2,2P1,2l2l1Esta circunferência vai intersectar asrectas l1 e l2 em quatro pontos distintos (dois14

pontos em cada uma das rectas). Sejam P1,1 (x1,1 , y1,1 ) e P1, 2 (x1, 2 , y1, 2 ) ospontos resultantes da intersecção a circunferência com a recta l1, eP2,1 (x 2,1 , y 2,1 ) e P2, 2 (x 2, 2 , y 2, 2 ) os pontos resultantes de intersecção dacircunferência com a recta l2.Vamos agora, sem perda de generalidade, determinar os pontos médios M 1 eM 2 dos segmentos de recta [P1,1 P2,1 ] e [P1, 2 P2, 2 ], respectivamente. Note-se quetambém poderíamos fazer o raciocínio que se segue para os segmentos de recta[PP1,1 2 , 2] e [P1, 2P2,1 ] . x1,1 x 2,1 y1,1 y 2,1 x x 2, 2 y1, 2 y 2, 2 e M 2 1, 2Temos que M 1 ,,2222 . Resta então realizar a dobragem que passa pelos pontos M1 e M2, tal como édescrito no axioma 1.P1,1P2,1P0P2,2P1,2l2l1Note-se que a circunferência utilizada na explicação anterior é apenasauxiliar. Os pontos que foram determinados com o seu auxilio, poderiamtambém sê-lo através da adição de vectores, com a direcção de ambas as rectas ecom ambos os sentidos, ao ponto de intersecção das mesmas. Deste modo,também neste axioma, apenas estão envolvidas equações de primeiro grau.Repare-se ainda que existem duas formas de efectuar a dobragem para o casodas rectas iniciais não serem paralelas (uma para cada par de ângulos opostos) eapenas uma para o caso de rectas paralelas.15

Axioma 4: Dobragem única, perpendicular a uma recta, que passa por um pontoConsideremos o ponto P ( x, y ) e a recta l : y mx b .Para encontrar a recta por onde deve ser realizada a dobragem, começa-sepor considerar uma circunferência de centro P e raio superior à distância de P al, para que esta intersecte l em dois pontos distintos, digamos A e B.Posteriormente, consideram-se as circunferências de centro em A e B,respectivamente, e raio igual à distância entre estes dois pontos.Resta então realizar a dobragem que passa pelos pontos A e B, tal como édescrito no axioma 2 para obtermos o pretendido.Axioma 5: Dobragem única que faz um ponto incidir numa recta, passando poroutro ponto.Consideremos os pontos P1 ( x1 , y1 ) e P2 ( x 2 , y 2 ) e a recta l : y m b .Pretende-se neste axioma determinar uma dobragem que coloca P1 sobre l eque passa por P2. Deste modo, pretendemos encontrar a intersecção da recta coma circunferência de centro P2 e raio P1 P2 .Vamos calcular essa intersecção, designando P1 P2 : r : y mx b 222()()xxyyr 22 y mx b 222 ( x x 2 ) (mx b y 2 ) r y mx b 222222 1 m x (2mb 2 x 2 2my 2 )x x 2 b 2by 2 y 2 r 0()()Deste modo, podemos ter zero, uma ou duas soluções para o problema,consoante o valor do discriminante da fórmula resolvente seja inferior, igual ousuperior a zero, respectivamente.Caso a distância de P1 a P2 seja inferior à distância de P2 a l, o discriminanteé menor que zero, pelo que não existem soluções e é impossível efectuar adobragem pretendida.16

Se a distância de P1 a P2 for igual à distância de P2 a l, o discriminante ézero, pelo existe uma única solução.Suponhamos agora que a distância de P1 a P2 é superior à distância de P2 a l,ou seja, o discriminante é maior que zero. Neste caso existem dois pontos deintersecção entre a circunferência e a recta l, digamos I1 e I2. As soluções doproblema são então:- dobragem perpendicular a [P1 I 1 ] e que passa no seu ponto médio(que vai fazer coincidir os pontos P1 e I1, passando por P2);- dobragem perpendicular a [P1 I 2 ] e que passa no seu ponto médio(que vai fazer coincidir os pontos P1 e I2, passando por P2).Em ambos os casos, a dobragem é efectuada pelo método descrito no axioma1, utilizando para tal o ponto médio de cada um dos segmentos referidos e oponto P2.Repare-se que, na prática, o que realizamos neste axioma é determinar arecta tangente à parábola de foco P1 e directriz l, que passa pelo ponto P2.Vamos provar esta afirmação: Quando fazemos uma dobragem por P2 de formaa P1 incidir em l, uma parte da recta l vai ficar dobrada noutra direcção que não ainicial. Consideremos então a recta perpendicular a l na sua direcção dedobragem, que passa por P1, digamos r. Uma vez que P1 não pertence a l, vemque a direcção de l após a dobragem não é paralela à sua direcção inicial.Consequentemente, r não é paralela à recta de dobragem e podemos determinaro ponto de intersecção entre ambas, digamos I. Por construção, a distância de I a17

l é igual à distância de I a P1 e é o único ponto da dobragem com estapropriedade. Uma vez que uma parábola é, por definição, o lugar geométrico dospontos equidistantes de um ponto e de uma recta, provámos que a recta dedobragem é tangente à parábola de foco P1 e directriz l.De referir ainda que este é o primeiro axioma desta lista que necessitaefectivamente da resolução de uma equação de segundo grau (para adeterminação dos pontos de intersecção da recta inicial com a circunferência).Axioma 6: Dobragem única que faz dois pontos incidir em duas rectas distintas.Consideremos os pontos P1 e P2 e as rectas l1 e l 2 . Pretendemos determinaruma dobragem que faça incidir P1 em l1 e P2 em l2.Uma vez que pretendemos fazer incidir P1 em l1, a dobragem quepretendemos fazer será tangente à parábola de foco P1 e directriz l1, como foivisto na explicação do axioma 5. Por outro lado, uma vez que pretendemos fazerincidir P2 em l2, a dobragem que pretendemos fazer será tangente à parábola defoco P2 e directriz l2. Deste modo, este axioma consiste em encontrar uma rectasimultaneamente tangente a duas parábolas distintas.Vejamos agora que este procedimento é equivalente a resolver uma equaçãode terceiro grau. Para tal, vamos considerar, sem perda de generalização, quel1 : y 1 e P1 (0, 1) . Designemos por P 1 (t , 1) o ponto em que P1 incidena recta l1 através da dobragem pretendida.A recta criada pelo vinco é a mediatriz dosegmento de recta[P1 P 1 ]uma vez que, porconstrução, todos os seus pontos são equidistantesde P1 e de P 1 , pelo que o vinco e o segmento derecta são perpendiculares. Além disso, o pontomédiode[P1 P 1 ]temascoordenadas18

0 t 1 1 t , , 0 . Deste modo, a equação do vinco realizado com a2 2 2dobragem é dada por:y 1 t tt2 x y x 1 1 2 24t 0Por definição do vinco que pretendemos, temos que o ponto médio de[P2 P' 2 ] pertence a essa recta, ondeP2 (a, b ) e P' 2 ( x, y ) é o ponto em queP2 incide na recta l2 através da dobragem pretendida. Designemos este ponto x a y b por M , . Substituindo na equação do vinco vem que:2 2y b t x a t2 22 24Além disso, uma vez que, como já foi visto, este vinco é tangente a duasparábolas, os declives de [P1 P '1 ] e de [P2 P ' 2 ] são iguais, ou seja: 2 y b t x aDeste modo, substituindo na equação anterior:y bx a x a (x a ) 2y b 2( y b )22() ( y b )( y b ) x 2 a 2 ( y b ) 2( x a )22que é uma equação cúbica (sendo y 3 e x 2 y os termos de terceiro grau).De referir que pode ser impossível resolver este problema (se as duas rectasiniciais forem paralelas e a distância entre elas for superior à distância entre osdois pontos) ou pode haver uma única solução.19

Axioma 7: Dobragem única que faz um ponto incidir numa recta, através de umadobragem perpendicular a uma outra recta.Consideremos o pontoP (x0 , y 0 )e as rectasl1 : y m1 b1el 2 : y m 2 b2 . Pretendemos determinar uma dobragem que faça incidir P eml1 e que seja perpendicular a l2, o que é equivalente a resolver equações deprimeiro grau.Comecemos por notar que este problema apenas tem solução se as rectasiniciais não forem paralelas. Vamos por isso supor que estamos perante estecaso.Consideremos a recta paralela a l2, que passa por P, a saber r:y m2 x ( y 0 m2 x0 ) .As rectas l1 e r intersectam-se quando y m1 x b1 y m2 x ( y 0 m2 x0 ) y m1 x b1 m1 x b1 m2 x ( y 0 m2 x0 ) y m1 x b1 y m2 x0 b1 x 0 m1 m 2y 0 m2 x0 b1 b1 y m1m1 m2 y m2 x0 b1 x 0 m1 m 2m1 y 0 m1 m2 x0 m2 b1 y m1 m 2 y 0 m2 x 0 b1 x m1 m2 y m2 x0 b1 m1 y 0 m1 m2 x 0 m 2 b1 .Ou seja, intersectam-se no ponto I 0,m1 m2 m1 m 2 20

Resta então realizar a dobragem que torna os pontos P e I coincidentes, talcomo é descrito no axioma 2, para obtermos o pretendido. Repare-se que esteprocedimento resolve o problema pois nessa construção fazemos a dobragempor uma recta perpendicular a [PI ] e, consequentemente, perpendicular a l2.21

2.3. Principais Consequências dos AxiomasAs principais consequências dos sete axiomas prendem-se com a resolução deequações quadráticas e cúbicas através do origami.2.3.1. Resolução de equações quadráticasNo axioma 5, utilizamos equações de segundo grau, pelo que nos é possívelresolver algumas destas equações. Vamos agora mostrar que podemos resolver todas asequações quadráticas através do Origami [Alp00].A fórmula resolvente diz-nos que podemos determinar as raízes das equaçõesquadráticas através das operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão e raizquadrada. Deste modo, basta provar, algebricamente, que o conjunto de pontos do planoque são possíveis de construir através do Origami contém o menor subcorpo fechadopara estas operações.De forma a simplificar a demonstração, vamos assumir que a nossa folha depapel é infinita e que representa o plano complexo . Consideremos ainda segmentos derecta de comprimento unitário nos eixos real e imaginário.Facilmente se verifica que podemos efectuar adições e subtracções decomprimentos de segmentos através de dobragens.Para demonstrar esta afirmação, vamos provar que, dados um ponto P e umsegmento de recta [AB ], podemos construir um segmento de recta com o mesmocomprimento e a mesma direcção do inicial, que comece ou termine em P. [Alp00]Comecemos por supor que P não pertence à recta AB. Realizamos então adobragem que passa pelos pontos P e A e a dobragem que passa pelos pontos P e B.Obtemos assim um triângulo.PpConsideremos a recta perpendicular a ABDbque passa por A (possível pelo axioma 4) e a rectaperpendicular a esta última que passa por P.AB22

Obtemos assim uma recta, digamo

- Origami composto, que se obtém por união de vários origami simples; - Origami modular, que consiste num origami composto em que as peças são todas geometricamente iguais. Para efectuar dobragens de papel, existem hoje vários livros de modelos para a construção de algumas figuras. Em todos estes documentos, existe uma simbologia,