Relatividad General Un Siglo Con Las Ecuaciones De Einstein

1.5. ¿CUÁNDO HABRÁ MÁS?1.5.11¿Cuándo habrá más?Si ya estás impaciente por leer nuevas versiones solo te puedo decir que las nuevas versiones deltexto irán apareciendo conforme vayan apareciendo. Lo que es seguro es que aparecerán cuando estén.Y casi seguro estarán en algún momento.¿No sé si me he explicado?

Parte Matemática

Variedades diferenciales

Capı́tulo 2Pinceladas de topologı́aEn este primer capı́tulo vamos a hablar de topologı́a. Podrı́amos decir que la topologı́a es la partede la matemática que se ocupa de la continuidad de las funciones definidas entre distintos conjuntos.No nos convertiremos en expertos topólogos pero necesitamos algunas nociones simples para lo queviene.2.1.Espacio topológicoVamos a asumir que tenemos un conjunto X y que todos tenemos una idea más o menos aproximadade qué significa conjunto. El conjunto estará formado por una colección de elementos de los quepodremos decidir si pertenecen o no al conjunto X, es decir, tendremos clara las relaciones x X,x / X. Aquı́ trabajaremos con conjuntos de infinitos elementos que usualmente llamaremos puntos.Por ejemplo, el espaciotiempo será el conjunto de todos los posibles puntos espaciotemporales.Por otro lado, dado un conjunto X podemos seleccionar algunos elementos que satisfagan alguna15

16CAPÍTULO 2. PINCELADAS DE TOPOLOGÍApropiedad y definir por tanto un conjunto restringido a partir de X, es decir, podemos hablar desubconjuntos de X.¿Qué es una topologı́a? Ahora nos proponemos dar la definición de topologı́a y como tal definiciónno hay que entenderla. Las definiciones no se entienden, las aceptamos, las asumimos y trabajamoscon ellas siempre y cuando no se deduzca de las mismas alguna conclusión que sea inconsistente conlas definiciones establecidas.Definición: Espacio TopológicoDado un conjunto, X, diremos que T es una topologı́a de X si:1. T es una colección de subconjuntos de X. T {Uα }, donde Uα X para todo α que tomavalores en un conjunto de ı́ndices.2. y X son elementos de T.3. Uα T SUα T.α4. Para un número finito de subconjuntos de X, {Ui }ni 1 T TUi T.iLa definición lo que nos dice es que podemos parchear el conjunto X con subconjuntos. Ası́ quehacemos una colección de subconjuntos, incluyendo el conjunto total y el vacı́o, y diremos que es unatopologı́a si cumple dos propiedades importantes. Primero, la unión arbitraria de parches nos devuelveun subconjunto que está contenido en la colección inicial. Y segundo, la intersección finita de parchesseguro que nos devuelve a su vez un subconjunto contenido en la colección T. Como está feo llamarparche a un subconjunto en matemática se emplea la palabra abierto. Ası́ que los elementos de unatopologı́a T se denominan abiertos de la topologı́a.Si un conjunto X tiene asignada una topologı́a, es decir, existe una colección de abiertos T queverifica la definición, diremos que es un espacio topológico. De hecho, siendo estrictos, el espacio

2.1. ESPACIO TOPOLÓGICO17topológico es el par (X, T), pero generalmente la topologı́a será conocida y no seremos tan estrictos. Porsupuesto, un mismo espacio puede acomodar distintas topologı́as, distintas colecciones de subconjuntosque verifiquen la definición, no dudes en recurrir a la bibliografı́a para obtener más detalles.Una cuestión importante es que para todo x X existe un abierto de la topologı́a que lo contienex U X. Diremos entonces que U es un entorno de x X. Esto nos permite pensar en que lospuntos contenidos en U son cercanos a x aunque no tengamos ninguna noción de distancia definidaen el espacio X.Figura 2.1: U es el entorno del punto x X en la topologı́a definida sobre el conjunto.Hay un tipo de espacios en los que estamos interesados, son los espacios separables o Hausdorff.Sin entrar en detalle, diremos que un espacio es de Hausdorff cuando dados dos puntos del espacio Xsiempre podemos encontrar dos abiertos de la topologı́a cuya intersección es vacı́a. En cierto sentido,eso nos permite aislar o separa los puntos del espacio. Aunque esta condición nos parezca muy naturalno hay problema alguno en definir espacios en los que no se cumple, recomiendo a los interesadosbuscar ejemplos de espacios no separables.

18CAPÍTULO 2. PINCELADAS DE TOPOLOGÍAFigura 2.2: Ejemplo de espacio Hausdorff2.2.Funciones continuasEl concepto de continuidad de funciones tiene su expresión más básica y más fundamental entopologı́a. Hablando con toda la falta de rigor del mundo podemos decir que una función continua esaquella que envı́a puntos cercanos a puntos cercanos. Como acabamos de ver la relación de cercanı́aen topologı́a se resuelve, sin ayuda de distancias definidas, con los entornos de puntos del espacio enel que estemos trabajando. Por tanto, podemos concluir que una función será continua en el sentidotopológico si aplica entornos abiertos de puntos a entornos abiertos de puntos.Seamos ahora un poco más precisos. Disponemos de X e Y , sendos espacios topológicos. Tenemosdefinida una función f : X Y . Dado un punto x X, la función f le asociará un punto y f (x)en el espacio Y . Ası́, si aplicamos f sobre un entorno U de x X su imagen en Y será f (U ).Figura 2.3: Acción de f

2.3. HOMEOMORFISMOS19Diremos que la función f es continua si para cada abierto V en la topologı́a de Y se cumple quef 1 (V ) es un elemento de la topologı́a de X. Es decir, si la imagen inversa de un abierto siempre esun abierto, cada uno en su topologı́a.Es esencial notar que aunque se escriba f 1 esto no hace referencia a la inversa de la función (queno sabemos si es invertible o no, no sabemos si es inyectiva y sobreyectiva). A f 1 se la denomina eneste contexto imagen inversa y se define por:f 1 (V ) {x X : f (x) V Y }Como comentario final de esta sección, me gustarı́a resaltar el hecho de que esta definición decontinuidad en topologı́a es equivalente a la definición δ usual cuando trabajamos con funcionesf : Rn Rm .2.3.HomeomorfismosTrataremos ahora de dar la idea de cuando dos espacios topológicos pueden ser consideradosequivalentes. Esta equivalencia se expresará a través de un una aplicación entre ambos espacios ysu inversa de forma que se preserven las topologı́as de los mismos. Ya hemos encontrado que lasaplicaciones continuas son aquellas que relacionan los abiertos del espacio de llegada con abiertos delespacio de partida, por lo tanto son ellas las que preservan la estructura topológica.Diremos que una función entre dos espacios topológicos f : X Y es un homeomorfismo si cumpleque es una biyección y que tanto ella como su inversa son continuas. En este caso, f es invertible ytiene sentido pensar en f 1 como la función inversa asociada.

20CAPÍTULO 2. PINCELADAS DE TOPOLOGÍA

Capı́tulo 3Cartas, Atlas y VariedadesDiferencialesHasta ahora hemos trabajados con espacios topológicos (X, T). En estos espacios no tenemos aún lasuficiente estructura matemática como para poder hacer fı́sica en ellos. Un punto x X es una entidadabstracta, pero para poder hacer fı́sica hemos de ser capaces de dar coordenadas a los puntos. Además,hemos de saber cómo hacer derivadas, como definir vectores, como definir distancias y ángulos, etc.El objetivo de este capı́tulo es el de aumentar la estructura de un espacio topológico para que esasesperanzas se puedan hacer realidad.Para empezar definiremos una variedad M como un espacio topológico que es de tipo Hausdorff yque no se puede considerar unión de dos piezas disjuntas.21

22CAPÍTULO 3. CARTAS, ATLAS Y VARIEDADES DIFERENCIALES3.1.Cartas coordenadasDada una variedad M se dice que el par (U, ϕ) es una carta coordenada n-dimensional cuando Ues un abierto de M (elemento de su topologı́a) y ϕ es un homeomorfismo de U en un abierto de Rn .ϕ : U M RnFigura 3.1: Carta coordenadaEste punto es importante ya que a través de la carta podemos considerar un abierto de M comoun espacio Rn y aplicar todo lo que sabemos hacer en esos espacios en la propia variedad. En este casodiremos que estamos trabajando con una variedad real de dimensión n. Estas cartas matemáticas eslo que en fı́sica denominamos sistemas de coordenadas.Al trabajar en Rn asociamos a cada punto una n-tupla de valores (x1 , x2 , . . . , xn ). Cuando estamostratando con una variedad y queremos describir uno de sus puntos, p M , hemos de emplear unacarta y ası́ tendremos ϕ(p) Rn . Es decir,ϕ(p) (ϕ1 (p), ϕ2 (p), . . . , ϕn (p)).Ası́ que cuando hablemos de las coordenadas de un punto de la variedad escribiremos xa , dondea 1, 2, . . . , n es un ı́ndice que nos indica la coordenada en cuestión, pero tendremos en mente que

3.1. CARTAS COORDENADAS23eso solo es posible gracias a la existencia de la carta que nos permite ir de un abierto de M a Rn .Un detalle crucial en lo que sigue es que en general no podemos cubrir toda la variedad M con unacarta, de ser ası́ M serı́a esencialmente Rn . Pero no todos los espacios son homeomorfos a un espacioeuclı́deo. ¿Has probado a envolver una pelota con solo una hoja de papel?Este proceso de asignar una aplicación que nos lleve de un abierto de M a Rn lo podemos extendera cualquier abierto de la variedad. La cosa se pone interesante cuando tenemos dos cartas (U1 , ϕ1 ) y(U2 , ϕ2 ) tales que los abiertos no son disjuntos, es decir, U1 U2 6 . En la región de intersecciónpodemos llevar los puntos a través de ϕ1 a través de ϕ2 .En este caso podemos definir las funciones de transiciónnnϕ2 ϕ 11 : ϕ1 (U1 U2 ) R ϕ2 (U1 U2 ) RComo ejercicio, completa el siguiente dibujo identificando los abiertos, y las funciones con susrespectivas composiciones:Desde el punto de vista fı́sico es muy importante tener claro que lo que acabamos de aprender es

24CAPÍTULO 3. CARTAS, ATLAS Y VARIEDADES DIFERENCIALESa cambiar de coordenadas. Si lo pensamos bien, lo que estamos diciendo es que hay dos descripcionesde los mismos puntos de la variedad M , donde los abiertos de las cartas tienen intersección, y quele asignamos diferentes coordenadas a los mismos según los expresemos con una carta o la otra. Lasfunciones de transición son esenciales para entender como se han de expresar unas coordenadas enfunción de las otras y viceversa.3.2.Atlas y Variedades DiferencialesUna vez que hemos visto las cartas el siguiente paso es evidente, formemos un atlas. Un atlas dedimensión n en la variedad M es una familia de cartas (Ua , ϕa )a I , es decir que a toma valores en unconjunto de ı́ndices I, un contador vamos, de tal forma que:Se cumple que M SUaa ICada función de transición ϕa ϕ 1b es una función continua con infinitas derivadas continuas. Aeste tipo de funciones las denominaremos suaves o de tipo C . Recordemos que estas funcionesde transición son funciones en Rn donde tenemos todas las herramientas necesarias para sabersi una función es derivable infinitas veces y si cada derivada es continua.Aquı́ deberı́amos de interesarnos por el concepto de atlas maximal, aquel atlas que contiene todoslos abiertos posibles definidos en M y todas las biyecciones entre los abiertos de M y los abiertosde Rn cuyas funciones de transición son suaves. El concepto es simple pero su construcción es arduacuanto menos, ası́ que asumiremos que siempre trabajamos con este tipo de atlas.Y llegados a este punto podemos dar la definición de variedad diferenciable.Definición: Variedad Diferencial

3.3. FUNCIONES ENTRE VARIEDADES25Si en un espacio topológico M que es conexo y Hausdorff construimos un atlas maximal habremosdefinido una estructura diferenciable sobre M y diremos que M es una variedad diferencial.Dado que todas las variedades con las que vamos a trabajar son variedades diferenciales las denominaremos simplemente como variedades sin posibilidad de confusión.3.3.Funciones entre variedadesImaginemos ahora que tenemos dos variedades, M y N . Ambas tienen asociada una estructuradiferencial. Las dimensiones de dichas variedades no han de coincidir, por ejemplo supongamos que lavariedad M es m-dimensional y la variedad N es n-dimensional. Eso quiere decir que las cartas de Mvan a Rm y las de N van a Rn . Si ahora definimos una función f : M N , ¿cómo podemos decidirsi esta función es suave o no lo es?La cuestión se resuelve fácilmente si nos vamos a los espacios en los que sı́ sabemos responder esapregunta. Ası́ que empleemos las cartas como en la figura 3.2.Gracias a las cartas podemos traducir en cierto sentido la función entre las variedades a funcionesentre Rm y Rn , para ello construimos, observa la figura 3.3, el representante local de la función:ψ f ϕ 1 : ϕ(U ) Rm ψ(V ) RnDado que ya disponemos de una función entre espacios del tipo Rn podremos decidir si la funciónes suave o no lo es. La función será suave si para todas las cartas de M y N su representante locales C en el sentido del análisis de varias variables. En realidad, basta mostrar que ese es el caso

26CAPÍTULO 3. CARTAS, ATLAS Y VARIEDADES DIFERENCIALESFigura 3.2: Empleando las cartasFigura 3.3: Representante localpara una pareja de cartas de ambas variedades para poder afirmar que la función es suave debido a laestructura diferencial inherente a una variedad diferencial. Es un buen ejercicio convencerse de estaafirmación.Una función f : M N se llama difeomorfismo entre las variedades si es una biyección y tantoella como su inversa son suaves. Por lo tanto, las variedades que admiten difeomorfismos entre ellasse llaman difeomorfas ya que sus estructuras diferenciales son idénticas.Evidentemente siempre podemos definir difeomorfimos de una variedad M en ella misma. El conjunto de todos los difeomorfismos de una variedad conforma un grupo denotado por Dif f (M ). La

3.3. FUNCIONES ENTRE VARIEDADEScomprobación de que los difeomorfismos de una variedad forman grupo es directa.27

28CAPÍTULO 3. CARTAS, ATLAS Y VARIEDADES DIFERENCIALES

Capı́tulo 4Vectores y Espacios TangentesUna variedad M tiene dos estructuras definidas, una topologı́a y una estructura diferencial. Sinembargo, no hay ninguna estructura vectorial asociada y eso supone un problema porque necesitamosvectores para hacer fı́sica. Nuestro trabajo en esta sección es estudiar si es posible definir vectores enuna variedad. Como veremos, hay una construcción muy bella que lo permite y que es consistente conuna interpretación más operativa.Antes de entrar de lleno en el tema que nos ocupa vamos a definir curvas en variedades.4.1.Curvas en VariedadesSe llamará curva en la variedad M a una aplicación suave γ : R M que asigna a cada valor enλ R, o en un intervalo abierto del mismo, un punto en la variedad dado por γ(λ).Es importante señalar que la curva es la aplicación γ no el camino de puntos señalados en lavariedad.29

30CAPÍTULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTESPodemos decir que hay dos curvas tangentes entre ellas en el punto p de la variedad si se cumple:γ1 (0) γ2 (0) pEn una carta coordenada de M las curvas han de ser tangentes en el sentido de RnLa primera condición establece que las dos curvas toman el mismo valor solo en un punto. Porsimplicidad se ha elegido que dicho punto corresponda al valor cero del parámetro λ.La segunda condición hace uso de las cartas definidas sobre la variedad M . Con ello podemos llevarla curva a Rn asociando a los puntos γ(λ) de la variedad puntos en Rn del tipo xµ (γ(λ)).

4.1. CURVAS EN VARIEDADES31El representante local de la curva en Rn toma la forma:ϕ γ : R RnAsı́ podemos definir la siguiente derivada de la forma usual:d(ϕ γ(λ))dλEsta notación es formal pero emplearemos una notación más operativa y más popular en los textosde fı́sica:ddxµ (γ(λ))(ϕ γ(λ)) dλdλAsı́ que lo que indica la segunda condición no es más que una relación entre las derivadas a lascurvas en el punto correspondiente a λ 0:dxµ (γ1 (λ))dxµ (γ2 (λ)) λ 0 λ 0dλdλ

32CAPÍTULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTESEsta expresión, gracias al carácter C de todas las funciones empleadas y a la estructura diferencialinherente a la variedad, es válida en cualquier sistema de coordenadas.4.2.Vector tangente a M en el punto p - Definición geométricaGracias a la construcción anterior podemos dar una noción de vector tangente a la variedad enuno de sus puntos.Un vector tangente en p M es una clase de equivalencia de curvas en M tales que la relación deequivalencia es la de ser dos curvas que sean tangentes entre sı́ en el punto p.v [γ]Definir ası́ los vectores tangentes a una variedad en un punto puede parecer abstracto y pocooperativo. Ciertamente, ası́ es. Sin embargo, hay un punto clave en esta forma de definir los vectorestangentes, tan solo se hace uso de elementos propios de la variedad y de funciones definidas sobre y enella. Es decir, el concepto de vector tangente a la variedad en un punto es intrı́nseco a la variedad. Nonecesitamos pensar en nuestra variedad como encerrada en un espacio de dimensión superior dondesı́ están definidos los vectores de manera usual, la variedad es todo lo que necesitamos.Vamos a demostrar un teorema.Teorema: El espacio de todo los vectores tangentes a la variedad M en el punto p forman unespacio vectorial.Demostración:Tenemos una variedad M y en ella tenemos una carta (U, ϕ), el punto p U M la aplicación ϕenvı́a a p al punto 0 Rn .

4.2. VECTOR TANGENTE A M EN EL PUNTO P - DEFINICIÓN GEOMÉTRICA33Tenemos dos clases de equivalencia de curvas diferentes, [γ1 ] y [γ2 ]. Tomamos como representantesde cada clase de equivalencia las curvas γ1 y γ2 . Sin pérdida de generalidad elegimos las curvas de talforma que se cumpla γ1 (0) γ2 (0) p. Y sus imágenes por la carta vienen dadas por ϕ γ1 (λ) yϕ γ2 (λ) respectivamente.Es evidente que γ1 γ2 no tiene sentido en M . Pero podemos aprovechar los representantes localespara efectuar una suma en Rn :(ϕ γ1 (λ)) (ϕ γ2 (λ)),esto está bien definido y es una nueva curva en Rn .Es inmediato encontrar que esta nueva curva también pasa por 0 Rn cuando el parámetro λ 0.Aprovechando que ϕ 1 está definida por la propia definición de variedad, podemos llevar estacurva de Rn a la variedad M :λ 7 ϕ 1 (ϕ γ1 (λ)) (ϕ γ2 (λ))Esta curva en M pasa por p M para λ 0.

S e que los puristas se tirar an de los pelos por ello pero est a hecho a prop osito. Las expresiones que van siendo necesarias en distintas partes se ponen en todas ellas y cuando no se ponen es por un motivo. La raz on es que hay algunas expresiones que uno tiene que tener en la cabeza y si no est an ah entonces hay que buscarlas.