Límites - Epn
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA CÁLCULO EN UNA VARIABLE LÍMITES EJERCICIOS RESUELTOS Ing. Ezequiel A. Guamán T. Septiembre, 2013 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 1
LÍMITES: Ejercicios resueltos 1. Demostrar: 3 septiembre 2013 lim 7 3x 2 x 3 Puesto que 7 3x está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto que contenga a 3 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe demostrar que: Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 0 x 3 7 3x 2 Análisis previo: si 0 x 3 9 3x si 0 x 3 3 x 3 si 0 x 3 3 x x 3 1 x 3 3 Demostración: El último enunciado indica que es adecuado tomar 1 . Con esta elección de se 3 establece el siguiente argumento: 0 x 3 3 x 3 3 3 3 x 3 9 3x 3 1 7 3x 2 3 7 3x 2 ya que 3 1 , el siguiente enunciado se cumple: 3 si 0 x 3 7 3x 2 Así, se ha establecido que si Esto demuestra que lim 7 3x 2 x 3 2. Demostrar: x2 1 2 x 1 x 1 lim Factorizando el numerador y, luego, simplificando, el límite se transformaría en: x2 1 x 1 x 1 lim lim x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 lim Como x 1 está definido x , cualquier intervalo abierto que contenga a 1 cumplirá con el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ing. Ezequiel A. Guamán T. 2
Ahora se debe demostrar que 0, 0, tal que si: 0 x 1 x 1 2 Análisis previo: si 0 x 1 x 1 El último enunciado muestra que es adecuado tomar . Con esta elección , se establece el siguiente argumento: 0 x 1 x 1 1 1 x 1 2 x 1 2 Así, se ha establecido que si , el siguiente enunciado se cumple: si 0 x 1 x 1 2 Esto demuestra que: x2 1 lim x 1 2 , y por consiguiente que lim 2 x 1 x 1 x 1 3. Demostrar: lim 2 x 1 9 x 4 Puesto que 2 x 1 está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto que contenga a 4 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe demostrar que: Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 0 x 4 2 x 1 9 Análisis previo: si 0 x 4 2x 8 si 0 x 4 2 x 4 1 si 0 x 4 x 4 2 Demostración: El último enunciado indica que es adecuado tomar 1 . Con esta elección de se 2 establece el siguiente argumento: 0 x 4 2 x 4 2 2 x 1 9 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 2 x 8 2 2 x 1 9 2 1 ya que 2 3
1 , el siguiente enunciado se cumple: 2 si 0 x 4 2 x 1 9 Así, se ha establecido que si Esto demuestra que lim 2 x 1 9 x 4 4. Demostrar: lim 5 x 8 3 x 1 Puesto que 5x 8 está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto que contenga a 1 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe demostrar que: Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 0 x 1 5x 8 3 Análisis previo: si 0 x 1 5x 5 si 0 x 1 5 x 1 1 si 0 x 1 x 1 5 El último enunciado indica que es adecuado tomar 1 . Con esta elección de se 5 establece el siguiente argumento: 0 x 1 5 x 1 5 5x 5 5 5x 8 3 5 1 5 x 8 3 ya que 5 1 Así, se ha establecido que si , el siguiente enunciado se cumple: 5 si 0 x 1 5x 8 3 Esto demuestra que lim 5 x 8 3 x 1 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 4
5. Demostrar: lim x 2 2 x 2 Por definición: lim f x b ssi 0 0 x,0 x a f x b x a lim x 2 2 ssi 0 0 x,0 x 2 x 2 x 2 2 Análisis previo: x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 1 x 2 2 Hipótesis: x 2 Se toma un entorno de 1, 3 donde 1 : x 2 1 1 x 2 1 3 x 2 5 3 x 2 5 3 2 x 2 2 5 2 1 1 1 5 2 x 2 2 3 2 1 1 x 2 2 3 2 Se tiene dos relaciones: 1) 1 1 x 2 2 3 2 2) 0 x 2 1) x 2): x 2 x 2 2 3 2 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 5
3 2 3 2 min 1, 3 2 3 2 Demostración: H: 1) 0 x 2 1) 1 1 x 2 2 3 2 2) 1 x 2 x 2 2 1 x 2 2 2) 1 x 2 2 1 3 2 Por la ley transitiva: x 2 x 2 2 1 x 2 2 x 2 x 2 2 1 pero 3 2 x 2 x 2 2 1 3 2 1 3 2 se multiplica 1 y 2 miembro a miembro 3 2 3 2 x 2 x 2 2 Multiplicando por la conjugada: x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 f x 2 lim x 2 2 ssi 0 0 x,0 x 2 x 2 Ing. Ezequiel A. Guamán T. x 2 2 6
6. lim r 1 lim r 1 lim r 1 lim r 1 lim r2 r 2r 2 5r 7 r2 r 2r 2 5r 7 r2 r 2r 5r 7 r2 r 2 2r 2 5r 7 r2 r 12 1 2 1 2 5 1 7 r r 1 r 1 2r 7 r 1 lim r r 1 2r 7 lim 1 2 1 7 2r 2 5r 7 r2 r 1 1 lim 2 r 1 2r 5r 7 2 7 9 r 1 1 1 0 , 7 7 0 indeterminación (factorizando), (simplificando), (aplicando el límite), k 2 16 7. lim k 4 k 2 k 2 16 4 2 16 16 16 0 lim , indeterminación k 4 2 2 0 k 2 4 2 2 k 2 k 2 k 4 k 16 k 4 k 4 lim lim lim k 4 k 2 k 2 k 4 k 2 k 4 (factorizando), k 2 16 lim lim k 2 k 4 (simplificando), k 4 k 2 r 1 k 2 16 lim 4 2 4 4 (aplicando el límite), k 4 k 2 k 2 16 lim 4 8 32 k 4 k 2 8. lim h 0 x h 2 x 2 h x h 2 x 2 x 2 2hx h 2 x 2 (expandiendo ( x h) 2 ), h 0 h 0 h h x h 2 x 2 2hx h 2 lim lim (reduciendo), h 0 h 0 h h x h 2 x 2 h 2 x h lim lim lim 2 x h (factorizando y simplificando), h 0 h 0 h 0 h h 2 2 x h x lim 2 x 0 2 x (aplicando el límite), h 0 h lim lim Ing. Ezequiel A. Guamán T. 7
sen sen x x 0 x sen sen x sen x sen sen x sen x sen sen x lim lim lim , x 0 x 0 sen x x x sen x x 0 x sen sen x sen x sen sen x lim lim lim 1 1 1 x 0 x 0 x 0 x x sen x 9. lim 10. lim cos x 1 sen x cos x cos 0 1 1 1 1 sen x 1 sen 0 1 0 1 x 0 11. 12. 13. lim x 0 lim x cot x x 0 lim cos x cos x cos x cos 0 1 x 0 lim x cot x lim x lim 1 sen x x 0 x 0 sen x x 0 sen x 1 1 lim x 0 x x lim h 2 lim h 2 lim h3 8 h2 4 h3 8 h2 4 h3 8 h 2 h 2 2h 4 (factorizando), h 2 h 2 h 2 lim h 2 2h 4 lim h 2 2 2 2 2 4 lim 2 h 2 h 4 2 2 h 2 lim h 2 h2 4 h3 8 h3 8 h2 4 h 2 (simplificando), (aplicando el límite), 4 4 4 12 3 4 4 sen x x x lim Sea t x , x t 0 1 t x x t 2 Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene: sen x sen t sen t sen t lim lim lim 1 x x t 0 t 0 t 0 t t t lim Ing. Ezequiel A. Guamán T. 8
14. 1 sen x 1 x 2 x 2 lim Sea 1 1 x, x t 0 1 2 2 1 1 t x x t 2 2 2 t Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene: 1 1 1 1 sen t 1 sen t 1 sen t 1 sen x 2 lim 2 lim 2 lim lim 1 t 0 t 0 t 0 t t t x 2 x 2 1 1 sen t 1 sen x 2 lim 1 cos t 0 lim lim 1 t 0 t 0 t t x 2 x 2 1 x 2 15. lim cos x x 2 Sea 1 1 t x, x t 0 1 2 2 1 1 t x x t 2 2 2 Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene: 1 x lim 2 lim t 0 cos x x 2 lim 1 t t 1 1 lim lim t 0 1 sen t 1 1 t 0 sen t t 0 sen t cos t lim t 0 t t 2 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 9
16. 17. 18. x tan x x 0 sen x lim sen x 1 x tan x tan x 1 1 cos x x lim , lim lim lim x 0 sen x x 0 sen x sen x x 0 sen x sen x x 0 sen x cos x x x x tan x 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 x 0 sen x x 0 sen x x 0 cos x 1 cos 0 1 x lim x 4 lim x 4 lim x 4 sen x cos x 1 tan x sen x cos x sen x cos x sen x cos x cos x sen x lim lim lim , sen x cos x sen x x cos x sen x 1 tan x x x 4 1 4 4 cos x cos x cos x sen x cos x 2 lim cos x cos 4 1 tan x 2 x 4 lim x sen x 1 x Sea 1 , x t 0 1 x 1 1 t x 2 x t t Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene: lim x sen x 1 1 sen t lim sen t lim 1 t 0 t x t 0 t Ing. Ezequiel A. Guamán T. 10
19. 20. 21. 3x 1 lim 3x 5 x 2 2 x 1 3 3x 1 lim 3x 2 5 x 2 x 1 3 3x 1 lim 3x 5 x 2 2 x 1 3 3x 1 lim 3x 2 5 x 2 x 1 3 3x 1 lim 3x 5 x 2 2 x 1 3 lim 3x 1 3x 1 x 2 lim 1 x 2 x 1 3 x 1 3 1 1 2 3 (factorizando el denominador), (simplificando), (aplicando el límite), 1 1 3 1 6 7 7 3 3 x 4 x 3 lim 2 x3 x 3 x x 4 x3 x 4 x3 1 1 3 3 3 7 0 1 x x x x lim lim lim lim ; x 2 x3 x 3 x 2 x3 x 3 x 2 x 3 2 0 0 x 3 x 2 1 3 3 3 x 2 x3 x3 x3 x x x lim x 4 x 3 x 4 x3 2 x3 x 3 1 2 lim ln sen x x 2 lim ln sen x ln sen ln 1 0 2 x 2 Ing. Ezequiel A. Guamán T. (aplicando el límite directamente) 11
22. lim x 7 lim x 7 2 x 3 x 2 49 2 x 3 x 49 2 2 lim x x 7 2 x 3 2 x 3 49 2 x 3 multiplicando y dividiendo por la conjugada del numerador, lim x 7 lim x 7 lim x 7 lim x 7 lim x 7 2 x 3 x 49 2 2 x 3 x 49 2 2 x 3 x 2 49 2 x 3 x 49 2 x 3 2 x 49 2 4 x 3 lim x 2 lim x 2 x 7 x 7 49 2 x 3 7 x 49 2 x 3 , x 7 , x 7 x 7 x 7 2 x 3 lim 1 1 , 14 2 2 14 4 1 56 1 x 1 x lim x 0 x x 0 x 1 1 1 , x 7 x 7 2 x 3 7 7 2 7 3 14 2 4 1 x 1 x x lim x 7 4 x 3 2 lim 23. lim x 0 49 2 x 3 lim 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x multiplicando y dividiendo por la conjugada del numerador, lim x 0 1 x 1 x 1 x 1 x lim x 0 x 1 x 1 x x producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, lim 1 x 1 x 1 x 1 x lim x 0 x 1 x 1 x x (suprimiendo paréntesis), lim 1 x 1 x 2x lim x 0 x 1 x 1 x x (reduciendo), x 0 x 0 1 x 1 x 2 (simplificando), lim x 0 x 0 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 (aplicando el límite), lim x 0 x 1 0 1 0 1 x 1 x lim 1 x 0 x lim Ing. Ezequiel A. Guamán T. 12
24. 3 2x 1 x 5 3 5 x 5 lim Al aplicar el límite directamente, da la forma indeterminada 0/0. Por lo que, es procedente simplificar la expresión. 3 2 x 1 3 2 x 1 5x 5 x 5 3 5 x 5 x 5 3 5 x 5 5 x 5 3 2 x 1 multiplicando el numerador y el denominador por 3 2 x 1 lim 3 2x 1 lim 5x 5 , 3 2x 1 9 2 x 1 5x 5 9 2 x 1 5x 5 lim lim , x 5 3 5 x 5 x 5 3 5 x 25 3 2 x 1 x 5 3 5 x 25 3 2 x 1 3 2x 1 10 2 x 5x 5 2 x 5 5 x 5 lim lim , x 5 3 5 x 5 x 5 3 5 x 25 3 2 x 1 x 5 15 x 5 3 2 x 1 3 2x 1 2 5 x 5 2 5 5 5 (aplicando el límite), lim x 5 3 5 x 5 x 5 15 3 2 x 1 15 3 2 5 1 lim 25. lim lim lim x 5 3 2x 1 3 5 x 5 15 3 9 x 0 x 1 lim x tan lim x 0 cos x x 1 lim x tan lim x 0 cos x x x sen x , lim x tan lim x tan lim x x 0 x 0 cos x x 2 5 5 2 10 2 15 3 3 15 6 9 x x lim x tan x x 2 25 5 lim 0 x x sen x 1 lim x 0 cos x , x sen lim 0 x x , x cos1 0 1 1 1 lim x tan x x 1 sen x lim x 0 cos x x x x sen Ing. Ezequiel A. Guamán T. 13
26. 3 x 2 2 x 2 4 8 32 x lim Al aplicar el límite directamente, da la forma indeterminada 0/0. Por lo que, es procedente simplificar la expresión. lim 3 x 2 2 x 2 4 8 32 x 3 x 2 2 8 32 x lim 4 8 32 x 8 32 x x 2 multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del denominador, lim x 2 3 x 2 2 4 8 32 x 3 x 2 2 8 32 x , x 2 4 64 32 x lim efectuando el producto conjugado en el denominador, lim x 2 3 x 2 2 4 8 32 x 3 x 2 2 x 2 2 8 32 x lim x 2 4 64 32 x x 2 2 , multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del factor numerador, lim x 2 3 x 2 2 4 8 32 x lim 3 x 2 4 8 32 x x 2 4 64 32 x x 2 2 x 2 2 del , efectuando el producto conjugado en el numerador, 3 x 2 2 3 x 2 8 32 x 3 8 32 x 3 8 32 2 lim lim , x 2 4 8 32 x x 2 128 x 2 x 2 2 x 2 128 x 2 2 128 2 2 2 3 x 2 2 3 8 64 3 8 8 3 16 3 x 2 4 8 32 x 128 4 2 128 2 2 128 4 32 27. lim lim lim x3 8 x 2 3 lim x3 8 x 2 3 lim x 2 x 2 x3 8 x 2 3 x 2 lim x 2 x 2 2 x 4 x 2 2 2 x 2 2 3 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 1 3 lim x 2 x 2 2 3 x 2 2 x 4 22 2 2 4 0 2 3 4 4 4 0 14
3 x 8 2 x 3 x 8 2 x 8 lim x 0 x x 28. lim x 0 29. lim x 0 x x 8 2 3 2 3 2 x 8 2 x 8 1 3 4 1 3 4 , 3 x 8 2 1 1 1 2 1 x 0 8 3 2 0 8 3 4 4 4 4 12 x 2 3x 4 x3 1 x 2 x 2 3x 4 x3 1 x 2 lim 2 x 8 x 8 2 x 1 lim lim , 2 1 2 1 x 0 x x x 8 3 2 x 8 3 4 x 0 x 8 3 2 x 8 3 4 x 0 lim x 0 1 3 3 lim lim x 8 lim x 8 2 x 8 23 x 8 8 lim lim , 2 1 2 1 x 0 x 0 x 3 3 3 3 x x 8 2 x 8 4 x x 8 2 x 8 4 x 0 x 0 2 3 lim lim 1 3 x 2 3x 4 x 1 3 x 2 2 2 3 2 4 23 1 (aplicando el límite directamente), 4 6 4 14 1 14 8 1 9 3 2 sen 2 x 30. lim x 0 x2 2 sen 2 x lim x 0 x2 2 sen 2 x lim x 0 lim x 0 x2 2 sen 2 x x 2 sen x sen x 1 sen x sen x 2 2 lim 2 2 , lim x x x 0 x x 4 x 0 2 2 sen x sen x 1 2 lim 2 lim x x x 0 x 0 4 2 2 1 4 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 1 1 1 4 sen kx 1 , lim x 0 kx 15
31. 32. tan 5 2 x sen 4 x lim x6 x 0 tan 5 2 x sen 4 x lim x6 x 0 2 tan 2 x 5 4 sen 4 x tan 5 2 x sen 4 x lim , lim x 0 x 5 x x 0 2 x 4 x sen 2 x 5 5 2 5 tan 2 x sen 4 x cos 2 x sen 4 x 5 tan 2 x sen 4 x lim tan lim 2 4 , 128 lim x 0 x 0 x 0 2 x 4 x 2 x 4 x x6 5 sen 2 x tan 5 2 x sen 4 x 1 sen 4 x lim 128 lim , x 0 x 0 2 x cos 2 x 4 x x6 tan 5 2 x sen 4 x lim x6 x 0 5 sen 2 x 1 sen 4 x 5 128 lim lim lim 128 1 1 1 128 x 0 2 x x 0 cos 2 x x 0 4 x tan 2 x x lim x 0 sen 2 x 33. lim 2 tan 2 x sen 2 x sen x sen x sen x sen x lim cos x lim lim lim lim , x 0 x 0 x cos 2 x x 0 x x x cos 2 x x 0 x x 0 cos 2 x lim tan 2 x sen 0 0 1 1 0 x cos 2 x 12 x 0 x 0 lim x 4 1 tan x sen x cos x sen x sen x cos x sen x 1 1 tan x cos x cos x cos x lim lim lim lim , sen x cos x x 4 sen x cos x x 4 sen x cos x x 4 sen x cos x x 4 1 4 1 tan x cos x sen x sen x cos x 1 lim lim lim , sen x cos x x 4 cos x sen x cos x x 4 cos x sen x cos x x 4 cos x 4 1 tan x 1 sen x cos x cos lim x lim x Ing. Ezequiel A. Guamán T. 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 16
x2 9 3 34. lim x2 x 0 x2 9 3 lim x2 x 0 x 0 x x 0 x 36. lim lim lim x 1 cos h 2 1 cos h 2 h x2 x x lim x x2 9 3 lim x 0 x2 1 x2 9 3 x2 9 3 , 1 02 9 3 , 1 cos h 0 ; lim h h 0 x2 x x x x 0 x x x2 0 1 cos 0 0 lim x x x lim x2 9 3 1 1 1 9 3 3 3 6 2 lim x2 x2 9 9 1 cos h 1 cos h lim 1 cos h lim lim 1 cos h , h 0 h 0 h h h 0 h h 0 x 2 x2 lim x2 9 3 h h 0 lim x 0 x2 9 3 1 cos h 2 h 0 lim 2 x2 9 3 lim x 0 x2 9 3 lim 35. lim lim x 2 x x lim x2 x x x x2 x x x2 x x x2 x x x x lim 2 x x x x x lim x x 1 x2 x x x x 2 x x2 x2 x x lim x lim x 1 x2 x x2 x x2 x x lim 1 x , 1 , 1 1 1 x 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 17
37. 4 7x x 2 3x lim 4 7x 4 7x lim lim x x x 2 3 x x 2 3 x x x 4 7 4 7x lim lim x x 2 3 x x 2 3 x (dividiendo cada término por x ), (simplificando), 4 4 7 lim lim 7 4 7x x x x x 0 7 , lim lim 2 x 2 3 x x 2 0 3 lim lim 3 3 x x x x 4 7x 7 x 2 3x 3 lim x2 2 38. lim x x 1 x2 2 x2 2 lim lim x x x x 1 x x 1 x x 2 x 2 x lim lim 1 x x 1 x 1 x x 2 x2 2 lim x x 1 (dividiendo cada término por x ), (simplificando), 1 lim x lim 2 lim x x x x 1 1 lim 1 lim x x x x2 2 lim x x 1 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 18
Analizar la continuidad de las siguientes funciones 39. 3x 1 f x 2 4 x si x 2 , Dom f , si 2 x en x 2 Definición de continuidad (i) (ii ) f 2 4 2 2 4 4 0, existe lim f x lim 3x 1 3 2 1 5 x 2 x 2 lim f x lim 4 x 2 x 2 x 2 lim f x no existe; 4 2 2 4 4 0 x 2 Por lo tanto, f es discontinua en 2, f es continua en todo número excepto en 2. 40. 1 x 2 f x 1 x si x 1 , Dom f , en x 1 si 1 x Definición de continuidad (i) (ii ) f 1 1 1 1, 1 2 1 existe 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x 2 1 2 lim f x no existe; 1 1 x 1 lim f x lim 1 1 x 1 x 1 x lim f x lim Por lo tanto, f es discontinua en 1. 1 no existe cuando x 2 , pero el domino aquí es , 1 x- 2 1 no existe cuando x 0 , pero el domino aquí es 1, x f es continua en todo número excepto en 1 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 19
41. 1 f x x 1 x 4 si x 4 , Dom f 1 en x 4 si 4 x Definición de continuidad (i) (ii ) f 4 4 4 0 1 1 1 4 1 5 x 4 x 4 x 1 lim f x no existe; lim f x lim x 4 4 4 0 x 4 x 4 x 4 lim f x lim Por lo tanto, f es discontinua en 4. f es continua en todo número excepto en - 1, 4 . 42. x 3 f x 2 x 3 , f x x 3 , 2 , x 3 ; x 3 si x 3 si x 3 x 3 x 3 Por lo tanto, f es continua en x 3 . Definición de continuidad (i) (ii ) f 3 2 lim f x lim x 3 lim 3 x 3 3 0 x 3 x 3 x 3 lim f x lim x 3 lim x 3 3 3 0 x 3 x 3 x 3 por lo tanto, lim f x 0 x 3 (iii ) f 3 lim f x ; x 3 Por lo que, f es discontinua en 3. Dicha discontinuidad es eliminable y desaparece si redefinimos f 3 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 20
43. t 2 4 f t t si t 2 ; t 2 si 2 t Definición de continuidad (i) (ii ) f 2 2 2 4 4 4 0 lim f t lim t 2 4 2 2 4 4 4 0 t 2 x 2 lim f t lim t 2 t 2 t 2 por lo tanto, lim f t no existe; t 2 Por lo tanto, f es discontinua en 2. Dicha discontinuidad es esencial. 44. y 5 5 ; y 0 y f y y 5 5 y y 5 5 y 5 5 y 5 5 y y y 5 5 y y 5 5 y y 5 5 Definición de continuidad (i) f 0 no existe; f es discontinua en 0 (ii ) lim f y lim y 0 y 0 y y 1 1 1 5 lim y 5 5 y 0 y 5 5 0 5 5 2 5 10 La discontinuidad es eliminable; la discontinuidad desaparece si se redefine f 0 45. 5 10 9x 2 4 2 f x ; x 3x 2 3 Definición de continuidad (i) (ii ) 3 no existe; por lo tanto, f 2 3 3 9x 4 3x 2 3x 2 2 lim lim 3x 2 3 2 4; 3x 2 x 2 3x 2 x 2 x 2 3 3 3 3 lim f x lim x 2 f es discontinua en 2 2 Por lo tanto, la discontinuidad es eliminable; para que la discontinuidad desaparezca, se 2 3 debe redefinir f 4 . Ing. Ezequiel A. Guamán T. 21
46. 9 t 2 f t 3t 2 si t 2 ; t 2 si 2 t Definición de continuidad (i) f 2 9 2 2 9 4 5 (ii ) lim f t lim 9 t 2 9 2 2 9 4 5 t 2 x 2 lim f t lim f t lim f t no existe; t 2 t 2 lim f t lim 3t 2 3 2 2 6 2 8 t 2 t 2 t 2 Por lo tanto, f es discontinua en 2, y la discontinuidad es esencial 47. f x x 2 x 12 x 2 2x 3 x 2 x 12 ; x 3 x 3 x 1 Definición de continuidad (i) (ii ) f 3 no existe; por lo tanto, f es discontinua en 3 lim f x lim x 3 x 3 x 2 x 12 x 2 2x 3 x 4 x 3 x 4 3 4 7 lim ; x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 3 1 4 lim Por lo tanto, la discontinuidad es eliminable; para que la discontinuidad desaparezca, se debe redefinir f 3 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 7 . 4 22
48. 2x 3 x lim x 3 x 1 x 1 2x 3 x lim x 3 x 1 x 1 3 3 2 2 2 2 6 6 x 1 x 2 5 x 2 5 x 6 x 1 x 2 5 3 1 3 2 5 2 3 3 3 3 1 3 1 x 5 x 6 2 3 5 3 6 2 3 1 9 5 9 15 6 0 0 0 ; indeterminación en el interior del valor absoluto y en el exponente. 0 2x 3 x lim x 3 x 1 x 1 x 1 x 2 5 x 2 5 x 6 2 x 3 x x 1 x 1 2x 3 x lim x 3 x 1 x 1 2 x 3 x x 1 x 1 2x 3 x 2 lim x 3 x 1 x 2 2 x 1 2 x 3 x x 3 x 1 x 1 x 1 lim x 3 x x 3 2 x 3 x x 1 x 1 x 1 lim x 3 x 2 x 3 x x 1 x 1 x 1 lim x 3 x 2 x 3 x 2 4 2x 3 x lim x 3 x 1 x 1 x 2 5 x 6 x 3 x2 2 x 1 x2 5 lim x 3 x 3 x 2 x 1 x 2 2x 3 x 1 x 1 lim x 3 x 1 x 2 2 x 1 2 x 3 x 4 2 2 1 2 3 3 3 x 1 x 2 5 x 1 x 2 5 x 1 x 2 5 x2 2 x 1 x2 5 x 1 x 1 x 3 x 2 5 x 6 x 1 x 2 5 3 1 3 1 3 1 2 3 3 3 3 lim lim 2x 3 x 2 x 1 x 1 lim 2 x 3 x 1 x 2 x 1 2 x 3 x 9 3 4 3 1 2 x 6 lim 2 x 3 x 3 x 3 x 2 x 1 lim 2 x 3 x 2 x 1 x 2 5 2 x 1 5 lim x 3 x 3 x 2 x 1 x 3 x 3 x 2 x 1 lim x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 2 3 2 3 1 9 5 4 4 3 6 2 2 2 2 4 3 3 1 2 9 8 1 2 3 2 2 2 3 2 4 2 x 1 x 2 5 x 2 5 x 6 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 3 2 4 23
x2 3x x 1 1 x2 49. lim 2 x 2 x x 1 2 x2 x2 lim 1 x 2 3x 2 x 1 1 x 2 3 x 2 x 1 x lim 2 lim 2x 2 x 1 x 2 x x 1 x x 3x 2 x 1 3 2 1 3x 2 x 1 xlim lim 2 , 2 2 x 2 x x 1 lim 2 x x 1 2 1 3x 2 x 1 1 3 2 2 3x x 1 x x lim lim 2 lim 2 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x x2 indeterminación 1 x2 1 x2 lim 3 lim 1 lim 1 x x x x x 2 3 0 0 3 lim 2 lim 1 lim 1 2 0 0 2 x x x x x 2 lim x 2 x2 2 x lim , 2 2 2 x 1 x lim 1 x 1 x x2 2 x2 lim x lim 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 lim x 1 2 1 x indeterminación lim 1 x 1 lim 2 lim 1 x x x 1 1 0 1 x2 3x x 1 1 x2 3 1 2 lim 2 x 2 x x 1 3 2 2 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 24
1 4 t 1 50. lim 2 t 5t t 0 5 5 4 1 1 lim 2 t 5t 1 y lim ; esto es, t 0 5 t 0 t 5 1 t 4 t 2 5 5 5 tiene la forma indeterminada 1 Entonces, sea: 1 4 t 1 y 2 t 5t 5 5 (1), 1 4 t 1 1 4 1 ln y ln 2 t 5t ln 2 t 5t , 5 t 5 5 5 De modo que: 4 1 ln 2 t 5t 5 5 lim ln y lim (2), t 0 t 0 t Hallemos el límite del miembro derecho de (2): 4 1 lim ln 2 t 5t 0 y lim t 0 t 0 t 0 5 5 Esto es, f(x)/g(x) tiene la forma indeterminada 0/0 ; por lo que para calcular el límite es aplicable la regla de L’Hopital: 4 4 5t ln 5 2 t ln 2 1 ln 2 t 5t 4 5 0 ln 5 2 0 ln 2 4 ln 5 ln 2 5 5 4 5t 2 t lim lim ; t 0 t 0 t 1 5 4 50 2 0 4 1 ln 2 t 5t 5 5 4 ln 5 ln 2 lim (3) t 0 t 5 Sustituyendo (3) en (2), se obtiene: t 0 4 ln 5 ln 2 ; 5 lim ln y 4 ln 5 ln 2 e 5 lim ln y t 0 (4); 1 4 t 1 lim 2 t 5t e t 0 5 5 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 4 ln 5 ln 2 5 1250 1 5 (1) en (4) 25
51. x 2 1 x 2 10 lim x x 2 x 1 x 2 1 x 2 10 x 3 x 2 x 1 x 3 2 x 2 10 x 20 x 2 9 x 19 lim lim xlim x 2 3x 2 , x x 2 x 1 x x 2 3x 2 x2 9 x 19 2 2 2 x 2 1 x 2 10 x x , lim x lim 2 x x 2 x 1 x x 3x 2 x2 x2 x2 9 19 x 1 x 10 x x2 lim lim , 3 2 x x 2 x 1 x 1 2 x x 2 (dividiendo cada término por x 2 ), 1 2 (simplificando), x 2 1 x 2 10 1 0 0 lim , (evaluando el límite y utilizando el Teorema de Límite), x x 2 x 1 1 0 0 x 2 1 x 2 10 1 lim x x 2 x 1 52. lim x x a x b x lim x x a x b lim x x 2 a b x ab , x x lim x x a x b lim x x x 2 a b x ab x x 2 a b x ab x x x 2 a b x ab (multiplicando y dividiendo la expresión por su conjugada), lim x x a x b lim x x x 2 x 2 a b x ab x x a b x ab 2 a b x lim x x a x b lim x Ing. Ezequiel A. Guamán T. x x x lim x a b x ab x x a b x ab 2 , ab x x , (dividiendo cada término por x ), 2 x a b x ab x 26
a b lim x x a x b lim x x ab x x 2 a b x ab 1 x2 (simplificando e introduciendo la x bajo el signo radical), ab x lim x x a x b lim , (separando términos y simplificando), x x a b ab 1 1 2 2 x x a b lim x x a x b a b 0 , (evaluando el límite y utilizando el Teorema de Lím), 1 1 0 0 lim x x a x b a b a b 2 1 1 x x 53. lim x 1 x 1 2x x 2 1 x 1 lim x 1 2x x 2 1 lim x 1 x 1 lim x 1 2x x 1 2x x 1 2 2 lim x 1 , x 1 2 x x 2 1 2 x x 2 12 lim 2x x 1 2 x 1 2 x x 2 1 2 x x 2 1 x 1 lim lim x 1 lim 1 x x 1 x 1 2 2 x x 2 1 x 1 x 1 x 1 lim x 1 2 x x 2 1 2x x 1 2 2 1 12 1 2 : constante positiva Cuando x 1 , 1 x tiende a 0 , y lo hace a través de valores negativos. Se obtiene: lim x 1 x 1 2x x 2 1 Ing. Ezequiel A. Guamán T. 27
54. 2 3 lim 2 t 4 t 3t 4 t 4 2 3 2 3 2 3 t 1 lim 2 lim lim , t 4 t 3t 4 t 4 t 4 t 4 t 1 t 4 t 4 t 4 t 1 2 3 5 3t 2 3t 3 lim 2 , lim lim t 4 t 3t 4 t 4 t 4 t 4 t 1 t 4 t 4 t 1 2 3 5 3t 1 lim 2 lim lim t 4 t 3t 4 t 4 t 4 t 1 t 4 t 4 Ahora lim t 4 5 3t 5 3 4 17 17 : constante negativa (1) t 1 4 1 5 5 lim 1 1 : constante positiva 1 t 4 lim : t 4 t 4 t 4 , t 4 tiende a 0, y lo hace a través de valores negativos De lo anterior, se concluye que: 1 (2) t 4 t 4 lim De (1) y (2), se concluye que: 5 3t 1 lim t 4 t 1 t 4 t 4 lim 55. 2 3 lim 2 t 4 t 3t 4 t 4 1 cos 2 x x 0 4x lim 1 cos 2 x 1 1 cos 2 x 1 1 cos 2 x 1 lim lim 0 0 x 0 x 0 2 4x 2x 2 x 0 2 x 2 lim Ing. Ezequiel A. Guamán T. 28
56. 3x 2 lim x 0 1 cos 2 1 x 2 3x 2 1 2 x lim 12 2 2 3x 3x 12 x 0 4 lim lim lim lim , 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 cos x sen x sen x sen x sen x 2 2 2 2 2 lim 1 2 1 1 x 0 x x x 4 2 2 2 3x 12 lim 2 12 1 x 0 1 cos 2 x 1 2 57. tan x 2x lim x 0 sen x tan x sen x 1 sen x 1 sen x 1 1 lim lim cos x lim lim lim lim , x 0 2 x x 0 2 x x 0 2 x cos x 2 x 0 x cos x 2 x 0 x x 0 cos x tan x 1 1 1 1 1 1 2x 2 cos 0 2 1 2 lim x 0 58. lim x 0 x 0 lim 59. x2 sen x lim x 0 sen x lim x 0 x2 sen x x2 sen x 1 sen x 1 lim lim lim , x x 0 x x 0 x x 0 x 1 2x sen 3x 2x 2 2 lim 2x 2 x 0 3 lim lim 3x lim 3 sen 3x x 0 sen 3 x x 0 sen 3 x x 0 1 3 lim x 0 3x 3x Ing. Ezequiel A. Guamán T. 29
60. lim x 0 sen 9 x sen 7 x 9 x sen 9 x sen 9 x sen 9 x sen 9 x sen 9 x 9 x 9 9 9x lim lim lim 9x lim 9 x li
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA CÁLCULO EN UNA VARIABLE LÍMITES EJERCICIOS RESUELTOS Ing. Ezequiel A. Guamán T. Septiembre, 2013 . Ing. Ezequiel A. Guamán T. 2 LÍMITES: Ejercicios resueltos 3 septiembre 2013 1. Demostrar: lim 7 3 2 3 o x x Puesto que 7 3x está definido para cualquier número real , cualquier intervalo abierto .
Flat mite identification tool on the Web. Flat mites, such as false spider mites, red palm mites, citrus mites, and peacock mites, are devastating pests on citrus, tea, bananas, coconuts, date palms, olive, eucalyptus, and ornamental palms. In addition to directly causing
May 09, 2014 · DMV Employee Pull Notice Program The DMV-EPN Program allows SDSURF to monitor the driver license records of employees who drive on behalf of SDSURF. The EPN Program generates a driver record 1) upon enrollment in EPN program, 2) from the date of enrollment on an annual basis or 12 mo
ETRF coordinates and the EPN densification solution gives very promising results (see Fig. 4 and 5). In average over all stations we have a bias of only -4 mm, 6 mm, -1 mm (East, North, Up) and a corresponding standard deviation of 10 mm, 9 mm, 13 mm. Page 4 Monitoring of official national ETRF coordinates on EPN web .
Northern foul mites 10% Chiggers 10% Soldier flies 10% Bed bugs 10% Depluming mites 9% Lice 9% Fowl ticks 8% Table 3. Difficulty of controlling pests. Pest Ranking Fire ants 3.3 Darkling beetles 2.8 Black flies 2.7 House flies 2.7 Mice 2.6 Rats 2.4 Varmints 2.0 Mosquitoes 2.0 Soldier flies 1.7 Chicken mites
DEFINITY ECS Release 8.2 Upgrades and Additions for R8.2si 555-233-122 Issue 1 April 2000 Contents iv 4 Upgrading R5si/R6si/R6 SR EPN to R8si/R8 SR EPN 4-1 Read this First 4-2 Task Table 4-5 Upgrade the Software and Hardware 4-6 5 Upgrading R7si to R8si 5-1 Read This First 5-1 Task Table 5-4 U
Volume 3, Issue 3 – May 18, 2018 General Information . 2 . Grapevine epimenis caterpillars. . strawberry pests, visit our previous articles published in this newsletter about: strawberry root weevil, black vine weevil, eastern flower thrips, two spotted spider mites, and cyclamen mites. .
The mealy oak gall wasp, Disholcaspis cinerosa, is an example. It causes one of the most common galls A gall-making cynipid wasp. Photo by Anamaria DalMolin. Mealy oak galls on post oak produced by the asexual generation of the mealy oak gall wasp. Table 1. Common gall-making insects and mites in Texas.
Experimental & Applied Acarology, 8 (1990) 161-173 Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam -- Printed in The Netherlands 161 Do Phytoseiid Mites Select the Best Prey Species in Terms of Reproductive Success? MARCEL DICKE 1, MAURIC
