LINEARNA ALGEBRA 2 Skripta Za Nastavni Cke Studije Na PMF-MO - Unizg.hr
LINEARNA ALGEBRA 2 skripta za nastavničke studije na PMF-MO Zrinka Franušić, Juraj Šiftar
Sadržaj 1 Unitarni prostori 1.1 Definicija i osnovna svojstva unitarnih prostora. Primjeri 1.2 Ortogonalni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Norma i metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Ortogonalizacija baze. Ortogonalna projekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Linearni operatori 2.1 Definicija i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Primjeri linearnih operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Zadavanje linearnog operatora djelovanjem na bazu. Matrični prikaz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rang i defekt linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Izomorfizam vektorskih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Prostor linearnih operatora. Dualni prostor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Matrični zapis linearnog operatora u različitim bazama . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori linearnog operatora . . . . . . . . . . 2.8.1 Algebra linearnih operatora i operatorski polinomi. Hamilton-Cayleyev teorem. Minimalni polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Invarijantni potprostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Adjungirani operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Linearni operatori na unitarnom prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 9 11 16 27 27 29 34 38 44 46 50 57 73 74 75 76
Poglavlje 1 Unitarni prostori 1.1 Definicija i osnovna svojstva unitarnih prostora. Primjeri Prisjetimo se najprije pojma vektorskog prostora. Neka je V neprazan skup i F polje. Uredena trojka (V, , ·) gdje je (i) binarna operacija na V takva da je (V, ) Abelova grupa, (ii) · : F V V preslikavanje sa svojstvima 1. α · (β · a) (αβ) · a, 2. (α β) · a α · a β · a, 3. α · (a b) α · a α · b, 4. 1 · a a, za sve α, β F, a, b V , naziva se vektorski ili linearni prostor nad poljem F. Elementi skupa V nazivaju se tada vektori, a elementi polja F skalari. Tradicionalno, operaciju zovemo zbrajanje vektora, a preslikavanje · zovemo množenje vektora skalarom. Nadalje, u našem će slučaju biti F R ili F C, pa tada govorimo o realnom odnosno o kompleksnom vektorskom prostoru. U ovom poglavlju bavit ćemo se vektorskim prostorima koji će biti snabdjeveni još jednom operacijom - operacijom skalarnog množenja. Naglašavamo da su operacije skalarnog množenja i množenja (vektora) skalarom slične samo svojim nazivom u što ćemo se uvjeriti iz definicije koja slijedi. Stoga, treba biti oprezan i ne miješati ove dvije operacije. U općem vektorskom prostoru imamo, dakle, dvije operacije te možemo njihovom uzastopnom primjenom dobivati linearne kombinacije vektora. Daljnji pojmovi i relacije odnose se na sve ono što se može izraziti pomoću linearnih kombinacija, npr. linearna nezavisnost i zavisnost skupa vektora, linearna ljuska, potprostor (kao podskup koji je ”zatvoren” na linearne kombinacije svojih vektora), baza prostora itd. No, u takvom prostoru općenito nema dodatne geometrijske strukture na kakvu smo navikli u vektorskom prostoru V 2 i V 3 pa tako nema govora o duljini (modulu) vektora, kutu medu vektorima, udaljenosti dvaju vektora ili udaljenosti vektora od potprostora itd. Tipični primjer vektorskog računa u elementarnoj geometriji je dokaz da se težišnice trokuta sijeku u jednoj točki i da ta točka dijeli težišnice u omjeru 2 : 1. Operacije zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom omogućuju nam da ”odjednom” izvedemo obje navedene tvrdnje za trokut. No, same linearne kombinacije uopće ”ne 2
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 hvataju”, primjerice, relaciju okomitosti pravaca pa se samo pomoću njih ne može dokazati da se visine trokuta sijeku u jednoj točki. Nova operacija, skalarno množenje vektora, omogućuje onda ne samo da se izrazi okomitost vektora (tako da im je skalarni produkt jednak 0), nego i ostale prethodno spomenute (”metričke”) pojmove, čime se geometrijska struktura prostora bitno obogaćuje. Definicija 1.1.1. Neka je V je vektorski prostor nad poljem F, pri čemu je F polje R ili C. Preslikavanje s : V V F koje svakom uredenom paru vektora pridružuje skalar s(a, b) ha bi F naziva se skalarno množenje na prostoru V ako su ispunjena sljedeća svojstva: (1) ha ai 0, za sve a V , pri čemu je ha ai 0 ako i samo ako je a 0V ; (pozitivna definitnost) (2) ha bi hb ai, za sve a, b V ; (hermitska simetričnost) (3) hλa bi λha bi, za sve a, b V, λ F; (homogenost) (4) ha b ci ha ci hb ci, za sve a, b, c V. (aditivnost) Skalar ha bi se zove skalarni produkt ili umnožak vektora a i b. Uredeni par (V, s) (ili (V, h· ·i)) nazivamo unitarni prostor nad poljem F. Napomena. Broj α predstavlja konjugirano kompleksni broj od α. Uočimo da zbog svojstva (1) vrijedi da je ha ai uvijek realan broj bez obzira na to je li V realan ili kompleksan vektorski prostor. Naime, uvjet nenegativnosti ima smisla samo u R. Nadalje, uočimo da smo u definiciji skalarnog množenja pretpostavili da ono ima svojstvo homogenosti i aditivnosti samo u prvom argumentu. Iz Definicije 1.1.1 lako proizlaze i sljedeća svojstva. Posebno, ako je F R, onda umjesto (2) imamo (2’) ha bi hb ai, za sve a, b V, jer su realni brojevi upravo su oni kompleksni brojevi koji se podudaraju sa svojim konjugirano kompleksnim brojevima. Propozicija 1.1.2. Neka je V unitaran prostor nad F. Tada je (3’) ha λbi λha bi, za sve a, b V, λ F, (4’) ha b ci ha bi ha ci, za sve a, b, c V. Dokaz. Svojstvo (2’) očito slijedi iz (2), Pokažimo svojstvo (3’). Vrijedi ha λbi {prema (2)} hλb ai {prema (3)} λhb ai λ hb ai {prema (2)} λha bi. Slično se pokazuje i svojstvo (4’): ha b ci {prema (2)} hb c ai {prema (4)} hb ai hc ai hb ai hc ai {prema (2)} ha bi ha ci. Uočimo da smo se poslužili svojstvima kompleksnih brojeva: z1 z2 z1 z2 i z1 z2 z1 z2 . 3
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 Primjenom svojstava iz definicije skalarnog množenja možemo izračunati skalarni umnožak bilo kojih dviju linearnih kombinacija vektora iz unitarnog prostora. Korolar 1.1.3. Neka je V unitaran prostor nad F, te neka su a, b V oblika a n X αi ai , b i 1 m X βj bj , j 1 za neke vektore a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm V i skalare α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm F. Tada je ha bi n X m X αi βj hai bj i. i 1 j 1 U svakom vektorskom prostoru istaknutu ulogu ima nulvektor 0V . Njegov skalarni umnožak s bilo kojim vektorom iznosi 0, kako pokazuje sljedeća tvrdnja. Propozicija 1.1.4. Neka je V unitaran prostor nad F. Tada je ha 0V i 0, h0V ai 0, za sve a V . Dokaz. Neka je h0V ai α F. Tada je α h0V ai h0V 0V ai h0V ai h0V ai α α, pa je nužno α 0. Očito isto vrijedi i za ha 0V i 0. Primjer 1. Na kolegiju Analitička geometrija bavili smo se klasičnim prostorom vektora V 3 te definirali skalarni umnožak vektora a, b V 3 \{ 0} kao a · b a · b · cos ( a, b), odnosno ako je a 0 ili b 0 onda a · b 0. Pokazali smo da ovako definirano množenje zadovoljava svojstva iz Definicije 1.1.1 pa je stoga V 3 jedan realni unitarni prostor. Isto vrijedi i za V 2 . Pritom, svojstva (1) i (2) skalarnog množenja slijede vrlo lako iz same definicije, svojstvo (3) takoder nije teško izvesti, no treba razmotriti slučajeve s obzirom na predznak skalara λ, dok je dokaz svojstva aditivnosti (4) znatno složeniji. Važno je uočiti da je apsolutna vrijednost skalarnog produkta a · b jednaka duljini (modulu) ortogonalne projekcije vektora a na smjer vektora b. Aditivnost onda zapravo geometrijski znači da ortogonalna projekcija zbroja dvaju vektora na smjer nekog vektora ima jednaku duljinu kao zbroj ortogonalnih projekcija pojedinih vektora. Primjer 2. Pomoću skalarnog produkta u V 2 (odnosno V 3 ) dokazat ćemo da se visine trokuta sijeku u jednoj točki. Neka je ABC dani trokut i neka je točka H sjecište visina iz vrhova A i B. Dovoljno je pokazati da je tada vektor CH okomit na vektor AB. Računamo: AB · CH (AH HB) · (CB BH) AH · CB HB · CB AH · BH HB · BH {zbog AH · CB 0} BH · ( CB AH HB) BH · (AH HB BC) BH · AC 0. 4
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 Time je tvrdnja dokazana, no uočimo još nešto. Ako umjesto H, kao sjecišta visina, uzmemo D kao bilo koju točku izvan ravnine trokuta ABC, imamo tetraedar (trostranu piramidu) ABCD. Sada račun potpuno jednak prijašnjem pokazuje da ako su AD i BC medusobno okomiti bridovi te BD i CA takoder medusobno okomiti, onda je i treći par bridova AB i CD medusobno okomit. Dakle, ako su u tetraedru dva para bridova medusobno okomita, onda to isto vrijedi i za treći par bridova, a primjenom skalarnog množenja to se jednostavno pokazuje (bez potrebe razdvajanja slučajeva jesu li vektori AD, BD i CD komplanarni s AB i BC ili nisu). Uočimo da smo se kod uvodenja skalarnog umnoška u prostoru V 3 služili svojstvima euklidskog prostora E 3 - mjerom udaljenosti i kutom, to jest svojstvima kojima ne raspolažemo u općem vektorskom prostoru. Štoviše, uskoro ćemo vidjeti upravo obrnutu situaciju, a to je da u svakom unitarnom prostoru možemo uvesti mjeru udaljenosti i kuta zahvaljujući operaciji skalarnog množenja. U sljedećim primjerima definiramo operacije skalarnog produkta na nekim, dobro poznatim vektorskim prostorima. Pritom napominjemo da skalarni produkt na nekom vektorskom prostoru općenito nije jedinstven pa iz tog razloga često ističemo tzv. standardni skalarni produkt. Primjer 3. Na realnom vektorskom prostoru Rn za x (x1 , . . . , xn ) i y (y1 , . . . , yn ) iz Rn definiramo n X hx yi x1 y1 · · · xn yn xi yi . i 1 Provjerimo svojstva iz Definicije 1.1.1: P P (1) hx xi ni 1 x2i 0, te hx xi ni 1 x2i 0 ako i samo ako je x1 . . . xn 0, tj. x 0; P P (2) hx yi ni 1 xi yi ni 1 yi xi hy xi, za sve x, y Rn ; P P (3) hλx yi ni 1 (λxi )yi λ ni 1 xi yi λhx yi, za sve x, y Rn , λ R; P P P (4) hx y zi ni 1 (xi yi )zi ni 1 xi zi ni 1 yi zi hx zi hy zi, za sve x, y, z Rn . Dakle, Rn je jedan realan unitarni prostor. Ovaj skalarni produkt naziva se standardni skalarni produkt na Rn . Primjer 4. Slično kao u prethodnom primjeru definiramo i standardni skalarni produkt na kompleksnom vektorskom prostoru Cn . Za x (x1 , . . . , xn ) i y (y1 , . . . , yn ) iz Cn stavljamo hx yi x1 y1 · · · xn yn n X xi yi . i 1 Svojstva skalarnog produkta pokazujemo analogno kao za standardni skalarni produkt na Rn . Stoga je Cn jedan kompleksan unitarni prostor. Uočimo da je hx xi n X xi xi i 1 n X xi 2 . i 1 5
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 Primjer 5. Na prostoru polinoma s realnim koeficijentima P za skalarni produkt se najčešće uzima preslikavanje Z 1 p(t)q(t)dt, hp qi 0 za p, q P. Svojstva iz Definicije 1.1.1 vrijede zbog svojstava odredenog integrala, pa je P takoder realan unitarni prostor. Razmislite zašto vrijedi svojstvo pozitivne definitnosti. Umjesto segmenta [0, 1] može se uzeti i neki drugi segment, npr. [ 1, 1]. Primjer 6. Na vektorskom prostoru matrica Mmn (R), odnosno Mmn (C), skalarno množenje može se definirati analogno onom u Primjeru 3, odnosno Primjeru 4. Skalarni produkt matrica A [aij ], B [bij ] Mmn (R) zadaje se kao suma umnožaka svih odgovarajućih koeficijenata na jednakim pozicijama: n X m X hA Bi aij bij , i 1 j 1 dok se u slučaju prostora Mmn (C) uzimaju kompleksno konjugirani brojevi koeficijenata druge matrice: n X m X hA Bi aij bij , i 1 j 1 Ovi izrazi mogu se sažeto napisati, pomoću traga umnoška matrica, u obliku hA Bi tr AB t , odnosno hA Bi tr AB . Teorem 1.1.5 (Nejednakost Cauchy-Schwarz-Bunjakowskog). Neka je V unitaran prostor. Vrijedi ha bi 2 ha aihb bi, (1.1) za sve a, b V . Jednakost u (1.1) postiže se ako i samo ako je {a, b} linearno zavisan skup. Dokaz. Za a 0V ili b 0V očito vrijedi jednakost (1.1). Neka su a, b V \{0V }, te λ F. Tada vrijedi 0 ha λb a λbi ha ai λhb ai λha bi λλhb bi. Kako prethodna nejednakost vrijedi za svaki skalar λ, onda će vrijediti i posebno za λ ha bi . hb bi λ hb ai , hb bi Uočimo da je pa stoga dobivamo 0 ha ai ha bi hb ai ha bihb ai hb ai hb bi ha ai hb ai ha bi ha bi. 2 hb bi hb bi hb bi hb bi 6
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 Množenjem prethodne nejednakosti s hb bi 0 i sredivanjem slijedi ha bihb ai ha biha bi ha bi 2 ha aihb bi. Preostaje ispitati kada nastupa jednakost u (1.1). Jednakost očito vrijedi ako je bar jedan od vektora a i b jednak 0. Pretpostavimo da su a, b oba različita od 0. Ako je skup {a, b} linearno zavisan, postoji λ F takav da je a λb. Tada vrijedi ha bi 2 hλb bi 2 λ 2 hb bi2 λλhb bi2 hλb λbihb bi ha aihb bi. Ako je skup {a, b} linearno nezavisan, onda za svaki λ F vrijedi a λb 6 0 što povlači strogu nejednakost 0 ha λb a λbi. Posebno, to vrijedi i za λ ha bi hb bi pa prethodno provedeni račun pokazuje da tada vrijedi stroga nejednakost u (1.1). U unitarnom prostoru V 3 očito je iz same definicije skalarnog produkta da vrijedi CSB nejednakost (1.1), jer kosinus bilo kojeg kuta po apsolutnoj vrijednosti iznosi najviše 1. Ako radi jednostavnosti uzmemo vektor b modula 1, vidimo da CSB nejednakost zapravo znači da je ortogonalna projekcija bilo kojeg vektora a ”kraća” od a ili najviše jednake duljine kao sam vektor a. Takva interpretacija vrijedi i općenito u unitarnom prostoru. Nejednakost Cauchy-Schwarz-Bunjakovskog poprima, dakako, različite oblike s obzirom na različite načine kako je zadan skalarni produkt na pojedinom vektorskom prostoru. Tako je n X 2 αi βi i 1 n X ! αi 2 i 1 n X ! βi 2 , i 1 za sve αi , βi C, i 1, . . . , n i svaki n. Takoder, Z 1 2 Z p(t)q(t)dt 0 1 2 Z p (t)dt 0 1 q (t)dt , 2 0 za polinome p i q s realnim koeficijentima. Primjer 7. U prostoru R2 sa standardnim skalarnim produktom, CSB nejednakost znači da za bilo koja dva vektora (a1 , b1 ) i (a2 , b2 ) vrijedi (a1 a2 b1 b2 )2 (a21 b21 )(a22 b22 ), što je poznata nejednakost koja postaje očita čim se svede na jednostavniji oblik 2a1 a2 b1 b2 a21 b22 a22 b21 , u kojem prepoznajemo nejednakost 0 (a1 b2 a2 b1 )2 . Odgovarajuću nejednakost za n 2 nije tako lako dokazati. Zadatak 1. Dokažite da za bilo koje realne brojeve a, b, c, d i e vrijede nejednakosti 7
PMF-MO, nastavnički smjerovi (1) a 2b 11c Linearna algebra 2 p 126(a2 b2 c2 ), (2) (3a 6b 11c 43d)2 2015(a2 b2 c2 d2 ), (3) (19a 23b 6c 27d 19e)2 2016(a2 b2 c2 d2 e2 ). U unitarnom prostoru, dakle u vektorskom prostoru opskrbljenom skalarnim produktom, imamo još jednu mogućnost ispitivanja linearne nezavisnosti nekog skupa vektora. U tu svrhu trebat će nam sljedeća definicija. Definicija 1.1.6. Neka je V unitaran prostor i {x1 , . . . , xk } V . Matrica reda k dana s hx1 x1 i hx1 x2 i · · · hx1 xk i hx2 x1 i hx2 x2 i · · · hx2 xk i G(x1 , x2 , ., xk ) . . . . . ··· . hxk x1 i hxk x2 i · · · hxk xk i zove se Gramova matrica. Njena determinanta naziva se Gramova determinanta i označava s Γ(x1 , x2 , ., xk ). Dakle, Γ(x1 , x2 , ., xk ) det G(x1 , x2 , ., xk ). Propozicija 1.1.7. Neka je V unitaran prostor i S {x1 , . . . , xk } V . Skup S je linearno nezavisan ako i samo ako je Γ(x1 , x2 , ., xk ) 6 0. Dokaz. Skup S {x1 , . . . , xk } je linearno nezavisan u V ako i samo ako jednadžba α1 x1 α2 x2 · · · αk xk 0V , (1.2) ima jedinstveno rješenje α1 · · · αk 0. Pomnožimo skalarno jednadžbu (1.2) s vektorima x1 , x2 , . . ., xk redom. Zbog homogenosti i aditivnosti skalarnog produkta dobit ćemo jednadžbe α1 hx1 x1 i α2 hx2 x1 i · · · αk hxk x1 i 0, α1 hx1 x2 i α2 hx2 x2 i · · · αk hxk x2 i 0, . . . . . . . . α1 hx1 xk i α2 hx2 xk i · · · αk hxk xk i 0, (1.3) koje možemo shvatiti kao sustav od k linearnih jednadžbi u nepoznanicama α1 , ., αk . Dakle, jednadžba (1.2) implicira sustav linearnih jednadžbi (1.3). Vrijedi i obrat. Svaka jednadžba u (1.3) je oblika hα1 x1 α2 x2 · · · αk xk xi i 0, pa množenjem svake od njih s αi i zbrajanjem dobivamo 0 k X αi hα1 x1 α2 x2 · · · αk xk xi i hα1 x1 α2 x2 · · · αk xk α1 x1 α2 x2 · · · αk xk i. i 1 Zbog pozitivne definitnosti skalarnog produkta je upravo α1 x1 · · · αk xk 0V . Dakle, jednadžba (1.2) je ekvivalentna sustavu linearnih jednadžbi (1.3). Uočimo da je matrica sustava (1.3) jednaka transponiranoj Gramovoj matrici, G(x1 , x2 , ., xk )t . Stoga sustav (1.3) ima jedinstveno trivijalno rješenje ako i samo ako mu je matrica sustava regularna, odnosno ako i samo ako je determinanta matrice sustava različita od 0, det G(x1 , x2 , ., xk )t 6 0. Kako su determinanta matrice i njoj transponirane matrice jednake, slijedi tvrdnja propozicije. 8
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 Gramova matrica je uvijek simetrična ako je unitarni prostor realan, a hermitski simetrična ako je prostor kompleksan. Na dijagonali su uvijek nenegativni realni brojevi. Dokazali smo da je Gramova determinanta linearno nezavisnog skupa različita od 0, no može se dokazati da je, štoviše, strogo pozitivna za linearno nezavisan skup. Ako se taj skup sastoji od samo 2 vektora, pozitivnost Γ proizlazi izravno iz CSB nejednakosti. Nadalje, vrijednost Gramove q determinante ima i dodatni geometrijski smisao jer je Γ( a, b) jednak površini paralelograma q razapetog (nekolinearnim) vektorima a i b, dok je Γ( a, b, c) jednak volumenu paralelepipeda razapetog (nekomplanarnim) vektorima a, b i c u prostoru V 3 . Primjer 8. Ispitat ćemo linearnu nezavisnost skupa {a, b, c} C3 , gdje su a (0, 1, i), b (1 i, 1, 1 i), c ( 1 i, 1 i, 1 2i), koristeći Gramovu determinantu. Ponovimo, skalarni produkt u C3 je dan s hx yi x1 y1 x2 y2 x3 y3 , za x (x1 , x2 , x3 ), y (y1 , y2 , y3 ) iz C3 . Sada je ha ai ha bi ha ci G(a, b, c) hb ai hb bi hb ci . hc ai hc bi hc ci Zbog hermitske simetričnosti vrijedi ha ai ha bi ha ci G(a, b, c) ha bi hb bi hb ci G(a, b, c) , ha ci hb ci hc ci odnosno Gramova matrica je hermitski simetrična, pa je potrebno izračunati sljedećih 6 skalarnih umnožaka: ha ai 2, ha bi i, ha ci 3, hb bi 5, hb ci 6i, hc ci 9. Sada je Γ(a, b, c) 2 i 3 i 5 6i 3 6i 9 0, pa zaključujemo da je skup S linearno zavisan. 1.2 Ortogonalni skupovi Definicija 1.2.1. Neka su a i b vektori unitarnog prostora V . Kažemo da su vektori a i b medusobno ortogonalni ako vrijedi ha bi 0. Pišemo a b. Uočimo da je relacija biti ortogonalan simetrična, to jest ako a b, onda b a. Zaista, ha bi 0 je ekvivalentno s hb ai 0. Stoga i govorimo o medusobnoj ortogonalnosti. Kraće ćemo za dva vektora reći da su ortogonalni. Prema Propoziciji 1.1.4 slijedi da je nulvektor ortogonalan na svaki vektor prostora, to jest 0V a za sve a V . Nadalje, iz (1.1) dobivamo da je a a ako i samo ako je a 0V . 9
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 Definicija 1.2.2. Neka je V unitarni prostor. Za podskup S {a1 , . . . , ak } V \{0V } kažemo da je ortogonalan skup (ili sustav) vektora ako su ai i aj medusobno ortogonalni za sve 1 i j k. Jednočlan podskup {a1 } V \{0V } smatrat ćemo ortogonalnim. Propozicija 1.2.3. Neka je S {a1 , . . . , ak } ortogonalan podskup unitarnog prostora V . Tada je S linearno nezavisan skup. Posebno, ako je S ortogonalan podskup n-dimenzionalnog unitarnog prostora V, onda je S n. Dokaz. Primijenimo kriterij za linearnu nezavisnost pomoću Gramove determinante (Propozicija 1.1.7). Gramova matrica ortogonalnog skupa je dijagonalna, pritom regularna jer su svi elementi dijagonale različiti od 0 pa je Γ(a1 , . . . , ak ) 6 0. Stoga je ortogonalan skup vektora linearno nezavisan. Napomenimo da se dokaz može provesti i tako da se pretpostavi da za neke skalare α1 , . . . , αk vrijedi α1 a1 · · · αk ak 0V pa se onda skalarnim množenjem ove jednakosti redom s a1 , a2 ,., ak dobiva α1 ha1 a1 i 0, ., αk hak ak i 0, odakle je α1 · · · αk 0. Definicija 1.2.4. Neprazni podskupovi S i T unitarnog prostora V su medusobno ortogonalni, S T , ako je svaki vektor skupa S medusobno ortogonalan sa svakim vektorom skupa T. Propozicija 1.2.5. Neka je V unitarni prostor i S, T V medusobno ortogonalni skupovi. Tada je njihov presjek ili prazan ili jednak {0V }. Dokaz. Ako je a S T , onda je ha ai 0, pa je a 0V . Definicija 1.2.6. Za neprazan podskup S unitarnog prostora V definiramo skup S {x V : x a, a S}. Ukoliko je S potprostor od V, onda S nazivamo ortogonalnim komplementom od S. Iz prethodne definicije jasno je da S nikad nije prazan skup jer sigurno sadrži nulvektor. Propozicija 1.2.7. Neka je S 6 podskup unitarnog prostora V . Tada je S vektorski potprostor od V . Dokaz. Pretpostavimo da su x, y S . Tada je hx ai 0 i hy ai 0 za sve a S. Nadalje, pretpostavimo da su α, β F i a S. Vrijedi hαx βy ai αhx ai βhy ai 0, pa je αx βy S . Dakle, S V . Uočavamo da je S potprostor nekog unitarnog prostora V za bilo koji neprazan podskup S - ne nužno potprostor. U slučaju kad je je S V potprostor S nazivamo ortogonalnim komplementom od S. To će biti opravdano Propozicijom 1.4.4. Zadatak 2. Pokažite da za svaki neprazni podskup S unitarnog prostora V vrijedi: S [S] [S ]. Zadatak 3. Za podskupove S i T unitarnog prostora V dokažite sljedeće implikacije: (a) Ako je S 6 podskup od T , onda je T potprostor od S . (b) Ako S sadrži skup izvodnica za V , onda je S {0V }. 10
PMF-MO, nastavnički smjerovi 1.3 Linearna algebra 2 Norma i metrika Neka je V realan ili kompleksan unitaran prostor. Budući da je ha ai 0 za sve a V , dobro je definiran broj p kak ha ai kojeg nazivamo norma, modul ili duljina vektora a. Uočimo da uz ovu oznaku nejednakost Cauchy-Schwarz-Bunjakovskog možemo pisati u obliku ha bi kakkbk. (1.4) Specijalno, ako je realan unitaran prostor i a, b vektori iz V \{0V }, tada prema (1.4) slijedi ha bi 1, kak · kbk odnosno 1 ha bi 1. kak · kbk Stoga postoji jedinstven ϕ [0, π] takav da je cos ϕ ha bi . kak · kbk Kažemo da je ϕ kut izmedu vektora a i b, te pišemo (a, b) ϕ. Uočimo da vrijedi relacija ha bi kakkbk cos( (a, b)) koja služi kao definicija skalarnog umnoška u prostoru V 3 budući da u njemu imamo definirane pojmove duljine vektora i kuta izmedu vektora. Napomenimo da pojam kuta izmedu vektora a i b ne definiramo ako je a 0V ili b 0V . Općenito se pojam norme definira neovisno o skalarnom produktu. Definicija 1.3.1. Neka je V vektorski prostor nad poljem F, pri čemu je F R ili F C. Preslikavanje k·k : V R koje svakom vektoru a V pridružuje realan broj kak sa svojstvima 1. kak 0, pri čemu je kak 0 ako i samo ako je a 0V , 2. kλak λ · kak, 3. ka bk kak kbk, (nejednakost trokuta) za sve a, b V , λ F, naziva se norma na prostoru V . Uredeni par (V, k · k) zove se normirani prostor. Uočimo da norma svakom vektoru pridružuje nenegativan realan broj. Propozicija 1.3.2. Neka je (V, h· ·i) unitarni prostor. Preslikavanje p a 7 ha ai s prostora V u polje R je norma na prostoru V . 11
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 p Dokaz. Označimo s kak ha ai, za a V. Provjerimo da preslikavanje k · k : V R zadovoljava sva tri svojstva iz Definicije 1.3.1. Svojstvo (1) slijedi izravno iz pozitivne definitnosti skalarnog produkta. Pokažimo svojstvo (2). Koristeći Definiciju 1.1.1 i Propoziciju 1.1.2 dobivamo q p p p kλak hλa λai λλha ai λ 2 ha ai λ ha ai λ kak, za sve a V , λ F. Za provjeru svojstva (3) koristimo svojstva hermitske simetričnosti i aditivnosti skalarnog produkta. Vrijedi ka bk2 ha b a bi ha ai ha bi hb ai hb bi kak2 2 Reha bi kbk2 . Kako je Reha bi Reha bi ha bi i ha bi kakkbk prema (1.4), slijedi ka bk2 kak2 2kakkbk kbk2 (kak kbk)2 . Prema upravo dokazanoj propozicijipzaključujemo da je svaki unitaran prostor i normiran. Još kažemo da je norma oblika kak ha ai inducirana skalarnim produktom. Prirodno je pitati se vrijedi li obrat, odnosno može li se u normiranom prostoru uvesti skalarni produkt koji inducira upravo početnu normu. Odgovor je - ne uvijek, a pokazat ćemo uz koji uvjet se to može učiniti. Propozicija 1.3.3 (Relacija paralelograma). Neka je (V, h· ·i) unitarni prostor s induciranom normom k · k. Vrijedi ka bk2 ka bk2 2kak2 2kbk2 (1.5) za sve a, b V . Dokaz. Relaciju pokazujemo raspisivanjem: 2 2 hb ai kbk hb ai kbk ka bk2 ka bk2 ha b a bi ha b a bi kak2 ha bi kak2 ha bi . Uočimo da relacija paralelograma izražava poznato svojstvo paralelograma u euklidskoj ravnini koje kaže da je zbroj kvadrata duljina dijagonala paralelograma jednak zbroju kvadrata duljina njegovih stranica. (Prisjetite se dokaza iskazanog svojstva pomoću Pitagorinog poučka.) Slika 1.1: Svojstvo paralelograma e2 f 2 2a2 2b2 12
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 Propozicija 1.3.4. Neka je (V, k · k) normirani prostor nad poljem R ili C. Prostor V je unitaran prostor čiji skalarni produkt inducira normu k·k ako i samo ako norma k·k zadovoljava relaciju paralelograma (1.5). Dokaz. Nužnost smo pokazali Propozicijom 1.3.3. Pokažimo obrat. Ako je F R stavljamo 1 ha bi (ka bk2 ka bk2 ), 4 a za F C i 1 ha bi (ka bk2 ka bk2 ) (ka ibk2 ka ibk2 ). 4 4 Provjerimo da smo na ovaj način definirali jedno skalarno množenje na V . Neka je F R. Provjeravamo redom svojstva iz Definicije 1.1.1. (1) ha ai 14 (ka ak2 k0V k2 ) 41 (2kak)2 kak2 0, te ha ai 0 ako i samo kak 0, to jest a 0V . (2) ha bi 14 (ka bk2 ka bk2 ) 41 (kb ak2 1 2 k(b a)k2 ) hb ai. (4) Pokažimo aditivnost. Prema definiciji je 1 ha b ci (ka b ck2 ka b ck2 ). 4 Raspišimo desnu stranu prethodne jednakosti koristeći relaciju paralelograma ka b ck2 ka b ck2 ka b ck2 ka b ck2 k a {z b }c k2 k a {z b }c k2 {z } a c b a c b rel. paral. {z } rel. paral. 2 2 2 2 2ka bk 2kck 2ka ck 2kbk ka bk2 ka bk2 ka bk2 ka bk2 2kck2 {z } rel. paral. 2 2 ka ck ka ck ka ck2 ka ck2 2kbk2 {z } rel. paral. 2 2 2 2 2 2 2 2kak 2kbk ka bk2 2kak ka bk 2kck ka ck2 2kck ka ck2 2kbk ka bk2 ka bk2 ka ck2 ka ck2 {z } {z } 4ha bi 4ha ci Zbog simetričnosti je i ha b ci ha ci hb ci. (3) Homogenost slijedi iz aditivnosti, ali ne sasvim jednostavno. Dat ćemo skicu tog dokaza. Zaista, h2a bi ha a bi ha bi ha bi 2ha bi. Induktivno dalje slijedi da je hna bi nha bi, za sve n N. Za λ 1 n prema upravo pokazanom imamo nhλa bi hnλa bi ha bi. 13
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 Množenjem prethodne relacije s λ slijedi hλa bi λha bi. Za λ 0 i λ 1 se tvrdnja lako pokaže, pa možemo ustanoviti da prethodna jednakost vrijedi za sve λ m n , m Z, n N, to jest za sve λ Q. Konačno, tvrdnja vrijedi za sve λ R jer je skup Q gust u R (to jest svaki realan broj možemo prikazati kao limes niza racionalnih brojeva). Primjer 9. Neke norme na prostoru Rn . Neka je a (α1 , . . . , αn ) Rn . Definiramo: kak max{ α1 , . . . , αn }, kak1 α1 · · · αn , p kak2 α12 · · · αn2 , kakp ( α1 p · · · αn p )1/p , p N. Sva ova preslikavanja zadovoljavaju svojstva norme (što za neke nije očito ni lako za pokazati). Nazivamo ih maks-norma, 1-norma (ili ”taxicab” norma), 2-norma (ili euklidska norma) i pnorma, redom. Napominjemo da ovo nisu sve norme koje postoje na Rn . Ako je n 2, medu navedenim normama na prostoru Rn samo je norma k · k2 inducirana skalarnim produktom. Pokušajte pronaći primjere vektora za koje ne vrijedi relacija paralelograma za norme k · k i k · k1 . Napomena 1.3.5. Neka je {a1 , a2 , . . . , ak } ortogonalan skup nekog unitarnog prostora. Tada je ka1 a2 · · · ak k2 ka1 k2 ka2 k2 · · · kak k2 , gdje je k · k norma inducirana skalarnim produktom. Za k 2 dobivamo relaciju koja u elementarnoj geometriji zapravo predstavlja Pitagorin poučak za pravokutni trokut. Uočimo da je to poseban slučaj relacije u realnom unitarnom prostoru ka1 a2 k2 ka1 k2 ka2 k2 2ha1 a2 i, koja odgovara Kosinusovom poučku u geometriji trokuta. Definicija 1.3.6. Vektor a iz normiranog prostora V takav da je kak 1 zove se jedinični ili normirani vektor. Kažemo da smo normirali vektor a V \{0V } ako smo mu pridružili vektor 1 a0 a. kak Pomoću norme lako se može definirati i udaljenost izmedu dva vektora. Neka je (V, k · k) normirani prostor, te a, b V . Udaljenost vektora a od vektora b smisleno je definirati kao d(a, b) ka bk. 14 (1.6)
PMF-MO, nastavnički smjerovi Linearna algebra 2 Uočimo da smo ovime definirali funkciju udaljenosti, odnosno metriku, na prostoru V : d : V V R. Primijetimo još da se u unitarnim prostorima V 2 (O) i V 3 (O) ovako definirana udaljenost dva vektora (radijvektora) OA i OB
PMF-MO, nastavni cki smjerovi Linearna algebra 2 Primjer 5. Na prostoru polinoma s realnim koe cijentima Pza skalarni produkt se naj ce s ce uzima preslikavanje hpjqi Z 1 0 p(t)q(t)dt; za p;q2P. Svojstva iz De nicije 1.1.1 vrijede zbog svojstava odredenog integrala, pa je P
Robert Gerver, Ph.D. North Shore High School 450 Glen Cove Avenue Glen Head, NY 11545 gerverr@northshoreschools.org Rob has been teaching at . Algebra 1 Financial Algebra Geometry Algebra 2 Algebra 1 Geometry Financial Algebra Algebra 2 Algebra 1 Geometry Algebra 2 Financial Algebra ! Concurrently with Geometry, Algebra 2, or Precalculus
Linearne nejednad zbe Linearna jednad zba Znamo da jednad zba ax b ima jedinstveno rje senje x b a uz uvjet da je a 6 0 . Takvu jednad zbu zovemo linearna jednad zba s jednom nepoznanicom. U slu caju da je a 0 i b 6
Sustavi linearnih jednad zbi 1.1 Linearne jednad zbe De nicija 1 (Linearna jednad zba s jednom nepoznanicom). Linearna jednad zba s jednom nepoznanicom xje jednad zba koja se mo ze zapisati u obliku ax b gdje su ai bzadani brojevi. Rje senje jednad zbe je svaki broj cije uvr stavanje u jednad
1 Milí přátelé, před sebou máte skripta k poslechovému kurzu Němčina- slovíčka pro mírně pokročilé B1. Aktivity s tímto kurzem předpokládají stávající zna
So you can help us find X Teacher/Class Room Pre-Algebra C-20 Mrs. Hernandez Pre-Algebra C-14 . Kalscheur Accelerated Math C-15 Mrs. Khan Honors Algebra 2 Honors Geometry A-21 Mrs. King Math 7 Algebra 1 Honors Algebra 1 C-19 Mrs. Looft Honors Algebra C-16 Mr. Marsh Algebra 1 Honors Geometry A-24 Mrs. Powers Honors Pre-Algebra C-18 Mr. Sellaro .
McDougal Littell Algebra I 2004 McDougal Littell Algebra I: Concepts and Skills 2004 Prentice Hall Algebra I, Virginia Edition 2006 Algebra I (continued) Prentice Hall Algebra I, Virginia Edition Interactive Textbook 2006 CORD Communications, Inc. Algebra I 2004 Glencoe/McGraw Hill Algebra: Concepts and Applications, Volumes 1 and 2 2005
Algebra 1 Algebra 1 Practice TestPractice TestPractice Test 3. Solve the following inequality: -20 4 – 2x A. 8 x C. 12 x B. 8 x D. 12 x 4. Which inequality is graphed ? . Algebra 1 Algebra 1 Practice TestPractice TestPractice Test 5. Which equation is represented on the graph? A. y x2 13x 36 B. y x2-13x 36
Part 2, Design – High Strength Steels was combined with Part 1, Design in 1993. Part 5, Special Types of Construction was combined with Part 1, Design in 2008. Part 10, Bearing Design, and Part 11, Bearing Construction, were combined into a new Part 5, Bearing Design and Construction in 2013.
