Inhaltsverzeichnis: Band 1 - H.e.p. Verlag

Inhaltsverzeichnis: Band 11.Grundlagen1.11.21.31.41.51.61Allgemeines zu Mengen . 1Zahlenmengen. 21.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.6²: die natürlichen Zahlen . 2: die ganzen Zahlen . 24: die rationalen Zahlen . 3 : die reellen Zahlen. 3 : die komplexen Zahlen . 3Zusammenfassung . 3Zahlenintervalle notieren und visualisieren. 4Der Betrag einer Zahl . 5Die Grundoperationen . 5Rechenhierarchie (1. Teil) . 6Aufgaben . 92.Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )2.12.22.32.42.52.62.72.811Addition und Subtraktion. 11Multiplikation . 12Potenzen. 152.3.12.3.22.3.3Begriffe . 15Potenzieren und die Grundoperationen . 15Spezialfälle . 16Die binomischen Formeln . 17Zerlegen von Summen in Faktoren (Ausklammern) . 19Zerlegen von Summen in binomische Formeln . 20Zerlegen von Summen in Faktoren von Summen . 21Division . 23Aufgaben . 273.Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)3.13.23.33.43.53.63.73.833Brüche und Dezimalbrüche . 333.1.13.1.2Brüche in Dezimalbrüche umwandeln . 33Dezimalbrüche in Brüche umwandeln . 343.4.13.4.23.4.33.4.4Spezialfall I: Ausklammern von -1. 38Spezialfall II: Erweitern mit -1 . 39Spezialfall III: Ausklammern von Faktoren. 39Spezialfall IV: Binomische Formeln . 403.5.1Brüche gleichnamig machen: das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) . 42Runden, Genauigkeit und signifikante Stellen . 35Vorzeichen bei Brüchen. 37Erweitern und Kürzen . 37Addition und Subtraktion von Brüchen . 41Multiplikation von Brüchen. 44Division von Brüchen . 46Doppelbrüche . 48Aufgaben . 55IVInhaltsverzeichnis

4.Lineare Gleichungen mit einer Variablen4.14.24.365Einleitung. 65Lösen einer linearen Gleichung mit einer Variablen. 66Lineare Gleichungen mit Parametern. 70Aufgaben .755.Gleichungssysteme mit zwei Variablen5.15.25.35.45.55.65.75.85.979Gleichungen mit zwei Variablen . 79Gleichungssysteme mit zwei Variablen . 80Lösen von Gleichungssystemen. 81Einsetzungsverfahren. 82Gleichsetzungsverfahren. 84Additionsverfahren. 86Gleichungssysteme mit Variablen im Nenner. 89Substitutionsverfahren. 95Gleichungssysteme mit Parametern. 100Aufgaben .1056.Quadratische Gleichungen6.16.26.36.46.56.66.7113Vorbemerkungen . 113Normalformen der quadratischen Gleichungen. 113Lösen von rein-quadratischen Gleichungen . 114Lösen von gemischt-quadratischen Gleichungen. ung.116Quadratische Ergänzung .118pq-Formel .121Mathematische Herleitung der pq-Formel .124abc-Formel .125Mathematische Herleitung der abc-Formel.129Lösungsdiskussion .130Sätze von Vieta . 131Quadratische Gleichungen mit zwei Unbekannten. 132Quadratische Gleichungen mit Parametern . 135Aufgaben .1397.Gleichungen: en von Textaufgaben . 143Zahlenaufgaben. 143Altersaufgaben . 149Kapital und Zins. 152Verteilungsaufgaben. 157Mischungsaufgaben . 160Arbeit / Leistung. 164Bewegung. 168Geometrie. 171Diverses. 174Aufgaben .179InhaltsverzeichnisV

97Einführung in Potenzen / Wurzeln / Logarithmen . 197Begriffe . 197Erläuterungen zu den Operationen. 198Klammern und Vorzeichen bei Potenzen . 198Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis. 1998.5.18.5.28.5.38.5.48.5.5Addition / Subtraktion. 199Multiplikation . 199Division . 199Potenzieren. 200Wurzelziehen . 2008.6.18.6.28.6.3Addition / Subtraktion. 201Multiplikation . 201Division . 2018.7.18.7.28.7.3Rechenverwandtschaften . 202Rechenhierarchie. 202Grundrechenregeln für Exponenten bei Potenzen mit gleicher Basis. 202Rechenregeln für Potenzen mit unterschiedlicher Basis . 201Rechenhierarchie (2. Teil) und Rechenverwandtschaften. 202Spezialfälle . 203Rechenbeispiele . 204Zusammenfassung . 205Potenzgleichungen . 2068.11.1 Potenzgleichungen mit ganzzahligen Exponenten . 2068.11.2 Potenzgleichungen mit Bruch-Exponenten. 207Die Zehnerpotenz . 208Aufgaben . 2119.Wurzeln9.19.29.39.49.5219Die Quadratwurzel . 219Die allgemeine Wurzel. 220Wurzelberechnungen mit dem Taschenrechner. 221Rechnen mit Wurzeln . 2229.4.19.4.29.4.39.4.49.4.59.4.6Addition / Subtraktion.222Wurzeln kürzen und erweitern . 222Wurzeln vereinfachen . 223Multiplikation / Division / Potenzieren / Wurzelziehen bei gleicher Basis . 224Multiplikation / Division bei gleichem Wurzelexponent mit unterschiedlicher Basis . 225Nenner wurzelfrei machen. 226Wurzelgleichungen . 227Aufgaben . 23510. Logarithmen10.110.210.310.410.5241Grundregel des Logarithmierens . 241Der 10er Logarithmus lg . 243Rechenregeln bei Logarithmen. 244Exponentialgleichungen. 246Logarithmusgleichungen. 25210.5.1 Logarithmusgleichungen mit der Variablen im Numerus . 25310.5.2 Logarithmusgleichungen mit der Variablen in der Basis . 254Aufgaben . 257StichwortverzeichnisVI265Inhaltsverzeichnis

5.6AdditionsverfahrenPrinzip: Die beiden Gleichungen werden so umgeformt, dass bei der Addition der beidenGleichungen eine Variable wegfällt.Æ Es müssen nach der Umformung also in beiden Gleichungen gleich viele xoder gleich viele y (aber mit entgegengesetzten Vorzeichen) vorhanden sein.Beispiele (G 4 x 4)a) (1) 3x y 18(2) 2x - 3y 1Es spielt für das Lösen und das Ergebnis keine Rolle, welche Variable zuerst wegfällt, wie ausder folgenden Musterlösung ersichtlich ist.Variante 1: x soll zuerst wegfallennDefinitionsmengeVariante 2: y soll zuerst wegfallennD 4x4oD 4x4Gleichung(en) umformenoGleichung(en) geeignet multiplizierenhier: Gleichung (1) mit 2Gleichung (2) mit (-3)hier: Gleichung (1) mit 3Gleichung (2) muss nicht multipliziert werden y 18 2y 36(2) 2x - 3y 1(2)' -6x 9y -3 2(1) 3x y 18(1)' 9x 3y 54 ( -3 )Eliminieren einer der Variablenp(1)'(1)' 9x 3y 546x 2y 36(2) 2x - 3y 36 - 3qVerbleibende 1. Variable ausrechnen11x 55 : 11 : 11x 5y 32. Variable ausrechnenr2. Variable ausrechnenDen Wert der berechneten Variable in einerder beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.hier: y in Gleichung (1)Den Wert der berechneten Variable in einerder beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.hier: x in Gleichung (1)3x y 18 und y 33x y 18 und x 53x 3 183x 153 5 y 1815 y 18 - 3 : 3x 5LösungsmengeL {(5 3)}8619x 2x 54 1Verbleibende 1. Variable ausrechnen11y 33sEliminieren einer der VariablenDie beiden Gleichungen addieren:2y 9yr 3Die beiden Gleichungen addieren:(2)' -6x 9y -3qGleichung(en) umformenGleichung(en) geeignet multiplizieren(1) 3x(1)' 6xpDefinitionsmenge - 15y 3sLösungsmengeL {(5 3)}Gleichungssysteme mit zwei Variablen

c) (1) 4x 3y 7D 4x4(2) 7x 6y 10nDefinitionsmengeD 4x4oGleichung(en) umformen / geeignet multiplizieren(1) 4x 3y 7 ( -2 )Î (1)' -8x - 6y -14(2) 7x 6y 10pEliminieren einer der Variablen(1)' -8x - 6y -14(2) 7x 6y 10-x -4 ( -1 )qÜbrig gebliebene 1. Variable ausrechnenx 4r2. Variable ausrechnen (hier: x in Gleichung (1) einsetzen)4 4 3y 7 - 163y -9 : 3y -3sLösungsmengeL { ( 4 -3 ) }d) (1) 5x - 8y -6(2) 2x 6y -788L { ( 4 -3 ) }D 4x4nDefinitionsmengeD 4x4oGleichung(en) umformen / geeignet multiplizieren(1) 5x - 8y -6 2Î (1)' 10x - 16y -12(2) 2x 6y -7 ( -5 )Î (2)' -10x - 30y 35pEliminieren einer der Variablen(1)' 10x - 16y -12(2)' -10x - 30y 35-46y 23 : ( -46 )qÜbrig gebliebene 1. Variable ausrechneny -½r2. Variable ausrechnen (hier: y in Gleichung (2) einsetzen)2x 6 ( -½ ) -72x - 3 -7 32x -4 : 2x -2sLösungsmengeL { ( -2 -½ ) } 1 L 2 2 Gleichungssysteme mit zwei Variablen

6.4.3 pq-FormelNeben den beiden mathematischen Methoden der Faktorzerlegung und der quadratischen Ergänzung gibt es auch Lösungsmethoden, die auf Formeln basieren: die pq- und die abc-Formel derquadratischen Gleichungen.2Haben wir eine quadratische Gleichung, bei der vor dem x der Faktor 1 steht, lässt sich diepq-Formel anwenden.Normalform:x1, 2 x2 px q 0 p 2 p 22 qDie mathematische Herleitung der pq-Formel können Sie im Kapitel 6.4.4 nachvollziehen.Allgemeines Lösungsvorgehen:nDefinitionsmenge bestimmenoGleichung in die pq-Normalform bringen (wenn nötig), und die Werte für p und q bestimmenAchtung: Die Vorzeichen von p und q auch übernehmen.pWerte für p und q in der Formel einsetzen (inkl. Vorzeichen )qVariablen x1 und x2 ausrechnenrLösungsmenge bestimmenBeispiele (G )a) x2 4x - 221 0nD oWir bestimmen zuerst p und q.2(falls der Faktor vor x 1 ist, muss die Gleichung noch durch diesen dividiert werden)x2 4x-p221 0qDie Vorzeichen gehören zu p und q dazupDie Werte für p und q in der Formel einsetzen: p 4, q -221x1, 2 4 2q 4 2 2Variablen x1 und x2 ausrechnen:x1, 2 2 4 221x1, 2 2 225x1, 2 2 15 x1 -2 - 15 x2 -2 15r (-221)L Quadratische Gleichungen x1 -17 x2 13{ 17 ; 13 }121

b) 2x2- 6x -2nD oGleichung in die pq-Normalform bringen:2 22x - 6x -2222x - 6x 2 0 : 2 (d.h. durch den Faktor vor x dividieren)2x - 3x 1 0x23xpp 0qDie Werte für p und q in der Formel einsetzen: p -3, q 1 -3 2 -3 x1, 2q1 22 1Variablen x1 und x2 ausrechnen:x1, 2 1.5 2.25 1x1, 2 1.5 1.25x1, 2 1.5 1.1180. x1 1.5 - 1.1180 x2 1.5 1.1180 rL { 0.38 ; 2.62 }2- 3x 54nD ox - 3x 542x - 3x - 54 0c) xD 2x23x-q54-pp 0qx1, 2 3 2 3 2 2 ( 54)x1, 2 1.5 2.25 54x1, 2 1.5 56.25x1, 2 1.5 7.5 x1 -6,r x1 0.3819 x2 2.6180 x2 9L { -6 ; 9 }L { -6 ; 9 }122Quadratische Gleichungen

Aufgabe 6.5Bestimmen Sie die Defin

IV Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis: Band 1 1. Grundlagen 1 . q Variablen x1 und x2 ausrechnen r Lösungsmenge bestimmen Beispiele (G ) a) x2 4x - 221 0 n D o Wir bestimmen zuerst p und q. (falls der Faktor vor x2 1 ist, muss