ZBIRKA ZADATAKA ZA PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE
VISOKA TEHNIČKA MAŠINSKA ŠKOLASTRUKOVNIH STUDIJATRSTENIKdr Maja Vasilova, mr Jelena Erić Obućina, mr Ljubinko AndrićZBIRKA ZADATAKA ZA PRIPREMUPRIJEMNOG ISPITAIZ MATEMATIKETrstenik, 2013.
3PredgovorZbirka je namenjena budućim studentima Visoke Tehničke Mašinske škole strukovnih studija u Trsteniku, kako bi im olakšala polaganje predvidjenog prijemnogispita iz Matematike.Za svaku od oblasti predvidjenih programom prijemnog ispita iz Matematike datoje par rešenih zadataka propraćenih odgovarajućim objašnjenjima. Nakon toga jenavedeno par primera mogućih kombinacija zadataka sa rezultatima.Autori:1. dr Maja Vasilova2. mr Jelena Erić Obućina3. dr Ljubinko Andrić
Glava 1Zadaci za pripremu prijemnogispita iz matematike1. Racionalni algebarski izrazi. – Sredjivanje i izračunavanje algebarskihizraza. Polinomi i operacije sa njima. Procentni račun.2. Linearne jednačine i nejednačine. – Linearne jednačine i nejednačine sajednom nepoznatom. Sistem linearnih jednačina sa više nepoznatih. Primenalinearnih nejednačina u rešavanju raznih problema.3. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. – Kvadratnajednačina sa jednom nepoznatom i priroda rešenja. Vijetove formule. Jednačinekoje se svode na kvadratne jednačine. Kvadratna funkcija. Kvadratna nejednačina. Iracionalne jednačine i nejednačine.4. Eksponencijalna funkcija. Eksponencijalne jednačine i nejednačine.– Stepen, stepena funkcija i operacije sa stepenima. Eksponencijalne jednačinei nejednačine.5. Logaritamska funkcija. Logaritamske jednačine i nejednačine.–Logaritam, logaritamska funkcija i operacije sa logaritmima. Logaritamskejednačine i nejednačine.6. Aritmetički i geometrijski nizovi. – Formiranje članova, opšti član i zbirprvih n članova niza.7. Geometrija u ravni i prostoru. – Vektor. Operacije sa vektorima. Primena vektora u geometriji. Podudarnost trouglova. Izometrijske transforacije.Homotetija i sličnost. Pitagorina teorema. Heronova formula za izracunavanje površine trougla. Primena u rešavanju konstrukcije trougla, četvorougla,poligona i kruga. Površina ravnih geometrijskih figura. Površina i zapreminaprizme, piramide, zarubljene piramide, valjka, kupe, zarubljene kupe i lopte.8. Trigonometrija. – Trigonometrijske funkcije. Trigonometrijske transformacije. Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Sinusna i kosinusna teorema.Primena trigonometrije u rešavanje raznih problema iz geometrije.5
6Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike9. Analitička geometrija u ravni. – Analitički oblik tačke i prave u ravni.Razni oblici prave. Krug. Elipsa. Hiperbola i parabola. Položaj prave premakonusnom preseku.1. Racionalni algebarski izrazi(1. Izračunati vrednost izraza49:34 ( 3 ) 4 ) 122.[() ()] 122. Izračunati vrednost izraza 37 23 : 35 : 13 67. 3. Naći vrednost izraza 2 2 3 · 2 2 3 · 2 3. 4 2 3 4 2 34. Pokazati da izraz ima vrednost 3.4 2 3 (5. Pokazati da izraz 1 7 6 4 2 3 1 6 5 )) ( : 1 75 ima vrednost 5. 6. Ako je a (2 3) 1 i b (2 3) 1 , izračunati (a 1) 1 (b 1) 1 .() 2 () 2 () 27. Izračunati 1 1 7 1 1 7 1 1 7 1 1 7.8. Uprostiti izraze:() (( ))a 2 x 2a 1 ( x ) 1 (a) :, (a ̸ 0, x ̸ 0),x 2 a 2xa 453(b) x x : x 3 x, (x 0).( 2)12 39. Uprostiti izraz a 3 · b · (a4 · b 2 ) 2 · (a 1 ) 3 , a zatim naći vrednost izraza za a 2 i b 3 2.10. Uprostitiizraze: (a)x3 4 x1 3 x1 (x 0);(b)1 1 x 1 1 x 2 x 21 x(x 0, x ̸ 1).11. Pokazati da je polinom x3 5x2 7x 2 deljiv binomom x 2, a zatim naćinjihov količnik.12. Rešiti jednačinu f (x 1) 1, ako je f (x) x2 5x 1.13. Naći najmanji zajednički sadržalac za polinome: a3 b3 , 2(a b)2 , 3(a2 b2 ).
Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike714. Odrediti najmanji zajednički sadržalac za polinome: x3 x2 y xy 2 y 3 ,x2 2xy y 2 , x3 xy 2 .15. Naći najmanji zajednički sadržalac za polinome: x3 x2 y xy 2 y 3 , x2 2xy y 2 , x2 y 2 .16. Uprostiti algebarski izraz17. Uprostiti izraz18. Uprostiti izraz19. Uprostiti izraz a 23 i 3. x2 y 2,xy12a b 14a2 4ab b21a2 ab 2ba3 ab2xy y 2x2 xy((20. Uprostiti izrazx2 y 2x y a a 1 a a 1x3 y 3,x2 y 2x ̸ y, (x, y) ̸ (0, 0).x ̸ y, x ̸ 0, y ̸ 0.) ( 1: 2a b a b,a2 b ab22a 5a 1):14a2 b2), b ̸ 2a.a zatim naći vrednost tog izraza za10.a 121. Masa nekog tela se smanjila sa 80kg na 64kg. Za koliko procenata se smanjilamasa tog tela?22. Cena nekog proizvoda poskupela je za 30%, a zatim snižena za 20% i sadaiznosi 1300 dinara. Kolika je bila cena tog proizvoda pre poskupljenja?23. Izračunati 30% od izraza 324. Ako je A 0.008·( 14 25 )5 31 :0.2(1 51 23 ): 1521 31 1,2.· log10 1000, koliko iznosi 0.8%A?25. Roba je poskupela za 25%. Koliko bi trebala ta roba sada da pojeftini da binjena cena bila ista kao pre poskupljenja?Rešenja(( ) 4 ) 12 (( )4 ) 21 () 116 16 234 424 31.: · 9 429 3327 81( ) 12 ( ) 12 6481981 8164648[() (3 2 32. :: 13 7 3 5[()] 213 107 ·7997)] 12[()] 13 2 597 2 ·:7 3 37() 12 ( ) 12 197 71· 92 9 363 97967
8Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike 3. 2 2 3 · 2 2 3 · 2 3 ()() 2 2 32 2 3 · 2 3 ( ) ( 2 ) 22 2 3 · 2 3 4 2 3 · 2 3 2 3 · 2 3 (2 3)(2 3) 22 ( 3)2 4 3 1 4 2 3 4 2 3 4. 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 34 2 3 4 2 3 · 4 2 3 4 2 34 2 3 4 2 3( )24 2 3 4 2 3 ( )2 ( )24 2 3 4 2 3 4 2 3 2 4 2 3· 4 2 3 4 2 3 4 2 3 (4 2 3) 8 2 (4 2 3)(4 2 3)8 2 42 (2 3)28 2 16 12 4 34 34 3 8 43333 3 · 334 3333 )) (171 5. : 1 57 66 5( ) ) (17 616 57 · · : 1 57 67 66 56 5( ) 7 66 55 7 :2222( 7) ( 6)( 6) ( 5)5 5 75 5 ( 7 6 6 5) : ( 7 5) · 55 7( 112 3 · 2 3,2 32 3 2 3 112 3 · 2 3, 2 32 3 2 3 6. a (2 3) 1 b (2 3) 1
Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike9 11 (a 1) 1 (b 1) 1 (3 3) 1 (3 3) 1 3 3 3 3 3 3 3 36 1 2632 3() 2 () 2 () 21111 7. 1 7 1 71 71 7( ) 2 ( )2 ( )21 7 1 7 1 7 1 7 212 7( ) 2 2 1 2 7 7 1 2 7 7 ( 3)2 16 25 6() (( )) (1)1 ) (a 2 x 2a 1 ( x ) 111a2x28. (a) : 1 1 : a xx 2 a 2xaxax2a2( 2) ()24422xax ax a x a 2 : :2axa xa2 x2ax2 22 22(x ) (a ) (x a)(x a)(x a2 )(x2 a2 ) (x a)(x a) : :a2 x2axa2 x2ax2222(x a)(x a)(x a )ax(x a ) · , x ̸ a22ax(x a)(x a)ax 4 5 33121545333(b) x x : x x x ·x:x3 · x x4 : x4 60606060 60 (x4 )5 : 60 (x4 )4 x20 : x16 x20 : x16 x4 15 x( 2))( 212 32 39. a 3 · b · (a4 · b 2 ) 2 · (a 1 ) 3 a 3 · b · a 2 · b · a 3(( ) )3 ( )26( 2 2 )3bb a ·b aa()() 66( )613b2232241 3 1a28222210. (a) Način 1: Postupnim unošenjem pod znak korena, s obzirom na x 0,slediv v uu uu1 3 11888 3t 3 4 1 3 1 t 4 3 41 3 13 1 x12 x11 x(x )(x11 )3x xx xx xxx 24x33 12433 x32 x4 x3 x x 3 xx
10Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematikeNačin 2: Pretvarajući postupno korene u stepene sa razlomljenim izložiocem, slediv v v v uu ( ) 31 u( )1 13 u( )4uuuut 34 1 3 1 t 34 1 1t 34 1 1t 34 1 3x x x xx xx xx xxvu (( ) 4 ) 14 ( ) 4 1 ( ) 1·u1 31 341 3t 33 x x x3xxx (b)x311x3 ( 8 ) 21 4111x3 3 x 3 x 3 x1 3 x · x 3 x 3 x 12 x 212 x 211 1 x1 x 1 x1 x 1 x (1 x)(1 x) 1 x (1 x) (2 x 2) (1 x)(1 x) 1 x 1 x 2 x 2 (1 x)(1 x)22 1 x(1 x)(1 x)11. Polinom P (x) x3 5x2 7x 2 je deljiv binomom x 2 ako je x 2 korenifaktor tog polinoma, odnosno ako je x 2, prema Bezuovom stavu, nula polinomaP (x). S obziom na P (2) 23 5 · 22 7 · 2 2 0, polinom P (x) je deljiv sa x 2.Količnik te deobe dobićemo koristeći Euklidov algoritam za deobu polinoma, tj:(x3 5x2 7x 2) : (x 2) x2 3x 1 x3 2x2 3x2 7x 2 3x2 6x x 2 x 2 012. Ako u funkciji f (x) x2 5x 1 smenimo x sa x 1 dobićemo f (x 1) (x 1)2 5(x 1) 1 x2 7x 5. f (x 1) 1 x2 7x 5 1 x2 7x 6 0. Koreni jednačine x2 7x 6 0 su x1 1 i x2 6, pa su totražena rešenja jednačine f (x 1) 1.
Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike1113. Da bismo imali najmanji zajednički sadržalac (NZS) za date izraze, svaki odtih izraza moramo rastaviti na proste činioce. Kako jea3 b3 (a b)(a2 ab b2 )2(a b)2 2(a b)2 ,3(a2 b2 ) 3(a b)(a b),onda je N ZS 6(a b)2 (a b)(a2 ab b2 ).14. x3 x2 y xy 2 y 3 (x3 x2 y) (xy 2 y 3 ) x2 (x y) y 2 (x y) (x y)(x2 y 2 ) (x y)(x y)(x y) (x y)2 (x y),x2 2xy y 2 (x y)2 ,x3 xy 2 x(x2 y 2 ) x(x y)(x y),N ZS x(x y)2 (x y)2 .15. Date izraze najpre rastavimo na proste činioce:x3 x2 y xy 2 y 3 x2 (x y) y 2 (x y) (x y)(x2 y 2 ) (x y)(x y)(x y) (x y)2 (x y),x2 2xy y 2 (x y)2 ,x2 y 2 (x y)(x y),N ZS (x y)2 (x y)216. x ̸ y ̸ 0 x2 y 2 x3 y 3(x y)(x y) (x y)(x2 xy y 2 ) 2 x yx y2x y(x y)(x y)2222x xy y(x y) (x xy y 2 ) x y x yx y2222x 2xy y x xy yxy x yx y17. (x ̸ 0 y ̸ 0 x ̸ y) xy y 2 x2 y 2xy y 2x2 y 2(xy y 2 )y (x2 y 2 )(x y) x2 xyxyx(x y)xyxy(x y)233223322xy y x x y xy yx x yx (x y)x xy(x y)xy(x y)xy(x y)y() ()111118. : 2a b 4a2 4ab b22a b 4a2 b2) ()(1111 : 2a b (2a b)22a b (2a)2 b2()2a b 111 : (2a b)22a b (2a b)(2a b)2a b 12a b 1 (2a b)(2a b)2a b2a b 1: · , 22(2a b)(2a b)(2a b)(2a b)2a b 12a b
12Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematikeuz uslov 2a b 1 ̸ 0 i 2a b ̸ 0.2ba b1 a2 ab a3 ab2 a2 b ab212ba b 22a(a b) a(a b ) ab(a b)12ba b a(a b) a(a b)(a b) ab(a b)b(a b) 2b2 (a b)2b(a b) 2b2 (a b)2 ab(a b)(a b)ab(a b)(a b)2222ab b 2b a 2ab b a2 ab ab(a b)(a b)ab(a b)(a b) 11 a(a b) , (a ̸ 0, b ̸ a).ab(a b)(a b)b(a b)b(b a) i b 3 A( 23 , 3) ( 1 3 ) 1 3 ( 23)2 32 .19. A(a, b) Za a 3233 322( ) aa2a 51020. :a 1a 1a 1a 1 a( a 1) a( a 1) (2a 5) a 151 · a 11010221. Masa tela se smanjila za 80 64 16kg, a to jemase. Dakle, masa tela se smanjla za 20%.1680· 100% 20% prvobitne22. Označimo sa x cenu proizvoda.Cenaproizvoda posle poskupljenja od 30%()330x x 1 10. Ako sada, ovu cenu umanjimo za 20%iznosi x 30%x x 100dobićemo:()()()()333203x 1 20%x 1 x 1 x 1 10101010010)()(14 132631 ·x x, x 1 1055 1025što iznosi 1300 dinara, tj. 26x 1300 x 1300 · 26 1250.2525Dakle, cena proizvoda pre poskupljenja iznosila je 1250 dinara.((6 2)) 21 15 23 : 15 :23. 5 4 3 1211 3 1, 2 1033030% · 30 9100 324. A (1 0.008 · 4 5 13 : 0.225215 218 10: 15154 653)· log10 1000 8· 1515220 1815 83 1000·163:210 5 8204215 60 302· log10 103
Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike ( )32 3 10· 320(· 3 log10 10 ) ( 3)2 10· 2013·3 278000·527827270.8· · 27 · 10 60.8%A 100 80001000 8000100000016380325. Označimo sa x cenu proizvoda.posle poskupljenja od 25%()Cena125proizvoda52525iznosi x 25%x x 100 x x 1 100 100 x 4 x. Cena robe pre poskupljenja80sada predstavlja 5xx 45 100 80% cene robe nakon poskupljenja. To znači da4sada roba treba da pojeftini za 20% da bi se vratila na početnu cenu.2. Linearne jednačine i nejednačine1. Odrediti zbir rešenja jednačine: x 2 x 2 4 0.32. Bazen se puni dvema cevima za 6 časova. Jedna cev bi ga napunila za 5 časovamanje od druge. Za koje vreme bi bazen napunila svaka cev posebno?3. Odrediti vrednosti x za koje je3x 1 2.x 14. Rešiti nejednačinu:2 x 1 x 4.5. Rešiti sistem jednačina:x y z 5ax y z ax y z 3aRešenja1. Razlikujemo dva slučaja: x 2 x 2, x 2 i x 2 2 x, x 2. Kadaje x 2, jednačina postaje x 2 x 2 4 0, a njeno rešenje je x 4. Kada3 4 0, a njeno rešenje je x 2. Zbirje x 2, jednačina postaje 2 x x 23rešenja jednačine biće 4 ( 2) 2.2. Ako jedna cev napuni bazen za x časova, onda će druga cev napuniti bazenza x 5 časova. Za jedan čas prva cev puni x1 zapremine bazena, a druga cev1zapremine bazena. Pošto se bazen puni za 6 časova kada ga pune obepuni x 5
14Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematikecevi zajedno, onda ce za jedan čas zajedničkog punjenja biti ispunjeno 16 , odnosno11 x 5zapremine bazena, pa jex111 6(x 5) 6x x(x 5)x x 56 x2 7x 30 0 (x 10 x 3).Negativno rešenje x 3 se odbacuje, pa je x 10 časova vreme punjenja bazenajednom cevi, a x 5 15 časova vreme punjenja bazena drugom cevi.3.3x 13x 13x 1 2(x 1)x 1 2 2 0 0 0x 1x 1x 1x 1 (x 1 0 x 1 0) (x 1 0 x 1 0) (x 1 x 1) (x 1 x 1) (x 1) (x 1) x (1, ) x ( , 1) x ( , 1) (1, )4. Razlikujemo dva slučaja: x 1 x 1, x 1 i x 1 x 1, x 1.Kada je x 1, nejednačina postaje 2x 2 x 4 x 32 , kada je x 1,nejednačina postaje 2x 2 x 4 x 2. Dakle, skup rešenja nejednačineje x ( , 2)( 23 , ).5. Način 1: Sabirajući prvu i drugu jednačinu, odnosno drugu i treću jednačinu,eliminisaćemo nepoznatu z i doći do sistema dve jednačine sa dve nepoznate, tj.sistema 2x 2y 6a 2x 4a, odakle je x 2a i y a. Zamenjujući ove vednostiu jednu od jednačina dobijamo rešenje za z 2a.Način 2: Sistem se može rešiti pomoću drterminanti. Determinanta sistema1 11 1 1 1 4 je različita od nule, pa je sistem saglasan za sve vrednosti1 1 11 5a 15a 11parametra a. Determinante 1 a 1 1 8a, 2 1 a 1 1 3a 13a 1 11 1 5a 4a, 2 1 1 a 8a odgovaraju, redom, nepoznatim x, y, z, pa je1 1 3arešenje sistema x 8a 2a, y 4a a, z 8a 2a. 4 4 4
Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike153. Kvadratna funkcija.Kvadratne jednačine i nejednačine1. U kvadratnoj funkciji y 21 x2 (m 2)x m2 odrediti parametar m tako daza x 1 funkcija dostigne maksimum. Za tako odredjenu vrednost parametram nacrtati grafik date funkcije.2. Odrediti interval u kome se kreće parametar k tako da jednačina (k 2)x2 2kx 2k 3 0 ima realne korene.3. Odrediti za koje vrednosti realnog parametra r kvadratna jednačina2x 2 2x r(r 1) 0 ima realne korene.4. Odrediti interval u kome se kreće parametar r, tako da kvadratna jednačina2x2 6x 9r 1 0 ima realne korene.5. Odrediti parametar m tako da jednačina mx2 2(m 1)x 4 0 ima jednakekorene.6. U jednačini kx2 6(k 1)x 4 0 odrediti parametar k jedan njen korenbude dva puta veći od drugog.7. Odrediti vrednost realnog parametra k, tako da koreni jednačinex2 (k 4)x 4k 0 predstavljaju vrednost dužina kateta pravouglog trouglakome je hipotenuza dužine 5cm.8. U jednačini x2 px q 0 odrediti parametre p i q da koreni jednačine budup i q.9. Ne rešavajući kvadratnu jednačinu x2 (m 2)x 2 0 pokazati da jex21 x22 m(m 4), gde su x1 i x2 koreni te jednačine, a m realan parametar.10. Odrediti interval u kome se kreće realan parametar k tako da koreni x1 i x2kvadratne jednačine 2x2 kx k 3 0 zadovoljavaju relaciju x21 x22 3.11. Rešiti jednačinu:x2a bx ,2ab 2ba 2b b(a ̸ 2b ̸ 0).12. Rešiti jednačinux10a22x 2,x a x ax a2(x ̸ a).13. Naći zbir svih realnih rešenja jednačinex2 x 2 4 0.
16Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike14. Rešiti nejednačinu.x 11 x 1x 215. Za koje će vrednosti x nejednačina biti zadovoljena(x 1)(x 2) 0?x 116. Odrediti rešenje jednačine 5x 1 x 1 2.17. Koliko realnih rešenja ima jednačina x x 2 4?18. Koliko ima celih brojeva x za koje važi nejednakost x 1 5 x?19. Rešiti nejednačinu: x2 2 2.20. Rešiti nejednačinu: x 3 x 2.Rešenja1. Kvadratna funkcija y ax2 bx c dostiže maksimum u tački sa apscisom2bx 2ai taj maksimum iznosi ymax 4ac b, pod uslovom da je koeficijen a 0.4a1U ovom primeru je a 2 0, b m 2 i c m2 , pa data funkcija ima maksimumbm 2u tački x 1 2a 1 2( 1 m 2 1 m 3. Za m 31)2funkcija je predstavljena formulom y 12 x2 x 32 , čiji je grafik prikazan na slici.
Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike172. Da bi kvadratna jednčina (k 2)x2 2kx 2k 3 0 imala realne korene mora njena diskriminanta D 4k 2 4(k 2)(2k 3) biti nenegativna, tj.4k 2 4(k 2)(2k 3) 0 k 2 (k 2)(2k 3) 0 k 2 k 6 0 2 k 3 k [ 2, 3]. 3. Kvadratna jednačina x2 2 2 r(r 1) 0 će imati realne korene, ako jenjena diskriminanta D pozitivna ili jednaka nuli, tj.: D ( 2 2)2 4r(r 1) 0 8 4r(r 1) 0 2 r(r 1) 0 2 r2 r 0 r2 r 2 0 (r 2)(r 1) 0 (r 2 0 r 1 0) (r 2 0 r 1 0) (r 2 r 1) (r 2 r 1) ( 1 2) r r [ 1, 2] r r [ 1, 2]4. Da bi kvadratna jednačina x2 6x 9r 1 imala realne korene, mora njenadiskriminanta biti nenegativna, tj. D b2 4ac 0 gde je a 1, b 6 i2c 9r 1 .2 0 9 9r 1 0 2 9r 1 91 r2 1 1 r2 2 0 r2 ( 2)2 0 (r 2)(r 2) 0 (r 2 0 r 2 0) (r 2 0 r 2 0) (r 2 r 2) (r 2 r 2) ( 2 r 2) r r [ 2, 2] r r [ 2, 2] r [ 2, 2]D 0 ( 6)2 4 · 9r2 1 0 36 4 · 9r2 125. Da bi jednačina mx2 2(m 1)x 4 0 imala jednake korene, mora njenadiskriminanta D b2 4ac, gde je a m, b 2(m 1) i c 4, biti jednakanuli, tj. 4(m 1)2 16m 0 (m 1)2 4m 0 m2 2m 1 0 (m 1)2 0 m 1. Za m 1 jednačina glasi x2 4x 4 0 (x 2)2 0,odakle je x1 x2 2 što se i zahtevalo.6. Koristeći Vijetova pravila za kvadratnu jednačinu kx2 6(k 1)x 4 0,sledi x1 x2 6(k 1), x1 · x2 k4 . S obzirom nza uslov x1 2x2 , dobija sek3x2 6(k 1) 2x22 k4 , odnosno, x2 2(k 1) x22 k2 , odakle jekk(2(k 1)k)2 24(k 1)22 4(k 1)2 2k 4k 2 10k 4 02kkk1 k 2 k .27. Primenjujući Vijetova pravila za korene kvadratne jednačine x2 (k 4)x 4k 0 sledi x1 x2 k 4 x1 x2 4k. S druge strane, x1 i x2 su merni brojevikateta pravouglog trougla, čija je hipotenuza dužine 5cm, pa je x21 x22 25
18Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike(x1 x2 )2 2x1 x2 25 (k 4)2 8k 25 k 2 8k 16 8k 25 k 2 9 k 3 k 3.Za k 3 x2 7x 12 0 x 4 x 3. Za k 3 x2 x 12 0 x 4 x 3 ne zadovoljava uslov jer kateta ne može imati negativnuvrednost.8. Označimo sa x1 p i x2 q korene kvadratne jednačine x2 px q 0.Koristeći Vijetova pravila, sledix1 x2 p p q p 2p q 0x1 x2 q pq q q(p 1) 0 (q 0 p 1 0)(1) za q 0 2p q 0 p 0, pa jednačina ima dvostruki koren x1 x2 0(2) za p 1 0 p 1 2p q 0 q 2Prema tome, (p, q) {(0, 0), (1, 2)}.9. Vijetova pravila za kvadratnu jednačinu ax2 bx c 0 glase: x1 x2 abi x1 · x2 ac , gde su x1 i x2 koreni te jednačine. Iz jednačine x2 (m 2)x 2 0je a 1, b (m 2) i c 2, pa je x1 x2 m 2 i x1 · x2 2. Tadaje x21 x22 x21 2x1 x2 x22 2x1 x2 (x1 x2 )2 2x1 x2 (m 2)2 4 m2 4m 4 4 m2 4m m(m 4), što je trebalo pokazati.10. Koristeći Vijetova pravila x1 x2 2x kx k 3 0 sledi2x2111. x22k2i x1 · x2 k 32za kvadratnu jednačinu( )2kk 3 3 (x1 x2 ) 2x1 x2 3 2· 322k2 (k 3) 3
Zadaci za pripremu prijemnog ispita iz matematike 1. Racionalni algebarski izrazi. – Sredjivanje i izraˇcunavanje algebarskih izraza. Polinomi i operacije sa njima. Procentni raˇcun. 2. Linearne jedna cine i nejedna cine. – Linearne jednaˇcine i nejednaˇcine sa jednom nepoznatom. Sistem linearnih jednaˇcina sa viˇse nepoznatih. Primena
Ova zbirka sadrži zadatke iz gradiva koje se predaje u toku zimskog semestra studentima treće godine Fizičkog fakulteta u Beogradu u okviru kurseva Elektronika, Fizika elektronika i Elektronika za fizič čare, sa fondom od dva časa nedeljno. Zbirka sadrži 66 zadatka koji su detaljno rešeni. Zadaci su podeljeni u
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE Osnovna (B) razina Zadaci i rješenja sa nacionalnih ispita i državnih matura 2006.-2012. Prikupio i obradio: Ivan Brzovi ć,prof. Mali Lošinj,rujan 2012. 1 SKUP REALNIH BROJEVA BROJEVI I RA ČUNSKE OPERACIJE 1. Izra čunajte 0.5-7 .
ZBIRKA ZADATAKA IZ ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRONIKE 12 vrijednosti (Sl.9) . Odrediti na kojoj se udaljenosti treba nalaziti Q 3 od navedenih naelektrisanja, pa da rezultantna sila bude jednaka nuli.
iz Matematike I Sesto elektronsko izdanje Novi Sad, 2014. god. Naslov: Zbirka re senih zadataka iz Matematike I . Zadaci za samostalan rad, navedeni uz svako poglavlje, pru zaju korisniku mogu cnost da proveri u kojoj meri je savladao pred ene sadr zaje. Recenzenti Zbirke, dr Jovanka Niki c, redovni profesor FTN u Novom Sadu,
Zadaci su svrstani po razredima i oblastima sa rješenjima ili kratkim uputama. U prilog ove zbirke smo postavili i sve formule i matematičke simbole iz gradiva matematike za osnovne škole, da se učenicima nađu na dohvat ruke u eventualnoj, praktičnoj primjeni.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje Godina 2016. Izdavač: Pedagoški zavod Tuzlanskog kantona Bosne srebrene br. 119. 75 000 Tuzla www.pztz.ba Za izdavača: Mr.sc. Nikola Čiča, direktor Zavoda Urednici: Dr.sc. Hariz Agić, Savjetnik za obrazovanje u PZTK i Edis Ćatibušić, profesor matematike
Zadaci za prijemni ispit iz matematike za generaciju studenata 2009/2010 će biti odabrani iz ove zbirke. Takođe, ova zbirka obuhvata osnovne sadržaje matematike iz srednjoškolskog obrazovanja potrebne za izvođenje nastave matematike u toku studija na Tehničkom fakultetu i zato će biti
MI6 adventure, Alex Rider is recruited right off the soccer field to check out some suspicious goings-on at Wimbledon. This assignment catapults him into a series of life-threatening episodes, such as coming face to face with a great white shark, dodging bullets as he dives off a burning boat, and being tied to a conveyor belt that is moving toward the jaws of a gigantic grindstone in an .
