Zbirka Zadataka Za Prijemni Ispit Iz MATEMATIKE
Univerzitet u KragujevcuTehnički fakultet u ČačkuKatedra za matematikuZbirka zadataka za prijemni ispit izMATEMATIKEČačak, 2009.
Autori: Mr Nada DamljanovićMr Rale NikolićRecenzenti: Prof. dr Mališa ŽižovićProf. dr Dragan ĐurčićIzdavač: Tehnički fakultet u ČačkuŠtampa: Štamparija Tehničkog fakulteta u ČačkuTiraž: 300 primerakaLaTeX: Mr Nada DamljanovićMr Rale NikolićMladen Janjić
PredgovorOva zbirka zadataka namenjena je kandidatima za pripremanje prijemnog ispita iz matematike na Tehničkom fakultetu u Čačku. Zadaci zaprijemni ispit iz matematike za generaciju studenata 2009/2010 će bitiodabrani iz ove zbirke. Takođe, ova zbirka obuhvata osnovne sadržajematematike iz srednjoškolskog obrazovanja potrebne za izvođenjenastave matematike u toku studija na Tehničkom fakultetu i zato će bitipotreban materijal za sve buduće studente istoimenog fakulteta.Autori su veoma zahvalni recenzentima Prof. dr Mališi Žižoviću iProf. dr Draganu Đurčiću, profesorima Tehničkog fakulteta u Čačku, kojisu pažljivo i detaljno pregledali rukopis, i svojim sugestijama i komentarima dali značajan doprinos poboljšanju prvobitne verzije teksta. Takođe,autori će biti zahvalni svakom ko doprinese da se iz ovog rukopisa otklone nedostaci, kojih kao i kod svakog izdanja neke knjige, sigurno ima.Čačak, Februar 2009. god.Autori
Sadržaj1 Algebarski izrazi1.1 Polinomi–rastavljanje na činioce . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Brojevni, racionalni i iracionalni algebarski izrazi . . . . . . .1.3 Neke nejednakosti sa algebarskim izrazima . . . . . . . . . .11592Linearne funkcije, jednačine i nejednačine113Kvadratne jednačine, funkcije i nejednačine. Sistemi kvadratnihjednačina3.1 Kvadratne jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Kvadratne nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Rešavanje sistema kvadratnih jednačina . . . . . . . . . . . .17172123244Iracionalne jednačine275Eksponencijalne funkcije, jednačine i nejednačine316Logaritamske funkcije, jednačine i nejednačine357Trigonometrija398Kompleksni brojevi459Vektori5110 Analitička geometrija u ravni10.1 Tačka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2 Prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3 Kružnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i57575961
10.410.510.610.7Elipsa . . . . . . . .Hiperbola . . . . .Parabola . . . . . .Krive drugog reda .6364666711 Progresije i binomna formula11.1 Progresije . . . . . . . . . . . . .11.1.1 Aritmetička progresija .11.1.2 Geometrijska progresija11.2 Binomna formula . . . . . . . .696969717412 Planimetrija7713 Stereometrija83ii
Glava 1Algebarski izrazi1.1Polinomi–rastavljanje na činiocea2 b2 ( a b)( a b)(1.1)( a b)2 a2 2ab b233(1.2)22a b ( a b)( a ab b )(1.3)( a b)3 a3 3a2 b 3ab2 b3nna b ( a b)( an 1 an 2b · · · ab(1.4)n 2 bn 1)(1.5)gde se u slučaju zbira pretpostavlja da je n neparan prirodan broj.Specijalno jean 1 ( a 1)( an 1 an 2 · · · a 1),n N n n 1n n 2 2( a b)n an a b a b · · · ( 1)n bn .12(1.6)(1.7)ax2 bx c a( x x1 )( x x2 ), gde su x1 i x2 nule datog polinoma.Uopšte, ako su x1 , x2 , . . . , xn nule polinomaP ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 · · · a n 1 x a n ,1( a0 6 0)(1.8)
1.1. Polinomi–rastavljanje na činioce2tada jeP( x ) a0 ( x x1 )( x x2 ) · · · ( x xn )(1.9)Ako je P( x ) D ( x ) · Q( x ) R( x ), tada je Q( x ) količnik, a R( x ) ostatakdeljenja polinoma P( x ) polinomom D ( x ).Bezuov stav: Ostatak pri deljenju polinoma P( x ) sa ( x a) je R P( a).Specijalno, ako je P( a) 0, tada je P( x ) deljivo sa ( x a) iP ( x ) ( x a ) Q ( x ).Hornerova šema: Neka je Pn ( x ) a0 x n a1 x n 1 · · · an 1 x an , gde jea0 6 0, dati polinom koji pri deljenju polinomom ( x a) daje količnikQn 1 ( x ) b0 x n 1 · · · bn 2 x bn 1 i ostatak R, tj. neka jea0 x n a1 x n 1 · · · an 1 x an (b0 x n 1 · · · bn 2 x bn 1 )( x a) R.Za odred̄ivanje koeficijenata b0 , b1 , . . . , bn 1 koristimo sledeću šemu:a0a1···b0 a0 b1 a1 b0 · · ·a n 1anbn 1 a n 1 bn 1 · a R a n bn 1 · aZadaci1.1 Proveriti da li važi identitet:a) ( a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc;b) ( a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc.1.2 Koristeći se grupisanjem članova, rastaviti na činioce sledeće polinome:b) ax2 bx2 bx ax a b;a) 3ax 4by 4ay 3bx;c) m2 x4 mnx3 2mx2 2nx n mx.Rezultat:b) ( a b)( x2 x 1);a) ( a b)(3x 4y);c) (mx n)(mx3 2x 1).1.3 Koristeći se pravilom za razliku kvadrata, rastaviti na činioce polinome:a) 1 25x2 ;b)4 2 49x y z2 ;c) 81x4 y4 .
Glava 1. Algebarski izraziRezultat:3b) ( 32 xy2 z)( 32 xy2 z);a) (1 5x )(1 5x );c) (3x y)(3x y)(9x2 y2 ).1.4 Sledeće polinome rastaviti na činioce koristeći se formulom za kvadriranje i kubiranje binoma:a) 9x2 6x 1;b) 12ab 9a2 4b2 ;c) a3 12a2 b 48ab2 64b3 ;d) x3 6x2 y 12xy2 8y3 .Rezultat: a) (3x 1)2 ;b) (3a 2b)2 ;c) ( a 4b)3 ;d) ( x 2y)3 .1.5 Rastaviti na činioce kvadratne trinome koji nisu kvadrati binoma:a) x2 5x 6;b) a2 2ax 15x2 ;Rezultat: a) ( x 2)( x 3);c) x2 3xy 28y2 .b) ( a 5x )( a 3x );c) ( x 4y)( x 7y).1.6 Koristeći se pravilima za razliku i zbir kubova, rastaviti na činioce:a) 125x3 8;Rezultat:b) ( a b)3 a3 ;c) x6 64.a) (5x 2)(25x2 10x 4);b) b(3a2 3ab b2 );c) ( x 2)( x 2)( x2 2x 4)( x2 2x 4).1.7 Rastaviti na činioce polinome:a) a4 4;Rezultat:b) x4 x2 y2 y4 ;c) x8 x4 1.a) ( a2 2a 2)( a2 2a 2);b) ( x2 xy y2 )( x2 xy y2 );c) ( x2 x 1)( x2 x 1)( x2 3x 1)( x2 3x 1).1.8 Rastaviti na činioce polinome:a) x3 3x 2;Rezultat:b) x3 2x2 3;a) ( x 1)2 ( x 2);c) ( x 2)( x2 x 2).c) x3 x2 4.b) ( x 1)( x2 3x 3);
1.1. Polinomi–rastavljanje na činioce41.9 Podeliti polinome:a) ( x4 2x2 5x 14) : ( x 2);b) (2x4 3x3 3x2 4x 5) : ( x 3);c) ( x4 2x3 4x2 23x 30) : ( x2 x 6).Rezultat:a) x3 2x2 6x 7;b) 2x3 3x2 12x 32 i ostatak 91;c) x2 3x 5.1.10 Odrediti a i b tako da:a) polinom ( x3 ax2 bx 5) bude deljiv sa x2 x 1;b) polinom ( x4 2x3 13x2 ax b) bude deljiv sa x2 5x 1.Rezultat: a) a b 4;b) a 2, b 1.1.11 Rastaviti na činioce:a) P( x ) x3 9x2 11x 21;b) P( x ) x3 x2 21x 45;c) P( x ) 2x4 x3 9x2 13x 5;d) P( x ) 2x4 13x3 28x2 23x 6.Rezultat:a) ( x 1)( x 3)( x 7);b) ( x 3)2 ( x 5);c) ( x 1)3 (2x 5);d) ( x 1)( x 2)( x 3)(2x 1).1.12 Za koje vrednosti realnih parametara a, b, c je polinom P( x ) x3 ax2 bx c deljiv binomima x 1, x 2, x 3?Rezultat: a 2, b 5, c 6.1.13 Odrediti p i q tako da polinom P( x ) x3 px2 qx 1 bude deljivsa x2 3x 4.Rezultat: p q 134.
Glava 1. Algebarski izrazi51.14 Neki polinom pri deljenju sa x 1 daje ostatak 2, a pri deljenju sax 2 daje ostatak 1. Koliki ostatak daje ovaj polinom pri deljenju sa( x 1)( x 2)?Rezultat: x 3.1.15 Proveriti da li važi identitet:a) ( a b c)3 a3 b3 c3 3( a b)( a c)(b c);b) ( a b)3 (b c)3 (c a)3 3( a b)( a c)(b c);c) a3 b3 c3 3abc 21 ( a b c)(( a b)2 (b c)2 (c a)2 ).1.2Brojevni, racionalni i iracionalni algebarski izraziSkraćivanje razlomaka:A( x ) D ( x )A( x ) ,B( x ) D ( x )B( x )gde je D ( x ) 6 0.Množenje i deljenje razlomaka:A·CA C· B DB·DiA CA DA·D: · B DB CB·CDvojni razlomci:AB A : C A·DCB DB·CDOsobine stepena: Za proizvoljne x, y i za pozitivne vrednosti a i b važe jednakosti: a0 1; ( a x )y a xy ; a x ay a x y ; ( ab) x a x ay ; axay a x y ; ( ba ) x axbx ; a x 1ax .
1.2. Brojevni, racionalni i iracionalni algebarski izrazi6Svojstva aritmetičkih vrednosti korena: Za bilo koje vrednosti prirodnih brojeva k, n i za ma koje vrednosti nenegativnih brojeva a i b važe jednakosti: nab pn ab n a)k nna b; n a n ,b n ( b 6 0); n n a knak ;an a; n a b n a b; 2n 1 a 2n 1 a.ak ; ( p k n a kn a;Za proizvoljne realne vrednosti broja a važi: odnosno, opštije: 2na2 a a, kada je a 0 a, kada je a 0a2n a .Racionalisanje imenioca: Neka su a i b pozitivni brojevi takvi da je b 6 a 6 b2i n i k proizvoljni prirodni brojevi aaba b · bbbb nnaa bn kabn k · nnnbbkbkbn k 1b ab a1 · 2b ab ab a b a 11a ba b · a ba ba ba b 3 233 233311a ab b2a ab b2 · 3 2333333a ba ba ba ab b2Lagranžovi identiteti:qa s b a a22 bs a a2 b2
Glava 1. Algebarski izrazi7Zadaci 1.16 Izračunati: a)53 b)Rezultat: a) 1; 13 1:5 2 2 5·( 15 )3 (0 2 :2 23) 1 2;4 2 4 · 0, 1 4 2 4 ·3 2 ( 34 )2 ( 2.1 15)b) 9.(( 12) 8 )1.17 Izračunati: a)·75 4 ·( 4) 94(25 2 ) ·186 ·10453 ·( 14 )b) 4·( 32 )103 ·( 53 )Rezultat: a) 10000;1.18 Izračunati: a) 2;2.b) 200.(3 34 :7 12 5,25:10 213 82 4 · 11 1: 23 :1 12 12 :2);b) 1, 7:34(4,5· 35 3,75)· 405591113837 5 43(7 7296 ) :1 24 (15,9 13 20 ) · 9.325( 4 ·0,4 24,15:2,3 10 5 )· 16c)Rezultat: a) 0; 2b) 1;c)813.1.19 Naći broj čijih je 7, 5% jednako vrednosti izraza 71738 55 6 110· 1 217 .3725 20 : 1 8Rezultat: 200.1.20 Izračunati:a)c)d)h 4 29 32 : 53i 12;hb) 1, 4 3 25:12 1 0,7516112 3111 469Rezultat: a)i 13; 11 1 810,25 8 1 3 (0, 65)0 1 15; 1 · 1 1 111( ) 11 1· 1 ·0,758 270,75· 1 · 1 1 3 1 1 3 : 3 0,753· 1 2 .411 ;49b)12;2c) 11;33d)365.;
1.2. Brojevni, racionalni i iracionalni algebarski izrazi81.21 Izračunati vrednost izraza: 1b(2a b)16b: 2 2a 3b a 3b a 9b2a 9b2za a 0, 003 i b 5, 994.Rezultat: 2.1.22 Proveriti da li važi identitet:x12x2 2x 1 1 ,2x x1 xx( x 6 0, 1).1.23 Proveriti da li važi identitet: a2 4a 281 11 : ,1 2a 44aa 2a 2( a 6 0, 2)1.24 Proveriti da li važi identitet: 1a2 aa4a1 3· 2 4, ( a 6 1)22a 2a 1 a 1a a 1 aa 2a2 11.25 Proveriti da li važi identitet: bb2a 3b2ab ) : (1 ,224a 9b3b 2a2a 3b6b 4a3( a 6 b)21.26 Racionalisati imenioce sledećih razlomaka:a) 6 ;3e) 3Rezultat: 1 ;4 3 6 3 9b) 2 ;5 3c)1 3 ;2d)12 ;311 3 5f) 1 .2 3 3 52 3 ; 3a) 2 3;b)c) 24 ; d) 2( 3 121 3 55 3 25)e) 3 3 3 2;p f)2 3 3( 3 3 2)(4 2 9 3 3 3).
Glava 1. Algebarski izrazi91.27 Dokazati da je: q320 14 2 q3 20 14 2 4.1.28 Izračunati vrednost izraza: 3x 2 xxx x2 3 x · 4 9x2 3 x 2 3 xx5za x 23 .Rezultat:32.1.29 Uprostiti izraz: 1 x1 x 1 x 1 x1 x2 x 1! px 21 1 x Rezultat: 1.1.30 Izračunati vrednost izraza:3A 1!3a2 b21a2 b2 ( ab)121:1a2 b2a b! 2.za a 27 i b 8.Rezultat: 1.1.3Neke nejednakosti sa algebarskim izrazimaZadaci1.31 Dokazati da za pozitivne a i b važi: 2aba b ab a b2ra2 b2.2.
1.3. Neke nejednakosti sa algebarskim izrazima101.32 Dokazati da za pozitivne a i b važi:a b2a)qc) a2 b22ab a b2 ab 2aba b ;ab b)qa2 b22 a b2 a b2 2aba b .1.33 Dokazati da za pozitivne brojeve a i b važe nejednakosti:a)ab ba 2;b) a 1a 2.Utvrditi kada važi znak jednakosti.1.34 Ako je ab 0, dokazatiab ba 2.1.35 Dokazati da za pozitivne brojeve a, b i c važe nejednakosti:a) a2 b2 c2 ab bc ca;b) a3 b3 c3 3abc. ab;
Glava 2Linearne funkcije, jednačine inejednačineJednačina (sa jednom nepoznatom x) koja je ekvivalentna jednačini oblikaa · x b 0,(2.1)gde su a i b dati realni brojevi, naziva se linearna jednačina. Ako je a 6 0, jednačina (2.1) ima jedinstveno rešenje x ba . Ako je a 0 i b 6 0,jednačina (2.1) nema rešenja, dok u slučaju da je a 0 i b 0 svaki realanbroj x je njeno rešenje.Nejednačina oblikaa · x b 0,a, b R,(2.2)za a 0 je zadovoljena za svaki realan broj x takav da je x ba , a za a 0je zadovoljena za svaki realan broj x takav da je x ba . U slučaju da jea 0 i b 0 jednačina (2.2) je zadovoljena za svaki realan broj x, dok uslučaju da je a 0 i b 0 nema rešenja.Funkcija y ax b, ( a, b R) jeste linearna funkcija. Grafik linearne funkcijeje prava. Tačka A(0, b) je tačka preseka prave (grafika linearne funkcije) iOy-ose. U slučaju da je a 6 0 tačka B( ba , 0) je njen presek sa Ox-osom.Za a 0 prava-grafik zaklapa oštar ugao sa pozitivnim smerom Ox-ose,za a 0 (y b) prava-grafik je paralelna sa Ox-osom, dok za a 0 pravagrafik zaklapa tup ugao sa pozitivnim smerom Ox-ose.11
12Jednačinom y ax b nisu obuhvaćene samo prave koje su paralelne Oyosi (čije su jednačine x x0 ).Zadaci2.1 Rešiti sledeće jednačine:a) 5( x 1) 4( x 3) 20;b) 10x 2(25 3x ) 3 8(2x 6) 5;c) (5x 1)2 5(2x 4)(2x 4) 1 5( x 1)2 .b) x R;Rezultat: a) x 27;c) nemoguća.2.2 Rešiti jednačine:a) 1 c)2x 562x 56 3 x4 ; x 24 b) 14 12 5 2x3Rezultat: a) x 13; 6 7x42( x 3)5 x.b) x 7;c) x 12.3 Rešiti jednačinu:1 6 3 x x 2x2 3 4 x 3.2Rezultat: x 3.2.4 Rešiti jednačinu3x 5x 1 2x 5x 2 1.Rezultat: x 32.5 Rešiti jednačinu121 9x2 1 3x1 3x 1 3x3x 1 .3x2 2( x 7);3
Glava 2. Linearne funkcije, jednačine i nejednačine13Rezultat: x 1.2.6 Rešiti jednačinu3x 1x 1 2x 5x 3 4x2 2x 3 1.Rezultat: Nema rešenja.2.7 Rešiti sledeće jednačine, vodeći računa o definiciji apsolutne vrednosti:a) x 1 5;b) 2 x 1 x 7;c) 5x 2 x 10;d) x x 0.Rezultat: a) x 4;b) x 8;c) x 2;d) x 0.2.8 Rešiti sledeće jednačine, vodeći računa o definiciji apsolutne vrednosti:a) x 1 x 1 0;b) x 4 2x 3 2;c) 1 x x 2 x 3 .b) x 5 ili x 13 ;Rezultat: a) x 0;c) x 2 ili x 4.2.9 Rešiti nejednačine:a) 2x 4 0;b) 3x 9 0;Rezultat: a) x 2;b) x 3;c)c) x 3x 14 2x 25 2.377.2.10 Rešiti nejednačine:a) ( x 2)( x 3) ( x 4)2 2x ( x 4) x;b)x 42 x 63 1 Rezultat: a) x R;2x 93 x 62 .b) x R.2.11 Rešiti nejednačine:a)13x x 22 x 22 2x 63 ;Rezultat: a) nema rešenja;b)x 13 1 x 8 x6 3x 22 .b) nema rešenja.2.12 Rešiti sledeće nejednačine, vodeći računa o definiciji apsolutne vrednosti:
14a) x 1 2;b) x 2 x ;c) x x 1;d) x 3 x 1 2;Rezultat:e) x 2 1.a) x 1 ili x 3;b) x 1;d) x 1;e) 3 x 1 ili 1 x 3.c) nema rešenja;2.13 Koristeći ekvivalencije:A·B 0ako i samo ako jeA 0iB 0iliA 0, B 0;A·B 0ako i samo ako jeA 0iB 0iliA 0, B 0.rešiti sledeće nejednačine:a) ( x 2)( x 3) 0;c)x24Rezultat:b) (2x 1)(4 x ) 0; 19 0;d) ( x 1)( x 2)2 0.a) x ( , 3) (2, );b) x ( , 12 ) (4, );c) x ( 23 , 23 );d) x (1, 2) (2, ).2.14 Koristeći se činjenicom da je znak količnikaproizvoda A · B, rešiti sledeće nejednačine:9 x;x2 3xb)2 xx 1 3( x 3)2 x (9 2x2 );3x2 9xd)44x2 9 x3x 2f)a)xx 3 c)3xx3e)4x9x2 4 x 3xAB, 13x2 2x 0;1x B 6 0, jednak znaku x 2x 1 1x 1 x2x 3 7x x3;x 2 1 1;2x2 3xx 2 2.x2 xRezultat:a) x ( 3, 0) (0, );b) x ( , 1) ( 1, 0);c) x ( 3, 0) (0, );d) x (0, 23 );e) x ( , 23 ) ( 23 , 0) ( 23 , ) ;f) x ( , 1) ( 1, 0) [3, ).2.15 Rešiti jednačine:a)x2 10x 253x2 1 0b)x2 5xx 2 0.
Glava 2. Linearne funkcije, jednačine i nejednačineRezultat: a) x R15b) x ( 5, 0) (2, ).2.16 Zbir dva broja je 45, a njihov količnik jednak je 7 : 8. Odrediti ovebrojeve.Rezultat: 21 i 24.2.17 Zbir dva broja je 47. Ako veći podelimo manjim, dobija se količnik 2,a ostatak je 5. Koji su to brojevi?Rezultat: 14 i 33.2.18 Cifra jedinica jednog dvocifrenog broja je za 3 veća od cifre desetica.Ako podelimo taj broj zbirom cifara, dobija se količnik 3, a ostatak je 4.Odrediti taj broj.Rezultat: 25.2.19 Razlika dva broja je 13, 86. Ako većem broju premestimo decimalnizarez za jedno mesto ulevo, dobije se manji broj. Odrediti ove brojeve.Rezultat: 15,4 i 1,54.2.20 Za odličan plasman na takmičenju iz matematike nagrad̄ena su četiri učenika nagradom od 36000 dinara. Koliko dobije svaki učenik ako senagrada deli u razmeri 1, 5 : 2 : 2, 5 : 3?Rezultat: 6000, 8000, 10000 i 12000.2.21 Razlika, zbir i proizvod dva broja odnose se kao 1 : 3 : 6. Odreditiove brojeve.Rezultat: 6 i 3.2.22 Ako se uveća brojilac jednog razlomka za 1, a imenilac za 3, dobija serazlomak 23 , a ako se oduzme 5 od imenioca i brojioca razlomka, dobije se12 . Odrediti razlomak.Rezultat:79.2.23 Površina jednog pravougaonika je za 125 cm2 veća od površine kvadrata nad manjom stranicom. Odrediti stranice pravougaonika ako se razlikuju za 5 cm.Rezultat: 25 i 30.
162.24 U jednačini a a2x po x bude veće od 2.2 ax2 a 2, odrediti realan broj a tako da rešenjeRezultat: a ( , 2) ( 1, 0) (0, ).2.25 Odrediti m tako da rešenje jednačineRezultat: m 4 ili m 2.3x 2m 1x mbude veće od 1.
Glava 3Kvadratne jednačine, funkcije inejednačine. Sistemikvadratnih jednačina3.1Kvadratne jednačineJednačina oblika ax2 bx c 0, ( a, b, c R, a 6 0) je kvadratna jednačina,gde je D b2 4ac diskriminanta te jednačine. Rešenja kvadratne jednačineu skupu C su za:1. D 0 realna i različita: x1,2 b b2 4ac,2a2. D 0 realna i jednaka: x1,2 b2a ,3. D 0 konjugovano-kompleksna: x1,2 b i b2 4ac ,2ai važi ax2 bx c a( x x1 )( x x2 ).Vijetove formule: Neka su x1 , x2 rešenja kvadratne jednačine ax2 bx c 0, tada je x1 x2 ba i x1 · x2 ac . Specijalno, ako su x1 , x2 rešenjakvadratne jednačine x2 px q 0, tada je x1 x2 p i x1 · x2 q.17
3.1. Kvadratne jednačine18Zadaci3.1 Rešiti sledeće kvadratne jednačine:a) 4x2 9 0; 2d)2x 2x 0.Rezultat: a) x 32 ;b) 5x2 180 0;b) x 6i;c) x 0 ili x c) 3x2 5x; d) x 0 ili x 2.533.2 Rešiti sledeće kvadratne jednačine:a)3x2 12c)5 x5 x 2x 135 x5 x x 2 24 13 ;100;25 x28Rezultat: a) x 0 ili x 15;b) x i;b)x 13d)344x2 1 12 x2 2x 11 2x3( x 1)8 c) nema rešenja; x 1124 ;2x 12x 1 .d) x 2.3.3 Koristeći ekvivalenciju A · B 0 A 0 B 0 odrediti rešenjajednačine: a) (1 x )(4 2 2x ) 0;b) ( x 1)2 25 0;c) (3x 4)2 25 0. Rezultat: a) x 1 ili x 2 2;b) x 4 ili x 6;c) x 4 5i3 .3.4 Rešiti jednačine:a) (2x 3)2 (2x 5)2 4( x 3)2 30;b)x 13 3( x 1)4 ( x 3)2 1.Rezultat: a) x 2 ili x 4;b) x 2512ili x 5.3.5 Rešiti jednačine:a)2x 1x 3c)2xx 9x 1x 2 9 x 33 x 4 x3 x ;x2 25x2 81 5x 9 5x 9 . Rezultat: a) x 45 ili x 1;b)2x 1x 2 x 6b) x 1 ili x 12; x 1x2 5x 6 6;x 2 9c) x 13 ili x 5.
Glava 3. Kvadratne jednačine, funkcije i nejednačine. Sistemi kvadratnihjednačina193.6 Rešiti jednačinu( a2 b2 ) x 2 2ax 1 0.Rezultat: x a 1 b ili x a 1 b .3.7 Rešiti jednačine:a) 2x2 5x 3 x 2 0;Rezultat: a) x 1 132b) x2 2x 3 x x2 .ili x 3;b) x 1.3.8 Za koje vrednosti realnog parametra m su rešenja jednačine(m 2) x2 4x 1 0.a) realna i različita;b) realna i jednaka;Rezultat: a) m 6;b) m 6;c) konjugovano-kompleksna.c) m 6.3.9 Odrediti realne brojeve a za koje kvadratna jednačina ( a 5) x2 2ax a 1 0 nema realnih rešenja.Rezultat: a 56 .3.10a) Sastaviti kvadratnu jednačinu čija su rešenja x1 7 i x2 3.b) Sastaviti kvadratnu jednačinusa racionalnim koeficijentima koja ima jedno rešenje x1 2 3.c) Sastaviti kvadratnu jednačinu sa realnim koeficijentima koja ima jedno rešenje x1 2 3i.Rezultat: a) x2 10x 21 0;b) x2 4x 1;c) x2 4x 13.3.11 Data je jednačina 3x2 x 7 0 čija su rešenja x1 i x2 . Ne rešavajućiovu jednačinu odrediti numeričke vrednosti izraza:a) x12
Zadaci za prijemni ispit iz matematike za generaciju studenata 2009/2010 će biti odabrani iz ove zbirke. Takođe, ova zbirka obuhvata osnovne sadržaje matematike iz srednjoškolskog obrazovanja potrebne za izvođenje nastave matematike u toku studija na Tehničkom fakultetu i zato će biti
ime i prezime: nadnevak: broj bodova: ocjena: 1. ispit znanja. inicijalni ispit. a. grupa. 1. opuni tablicu.p broj brojevna rijeČ
Ova zbirka sadrži zadatke iz gradiva koje se predaje u toku zimskog semestra studentima treće godine Fizičkog fakulteta u Beogradu u okviru kurseva Elektronika, Fizika elektronika i Elektronika za fizič čare, sa fondom od dva časa nedeljno. Zbirka sadrži 66 zadatka koji su detaljno rešeni. Zadaci su podeljeni u
2. 3. 4. Redni broj Područje i društvena geografija (VI razred) Geografija Evrope (VII razred) Geografija vanevropskih kontinenata (VIII razred) Geografija Bosne i Hercegovine (IX razred) Zastupljenost 30 % 20 % 20 % 30 % Broj zadataka 3 2 2 3 Tipovi zadataka Ispit sadrži različite tipove zadataka zatvorenog i otvorenog tipa. ZADACI .
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE Osnovna (B) razina Zadaci i rješenja sa nacionalnih ispita i državnih matura 2006.-2012. Prikupio i obradio: Ivan Brzovi ć,prof. Mali Lošinj,rujan 2012. 1 SKUP REALNIH BROJEVA BROJEVI I RA ČUNSKE OPERACIJE 1. Izra čunajte 0.5-7 .
ZBIRKA ZADATAKA IZ ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRONIKE 12 vrijednosti (Sl.9) . Odrediti na kojoj se udaljenosti treba nalaziti Q 3 od navedenih naelektrisanja, pa da rezultantna sila bude jednaka nuli.
iz Matematike I Sesto elektronsko izdanje Novi Sad, 2014. god. Naslov: Zbirka re senih zadataka iz Matematike I . Zadaci za samostalan rad, navedeni uz svako poglavlje, pru zaju korisniku mogu cnost da proveri u kojoj meri je savladao pred ene sadr zaje. Recenzenti Zbirke, dr Jovanka Niki c, redovni profesor FTN u Novom Sadu,
Fizika – 1 – kompletno riješeni svi zadaci iz žute zbirke – cijena 99 kn Za 1. razred srednje škole ogledni primjeri zadataka od 3-16.stranice Matematika –1 – kompletno riješeni svi zadaci po gimnazijskom programu
The level of management responsible for developing strategic goals is: A. line B. supervisor C. functional D. senior . D. other organisations that do business with the 14 Where a stakeholder is identified as having high interest and low power, an organisation should: keep them satisfied monitor their interests and power C. manage them closely keep them informed 15. Highfield Aeet 12 .
