Carte M1 - Copy
MATEMATICĂ 1ALEXANDRU NEGRESCU
CuprinsCuprins1 Integrale multiple1.1 Integrale duble pe dreptunghiuri . . .1.2 Integrale duble pe regiuni oarecare . .1.3 Integrale duble ı̂n coordonate polare .1.4 Integrale triple . . . . . . . . . . . . .1.5 Integrale triple ı̂n coordonate sferice .1.6 Integrale triple ı̂n coordonate cilindrice1.7 Miscelaneu . . . . . . . . . . . . . . .3.5571013151720
4CUPRINS
Capitolul 1Integrale multiple1.1Integrale duble pe dreptunghiuri1. Calculaţi valoarea integraleiZZD(x 1)y 3 dA, unde D [0, 3] [1, 4].Soluţie. Vom avea grijă ca pentru prima integrală să punem, drept capete,valorile extreme ale lui y iara doua integrală să punem, drept capete,Z pentruZ43valorile extreme ale lui x:1(x 1)y 3 dx dy. Observăm că expresia de sub0integrală se poate scrie ca produsul a două funcţii: f (x) x 1 şi g(y) y 3(care depind numai de variabila x, respectiv y). Atunci integrala noastră sescrie ca produsul a două integrale: 2 3 4 4Z 4Z 3Z 3Z 4xy33(x 1)y dx dy (x 1) dx ·y dy · x24 110010 2 4 3414765 3 · .2448Pauză de Fortificare Intelectuală. Noţiunea de integrală dublă a fostintrodusă ı̂n anul 1769 de către matematicianul elveţian Leonhard Euler(1707-1783) ı̂n lucrarea De formulis integralibus duplicat.ZZ2. Calculaţi valoarea integralei(x 2y)3 dA, unde D [0, 2] [0, 1].DSoluţie. Fiind atenţi la capetele de integrare, scriem:ZZZ 1Z 2(x 2y)3 dA (x 2y)3 dx dy.D050
6CAPITOLUL 1. INTEGRALE MULTIPLENeputând face vreun truc de genul celui din problema precedentă, trebuie să o calculăm ı̂n maniera ,,standard”, şi anume să evaluăm integrala dininterior (după x) şi apoi pe cea de-a doua (după y). Aşadar,Z2(x 2y)3 dx 0(x 2y)442(2 2y)4 (2y)4 4(1 y)4 4y 4 ,44 0am avut grijă ca, integrând după x, să ı̂l privesc pe y ca o constantă. Acum,substituind ceea ce am calculat ı̂n integrala noastră, am redus-o laZ10[4(1 y)4 4y 4 ] dy 4(1 y)553. Calculaţi valoarea integralei10 4ZZD0 6 x 6 2; 2 6 y 6 2}.y551 40 25 1 55 4·1 24.5xy 2dA, unde D {(x, y) R2 x2 1Soluţie. Observăm că expresia de sub integrală se poate scrie ca produsulxa două funcţii: f (x) 2şi g(y) y 2 (care depind numai de variabila x,x 1respectiv y). Atunci integrala noastră se scrie ca produsul a două integrale,astfel:ZZZ 2Z 2xy 2xdA dx·y 2 dy,2 12 1xxD0 2care pot fi calculate elementar:ZZDxy 2dA x2 1 1·2Z022xdx ·2x 1Z2y 2 dy 223y12ln(x2 1) 0 · 23 2 18 ( 2)38 ln 5· ln 5 · .23334. Calculaţi volumul corpului situat sub paraboloidul eliptic z 2 x2 y2şi deasupra dreptunghiului D [ 1, 1] [ 2, 2].4y2şi4deasupra dreptunghiului D [ 1, 1] [ 2, 2] este reprezentat ı̂n figura .Soluţie. Corpului situat sub paraboloidul eliptic z 2 x2
71.2. INTEGRALE DUBLE PE REGIUNI OARECARE-22.0y-1 01 21.51.00.50.0-1.00.0x-0.50.51.0Reamintim că volumul corpului situat sub suprafaţa z f (x, y) 0 şideasupra dreptunghiului D este dat de relaţiaZZf (x, y) dA.V DAşadar, volumul corpului nostru este egal cu Z 2Z 1 Z 2 y2x3 y 22V 2 x dx dy 2x x434 2 1 2 Z 2 2322 y210y3 . 4 dy y 32363 2 21dy 1Pauză de Fortificare Intelectuală. Paraboloidul eliptic este suprafaţa cuadrică ce este caracterizată de ecuaţiazx2 y 2 2 2,cabunde a, b, c sunt numere reale.1.2Integrale duble pe regiuni oarecare1. CalculaţiZπ40Zsin yx cos y dx dy.0Soluţie. Chiar dacă expresia de sub integrală se scrie ca produsul a douăfuncţii, care depind numai de variabila x, respectiv y, nu putem aplica aceastăstrategie deoarece capetele integralelor nu au valori numerice. Vom calculapornind de la integrala din interiorul expresiei: sin yZ π Z sin yZ π 244xx cos y dx dy cos ydy 20000Z π1 4 sin2 y cos y dy.2 0
8CAPITOLUL 1. INTEGRALE MULTIPLEÎn această ultimă integrală, privindu-l pe cos y ca (sin y)0 , observăm că2sin y cos y AtunciZ02. Calculaţiπ4Zsin y0ZZ sin3 y31x cos y dx dy 2 0.sin3 y3π4 0 2.24(xy 2) dA, unde D este regiunea plană mărginită deDdreapta y x 2 şi parabola y x2 .Soluţie. Pentru ı̂nceput, să determinăm punctele de intersecţie a drepteicu parabola. Rezolvăm ecuaţia x 2 x2 , adică x2 x 2 0, de undeobţinem că ele se intersectează ı̂n punctele ( 1, 1) şi (2, 4). Aşadar, regiuneaD este descrisă de:D {(x, y) R2 1 6 x 6 2, x2 6 y 6 x 2}.8642-21-123Pentru x [ 1; 2], arcul parabolei y x2 este margine inferioară pentruD iar segmentul de pe dreapta y x 2 este margine superioară. Atunci:ZZ(xy 2) dA D Z2 1Z 2 1Zx 2x2(xy 2) dy dx Z(4x 4) dx 2x2 4x2 1 2 1xy 2 2y2 18. x 2dx x2
1.2. INTEGRALE DUBLE PE REGIUNI OARECARE3. CalculaţiZZ9x dA, unde D este regiunea din primul cadran mărginităDde xy 1, y 2x şi y 3x.Soluţie. Deoarece domeniul D nu este atât de accesibil ca la problemeleanterioare, ı̂l vom ı̂mpărţi ı̂n domenii mai mici. Cum le găsim? Să aflăm,pentru ı̂nceput, punctele de intersecţie a celor trei grafice.Pentru intersecţia dreptelor y 2x şi y 3x, rezolvăm ecuaţia 2x 3xşi găsim punctul (0, 0).1Pentru intersecţia dreptei y 2x cu xy 1, rezolvăm ecuaţia 2x şix! 2 găsim punctul, 2 .21Pentru intersecţia dreptei y 3x cu xy 1, rezolvăm ecuaţia 3x şix! 3 găsim punctul, 3 .3Acum putem să spunem cum ı̂mpărţim domeniul D: alegem D1 ca fiind1regiunea cuprinsă ı̂ntre dreptele y 2x, y 3x şi x , iar pe D2 ca fiind311regiunea cuprinsă ı̂ntre x , y 2x şi y .x3Atunci:ZZZZZZx dA x dA x dA D ZZZD1 130D23xZx dy dx 2x 133x(xy)0dx 2x 132x dx 0x33 130ZZ 12 134. Calculaţi valoarea integraleiZ02Z 1y2 12 13 12 13Z1xx dy dx 2x1x(xy)dy dx 2x(1 2x2 ) dx x3 x 23 Z 2 12 13 2 2 3 .39ex dx dy.
10CAPITOLUL 1. INTEGRALE MULTIPLESoluţie. Deoarece nu există niciun mod elementar de a calcula primitiva2lui ex , părem a fi fără putere ı̂n faţa acestei integrale. Însă o strategie, ceva da roade aici, este schimbarea ordinii de integrare. Domeniul de integrare,care este un triunghi, se scrie:noyD (x, y) R2 0 6 y 6 2, 6 x 6 1 .2Însă, putem privi acest triunghi şi altfel: D (x, y) R2 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2x .Aşadar,Z02Z 1y2x2edx dy 1.3ZZ01 Z 2xx2edy dx 01022xex dx 0x2 1e 0Z e 1.Z1012ex · y2ex · x2 02xdx0 dx Integrale duble ı̂n coordonate polareSistemul de coordonate polare este un sistem de coordonate de dimensiune2, ı̂n care fiecare punct P din plan este determinat de distanţa r faţă de unpunct fixat O (numit pol sau origine) şi un unghi t, format cu o direcţie fixată.Punctul P ı̂i asociem perechea ordonată (r, t)1 iar r şi t se numesc coordonatepolare.Pentru un punct P din plan, coordonatele sale carteziene x şi y se potscrie astfel:x r cos t şi y r sin t.Domeniile maxime pentru coordonatele polare sunt:r [0, )şi t [0, 2π).Când trecem din coordonatele carteziene ı̂n coordonatele polare să nuuităm să ı̂nmulţim cu factorul J r, numit iacobianul transformării !Un lucru ce merită evidenţiat este căx2 y 2 r 2 cos2 t r 2 sin2 t r 2 (cos2 t sin2 t) r 2 .1Se poate nota şi cu (ρ, θ). E de preferat ca ambele caractere să aparţină aceluiaşi alfabet.
1.3. INTEGRALE DUBLE ÎN COORDONATE POLARE1. CalculaţiZZ D1 px2 y2 11dA, unde D este discul unitate.p Soluţie. Trecând la coordonate polare, 1 x2 y 2 1 r 2 1 r,unde r [0; 1] şi t [0, 2π]. Atunci:ZZ Z 2π Z 1 p221 x y dA (1 r) r dr dt D00Z 1Z 2πdt ·(1 r) r dr 00 2 rr3 1 π2π t0 · . 23 032. Calculaţi valoarea integraleiZZD2 sin x2 y 2 dA, undeD {(x, y) R 4 6 x2 y 2 6 9, y 0}. Soluţie. Transformând ı̂n coordonate polare, sin x2 y 2 sin r 2 ,unde r 2 x2 y 2 [4, 9], adică r [2; 3], şi t [0, π], deoarece y (fiindnenegativ) se află ı̂n cadranele I şi II. Atunci:ZZZ πZ 3 22sin x y dA sin r 2 · r dr dt D02 Z πZ 3 1 2 02dt ·sin r · r dr scriem r r 202Z 3 0 31π π· ·sin r 2 · r 2 dr · cos r 2 2 2 22π(cos 4 cos 9) .23. Calculaţi valoarea integraleiZZ px2 y 2 dA, undeDD {(x, y) R2 x2 y 2 6 2y, x 0, y 0}.Soluţie. Prezenţa expresiei x2 y 2 ne sugerează să utilizăm coordonatele polare. Încercăm! Inegalităţile din domeniul D se transcriu: r 2 cos2 t r 2 sin2 t 6 2r sin t, adică r 6 2 sin t, şi cos t 0, sin t 0. Aşadar:h πit 0;, r [0, 2 sin t],2
12CAPITOLUL 1. INTEGRALE MULTIPLEşi integrala devineZZZ p22x y dA π20D 83Z2 sin t r20Zπ2· r dr dt Zπ20 r33 2 sin tdt 0sin3 t dt.0Cum sin(3x) 3 sin x 4 sin3 x, obţinem căZZ px2 y 2 dA23 DZ0π2(3 sin t sin(3t)) dt 2cos(3t)· 3 cos t 33 4. Calculaţi valoarea integralei I Zπ2 016.9 2e x dx. Soluţie. Aparent, această problemă nu are nicio legătură cu subiectul2nostru. Este o integrală grea. ex nu ne lasă să ı̂i găsim primitiva. Însăcoordonatele polare ne vor surprinde cu o frumoasă aplicaţie aici. Nu vedemnicio integrală dublă ı̂n enunţ, dar ce ar fi dacă ne-am crea noi una? Să ı̂lobservăm pe I 2 :ZZ 2I2 e x dx ·2e y dy. Acum, să privim acest produs de integrale de la la ca o integrală dublăpe R2 . E delicată extinderea integralelor duble pe domenii nemărginite, darsă o privim ı̂n aceeaşi manieră ca integralele improprii, studiindu-le la limită.Atunci:ZZZZ222 x2 y 2I e·edA e (x y ) dA.R2R2De acum, transformarea ı̂n coordonate polare este evidentă: e (xr [0; ), t [0, 2π], şi integrala devineI2 Z2π0Z 02π2 y 2 )2 e r ,2e r · r dr dt Z 2 0 1 r 2 r 2 e· ( 2r) dr dt privim e· ( 2r) e r2 00ZZ1 2π r2 1 2π edt ( 1) dt π.2 02 00Z
131.4. INTEGRALE TRIPLEAtunci I π.Pauză de Fortificare Intelectuală.Z 2e x dx este cunoscută sub numele integrala lui Gauss (Gaussiană).Este numită după matematicianul german Carl FriedrichGauss (1777-1855), foto stânga, considerat unul dintre ceimai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, supranumitPrinceps Mathematicorum (Prinţul Matematicii). Aceastăintegrală are o gamă largă de aplicaţii: teoria probabilităţilor, mecanica cuantică, etc.Z 22Deoarece e x este o funcţie pară pe mulţimea R, avem căe x dx ZZ x22edx şi prin schimbarea de variabilă x t, ea va fi egală cue t ·00 1 12t dt Γ π.21.4Integrale triple1. CalculaţiZZZxyz 2 dV , undeDD {(x, y, z) R3 2 6 x 6 3, 0 6 y 6 2, 0 6 z 6 3}.Soluţie. Este o integrală simplă, capetele sunt numerice, trebuie doar săfim atenţi la calcule:ZZZ2xyz dV D Z03Z 2Z 302xyz dx dy dz 2Z03 Z 2 Z 302xyz dx 23 Z 2 dy dz Zx2 x 35dy dz yz 2 dy dz 2 x 22 0000 3 z 3Z 3 Zy 2325yzz2 ·dz 5z 2 dz 5 45.2 02 y 03 z 00Z3Z 2 yz 2 ·2. Calculaţi volumul corpului mărginit de paraboloizii z 4x2 4y 2 şiz 5 11x2 y 2 .
14CAPITOLUL 1. INTEGRALE MULTIPLESoluţie. Ideea este să proiectăm corpul nostru pe cel mai convenabil plan,ı̂n cazul nostru pe xOy. Să vedem cum se intersectează paraboloizii: sistemul(z 4x2 4y 2z 5 11x2 y 2implică 4x2 4y 2 5 11x2 y 2 , adică 3x2 y 2 1. Deci paraboloizii sey2x2intersectează după elipsa 2 2 1, a cărei proiecţie pe planul xOy11 3are aceeaşi ecuaţie. Deci proiecţia corpului K pe planul xOy este mulţimeaE : {(x, y) R2 3x2 y 2 6 1}, adică interiorul elipsei găsite mai sus.50-51.0-1.00.5-0.50.00.0-0.50.51.0-1.0Ne amintim că volumul corpului K, căutat de noi, esteZZZVol(K) dV.KDiferenţa (5 11x2 y 2 ) (4x2 4y 2 ) 5 15x2 5y 2 5 5(3x2 y 2 ) 0este nenegativă, aşa că z variază de la cantitatea mai mică, z 4x2 4y 2 , lacea mai mare, z 5 11x2 y 2 , putem scrie că!ZZZ225 11x yVol(K) dzEdA.4x2 4y 2Aşadar:Vol(K) ZZzEz 5 11x2 y 2z 4x2 4y 2dA ZZE 5 5(3x2 y 2 ) dA.
1.5. INTEGRALE TRIPLE ÎN COORDONATE SFERICE15Să vedem cum ı̂l abordăm pe E.x2 y 2Elipsa 2 2 1 se scrie ı̂n coordonate polare:abx ar cos t,y br sin tiar iacobianul transformării este J abr, unde r [0, 1] şi t [0, 2π].1Elipsa noastră se scrie: x r cos t, y r sin t iar iacobianul trans31formării este J r. Valoarea expresiei 5 5(3x2 y 2 ) este 5 5r 2 . Aşadar3volumul nostru a devenit:Z 2π Z 1Z 2π Z 1112Vol(K) (5 5r ) · r dr dt (5r 5r 3 ) dr dt 33 0000 Z 2πZ 1510π r 2 r 4 r 1 5π 33 dt ·(r r ) dr .4 r 063 03 201.5Integrale triple ı̂n coordonate sfericeSistemul de coordonate sferice este un sistem de coordonate cu trei dimensiuni, ı̂n care fiecare punct P din spaţiu este determinat de: distanţa(notată cu ρ) dintre punctul P şi o origine fixată (O), unghiul zenit (notat cuϕ) format de OP cu axa pozitivă z şi unghiul azimut (notat cu θ) format deproiecţia lui OP pe planul xOy cu axa pozitivă x.Astfel, coordonatele carteziene ale unui punct P din plan se scriu:x ρ sin ϕ cos θ,y ρ sin ϕ sin θ,z ρ cos ϕ.Domeniile maxime pentru coordonatele sferice sunt:ρ [0, ),ϕ [0, π],θ [0, 2π].Când trecem din coordonatele carteziene ı̂n coordonatele sferice să nuuităm să ı̂nmulţim cu iacobianul transformării, J ρ2 sin ϕ!Un lucru ce merită evidenţiat este căx2 y 2 z 2 ρ2 sin2 ϕ cos2 θ ρ2 sin2 ϕ sin2 θ ρ2 cos2 ϕ ρ2 .Secţiunea aceasta o vom dedica unor calcule ,,practice”:1. Fotbal trigonometric. Aflaţi volumul corpului ı̂nchis de mingea,,trigonometrică” de fotbal.
16CAPITOLUL 1. INTEGRALE MULTIPLESoluţie. Amuzant, nu? Cum am putea descrie corpul nostru? Dreptmulţimea K {(x, y, z R3 ) x2 y 2 z 2 6 1}. Aşa cum am văzut maidevreme, volumul lui esteZZZdV.Vol(K) KŞi acum intervin coordonatele sferice (doar mingea e o sferă, nu?): ρ2 x2 y 2 z 2 6 1, deci ρ [0, 1], iarZ 2π Z π Z 1Z 2πZ πZ 12Vol(K) ρ sin ϕ dρ dϕ dθ dθ ·sin ϕ dϕ ·ρ2 dρ 00003ϕ π ρ 2π · ( cos ϕ) ϕ 0 ·3ρ 1ρ 0004π. 32. Problema cornetului cu ı̂ngheţată. Aflaţi volumul corpului situatı̂n interiorul sferei x2 y 2 z 2 2z şi ı̂n interiorul conului z 2 x2 y 2 50.00.51.0Ecuaţia sferei se poate rescrie (x 0)2 (y 0)2 (z 1)2 1, ceeace ne spune că ea are centrul ı̂n punctul de coordonate (0, 0, 1) şi raza egalăcu 1, deci sepaflă deasupra planului xOy, aşa că ne va interesa doar interiorulconului z x2 y 2 . Transcriem ecuaţia sferei ı̂n coordonate sferice:ρ2 x2 y 2 z 2 2z 2ρ cos ϕ,de unde putem caracteriza interiorul sferei ((x 0)2 (y 0)2 (z 1)2 6 1)prin ρ2 6 2ρ cos ϕ, adică ρ 6 2 cos ϕ. Conul, ı̂n coordonate sferice, se scrie:ρ2 cos2 ϕ z 2 x2 y 2 ρ2 sin2 ϕ cos2 θ ρ2 sin2 ϕ sin2 θ ρ2 sin2 ϕ,h πide unde cos2 ϕ sin2 ϕ, adică tg2 ϕ 1 şi, cum ϕ 0,(deoarece suntem2πdeasupra planului xOy), rezultă că ϕ . Astfel, interiorul conului este4
1.6. INTEGRALE TRIPLE ÎN COORDONATE CILINDRICE17h πicaracterizat de ϕ 0, . Graţie acestor rezultate, putem reveni la volumul4corpului nostru, K,şi scrie:Z 2π Z π Z 2 cos ϕ4Vol(K) ρ2 sin ϕ dρ dϕ dθ 000!Z 2π Z π4ρ3 ρ 2 cos ϕsin ϕ ·dϕ dθ 3 ρ 000Z πZ8 2π 4 sin ϕ cos3 ϕ dϕ dθ 3 00ZZ π2 2π 44 cos3 ϕ · (cos ϕ)0 dϕ dθ 3 00 ZZZϕ π42 2π2 2π31 2π4 cos ϕdθ dθ π. dθ 3 03 042 0ϕ 01.6Integrale triple ı̂n coordonate cilindriceSistemul de coordonate cilindrice este un sistem de coordonate cu treidimensiuni, ı̂n care fiecare punct P din spaţiu este determinat de: lungimeaproiecţiei (notată cu ρ) a segmentului OP pe planul xOy, unghiul azimut(notat cu θ) format de proiecţia lui OP pe planul xOy cu axa pozitivă x.Astfel, coordonatele carteziene ale unui punct P din plan se scriu:x ρ cos θ,y ρ sin θ,z z.Domeniile maxime pentru coordonatele sferice sunt:ρ [0, ),θ [0, 2π],z R.Când trecem din coordonatele carteziene ı̂n coordonatele cilindrice să nuuităm să ı̂nmulţim cu iacobianul transformării, J ρ!Un lucru ce merită evidenţiat este căx2 y 2 ρ2 cos2 θ ρ2 sin2 θ ρ2 .1. Calculaţi valoarea integraleiZZZ(x2 y 2 ) dV , unde K este regiuneaKmărginită de paraboloidul x2 y 2 4z şi de planul z 4.Soluţie. Planul z 4 ,,taie” paraboloidul după un cerc de rază 4. Observăm că regiunea K este un ,,vârf” de paraboloid, pe care ı̂l proiectăm peplanul xOy ı̂n:D {(x, y) R2 x2 y 2 6 16}.
18CAPITOLUL 1. INTEGRALE MULTIPLE50-586420-505Trecem la coordonatele cilinidrice:x ρ cos θ,y ρ sin θ,z z.4], iar ecuaţia paraboloidului devineAtunci ρ2 x2 y 2 6 16, deci ρ [0, 22ρρρ2 4z, adică z . Aşadar, z , 4 şi θ [0, 2π], iar integrala44noastră devine:Z 4 Z 2π Z 4ZZZ(x2 y 2 ) dV ρ2 · ρ dz dθ dρ 20K ZZ000ρ44 Z 2πZ0ρ243ρ dz!z 44 Z 2π3ρ ·z04 Z 2π42z ρ4dθ dρ !dθ dρ ρ54ρ dθ dρ 400! Z 4 θ 2πρ534ρ ·θdρ 40θ 0 Z 4 ρ534ρ dρ 2π ·40 ρ6 ρ 4 512π42π ρ .24 ρ 03Z 32. Calculaţi momentul de inerţie al unui con circular drept, omogen, ı̂nraport cu axa z. (Conul are raza bazei R, ı̂nălţimea H, masa m.)Soluţie. Momentul de inerţie al conului K, ı̂n raport cu axa z, este datde formulaZZZIz γ(x, y, z) · (x2 y 2 ) dV.K
191.6. INTEGRALE TRIPLE ÎN COORDONATE CILINDRICEDeoarece conul este omogen, atunci densitatea γ(x, y, z) γ0 este aceeaşiı̂n fiecare punct şiZZZ(x2 y 2 ) dV.Iz γ0KTrecem la coordonate cilindrice:x ρ cos θ,y ρ sin θ,z z.Ecuaţia generală a unui con estex2 y 2 a2 z 2 .Să vedem cine este a. Deoarece, când x R şi y 0, avem că z H, obţinemRşi ecuaţia conului se scrie:că R2 a2 H 2 , deci a Hx2 y 2 R2 2z .H2R2 2Hz , deci z ρ. Aşadar,H2R Hρ [0, R], θ [0, 2π], z ρ, H .RÎn coordonate sferice, ρ2 Momentul de inerţie devine:Iz γ0Z2π02πZ0RZ HHρRρ2 · ρ dz dρ dθ γ0Z2π0ZR02πz Hρ3 · zz HρR!dρ dθ ρ4 γ0ρ H ρρ dρ dθ γ0 Hdρ dθ RR0000 Z 2π 4Z 2π 4ρρ5 ρ RRR4 γ0 H dθ γ0 H dθ 45R ρ 04500π γ0 HR4 .10ZZR 34H ZZR 3Nu cunoaştem densitatea γ0 , dar cunoaştem masa m şi volumul conului,πR2 Hm3mV . Aşa că densitatea γ0 şi, graţie acesteia, momentul3VπR2 Hde inerţie esteπ3m3mR24Iz ··HR .10 πR2 H10
201.7CAPITOLUL 1. INTEGRALE MULTIPLEMiscelaneu1. Calculaţi valoarea integralei I Z 0arctg πx arctg xdx.xSoluţie. Aparent, problema nu are nicio legătură cu integralele multiarctg πx arctg xarctg yx y πple, ı̂nsă ideea este să privim expresiaca, iarxxy 1arctg yx1funcţia F (y) este o primitivă a funcţiei f (y) (se aratăx1 x2 y 2uşor folosind schimbarea de variabilă u xy). Deciarctg πx arctg xarctg yx xxy π y 1Zπ11dy1 x2 y 2şi integrala noastră devineI Z π Z 11dy dx dx dy 2 21 x2 y 201 1 x y10 Z π Z πarctg xy x arctg xy x tdy limdy yy11 t x 0x 0 Z πarctg ty arctg 0lim dy yy1 t Z π arctg tyπlimdy lim arctg ty , dacă y 0t y21 t Z ππ1ππy πdy ln y y 1 ln π.2 1 y22Z Z π2. Aflaţi valoarea lui c, pentru care funcţia(c(x y), dacă 0 x 5 şi x y x 2f (x, y) 0,ı̂n resteste densitatea comună de probabilitate a variabilelor aleatoare de tip continuuX şi Y .Soluţie. Una dintre proprietăţile esenţiale ale densităţii comune de probabilitate esteZ Z f (x, y) dx dy 1.
211.7. MISCELANEUÎn cazul nostru, privind domeniul de definiţie a lui f (x, y), avemZZ05 Z x 25 Z x 2c(x y) dy dx 1,xZ5 y2xy 2 x 2de unde rezultă că c(x y) dy dx 1, adică cdx 0xZ 50 x1 şi obţinem că c(4x 2) dx 1. Graţie acestei ultime relaţii, deducem01că c 2x 2x 1, de unde găsim valoarea lui c . Cu acest c este60verificată şi nenegativitatea densităţii iar continuitatea sa este evidentă.2 50
ZZ D (x 1)y3dA, unde D [0,3] [1,4]. Solu tie. Vom avea grija ca pentru primaintegrala sa punem, dreptcapete, valorile extreme ale lui y iar pentru a doua integrala sa punem, drept capete, valorile extreme ale
ATTENTION : si, après avoir inséré la carte, vous voyez s'afficher le chiffre 8 à gauche de l'écran, c'est que votre compteur n'accepte pas la carte ou que celle-ci n'est pas insérée correctement. La carte à puce est personnelle et liée à votre compteur : toute autre carte sera refusée. 5 Comment recharger la carte de votre .
La carte mère représente le plus grand circuit électronique du PC. la carte-mère gère l'ensemble des composants électroniques en charge du transfert des données entre les diffé-rents composants. Les connecteurs fixés à la carte-mère permettent la connexion des cartes d'extension : carte son, carte graphique, etc.
Insérer la carte SIM Si la batterie est insérée, retirez-la. Faites glisser le loquet vers le bas et soulevez le tiroir de la carte SIM. Insérez la carte SIM dans le tiroir en plaçant le coin biseauté à gauche. Remettez le tiroir en place et faites glisser le loquet vers le haut. Insérez la batterie. Charger la batterie
1. Principalii actori pe piaţa de carte.Caracteristici esenţiale ale cererii şi ofertei de carte Vom aborda problema cererii şi ofertei în cazul producţiei de carte, ţinând seama atât de caracterul de produs fizic (de unitate de produs) al cărţii, cât şi de conţinutul său
une carte de course d’orientation simple****. L’élève sait se repérer sur différents supports (plan, carte IGN, carte de course d’orientation d’échelles variées). Domaine 2 : Les méthodes et outils pour apprendre Organiser son travail personnel Planifier les étapes et les tâches pour la réalisation d’une production.
Our a la carte menu offers all the palate-pleasing panache of Bite Catering Couture in a format suitable for simpler company functions or personal gatherings that don’t need full service catering. Our a la carte menu retains the characteristics our food is known for: it’s beautiful, it
Our a la carte menu offers all the palate-pleasing panache of Bite Catering Couture in a format suitable for simpler company functions or personal gatherings that don’t need full service catering. Our a la carte menu retains the characteristics our food is known for: it’s beautiful, it
319 0780-319 / Carte mère Gigabyte GA-F2A78M-HD2 (Rev. 3.0) - 320 0780-320 / Carte mère MSI-Z97-GUARD-PRO- Chipset Z97 - Socket 1150 - 321 0780-321 / Carte graphique MSI GeForce GTX 760 Twin Frozr OC GAMING, 2 - 322 0780-322 / Intel Core i7-4790 (3.6 GHz) - Processeur Quad Core Socket 1150 Cache L3 8 Mo Intel HD Graphics 4600 0.022 micron
