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5 MODELOS PROBABILISTICOS 5 1 Experimento de Bernoulli
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Ejemplo 5 1 Lanzar una vez un dado y que el resultado sea un 4. Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados. Estamos realizando un nico experimento lanzar el dado una sola vez Se. considera xito sacar un 4 por tanto la probabilidad. Por lo que la funci n de probabilidad es, 5 3 Distribuci n Binomial. La distribuci n binomial es una distribuci n de probabilidad discreta que. mide el n mero de xitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli. independientes entre s con una probabilidad fija de p de ocurrencia del xito. entre los ensayos, Una distribuci n binomial tiene las siguientes caracter sticas. 1 En cada prueba del experimento s lo son posibles dos resultados xito. 2 La probabilidad de xito es constante es decir que no var a de una. prueba a otra y es p, 3 La probabilidad de fracaso tambi n es constante y es 1 p. 4 El resultado en cada prueba es independiente de los resultados. obtenidos anteriormente, 5 La variable aleatoria binomial X expresa el n mero de xitos obtenidos. en la n pruebas Por tanto los valores que puede tomar X son 0 1 2. La distribuci n binomial se expresa por, C lculo de probabilidades en una distribuci n binomial.
Y su funci n de probabilidad es, Donde es el n mero de pruebas. es el n mero de xitos, es la probabilidad de xito, es la probabilidad de fracaso. El n mero combinatorio y, Los par metros de la distribuci n binomial son. Ejemplo 5 2 La ltima novela de un autor ha tenido un gran xito hasta el. punto de que el 80 de los lectores ya la han le do Un grupo de 9 personas. son aficionadas a la lectura, a Cu l es la probabilidad de que en el grupo hayan le do la novela 6. b Y al menos 6, En la figura 5 1 se puede ver la grafica de la binomial para el ejemplo 5 2.
0 4 Prob Evento Ensayos, probabilidad, 0 2 4 6 8 10. Figura 5 1 Funci n de probabilidad para la binomial p 0 80 n 9. Ejemplo 5 3 La probabilidad de que un art culo producido por una f brica sea. defectuoso es 0 03 Se envi un cargamento de 15 000 art culos a unos. almacenes Hallar el n mero esperado de art culos defectuosos la varianza y. la desviaci n est ndar, El n mero esperado de art culos es. La varianza es, La desviaci n est ndar es, 5 4 Distribuci n Hipergeom trica. La distribuci n Hipergeom trica se emplea para calcular la probabilidad. de obtener determinado n mero de xitos en un espacio muestral de n. ensayos pero a diferencia de la distribuci n binomial es que los datos de la. muestra se extraen sin reemplazo en una poblaci n finita Por esto es que el. resultado de una observaci n depende o es afectado por el resultado de. cualquier otra u otra observaci n anterior Es decir la distribuci n. Hipergeom trica se emplea para muestreos sin reemplazo de una poblaci n. finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo. Definici n de Distribuci n Hipergeom trica Una variable aleatoria. tiene distribuci n Hipergeom trica y su funci n de probabilidad es. Los par metros de la distribuci n Hipergeom trica son. Ejemplo 5 4 Tenemos una baraja de cartas espa olas de las. cuales nos vamos a interesar en el palo de oros de un mismo. tipo Supongamos que de esa baraja extraemos n 7 cartas de una vez sin. reemplazamiento y se nos plantea el problema de calcular la probabilidad de. que hayan palos de oros exactamente en esa extracci n La respuesta a. este problema es, En la figura 5 2 se puede ver la grafica de probabilidad de la Hipergeom trica. para el ejemplo 5 4, Hipergeom trica, 0 4 Prob Evento Ensayos Tama o Pob.
probabilidad, Figura 5 2 Distribuci n de probabilidad de la Hipergeom trica para el ejemplo. Su valor esperado es, Su varianza es, Su desviaci n est ndar es. 5 5 Distribuci n de Poisson, La distribuci n de Poisson es una distribuci n de probabilidad discreta que. expresa a partir de una frecuencia de ocurrencia media la probabilidad que. ocurra un determinado n mero de eventos durante cierto periodo de tiempo. La funci n de distribuci n Poisson es, Probabilidad de que ocurran xitos cuando el n mero promedio. de ocurrencia de ellos es, es la media o promedio de xitos por unidad de tiempo rea o.
es la variable que nos denota el n mero de xitos que se desea que. La distribuci n de Poisson se aplica a varios fen menos discretos de la. naturaleza esto es aquellos fen menos que ocurren 0 1 2 3 veces. durante un periodo definido de tiempo o en un rea determinada cuando la. probabilidad de ocurrencia del fen meno es constante en el tiempo o el. espacio Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la. distribuci n de Poisson incluyen, El n mero de autos que pasan a trav s de un cierto punto en una ruta. suficientemente distantes de los sem foros durante un periodo. definido de tiempo, El n mero de errores de ortograf a que uno comete al escribir una. El n mero de llamadas telef nicas en una central telef nica por minuto. El n mero de servidores web accedidos por minuto, El n mero de animales muertos encontrados por unidad de longitud de. El n mero de mutaciones de determinada cadena de ADN despu s de. cierta cantidad de radiaci n, El n mero de n cleos at micos inestables que decayeron en un. determinado per odo, El n mero de estrellas en un determinado volumen de espacio.
La distribuci n de receptores visuales en la retina del ojo humano. La inventiva de un inventor a lo largo de su carrera etc. N tese en los ejemplos que este tipo de experimentos los xitos buscados son. expresados por unidad de rea tiempo pieza como son. N mero de defectos de una tela por m2, N mero de aviones que aterrizan en un aeropuerto por d a hora. minuto etc, N mero de bacterias por cm2 de cultivo. N mero de llamadas telef nicas a un conmutador por hora. minuto etc, N mero de llegadas de embarcaciones a un puerto por d a mes. Es importante hacer notar que en sta distribuci n el n mero de xitos que. ocurren por unidad de tiempo rea o producto es totalmente al azar y que. cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado as como. cada rea es independiente de otra rea dada y cada producto es. independiente de otro producto dado, Ejemplo 5 5 Si un banco recibe en promedio 5 cheques sin fondos por d a. cu les son las probabilidades de que reciba tres cheques sin fondos en un d a. Cu les son las probabilidades de que reciba diez cheques sin fondos en un d a. En la figura 5 3 esta la grafica de probabilidad de Poisson para el ejemplo 5 5. 0 18 Media, probabilidad, 0 3 6 9 12 15 18, Figura 5 3 Distribuci n de probabilidad de Poisson para.
5 6 Distribuci n normal, Una distribuci n normal de media y desviaci n est ndar se designa. por Su gr fica es la campana de Gauss y se muestra en la figura 5 4. 0 08 Media Desv Est, 5 5 15 25 35 45, Figura 5 4 Gr fica de la distribuci n Normal con y. El rea de la curva determinada por la funci n y el eje de abscisas es. igual a la unidad Es una curva sim trica respecto al eje que pasa por. deja un rea igual a 0 5 a la izquierda y otra igual a 0 5 a la derecha Una. variable aleatoria se distribuye normalmente si su funci n de densidad es. La Distribuci n Normal Est ndar o estandarizada es aquella que tiene. media igual a cero y desviaci n est ndar igual a la unidad. simbolicamnete y su grafica se muestra en la figura 5 5. 0 4 Media Desv Est, 5 3 1 1 3 5, Figura 5 5 Gr fica de la distribuci n Normal Est ndar y. La probabilidad de la variable depender del rea sombreada como se. puede ver en las figuras 5 6 y 5 7 Y para calcularla utilizaremos las tablas de. probabilidad Normal ver figura 5 8 y en el ap ndice. Para poder utilizar las tablas de la Normal tenemos que transformar la variable. que sigue una distribuci n en otra variable la estandarizaci n de la. variable x que siga una distribuci n, En el c lculo de probabilidades de la distribuci n normal la tabla nos da. las probabilidades de siendo la variable estandarizada Su funci n. de densidad es, Figura 5 6 reas sombreadas de probabilidad normal.
Figura 5 7 reas sombreadas de probabilidad normal, Estas probabilidades nos dan la funci n de distribuci n La. b squeda del valor de z depende del valor de k en la primera columna de la. tabla de la Normal y de las cent simas en la primera fila de arriba de la tabla. de la normal ver figura 5 8, Figura 5 8 Tabla de la Normal. Ejemplo 5 6 En una ciudad se estima que la temperatura m xima en el mes. de junio tiene una distribuci n normal con media y desviaci n est ndar. Calcular el n mero de d as del mes en los que se espera alcanzar. m ximas entre 25 y 30, La probabilidad de que las temperaturas m ximas est n entre 25 y 30 es. El n mero de d as del mes en los que se espera alcanzar m ximas entre 25 y. 5 7 Distribuci n uniforme, En teor a de la probabilidad la Distribuci n Uniforme Discreta es una. distribuci n de probabilidad que asume un n mero finito de valores con la. misma probabilidad, Si la variable aleatoria x asume los valores reales con.
identicas probabilidades entonces la distribuci n uniforme discreta esta dada. Utilizamos la notaci n en vez de para indicar que la. distribuci n uniforme depende del valor de, Figura 5 9 Gr fica de la distribuci n uniforme discreta. La media y la varianza de la distribuci n uniforme discreta son. Ejemplo 5 7 Para un dado perfecto todos los resultados tienen la misma. probabilidad 1 6 Luego la probabilidad de que al lanzarlo caiga 4 es 1 6. Para una moneda perfecta todos los resultados tienen la misma. probabilidad 1 2 Luego la probabilidad de que al lanzarla caiga cara es 1 2. En teor a de probabilidad y estad stica la Distribuci n Uniforme. Continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables. aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos. de igual longitud en la distribuci n en su rango son igualmente probables El. dominio est definido por dos par metros a y b que son sus valores m nimo y. m ximo La distribuci n es a menudo escrita en forma abreviada como. Sea una variable aleatoria con distribuci n uniforme continua entonces. su funci n de densidad de probabilidad esta dada por. Gr ficamente se observa de la siguiente manera, Figura 5 10 Gr fica de la Distribuci n Uniforme continua. La media y la varianza de la distribuci n uniforme continua son. Ejemplo 5 8 El volumen de precipitaciones estimado para el pr ximo a o en. la ciudad de Aguascalientes va a oscilar entre 450 y 550 litros por metro. cuadrado Calcular la funci n de distribuci n la precipitaci n media y varianza. Es decir que el volumen de precipitaciones est entre 450 y 451 litros tiene un. 1 de probabilidades que est entre 451 y 452 litros otro 1 etc. El valor medio esperado es, El valor de varianza es. 5 5 Distribuci n de Poisson La distribuci n de Poisson es una distribuci n de probabilidad discreta que expresa a partir de una frecuencia de ocurrencia media la probabilidad que ocurra un determinado n mero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funci n de distribuci n Poisson es Prob Evento Ensayos Tama o Pob 0 25 7 40

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