Meccanica Dei Sistemi E Termodinamica
Meccanica dei Sistemi e Termodinamicamodulo di: Onde e OscillazioniCorsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica,Tecnologie Fisiche InnovativeLezioni ( docente: Savrié Mauro )lunedì : 11:00-13:00 aulamartedì : 11:00-13:00 aulaEsercitazioni ( docente:M.Stancari)giovedì : 10:30-12:30 aulaLe copie delle presenti trasparenze saranno disponibili in rete all’ indirizzo:www.fe.infn.it/ savrie.cercare.ma occhio agli erroriobbligo di registrazione on-linericevimento studenti:venerdì 14:30-18:30 su appuntamento -prova scritta: esito positivo:p 27Æ no orale?sconsigliato: 15/30 p 18/3non ammesso: p 15/30- prova orale : esito positivo: p 18/30(valida 1 A.A.)prove settimanali ?A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie1
Testi consigliati:1)2)3)4)A. A. 2007-8Mazzoldi,Nigro,Voci:FISICA (1 vol. ) ed. EdiSES NapoliW.E.Gettys,F.J.Keller,M.J.SkoveFISICA 1 ed. Mc Grow-HillH.C. Ohanian:FISICA ( 1 e 2 vol. ) ed. Zanichelli BolognaBorgia,GrilliFISICA Meccanica Termodinamica ed. C.I.S.U. RomaProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie2
Oscillazioni sono moti periodici: corde, bilanceri, atomi, pendoli . in natura: moti oscillatori smorzati Lo smorzamneto si può compensare fornendo energia alsistema: oscillazioni forzate sono di natura NON SOLO meccanica hanno un periodo:T:s (econdi ); e una frequenza:Le forzeν: 1Hertz o s ;[T ][T ] 1associate ai moti periodici sono le più generali costanti: le abbiamo studiate per prime funzioni del tempo :Æcostanti in modulo: forze centripeteÆcostanti in direzione: forze impulsive (urti frontali)Esempio: punto materiale oscillante tra due estremi (PENDOLO).v v v vr ; v ; a; F : variabili, in genere, sia in modulo che in direzioneA. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie3
In termini di Energia.mox2punto di equilibriodove la risultantedelle forze agenti sulpunto è nullax arrrF maF (x )xx1mx2xU (x )vvF gradU UÉ una tipica forza di richiamoIn “O” l’ equilirio è stabilex2A. A. 2007-8orF m x1rForFProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savriependenza tan ϑdU dxxϑrFmx1x4
E K U cos t .se non agiscono forze dissipative!!!!E energia meccanica totale!!Laparticellanonpuòmuoversi al di fuori di X1,X2per una data energia E.Oltre questi limiti U E e l’energia cinetica sarebbenegativa!!!!!A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie5
Consideriamo un sistema ad un grado di libertà costituito da un punto materiale angolo distanza ascissa curvilinea .La sua energia potenziale sarà funzione di una sola variabile:Up UpAssumiamo che il sistema abbia una posizione di equilibrio stabileche prenderemo come riferimento :(x )U p (0) 0Proviamo a fare lo sviluppo in serie di Taylor del potenziale nell’ intorno di X 0 eper piccole oscillazioni :1 ''U p ( x ) U p (0) U (0 )x U p (0)x 2 .2'pMa in X 0 c’è un minimo:minimoU p' (0 ) 0;U p'' (0 ) K 01 2U p (x ) Kx2A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie6
Il caso particolare dell’ Oscillatore Armonicoo x1rm v x1xoscillazione armonica: posizione di equilibrio stabile “o” estremi fissi simmetrici rispetto “o” x1 ampiezza del moto 1 2()U x Kx2F kxF 0F kxA. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie x x7
U ( x )Fx Kx x1 2U ( x ) Kx2 componente della forza lungo la direzione x l lunghezza molla soggetta al suo solo peso0 è una forza “centrale” l0 Δl0 lunghezza molla con la massa m appesa è proporzionale alla deformazione x spostamento dall’ equilibrio (allungamento) è detta anche “forza di richiamo”v vv forza “quasi elastica”In condizioni di equilibrio:P F ma 0v vr ˆˆ(P F ) i mg i ( kΔl0 )iˆ iˆ 0P mg kΔl0l0l0 Δl0KΔl0mmgA. A. 2007-8Se spostiamo la massa m dalla posizione diequilibrio della quantità x, la proiezione sull’assedel risultante delle forze agenti su m vale:R mg k (Δl0 x )oxmyxProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrieR kxma:mg kΔl08
Imponiamo al sistema uno spostamento “x a” dalla posizione di equilibrio epoi lasciamolo libero .160140120100806040x aovv20-15,00m-10,00-5,00 axdxv x&dt00,00{}EKEp5,0010,00aSotto l’ azione della forza “quasi elastica” il sistemasi muove verso la posizione di equilibrio con:Diminuisce la sua energia potenzialeaumenta la sua energia cineticaA. A. 2007-815,00Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie1 2Ek mx&2 9
applichiamo la II legge della dinamica:Che in una dimensione scriviamo:k&x& x 0mvvF ma Kx m&x&Equazione del moto dell’ oscillatore armonicoCome si risolve?k&x& xmÈ una funzione la cui derivata seconda è la funzione stessa cambiata disegno ( a meno di una costante!!!!!.come sen(x) e cos(x)Ipotesi plausibile:x A cos(ωt δ ).e se è vero.cos(ωt δ ) cos ωt cos δ sin ωt sin δTutte le combinazioni lineari di seno e coseno!!!! a cos ωt b sin ωtA. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie10
x A cos(ωt δ ) È la soluzione più generale (famiglia di moti possibili)possibili Dipende da 3 costanti arbitrarie: come si determinano?x& ωA sin(ωt δ )Se sostituiamo nell’ equazione del moto:&x& ω 2 A cos(ωt δ )k ω A cos(ωt δ ) A cos(ωt δ )m2πMa cos’è ω? ha le dimensioni T-1 !2se incrementiamo il tempo della quantità:[(x A cos ω t 2πPeriodo:determinata SOLO dallecaratteristiche del sistemak,mω δ A cos(ωt 2π δ ) A cos(ωt δ )m 2πT kωω 2πν 2π TA. A. 2007-82π) ]ωω2 k mfrequenza:kω 1ν (2π )m2πRimangono arbitrarie: A,δ Æ verietà di motiProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie11
x A cos(ωt δ ) A ωt δ :ampiezza max del motoδA, δ:fase del moto:costante di fase iniziale: sono determinate dallecondizioni iniziali del motoRelazioni caratteristiche:x A cos(ωt δ )v x& ωAsen(ωt δ )( ωA cos ωt δ π)2a &x& ω 2 A cos(ωt δ ) ω 2 xA. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie12
a)b)c)uguale ampiezza e frequenza. Differenza di fase di 45 stessa fase stessa frequenza:A1 /A3 2ampiezza e fase uguali. f4 /f1 2A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savriemoto armonico. Confronto tra: elongazione velocità accelerazione13
Alcune considerazioni energeticheL’ energia del punto materiale, se non agiscono forze dissipative, si conserva :E K UU 1 2 1Kx KA2 cos 2 (ωt δ )22K 11 2 11mx& mω 2 A2 sen 2 (ωt δ ) KA2 sen 2 (ωt δ ) K max KA222221 21U max KA Kmax mω 2 A222E.in funzione di tA. A. 2007-8E.in funzione di xProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie14
E K U []11KA2 sen 2 (ωt δ ) cos 2 (ωt δ ) KA2 cos t .22N.B.L’ energia totale di una particella che si muove dimoto armonico è proporzionale al quadrato dell’ampiezza del moto1 2 1 2 1 2E K U mx& kx kA222(k 2x& A x2mA. A. 2007-8)La velocità è: massima in x 0 nulla alla massima elongazioneProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie15
Esempio 1Una molla orizzontale si allunga di 3 cm sotto l’ effetto di una forza di 9N. Se ad essa siattacca una massa M 1Kg e si allontana la massa di x 4cm dalla posizione di riposo su untavolo privo di attrito e la si abbandona poi liberamente, determinare:a)b)c)d)e)la costante elastica della mollala massima forza che la molla esercita su Mil periodo di oscillazionel’ ampiezza del motola velocità massima della massa MK F x 9 0 . 03 3 10 2 Nm 1a F kx (3 0 . 04 ) 12 NT 2π2πm k3 102 a max2π 0 . 36 s17 . 32π ωA A 0 . 69 ms 1T 3 10 2 k2 12 ms 2 ω A A 0 .04 m 1 v 2π T(A2) x2 17 . 3 (16 4 ) 10 4 0 . 6 ms 1A. A. 2007-8l’accelerazione massimavelocità, accelerazione,K,U, in A/2energia totale del sistema oscillanteequazione del moto del corpoKx 6 msm 21mv21U Kx2E K A2 0 . 5 1 0 . 6 2 0 . 18 J2 0 . 5 3 10 2 4 10E U K x max 4 cmx& maxf)g)h)i) 4 0 . 06 J( 2 ) E (A 2 ) 0 . 18 0 . 06 0 . 24 Jmax1KA22 K max 1Kv22 0 . 24 J A 4 10 2 x A cos (ω t δ ) ω 2π T 17 .3 s 1 x 2 2 (t 0 ) 4 10 cos δ 4 10 m δ 0()x 4 10 2 cos (17 .3t )Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie16
Il pendolo semplice (matematico)confrontare le dimensioniϑ 0ϑsen ϑ ϑ F mg ϑ lvTmvmg cos ϑrF mgsen ϑϑ 0vmgsenϑτx lϑvmgmgx k xlθsenθDiff %θsenθDiff %2 0.0349 rad0.0349010 0.1745 rad0.17360.515 0.0873 rad0.08720.1115 0.2618 rad0.25881.14T 2πm 2πkm 2πmg llgSe l’ oscillazione non è piccolaÆ senϑ ϑ.non è immediato ma si può dimostrare che:ϑm spostamento angolare massimo2 l ϑϑ113 1 2 sen 2 m 2 2 sen 4 m . per: ϑ 15 err . 0.5%T 2πmg 22 2 42 N.B. l’ orologio a pendolo con scappamento fu inventato da C.Huygens ( 1629-1695 )A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie17
Il pendolo semplice 2ϑ 0ϑ 0ϑlvTmvmg cos ϑrvmgsenϑτx lϑvmgg&&ϑ ϑ 0lA. A. 2007-8I mlτ Iατ mglsenϑ22 d ϑml mglsenϑ22dtPer angoli piccoli:senϑ ϑϑ ϑ0 cos(ωt ϕ )Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrieω glT 2πωNondipendeda Ml 2π18g
Il pendolo semplice: l’energia21 2 1 dϑ gIω I ω l22 dt ϑ11 22K ml [ ωϑ0 sin (ωt ϕ )] mglϑ02 sin 2 (ωt ϕ )22lK vTmvmg cos ϑrvmgsenϑτx lϑvmgU mgh mgl (1 cos ϑ )Se θ è piccolo: 1 2 cos ϑ 1 ϑ . 2 1 2 1 U mgh mgl 1 1 ϑ mglϑ02 cos 2 (ωt ϕ )2 2 1E K U mglϑ022A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie19
2.Pendolo di torsioneτ χϑEsiste un momento di richiamod 2ϑτ Iα I 2 χϑdtRPϑm2ϑmQcostante di torsioneχd 2ϑϑ 2dtIPer analogia formale con il pendolo semplice:ϑ ϑm cos(ωt δ )T 2πIχSi può: Misurare T e se χ è noto si ricava I Se è noto I si può misurare il coefficiente di torsioneA. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie20
Esempio 2Una sbarra sottile di massa M 0.1Kg e lunghezza l 0.1m è sospesa ad un filo che passa per ilsuo centro ed è ortogonale alla sbarra stessa. La sbarra è fatta oscillare ed il periodorisulta T 2.0s.Se la sbarra viene sostituita con una lamina a forma di triangolo equilateroappesa anch’essa per il centro di massa, il periodo risulta essere T’ 6.0s.Trovare il momentod’ inerzia della lamina rispetto all’ asse di rotazione.I sbarral 2 0.1 0.01 M 8.3 10 5 Kg m 2212Tsbarra 2πI sbarraTlamina 2πI laminaχTsbarra TlaminaIT 2πχI sbarraI laminaχ2I lamina2 T 6 I sbarra l 8.3 10 5 7.5 10 4 kg m 2 2 Ts Finqui 14 aprile 2008A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie21
3. Pendolo fisicoτ M g d senϑPϑNon è soddisfatta lacondizione del motoarmonicodCϑvmgMa:τ I Pα I Pϑ&&T 2πIPN.B.IPIP 2πχMgdSe la massa è puntiforme:A. A. 2007-8τ M g d ϑ χϑχ&&ϑ ϑMa per piccoli angoli .il moto è oscillatorio ma pergrandi oscillazioni non èPERIODICOI ml ; M m; d l2Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrielT 2πg22
Esempio 3sia dato un corpo esteso di massa M. Determinarne sperimentalmente il C.d.M. ed ilmomento di Inerzia. Trovare inoltre quale dovrebbe essere la lunghezza di un pendolosemplice avente il suo stesso periodo.T 2πp.s.T 2 MgdI 4π 2dlc.m.IPMgdlI2π 2πgMgdl IMdcentro di oscillazionedel pendolo fisicoEsempio 4l 2r3Un disco è imperniato sul bordo. Trovare il suo periodo per piccole oscillazioni e lalunghezza del pendolo semplice equivalente.pIP3 Mr 21132222 2π 2πT 2πI cm MrI p Mr Mr MrMgr2 Mgr222rA. A. 2007-8col 3I rMr 2il centro di oscillazione del disco è centrato in “O”Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie3r2gnon dipendedalla massa23
Definizioni ed equazioni relative al moto armonico semplice&x& equazione del moto:periodo di oscillazione:frequenza naturale:spostamento:T 2πmk12πkmνn frequenza angolare naturale:forza di richiamo:kx 0mωn kmF Kx mωn2 xx Asen(ω n t ϕ ) αsenω n t β cos ω n tα A cos ϕ ; β Asenϕvelocità:A. A. 2007-8v Aω n cos(ω n t ϕ )A2 α 2 β 2 ; ϕ ; tan 1βα αω n cos ωn t βω n senω n tProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie24
Definizioni ed equazioni relative al moto armonico sempliceaccelerazione:a Aω n2 sen(ω n t ϕ ) ω n2 xmodulo della velocità:v ωn A2 x 21 2 1Kx KA2 sen 2 (ωt ϕ )cos 2ϑ cos 2 ϑ sen 2ϑ 221 KA2 [1 cos 2(ωnt ϕ )] 2 cos 2 ϑ 1 1 2sen 2ϑ411energia cinetica:K KA2 U KA2 [1 cos 2(ωnt ϕ )]24111E K U mv 2 mx 2 KA2energia totale:222v022A x0 2condizioni iniziali di ampiezza:energia potenziale:U ωncostante di fase:energie medie:A. A. 2007-8ϕ sen 1x0vω x cos 1 0 tan 1 n 0Av0ωn A1K U E2Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrieα v0ωn; β x025
Composizione di moti armoniciSpesso accade che vengano combinati moti armonici rettilinei ortogonali(C.R.O.) Per moti isofrequenziali: Differenza di fase:x Ax cos(ωt δ )y Ay cos(ωt α )(ωt δ ) (ωt α ) δ αSe scegliamo il tempo t in modo che α 0 ( la fase è arbitraria!!!):x Ax cos(ωt δ )y Ay cos ωtycos ωt Ayx Ax cos(ωt δ ) Ax (cos ωt cos δ sin ωt sin δ )xy cos δ sin ωt sin δAx AyA. A. 2007-8Elevando al quadrato e ricordando che:y2sin ωt 1 cos ωt 1 2AyProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie2226
x 2 y 2 2 cos δ2xysin δ22Ax AyAx AyEquazione di un’ ellisse centrata nell’ origine edinscritta in un rettangolo di lati 2Ax,2AYCasi particolari:1. δ 02. δ πy AyAxAyy xAx3. Ay Ax, δ π/2E in questo caso il moto ècircolare ed uniformeA. A. 2007-8xeq. di una rettaeq. di una rettax 2 y 2 A2eq. di un cerchioA x 2 y 2 ;ωA v x2 v y2 ;ω 2 A a x2 a y2Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie27
yyAyyAyAy45 oAyAxAy sen45 Axox 1 δ αAyAxoAyπAx2yAyAy4Ax x 1 δ α yπAy senAxxππ Ax sen 4 1δ α 4yAyπ460 AyAx 2oAxδ αoxxAxAx senAyAxA. A. 2007-8oxAx 2δ α πAy2AxProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie 2δ α ππ4428
Moti oscillatori smorzati,E se agiscono forze dissipative?dxFd bdtb cos t . 0vv Fi maid 2xdx Kx b ma m 2dtdt2d x b dx K x 02dtm dt mA. A. 2007-8La soluzione è molto difficile!!!!!Ma se b è piccolo .Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie29
rimane difficileÆMoti oscillatori smorzati,d 2 x b dx K x 02dtm dt m() x A0 e bt 2 m cos ω *t α *22*2bbK ω0 ω 2πυ m2m2m( )( )A0 , α : fissate dalle condizioni inizialiVita media:τ : A Costante dismorzamento:pulsaz. del motosmorzato:β b2mω*per un oscillatoredebolmente smorzato:ωQ 2βA. A. 2007-8A0 2m ebCosa succede se b 0?ω*Q 2π2π Eenergia immagazzinata perdita media di energia in un periodo P Tfattore di qualità dell’ oscillatorepotenza mediadissipata in unperiodopiù grande è Q, meno è smorzato l’ oscillatore checompie circa Q/2π oscillazione in in un tempo parialla vita media τProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie30
Esempio 4una massa sferica di raggio R 0.25m e m 0.1Kg è sospesa tramite una molla ad un sostegno edoscilla verticalmente in aria. Supponendo che la forza di attrito da parte dell’ aria siaproporzionale alla velocità, si calcoli quanto cala l’ ampiezza del moto dopo un’ora.Fa bx& 6πRηx&η 1.8 10 5 Kgm 1s 1 per l’ ariab 8.5 10 5 Kgs 1atto di fedeA(t )b bt 2 m 4.3 10 4 t 4 1 A(t ) e e t 3600 s 0.21β 4.3 10 s2mA0A0ω K*m( 2m ) b2ω ω (4.3 10*2( 2m ) ω b2) 4 22se T 1sω* ωN.B.l’ effetto dell’ attrito è importante per l’ ampiezza ma ha un effetto trascurabile sulla frequenzaOROLOGI A PENDOLOA. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie31
Fino ad ora abbiamo visto solo “oscillazioni naturali”1. Senza attritoω km2. Con “attrito”ω ω b 2m*2( )Ma supponiamo che esista una: forza esterna periodica2F' Fm cos ω '' t2dxdx'' kx b Fm cos ω t m 2dtdt .la soluzione è:[(G m 2 ω '' 2 ωA. A. 2007-8(Fmx sin ω '' t ϕG)2 2 b 2ω '' 2]12)il sistema oscilla con la frequenzadella forza esterna!!!bω ' 'ϕ cosGProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie 1angolo di fase tra forzaesterna e spostamento32
(Fmx sin ω '' t ϕG[)(G m ω ω2'' 21. oscilla con la ω dell’ eccitazione2. in generale non è un moto smorzatoQ1 Q2 Q3 Q4(G m ω '' 2 ω 2Q4''ω '' ωQ3 b ω2]12Caso semplice con b 0:Fm GFm GQ Q2'' 2)ω ω ;ω ω'')2 2è piccoloω ωm 2βbQ1Finqui 15 Aprile 2008A. A. 2007-8ωω''Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savriegrandi valori di Q (bÆ0;QÆ )grande ampiezza di oscillazione33
Tacoma Narrows bridgea Puget Sound ( Washington)crollato il 7 novembre 1940A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie34
Oscillazioni a due corpimè come dire che il supporto ha “massa infinita”: variazione lungh. molla spostamento di m l’ altra estremità della molla è fissa U del sistema funzione della posizione di mmolti sistemi oscillanti in natura sono a “ due corpi”: molecole bi-atomiche.il comportamento è come quello a 1 corpo se introduciamo la:massa ridottax2 (t )x1 (t )m2d 2 x1m1 2 kxdtd 2 x2m2 kx2dtA. A. 2007-8molla: lunghezza a riposo: l lunghezza della molla: (x1 –x2) “allungamento” della molla: x (x1 –x2)-lkvFv Fm1d 2 x1m2 m1 2 m2 kxdtsottraiamo!2d x2m1m2 m1kxdt 2m2 m1 d 2 ( x1 x2 ) kx2m2 m1dtd 2x k x 0dt 2 μProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrieμ Massa ridottax Spostamento relativo35
d 2x k x 02dtμμ massa ridottax(t ) spostamento relativodato che possiamoscrivere:μ m1è la stessa equazione dedottaper l’oscillatore armonico1m2m1 m2m1 m2m1 m2T 2πμkν μ12π 11 m1 m2μ m1 ; m2KμEsempio applicato alla Gravitazioneym2v v vr r1 r2vr2m1vr1oA. A. 2007-8xvv1 m1m2d 2 r1d 2 r1m1m2 G 2 r̂m1 2 G 2 r̂2dtm1rdtrvv1 m1m2d 2 r2d 2 r2m1m2 G 2 r̂m2 2 G 2 r̂2dtmrdtr2v2 v2v 1() 1 m1m2drrdr12sottraiamo G 2 r̂ 2 2rdtdt m1 m2 m1 m 2vvμ a r G 2 r̂ ; μ aϑ 0rProf. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie36
Le onde nei mezzi elasticiÈ, tra le modalità di moto, la più diffusa:elastiche, elettromagnetiche Proprietà salienti: velocità di propagazione alterazioni dipendenti dal mezzo (riflessione, rifrazione, polarizzazione) alterazioni prodotte da ostacoli (diffrazione,diffusione) interazioni tra onde (interferenza )Parleremo di onde nei mezzi elastici deformabili:onde meccaniche(elastiche) spostamento dall’ equilibrio di una porzione del mezzo elastico; non trasportano materia; trasportano energia .ma in un mezzo; sfruttano elasticità : forze di richiamo inerzia : risposta alle forze di richiamo Longitudinali: le particelle materiali si spostano nella direzione della perturbazione;Trasversali: le particelle materiali si spostano trasversalmente alla perturbazione;Treni d’ onda: periodici o meno (impulsi);Fronti d’onda: luogo dei punti in cui la perturbazione ha la stessa “intensità” ( stessaRaggi: rette normali ai fronti;Onde piane ; Onde sferiche.A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savriefase);37
Le caratteristiche delle ondeperturbazione che si propagna nello spazio e nel tempo edescritta da una funzione del tipo:ξ (x, y , z , t )A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie38
I tipi di fronteOnda Piana: descritta da una funzione in praticaunidimensionale. La perturbazione in un istantegenerico t0 assume lo stesso valore in tutti i puntidel piano di eq. x x0 . Ha un’ unica direzione dipropagaziaone.A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrieξ (x, t )39
. e trasversaliI tipi di onde: longitudinali 1. Longitudinali:tutte le grandezze fisiche sugnificativevariano solo in una direzione (.dipropagazione):ξ(x,t)2. trasversali:fissato un piano y,z ortogonale a x ( direz.di prop.), la funzione d’ onda ξ(x,t) è unvettore:vξ (x, t ) ξ y (x, t ) ˆj ξ z (x, t )kˆ1. trasvers.non polarizzate:Il vettore può assumere, nel tempo unaqualunque direzione casuale, ortogonalea x (dir. di propagazione).N.B.vse ξ ha direzione fissa :2. trasvers. polarizzate:La direzione del vettore nel piano y,zsegue una legge ben precisaonda polarizzata linearmente: A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savriedirez. di ξΞdirez. dipolazizzazione;il piano in cui giace ξΞpiano di polarizzazione.40
A. A. 2007-8Prof. Savrié Maurowww.fe.infn.it/ savrie41
La propagazione delle ondeOnda trasversale in una corda (es.: impulso)yyt 0oxy f (x )vt't t'oxy
1 Meccanica dei Sistemi e Termodinamica modulo di: Onde e Oscillazioni Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica,Tecnologie Fisiche Innovative . W.E.Gettys,F.J.Keller,M.J.Skove FISICA 1 ed. Mc Grow-Hill 3) H.C. Ohanian: FISICA ( 1 e 2 vol. ) ed. Zanichelli Bologna
sistemi dinamici fuori dall’equilibrio. Tuttavia: Manca un’adeguatateoria dell’informazione per sistemi fisici che non rientrano nel paradigma dei sistemi della meccanica classica: sistemi dinamici non lineari stabili fuori dall’equilibrio(sistemi
La descrizione “classica” dell’universo è deterministica (Laplace), ma si . Teoria dei Sistemi dinamici Meccanica Statistica e Teoria dei Sistemi Critici Teoria dei Giochi Teoria delle Reti. Bottom-up/ Top-do
Il punto di partenza, cio e quello che si d a qui per noto, e la meccanica analitica “elementare” che si studia al secondo anno: ovvero il formalismo lagrangiano e i primissimi elementi di meccanica . Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti 1979. . Introduzione ai sistemi
Questi due capitoli sulla cinematica dei sistemi rigidi sono, ora, messi a dis-posizione degli studenti che seguono il corso di Meccanica 2 ( C.d.L. in Matem-atica) nell’anno accademico 2012/2013 con la speranza che siano per loro utili. Sono rilasciati cos come sono e possono quindi contenere errori (spero non con-cettuali) e sviste.
Elenco 1 (curriculum: Fisica dei Sistemi Dinamici e Meccanica Statistica) Complementi di Meccanica Statistica Fisica dei Sistemi Dinamici Laboratorio di Metodi Computazionali 1 Laboratorio di Metodi Computazionali 2 Teoria delle Particelle Elementari Turbolenza Nell’A.A.
meccanica relativistica meccanica classica . se v callora la massa è anche ideale. p f (v) 2. . Parte 1 modellistica dei sistemi dinamici . 7 In generale la relazione (1.10) non è lineare : come si può vedere in . Figura 1-11. le cause di non linearità sono principalmente due
La teo-ria predice l’esistenza dei buchi neri, i più semplici oggetti macroscopici es-istenti in natura: essi sono infatti descritti da pochi parametri, le cui variazioni obbediscono a leggi analoghe a quelle della termodinamica. La termodinamica dei buchi neri è posta su basi solide dalla meccanica quantistica, mediante il
API RP 500 and API RP 505 NFPA 497 and NFPA 499. PETRONAS Technical Standards provides guidelines to ensure proper management of Ex Equipment. 1. Ex Electrical Equipment Inspection and Maintenance Guidelines (Ex IMG) Standards and Guidelines Personnel Inspection Maintenance 2. Ex Equipment Repair Guidelines (Ex ERG) 3. Ex Management Assessment Guidelines (Ex MAG) 4. Ex .
