Stark In Mathematik - Gymnasium - Potenzen Und .

InhaltsverzeichnisVorwortSo arbeitest du mit diesem BuchDer Begriff der Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Potenzen mit natürlichen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Anwendung: Zehnerpotenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . .171.1 Die Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.2 Potenzen in Summen und Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262Anwendung: Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Erweiterung des Potenzbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341Potenzen mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.1 Stammbrüche und n-te Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.2 Beliebige Brüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443Anwendung: Potenzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .503.1 Ganzzahlige Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .523.2 Rationale Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61Fortsetzung nächste SeiteAuf einen Blick!

InhaltsverzeichnisPotenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631Der Einfluss des Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .641.1 Natürliche Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .641.2 Negative ganzzahlige Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .671.3 Stammbruchexponenten: Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69273Strecken, Stauchen und Verschieben des Graphen entlang der y-Achse . .2.1 Strecken und Stauchen des Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .732.2 Verschieben des Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75Test 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Der Begriff der Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Erweiterung des Potenzbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Test 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Autor: Alfred MüllerAuf einen Blick!

VorwortLiebe Schülerin, lieber Schüler,Terme mit Potenzen begegnen dir schon früh in deiner gymnasialen Laufbahn, undsie werden dich über die Mittelstufe hinweg bis zum Abitur begleiten. Aber auchdarüber hinaus – und zwar nicht nur in Studium und Beruf – werden dir Potenzenals elementares mathematisches Gebilde immer wieder und vor allen Dingen innahezu allen Lebensbereichen begegnen. Es lohnt sich also schon allein für denschulischen Erfolg, über Potenzen gut Bescheid zu wissen.Das vorliegende Buch hilft dir, dein bereits bestehendes Wissen über Potenzen undPotenzfunktionen auszuweiten, zu vertiefen und zu testen. Klar hervorgehobene Rechenregeln vermitteln dir auf einen Blick, was du wissen und anwenden können musst. Jede Rechenregel wird durch mindestens ein anschauliches Beispiel so ergänzt,dass du sofort sehen kannst, wann und wie die betreffende Regel typischerweise angewendet wird. Vielfältige Aufgaben helfen dir dabei, den neu gelernten Stoff einzuüben. Mithilfe von Tests kannst du bei jedem Kapitel selbstständig deinen Leistungsstand abprüfen. Ausführliche Lösungsvorschläge ermöglichen es dir, deine Rechenwege selbstzu kontrollieren und gegebenenfalls selbst zu korrigieren.Von all diesen Merkmalen profitierst du, wenn du mit diesem Buch arbeitest – vorallem, wenn du das Buch parallel zum Unterricht einsetzt. Spätestens dann nämlich wird sich dein Einsatz sicher auch positiv auf dein Abschneiden in Tests undKlassenarbeiten auswirken, sodass du dir beruhigt sagen kannst: Ich bin stark inKlassenarbeiten!In diesem Sinne wünsche ich dir viel Erfolg beim Arbeiten mit diesem Buch!Alfred MüllerAuf einen Blick!

So arbeitest du mit diesem BuchJedes Kapitel in diesem Buch ist wie folgt aufgebaut: Wichtige Begriffe und Rechenregeln werden in Wissenskästen erklärt und imAnschluss durch anschauliche Beispiele verdeutlicht. Lies die Erklärungen undRechnungen aufmerksam durch, damit du die folgenden Aufgaben selbstständigangehen kannst. Um die Anwendung der Rechenregeln zu üben und so dein Wissen über dieBegriffe zu sichern, stehen dir auf den folgenden Seiten zahlreiche Aufgabenzur Verfügung. Setze den Taschenrechner nur bei entsprechend gekennzeichneten Aufgaben ein.Besonders knifflige Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet.Lass dich nicht entmutigen, wenn du sie nicht auf Anhieb lösen kannst. Nachdem du ein ganzes Kapitel durchgearbeitet hast, solltest du dich an denzugehörigen Test zur Überprüfung deines Leistungsstandes wagen. Aufgabenwie die in den Tests können dir auch in einer deiner nächsten Klassenarbeitenbegegnen. Versuche daher, jeden Test in der vorgegebenen Zeit zu lösen undsetze den Taschenrechner als Hilfsmittel ausschließlich bei den entsprechendgekennzeichneten (Teil-)Aufgaben ein.Die Punkteverteilung zeigt dir, wie gut du das Thema beherrschst:Du bist in diesem Themenbereich fit, gehe zum nächsten Kapitel über.Es sitzt noch nicht alles, wiederhole die für dich schwierigen Themen.Du hast noch größere Lücken, schaue dir alle Wissenskästen erneut anund arbeite die Aufgaben dazu noch einmal durch. Am Ende des Buches findest du zu allen Aufgaben ausführlich vorgerechneteLösungen, mit denen du deine Ergebnisse überprüfen kannst. Versuche aberstets, bei jeder Aufgabe zuerst auch tatsächlich zu einem eigenen Ergebnis zugelangen, denn nur durch das Überprüfen deiner eigenen Lösungswege bleibtdir die Vorgehensweise im Gedächtnis. Und nur so kannst du eventuell auftretende Fehler in deinen Rechnungen effektiv und lernwirksam korrigieren, umsie in Zukunft zu vermeiden.Auf einen Blick!

So arbeitest du mit diesem BuchHier kannst du eintragen, wie gut du bei den Tests zu den einzelnen Kapiteln abgeschnitten hast. Auf diese Weise behältst du immer den Überblick über deinen aktuellen Leistungsstand.Testergebnisse1 Der Begriff der Potenz2 Rechnen mit Potenzen3 Erweiterung des Potenzbegriffs4 PotenzfunktionenAuf einen Blick!

17Rechnen mit Potenzen1Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligenExponenten1.1 Die PotenzgesetzeDas Produkt am bn zweier Potenzen lässt sich als Term im Allgemeinen nicht weiter vereinfachen. (Abgesehen von der „trivialen Möglichkeit“, die beiden Potenzentatsächlich zu berechnen und anschließend das Produkt der Ergebnisse zu bilden.)Falls jedoch die beiden Potenzen die gleiche Basis haben (d. h. a b) oder den gleichen Exponenten haben (d. h. m n), dann kann das Produkt dieser beiden Potenzen zusammengefasst werden. Die Regeln, die besagen, wie dies geschieht, werdenPotenzgesetze genannt.Zuerst wird der Fall der Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis untersucht. Dazu wird als Basis eine reelle Zahl a 0 gewählt. Nur aufgrund der Definition der Potenz gilt dann beispielsweise:a 3 a 2 (a a a ) (a a ) a a a a a a 5 a 3 2Verallgemeinernd gilt für m, n 7:a m a n (a a a ) (a a a ) a a a a m n m-maln-mal( m n )-malFür negative ganzzahlige Exponenten ergibt sich aus den beiden entsprechendenDefinitionen der Potenz:a m a n 1m 1n aa1am an 1( a a a ) ( a a a ) m-mal a (m n )n-mal 1a a a 1am n( m n ) -mal a m ( n)In gleicher Weise gilt: am n am ( n)für m nm a1am a n am n n für m n 1 a 0 a m n a m ( n )aa 1 a ( n m ) a m ( n ) für m nn-mal an mAufgrund des Kommutativgesetzes gilt dies analog auch für das Produkt a– m an.m-mal a a aa a a Vertiefe dein Wissen!

Rechnen mit Potenzen18Ist einer der beiden Exponenten gleich null oder sind gar beide Exponenten gleichnull, so gilt:a m a 0 a m 1 a m a m 0a m a 0 1m 1 1m a m a m 0aa0 a0a0 1 1 1 a a 0 0Aus allen diesen Fällen lässt sich eine Gemeinsamkeit herauslesen: Stets ist dasProdukt der beiden Potenzen wieder eine Potenz mit der gleichen Basis a und derSumme der Exponenten der beiden Potenzen als neuem Exponenten. Wir habendamit das erste Potenzgesetz gefunden.Dies kann auch auf die Division zweier Potenzen mit gleicher Basis übertragenwerden, denn die Division zweier Potenzen mit gleicher Basis kann auf die Multiplikation zweier Potenzen mit der gleichen Basis zurückgeführt werden:ma m : a n a n a m 1n a m a naafür alle a 0\ {0} und m, n 9Das 1. Potenzgesetz lässt sich somit nun in voller Allgemeinheit formulieren.WISSEN1. PotenzgesetzPotenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man diegemeinsame Basis mit der Summe (Differenz) der Exponenten potenziert.am an am nam : an aman am nfür alle a 4 \ {0} und m, n 51 Berechne die folgenden Ausdrücke mithilfe des 1. Potenzgesetzes.a 4 3 4 5b 11 001 17 :11 001 18Lösung:a 4 3 4 5 4 3 ( 5) 4 3 5 4 2 12 1416b 11 001 17 :11 001 18 11 001 17 ( 18) 11 001 17 18 11 0011 11 0012 Fasse jeweils so weit wie möglich zusammen.a x2 : 2xb 3a 3 2a 2c 28 : 7 3 64 8 2d 8,4u 4 v 6 w 2 : ( 4 v 2 w 2 ) 2uv 2 ( 2u 3 v 2 )Vertiefe dein Wissen!