Universidad De Concepcion Facultad De Ciencias F Sicas Y .

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos5sin embargo esta aplicación no es inyectiva, puesto que φ 0 y φ 2π identifica unmismo punto (x, y). Una opción tentativa de solucionar este defecto serı́a restringirφ al intervalo [0, 2π), pero este tipo de intervalos no pertenece a la topologı́a usualdefinida sobre R y si sustituimos todos los abiertos τ (a, b) por intervalos τ [a, b)entonces la topologı́a resultante serı́a la topologı́a discreta, de modo que tendriamosinfinitos abiertos definidos sobre R en contradicción con el único supuesto. A partirde esta consideración y considerando que dos abiertos U 1 y U 2 cubren la esfera, esposible inferir que son dos, la cantidad mı́nima de abiertos necesarios para cubrir lacircunferencia unitaria.2.2.Vectores TangentesSupongamos que (U, x) es una carta de coordenadas, definida sobre una variedadn-dimensional M . Se define la curva γ como la aplicación x γ : (a, b) M definidaporp (x γ)(t),(2.5)donde p U y t es un parámetro definido en el intervalo (a, b) R. El interés dedefinir una curva radica en la posibilidad que nos ofrece para definir direcciones. Seaahora una carta de coordenadas (U, x) definida sobre una variedad n-dimensional,y una curva γ que pasa sobre un punto γ(t0 ) p U . De esta forma se define elvector tangente sobre p, denotado por γ̇p , como una aplicación que mapea camposescalares reales y suaves f : R R porγ̇p (f ) d(f x 1 x · γ)dt.(2.6)t t0Luego, utilizando la regla de la cadena es posible reescribir esta definición porγ̇p (f ) d(f x 1 x · γ)dt (f x 1 ) xix(p),t t0d(x γ)idt,t t0(2.7)

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos6donde al definir las componentes de γ̇p (f ) porγ̇pi d(x · γ)idt,(2.8)t t0es posible escribir (2.7) porγ̇p (f ) (f x 1 ) xiγ̇pi .(2.9)x(p)Hasta ahora hemos definido la aplicación vector tangente sobre γ(t0 ) p, sin embargo una de las propiedades más importante de esta aplicación es la posibilidadde definirla sobre cada curva que pasa sobre γ(t0 ) p, en particular escogiendo ncurvas diferentes es posible construir un espacio vectorial.Proposición 2.2.1 El conjunto de todos los vectores tangentes definidos en p, denotado por Tp (M ), constituye un espacio vectorial n-dimensional.En efecto, supongamos que p yace sobre una carta (U, x) y que V, W Tp son losvectores tangentes a las curvas γ : (a, b) M y σ : (a, b) M en γ(t0 ) σ(t0 ) p.Luego a partir de las curvas γ y σ, es posible definir para a, b R la curva en Rnρ̂(t) a(x γ)(t) b(x σ)(t) (a b 1)x(p),(2.10)donde ρ̂(t0 ) x(p). Ası́ es posible definir la curva en U por ρ(t) x 1 ρ̂, tal queal actuar sobre una función suave f : U Rρ̇(f ) d(f ρ)dt,t t0d(f x 1 x ρ)dt (f x 1 ) xi (f x 1 ) xi (f x 1 )i x,t t0x(p)d(x ρ)idtx(p)d(x x 1 ρ̂)idtx(p)d(ρ̂)idtt t0,t t0,t t0(2.11)

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos7y sustituyendo (2.10) en (2.11)ρ̇p (f ) (f x 1 ) xi ax(p) (f x 1 )i xd(ρ̂p )idtx(p),t t0d(x γp )idt (f x 1 )i x bt t0x(p)d(x σp )idt,t t0 aγ̇p (f ) bσ̇p (f ) aV (f ) aW (f ),(2.12)se observa que la combinación lineal de dos vectores tangentes corresponde a unvector tangente, esto es ρ̇p (f ) Tp (M ) y por lo tanto, las operaciones suma y producto por escalar · son clausuradas en Tp (M ). Con el fin de determinar ladimensión de este espacio vectorial, es suficiente determinar una base. Sean n curvasρ(i) con i 1, · · · , n, atravesando p y determinadas por(x ρ(i))j xj (p) tδij ,(2.13)lo que nos permite definir n vectores tangentes rotulados por el ı́ndice i, cuyas componentes se identifican por jd(x ρ(i))j δij .dt(2.14)Luego como existen n curvas y el ı́ndice i va generando tantos vectores tangentescomo el valor de n. La dimensión del espacio tangente es igual a la dimensión de lavariedad.2.3.Vectores CotangentesUna vez definida de manera apropiado el espacio tangente Tp (M ) como un espaciovectorial, en el cual, todo elemento vP perteneciente a él, satisfacevp vµ xµ ,P

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos8es posible definir el espacio dual Tp (M ) como el conjunto de todos los funcionaleslinealesw wµ dxµP ,tal que al actuar sobre un vector vp se satisface νµν w vν dxP wµ vµ ,w(v) wµ dx (v) wµ dx v xµ P xµ Pµµdonde dxνP al actuar sobre , xµ P dxse impone la condiciónν xµ δµν .PEsta condición que define al espacio dual Tp (M ) como al espacio cotangente,cuyas bases corresponden a los operadores diferenciales {dxµ }P , permite definir a un Tensor np que transforma bajo difeomorfismos porT T µ1 ···µn2.4.ν1 ···νp µ1 · · · µn dxν1 · · · dxνpFormas DiferencialesSe define una p-forma como un tensorcotangentes definidos por TP (M ) , esto es0p que pertence al p-producto de espaciosTP (M ) · · · TP (M ), {z }P vecestal que sus componentes son completamente antisimétricas. Con el fin de garantizaresto último, resulta conveniente definir el producto cuña pordxµ dxν dxµ dxν dxν dxµ ,definiendo ası́, una p forma diferencial ω porω 1ωµ µ ···µ dxµ1 dxµ2 · · · dxµp .p! 1 2 p

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos9El conjunto de todas las p-formas diferenciales definidas sobre una variedad ndimensional constituye un espacio vectorial denotado por Λp (M ), el cuál es subconjunto del espacio cotangente Λp (M ) Tp (M ). Nótese que su dimensión se relacionacon todas las posibles configuraciones dxµ1 · · · dxµk · · · dxp que pueden realizarse dentro de éste, siendo equivalente a determinar el número de posibilidades deordenar una n-colección de objetos dentro de una p selección sin importar el ordendim(Λp (M )) n!.(n p)!p!(2.15)De (2.15) se infiere que no existen formas diferenciales perteneciente a Λp (M ) tal quep n. Es claro, que si se supone lo contario entonces dxµn 1 pertenecerı́a a Λp (M )y por lo tanto la dimensión del espacio cotangente no serı́a n, en contradiccón a losupuesto. Ası́ para un valor fijo de n, existen n 1 espacios vectoriales Λp (M ), dondep 0, · · · , n. En particular si n 3 se tienen los siguientes casos:(a) dim(Λ0 (M )) 1. Este espacio corresponde al conjunto de todos los escalaresque son generados por la identidad ó 1.(b) dim(Λ1 (M )) 3. Este espacio es constituido por todos los elementos generadospor dx1 , dx2 , dx3 .(c) dim(Λ2 (M )) 3, Para este caso, el espacio es generado por los elementosdx1 dx2 , dx2 dx3 , dx3 dx1 .(d) dim(Λ3 (M )) 1, Finalmente para éste último, todos sus elementos son generados por dx1 dx2 dx3 . Esta base constituye la forma volumen asociada ala variedad M y se denota por Vol(M ) ó Vol(R3 ) para este caso.Es claro verificar que existe una correspondencia asociada a la cardinalidad de losespacios Λp (M ) y Λn p (M ), siendo útil establecer una biyección entre ámbos. Bajoesta perspectiva se define el Dual de Hodge de una p forma diferencial.El duál de Hodge, corresponde a una aplicación : Λp (M ) Λn p (M ) que actúasobre1α αµ1 ···µp dxµ1 · · · dxµp Λp (M ),(2.16)p!

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos10y es definida por α :1αν1 ···νp dxµ1 · · · dxµp .(n p)!(2.17)siendo sus propiedades más importantes:(a) Propiedad involutiva: α α.(b) α α Vol(M ) .Ahora bien una vez definida una p-forma, es necesario definir operaciones queconviertan una forma diferencial en otra forma diferencial. En general se definen tresoperadores: El producto cuña, el operador diferencial y el operador de contracción.2.4.1.Producto CuñaSea α una p forma y β una q forma pertenecientes a Λp (M ) y a Λq (M ) respectivamente, donde la variedad M tiene dimensión d con p q d, definidas por31αµ µ ···µ dxµ1 dxµ2 · · · dxµp ,p! 1 2 p1βν ν ···ν dxν1 dxν2 · · · dxνq .β q! 1 2 qα Se define la p q forma producto cuña por1αµ µ ···µ βν ν ···ν dxµ1 dxµ2 · · · dxµp dxν1 dxν2 · · · dxνq ,p!q! 1 2 p 1 2 q (p q)!1 αµ1 µ2 ···µp βµp 1 µp 2 ···µp q(p q)!p!q!dxµ1 dxµ2 · · · dxµp dxµp 1 dxµp 2 · · · dxµp q .α β siendo posible definir a las componentes de la p 1 forma por(α β)µ1 ···µp q 3(p q)!p qαν1 ν2 ···νp βνp 1 νp 2 ···νp q δµν11···ν···νp q .p!q!De ahora en adelante omitiremos la operación cuña .

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos11Una caracterı́stica que permite este producto es la posibilidad de crear espaciosΛ2 (M ), · · · Λp (M ), · · · a partir de Λ1 (M ), es decir el espacio de las 1 formas diferenciales, sin embargo es necesario imponer un lı́mite a la cantidad de espacios Λp (M )en Λd (M ) puesto que el hecho de suponer la existencia de formas diferenciales mayores a d significarı́a a su vez la existencia de un espacio vectorial de dimensión infinitaincluido en uno de dimensión finita, lo cual corresponde a una contradicción, estotrae consigo una poderosa implicancia asociada a la dimensionalidad que poseen losespacios vectoriales Λp (M ). Las propiedades que satisface el producto cuña se listande la siguiente manera:Si α es una p forma y β una q forma tal que p, q d, entonces α β ( 1)pq β α.Si α, β, γ son p, q, r formas respectivamentes tales que p, q, r d, entoncesα (β γ) α β α γ.2.4.2.Operador Diferencial ó Derivada ExteriorSe define el operador diferencial d como una aplicación que toma una p formaα 1αµ µ ···µ dxµ1 dxµ2 · · · dxµpp! 1 2 py la mapea a una p 1-forma definida pordα 1 ν αµ1 µ2 ···µp dxν dxµ1 dxµ2 · · · dxµp .p!Este operador satisface las siguientes propiedades:(a) Sea α una p forma y β una q forma tal que p, q d, luegod (α β) dα β ( 1)p α dβ.(b) Sea α una p-forma definida sobre una variedad multiplemente conexa, luegod2 α 0.

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos12(c) Se dice que una p-forma β es exacta si y solo si es posible expresarla en términosde un p 1 forma porβ dα.(d) Se dice que una p forma β es cerrada si y solo sidβ 0.De aquı́ es claro observar que todas las formas exactas son cerradas, sin embargoel inverso no es cierto. Aquellas p formas que son cerradas, pero no son exactas,perteneces a una Cohomologı́a denominada Cohomologı́a de De Rham.2.4.3.Operador de ContracciónSe define el operador Iξ de contracción de una p forma, con respecto a un1 vector o un vector contravariante ξ ξ µ µ por la p 1 formaIξ α 1ξ µ αµµ2 ···µp dxµ2 · · · dxµp .(p 1)!Este operador satisface propiedades análogas al operador diferencial:(a) Iξ (α ) Iξ α β ( 1)p α Iξ β.(b) Iξ2 α 0.Una vez definida la derivada exterior el operador de contracción, es posible y útildefinir el operador derivada de Lie asociado a un vector ξ ξ µ µ porLξ [d, Iξ ] dIξ Iξ dsiendo d el operador diferencial e Iξ el operador de contracción, definido sobre unvector contravariante ξ. Bajo esta definición resulta interesante ver que ocurre cuando

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos13actúa sobre una p formaLξ α dIξ α Iξ dα, 11µpµpνµ2νµ1 Iξ, dξ ανµ2 ···µp dx · · · dx ν αµ1 ···µp dx dx · · · dx(p 1)!(p 1)! 11 µ1 ξ v ανµ2 ···µp dxµ1 dxµ2 · · · dxµp ξ ν ν αµ1 ···µp dxµ1 · · · dxµp .p!p! 1ανµ2 ···µp µ1 ξ ν ξ ν µ1 ανµ2 ···µp ξ ν ν αµ1 ···µp dxµ1 · · · dxµp . p!En particular, en presencia de una isometrı́a Lξ α 0, se verificaανµ2 ···µp µ1 ξ ν ξ ν µ1 ανµ2 ···µp ξ ν ν αµ1 ···µp 0definiéndose ası́ un conjunto de vectores contravariantes, los cuales forman un álgebrabajo el conmutador. Ası́ es posible postular un álgebra de Lie.2.5.2.5.1.Grupos de LieDefinicionesUn grupo de Lie corresponde a una variedad de Haussdorf G y a un producto ·que satisface las propiedades de un grupoAsociatividad:Para cada elemento g, h, l G,Existencia Elemento Neutro:elemento g G se satisface(g · h) · l g · (h · l)Existe un elemento 1 G, tal que para cadag·1 1·g gExistencia Elemento Inverso:Para cada elemento g G , existe un ele 1 1mento g G tal queg · g g 1 · g 1Debido a que G es una variedad, para cada elemento g es posible definir Tg (G)siendo éste espacio vectorial el álgebra G asociada a G. En particular, considerandoque 1 G, resulta útil definir la base de este espacio vectorial. Para ello seag 1 δg 11(δg)2 (δg)3 · · ·2!3!

Capı́tulo 2. Preliminares Matemáticos14con δg δg A TA , siendo TA la base asociada al espacio vectorial T1 (G). Luego considerando que para todo grupo G existe un elemento γ tal que para todo α, β Gαβα 1 γβes posible despejar γ porγ αβ (βα) 1 .Nótese que si el grupo es abeliano, entonces γ 1, donde 1 G es el elementoidentidad. Expandiendo α y β hasta segundo orden1α 1 δαA TA δαA δαB TA TB21 A BAβ 1 δβ TA δβ δβ TA TB2es posible escribirγ 1 δαA δβ B [TA , TB ]definiéndose el conmutador de Lie por[TA , TB ] TA TB TB TA ,de esta forma, al considerar que γ G es necesario imponer que para cada valor deA y B, debe existir un TC para el cuál sea proporcional a [TA , TB ] . Estas constantesde proporcionalidad se denominan constantes de estructura y satisfacen[TA , TB ] CABC TC .(2.18)La ecuación (2.18) define un conjunto de vectores base pertenecientes a T1 (G) quesatisfacen un producto bajo el anticonmutador, dichos elementos se denominan generadores y el conjunto de ellos constituye un álgebra de Lie. Finalmente conociendouna realización ó representación para TA es posible escribir cada elemento de ungrupo de Lie, porAg eθ TA .(2.19)

Capı́tulo 3Grupo de Poincaré GeneralizadoB4En este capı́tulo detallaremos las principales caracterı́sticas del grupo B4 , cuyaálgebra asociada B4 se construye mediante el formalismo de la S-expansión [6] usando(2)el semigrupo abeliano resonante SE [5]. Esta álgebra coincide con la llamada álgebrade Maxwell [1–4], cuya realización dinámica en el espacio homogeneo B4 /Lorentzdescribe la acción de un campo electromagnético constante sobre una partı́cula librerelativista.3.1.Definición de B4Consideremos un espacio homogeneo B4 /Lorentz, siendo B4 el grupo de Poincaré generalizado el cual contiene el grupo de Lorentz. Dicho espacio caracteriza acada punto, por un conjunto de coordenadas (x, φ), las cuales transforman bajo dostipos de transformaciones: (pseudo-) traslaciones y transformaciones de Lorentz 1 . 1 ρ σσ ρρσµµρσ(a, )(x, φ) (x a, φ x a ) x a , φ (x a x a ) ,2(3.1) Λ(x, φ) (Λx, Λφ) Λµ ν xν , Λµ γ Λµ τ φγτ .(3.2)1En este capı́tulo usaremos la operación en un sentido unı́voco a (3.1)15

Capı́tulo 3. Grupo de Poincaré Generalizado B416Luego componiendo las traslaciones con las transformaciones de Lorentz(x0 , φ0 ) (Λx a, Λφ Λx a ) .se construye la siguiente transformación general para cada coordenadax0µ Λµ xν aµ ,φ0ρσ Λµ γ Λν τ φγτ (3.3) 1 ρ γ σ(Λ γ x )a (Λσ τ xτ )aρ ρσ .2(3.4)La composición de dos transformaciones consecutivas vienen dadas porx00µ Λµ2 ν x0ν aµ2 , Λµ ν Λν γ xγ Λµ ν aν1 aµ2(3.5)hi1(Λ2 Λ1 )ρ µ xµ Λσ2 τ aτ1 (Λ2 Λ1 )σ ν xν Λρ2 γ aγ1 ,φ00ρσ (Λ2 Λ1 )ρσ µν φµν 21hρσγτ Λ2 γτ 1 (Λ2 Λ1 )ρ µ xµ aσ2 Λρ2 γ aγ1 aσ2 (Λ2 Λ1 )ρ µ xν aρ2(3.6)2 Λρ2 τ aτ1 aρ2 ] ρσ2 ,1 (Λ2 Λ1 )ρσ µν φµν [(Λ2 Λ1 x)ρ (Λ2 a1 a2 )σ (Λ2 Λ1 x)σ (Λ2 a1 a2 )ρ ] ,21 [(Λ2 a1 )ρ aσ2 (Λ2 a1 )σ aρ2 ] (Λ2 1 )γτ ρσ(3.7)2 .2Escribiendo un elemento de B4 por (Λ, a, ), y compararando (3.5), (3.7) con (3.3)y (3.4) respectivamente, es posible escribir el siguiente elemento producto para loselementos del grupo(Λ2 , a2 , 2 ) · (Λ1 , a1 , 1 ) (Λ2 Λ1 , Λ2 a1 a2 , (Λ2 a1 ) a2 Λ2 1 2 ).(3.8)Identificando al elemento identidad por (1, 0, 0) y el elemento inverso de (Λ, a, ) por(Λ, a, ) (Λ 1 , Λ 1 a, Λ 1 )(3.9)Se puede ver que B4 constituye un producto directo entre las dos traslaciones y elgrupo de Lorentz. Nótese además que las traslaciones en xµ no conmutan a diferencia

Capı́tulo 3. Grupo de Poincaré Generalizado B417de aquellas definidas para que sı́ lo hacen, lo que tiene consecuencias fı́sicas quese discutirán más adelante. Finalmente cabe señalar que al igual que en el grupo deLorentz, B4 se descompone en cuatro piezas que pueden ser identificadas por det Λy Λµ ν i.e B4 , B4 , , B4 , B4 .(3.10) Ahora bien, si nos restringimos en la componente B4 es posible determinar el álgebrade Lie asociada al grupo completo usando (3.8). En particular, considerando una representación fiel de B4 (Λ, a, ) g(Λ, a, )(3.11)definida por iig(Λ, a, ) exp 1 ωρσ J ρσ iaµ P µ ρσ Z ρσ22 (3.12)tal queg(Λ2 , a2 , 2 )g(Λ1 , a1 , 1 ) g(Λ2 Λ1 , Λ2 a1 a2 , (Λ2 a1 ) a2 Λ2 1 2 )(3.13)yg 1 (Λ, a, ) g(Λ 1 , Λ 1 a, Λ 1 )(3.14)es posible obtener las relaciones de conmutación entre los diferentes generadoresdefinidos en (3.12).3.2.Álgebra de Poincaré Generalizada B4Consideremos la siguiente composición de factores, usando para ello (3.8)g 1 (Λ, 0, 0)g(Λ0 , a0 , 0 1 , 0, 0)g(Λ0 Λ, a0 , 0 ) g(Λ 1 Λ0 1 a0 1 0 ).(3.15)

Capı́tulo 3. Grupo de Poincaré Generalizado B418Desarrollando infinitesimalmente g(Λ0 , a0 , 0 ) en el lado izquierdo de (3.15) i 0 ρσi 0 ρσ0µg(Λ, 0, 0)g (Λ, 0, 0) 1 ωρσ J iaµ P ρσ Z22i 0 1g (Λ, 0, 0)J ρσ g(Λ, 0, 0) ia0µ g 1 (Λ, 0, 0)P µ g(Λ, 0, 0) 1 ωρσ2i 0 1 ρσ g (Λ, 0, 0)Z ρσ g(Λ, 0, 0),2 1 (3.16)desarrollando infinitesimalmente el lado derecho de (3.15)g(Λ 1 Λ0 1 a0 1 0 )ii 1 (Λ 1 ω 0 Λ)ρσ J ρσ i(Λ 1 a0 )µ P µ (Λ 1 0 )ρσ Z ρσ22 i 1 µ 0 ν ρσi 1 µ v 0 ρσν 1 Λ ρ ωµν Λ σ J i Λ 1 µ a0ν P µ ΛΛ σ µν Zρ22ii 0 ρ σ µνΛ µ Λ ν J ia0µ Λµ ν P ν 0ρσ Λρ µ Λσ ν Z µν ,(3.17) 1 ωρσ22igualando el lado izquierdo (3.16) con el derecho se satisfaceg 1 (Λ, 0, 0)J ρσ g(Λ, 0, 0) Λρ µ Λσ ν J µν ,(3.18)g 1 (Λ, 0, 0)P µ g(Λ, 0, 0) Λµ ν P ν ,(3.19)g 1 (Λ, 0, 0)Z ρσ g(Λ, 0, 0) Λρ µ Λσ ν Z µν .(3.20)Expandiendo el lado izquierdo y derecho de (3.18), (3.19) y (3.20), considerando queΛµ ν δνµ ωνµ(3.21)obtenemos las siguientes relaciones de conmutación [J αβ , J ρσ ] i η ρα J βσ η ρβ J ασ η σβ J αρ η σα J βρ , [J αβ , P µ ] i η µα P β η µβ P α , [J αβ , Z ρσ ] i η ρα Z βσ η ρβ Z ασ η σβ Z αρ η σα Z βρ .(3.22)(3.23)(3.24)

Capı́tulo 3. Grupo de Poincaré Generalizado B419Consideremos ahora la siguiente composición de factoresg 1 (1, a, 0)g(Λ0 , a0 , 0 )g(1, a, 0), g(1, a, 0)g(Λ0 , Λ0 a a0 , (Λ0 a) a0 0 ) g (Λ0 , Λ0 a a0 a, (Λ0 a a0 ) ( a) (Λ0 a) a0 0 ) .(3.25)Fijando Λ0 en la identidadg 1 (1, a, 0)g(1, a0 , 0 )g(1, 0, 0) g(1, a0 , 2a a0 0 )(3.26)Expandiendo análogamente a (3.16) y (3.17), el lado izquierdo (3.26)g 1 (1, a, 0)g(1, a0 , 0 )g(1, 0, 0)i 1 ia0ν g 1 (1, a,

Comisi on: Dr. Patricio Salgado Arias Dr. Julio Oliva Zapata Dr. Luis Roa Oppliger ii. Agradecimientos En primer lugar me gustar a agradecer el apoyo que me ha brindado mi familia, en especial a mi madre, mi hermano y mi abuela, por su amor incondicional a lo largo de esta gran traves