ELECTROMAGNETISMO PatricioCorderoS.
ELECTROMAGNETISMOPatricio Cordero S.Departamento de Fı́sicaFacultad de Ciencias Fı́sicas y MatemáticasUniversidad de Chile
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Índice general1. Electrostática y aislantes111.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Campo eléctrico de fuentes compuestas.Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1. Algoritmo para integrar la ecuación de Poisson . . . . . . 211.5. Dipolo eléctrico y expansión multipolar . . . . . . . . . . . . . . 221.5.1. Expansión multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6. Generalidades sobre dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7. Medios polarizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8. Desplazamiento eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.9. Dieléctricos lineales, isótroposy comúnmente homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382. Electrostática y conductores412.1. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.2. Ejemplo ilustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.3.Otro ejemplo: un condensador . . . . . . . . . . . . . . 453
4Patricio Cordero S.versión 20142.1.4. Ecuación de Poisson. Unicidad de la solución . . . . . . . 452.1.5. Ejemplo sobre continuidad del potencial . . . . . . . . . . 472.2. Energı́a electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.1. Energı́a como función de cargas y potenciales . . . . . . . 482.2.2. Energı́a como función de los campos . . . . . . . . . . . 492.3. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4. Energı́a y fuerzas entre conductores cargados . . . . . . . . . . . 552.5. Integración numérica de la ecuación de Poisson . . . . . . . . . . 582.5.1. Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.2. Dimensiones mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613. Corrientes continuas653.1. Generalidades sobre corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2. Corrientes continuas y ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.1. Primera ley de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.2.1. Argumento intuitivo sobre conductividad eléctrica. 703.2.2.2. Visión microscópica de la corriente . . . . . . . 733.2.3. La ecuaciones y sus condiciones de borde. . . . . . . . 743.2.3.1. Ecuaciones que rigen el flujo continuo . . . . . 743.2.3.2. Condiciones de borde en la interfaz entre dosmedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.4. Las dos leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3. Fuerza electromotriz y efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.1. La fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.2. Potencia y efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814. MagnetostáticaÍNDICE GENERAL85Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Electromagnetismo54.1. Corrientes y campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.1. Anticipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.2. Dos nuevas leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.3. Campo magnético debido a una corriente . . . . . . . . . 864.1.4. Efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2. Potencial vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2.1. Definición usando J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 y potencial vectorial a partir de K . . . . . . . 924.2.2. Campo B4.2.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3. Ley circuital de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4. Fuerza y torque magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.4.1. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.4.2. Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5. Una partı́cula en un campo magnético uniforme. . . . . . . . . 1004.6. Dipolos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045. Propiedades magnéticas de la materia105 M . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1. Magnetización y el potencial A5.1.1. El campo magnético de la materia . . . . . . . . . . . . 1085.1.2. El campo magnético total . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2. Nuevamente la ley circuital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3.1. Refracción del campo magnético . . . . . . . . . . . . . 1135.4. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.5. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.6. Circuitos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.6.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.6.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6.3. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Universidad de ChileEscuela de Ingenierı́a y Ciencias
6Patricio Cordero S.versión 20145.6.4. Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206. Inducción1216.1. Ley de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.1.1. La fem inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.1.2. El caso de una bobina ideal con corriente variable . . . . 1236.1.3. Sobre relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.1.4. Campos y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.1.5. Ejemplo básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.1.6. Otros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.1.7. Circuitos con otros elementos . . . . . . . . . . . . . . . 1316.1.8. Diferencias de potencial no definibles . . . . . . . . . . . 1336.1.9. En la práctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.2.1. Circuito LC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.2.2. Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3. Inducción mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.3.1. Los coeficientes de inducción . . . . . . . . . . . . . . . 1396.3.2. Ejemplo básico de inducción mutua . . . . . . . . . . . . 1406.3.3. Coeficiente de acoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3.4. Un transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3.5. La “caı́da de potencial ” en una inductancia. . . . . . . 1436.3.6. Dos circuitos LC acoplados por M . . . . . . . . . . . . 1446.4. Potencia y energı́a magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.4.1. Energı́a en términos de los coeficientes Mkj . . . . . . . . 1456.4.1.1. Pequeña analogı́a con mecánica . . . . . . . . . 1456.4.1.2. Potencia y energı́a en el caso más sencillo . . . 1456.4.1.3. Potencia y energı́a en el caso general . . . . . . 1466.4.2. La energı́a expresada con los campos . . . . . . . . . . . 147ÍNDICE GENERALFacultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Electromagnetismo76.5. La corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.6. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.6.1. Las ecuaciones en materia y en vacı́o . . . . . . . . . . . 1496.6.2. La nueva ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.6.3. Disipación y ecuación de continuidad para la densidad deenergı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.6.3.1. Energı́a electromagnética . . . . . . . . . . . . 1516.6.3.2. Ecuación de continuidad para la densidad deenergı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.7. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547. Ecuaciones de Maxwell y ondas1577.1. Ecuaciones de Maxwell y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.2.1. Condiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.2.2. El caso de campos con frecuencia ω . . . . . . . . . . . . 1597.3. Ondas electromagnéticas en medios neutros . . . . . . . . . . . . 1607.3.1. La ecuación de onda en un medio neutro . . . . . . . . . 1607.3.2. La onda ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.3.3. Longitud de penetración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.4. Ondas planas en medios aislantes y neutros . . . . . . . . . . . . 1677.4.1. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.4.2. Energı́a y flujo de ella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.5. Reflexión y refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.5.1. Ondas planas y ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.5.2. Reflexión total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.5.3. Conservación de la energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.5.4. Revisión de las condiciones de borde . . . . . . . . . . . 1737.5.4.1. Caso p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Universidad de ChileEscuela de Ingenierı́a y Ciencias
7.5.4.2. Caso p especial: refracción total . . . . . . . . . 1767.5.4.3. Caso s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5.5. Reflexión total en superficie conductora perfecta . . . . . 1777.5.5.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178A. Operadores diferenciales, teoremas integrales y condiciones deborde en electromagnetismo179A.1. Los conceptos de gradiente, divergencia y rotor . . . . . . . . . . 179A.1.1. Coordenadas cilı́ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182A.1.2. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182A.1.3. Elementos de superficie y volumen . . . . . . . . . . . . 183A.2. Los operadores en coordenadas curvilı́neas . . . . . . . . . . . 184A.3. Expresiones útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.4. Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.4.1. Teorema de Kelvin-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.4.2. Teorema de Ostrogradsky–Gauss . . . . . . . . . . . . . 185A.5. Condiciones de borde en electromagnetismo . . . . . . . . . . . . 1858
ergı́apotenciası́mboloPdimensionesunidadℓtMM ℓ2 t 2M ℓ2 t 3metrosegundokilogramoJoulewattmsKJw J/s4444444444444magnitudsı́mbolocargapotencial eléctricocpo. eléctricocte. dieléctricacpo. de desplazamientocapacidadresistenciacorriente eléctricadensidad de corrienteconductividadcpo. magnéticopot. magnéticointensidad magnéticapermeabilidad magnéticamagnetizaciónflujo magnéticoreluctanciainductanciaq, e, QV Eε DCRIJ g B A HµMΦRLdimensiones M ℓ3/2 2 M ℓ 2tM ℓtt 2 ℓ 2M ℓ 3/22 1t ℓℓ/t t 1 M ℓ 1M t ℓ 3/2tpℓ 2t 1 M/ℓ 1pM ℓ t 1M/ℓ t1pt 1 M/ℓ3/2M ℓ t metro2faradohmampèreampère/metro2teslatesla mpère/weberhenryC A sVV/mF/mC/m2F C/VΩ V/AAA/m21/(mΩ)T Wb/m2A/mH/mA/mWbA/WbHAlgunas de las cantidades importantes y sus unidades. Se puede tomar como unidadesindependientes de tiempo el segundo [s], de longitud el metro [m], de corriente elampère [A] y de potencial el volt, [V]. Ası́ entonces, por ejemplo, el ohm no es unaunidad independiente sino que Ω V/A.
10Patricio Cordero S.versión 2014Pequeña cronologı́a1767 — Joseph Priestley propone quela ley de fuerza entre cargas es del tipo1/r2 . No presenta evidencias.1785 — Charles Coulomb muestra experimentalmente que la fuerza entrecargas puntuales Q1 y Q2 es propor2cional a Q1rQ.21786 — Luigi Galvani descubre procesos quı́micos que producen electricidad(base para nuestras pilas modernas);creı́a que ellos estaban ligados a seresvivos.1800 — Alessandro Volta inventa yconstruye la primera pila.1831 — Michael Faraday, entre sus innumerables estudios experimentales establece la ley de inducción; crea el concepto de lı́neas de fuerza.1833 — Heinrich Lenz afirma que lacorriente inducida en un circuito cerrado tendrá el sentido que que impliqueque su efecto se oponga al cambio quecausó la aparición de la corriente inducida (“ley de Lenz”).1842 — William Thomson (Lord Kelvin) basándose en las ideas de Fourierlogra establecer la ley de continuidadque implica la conservación de la cargaeléctrica.1801 — Thomas Young demuestra quela luz es de naturaleza ondulatoria. Sugiere que la luz consiste de ondas trasversales del eter.1845 — Gustav Kirchhoff estableció laconservación de la energı́a y la carga encircuitos eléctricos.1817 — Augustin-Jean Fresnel afirmaque el eter es arrastrado por materia enmovimiento.1849 — Hippolyte Fizeau y JeanBernard Foucault miden que la velocidad de la luz es aproximadamente298000 km/s.1820 — Hans Christian Ørsted descubre que el paso de una corriente por unalambre desvı́a una brújula cercana; corriente eléctrica crea campo magnético.1864 — James Clerk Maxwell presentalas ecuaciones que describen la dinámica de los campos electromagnéticos.1825 — André-Marie Ampère: este añose publican sus memorias; se dice queinauguró el estudio de electrodinámica.1873 — James Clerk Maxwell demuestra que la luz es un fenómeno electromagnético.1827 — Georg Simon Ohm establecela ley de resistencia eléctrica.1881 — Albert Abraham Michelson comienza una serie de experimentos paradeterminar el arrastre del eter.1827 — George Green introduce el concepto de potencial eléctrico e introduce lo que se conoce como teorema deGreen.ÍNDICE GENERAL1887 — Heinrich Hertz demuestra experimentalmente la existencia de ondaselectromagnéticas.Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Capı́tulo 1Electrostática y aislantes1.1.Ley de CoulombDos cargas puntuales q y Q se ejercen fuerzas (de Coulomb) de igual magnitudy signo contrario. La fuerza de Coulomb que actúa sobre una carga puntual q en r debido a la presencia de una carga puntual Q en r ′ es,q Q r r ′F q 4πε0 k r r ′ k3qr r’Q(1.1.1)Fqrr’OFigura 1.1: La fuerza sobre la carga puntual q debido a la presencia de una carga puntualQ es colineal al vector de posición relativa.11
12Patricio Cordero S.versión 2014La constante ε0 en el sistema internacional de unidades, SI (o MKS), esε0 1074πc2 8, 854187817 · 10hmic 299792458s 12 faradmetro (1.1.2)donde c es la velocidad de la luz.Toda carga eléctrica es un múltiplo enteroCharles Augustin de Coulomb es uno dede la carga del protón (o menos la carga los grandes cientı́ficos europeos del sidel electrón):glo XVIII. Publicó importantes trabajosqe 1, 60217733 · 10 19 [C].en diversas áreas, tales como problemas(1.1.3) de estática relativos a la arquitectura, re-La fuerza de Coulomb es muchı́simo másfuerte que la fuerza gravitacional. El cuociente entre la fuerza de repulsión eléctricay atracción gravitacional entre dos protones colocados a cualquier distancia essistencia de materiales, la mejor manerade fabricar agujas imantadas, balanza detorsión, leyes de electrostática, teorı́a demáquinas simples teniendo en cuenta elroce de sus partes. En 1785—muy poco antes de que comenzara la revoluciónfrancesa—presentó a la Academia Real deCiencias tres memorias estableciendo lasleyes de atracción y repulsión de cargaseléctricas.qe2 /4πε0 1036(1.1.4)Gm2Pviéndose de inmediato la importancia despreciable de los efectos gravitacionalesen el estudio de las interacciones a nivel molecular.El campo eléctrico que produce, en un punto r, una carga eléctrica Q puntualubicada en rQ : r ) Q r rQE( (1.1.5)4πε0 k r rQ k3La definición anterior es tal que la fuerza que actúa sobre una carga puntual qen r es r)F q q E( (1.1.6)Esta definición no depende de la elección del origen O ya que depende de posiciones relativas, 1 ver la figura 1.1. si enPara convencerse de esto considere la forma como cambiarı́a la expresión para E′lugar de O se usa como origen un punto O con posición a con respecto a O.11.1. LEY DE COULOMBFacultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Electromagnetismo13La expresión (1.1.5) para el campo asociado a una carga puntual q contiene losvectores r y rq , los cuales dependen del origen O escogido.Para expresar el mismo campo utilizando un origen O′ se debe usar los nuevosvectores r ′ y rQ ′ que se relacionan con los anteriores por r a r ′ y rQ a rQ ′ donde a O O ′ . Al hacer estos reemplazos en (1.1.5) se preserva la forma delcampo, pero ahora en términos de los vectores posición relativas al nuevo origen.En fı́sica se habla de partı́culas como objetos puntuales con masa y,a veces también, con carga eléctrica. Desde el siglo XIX se ha vistola necesidad de incluir además la noción de campo que es un objetofı́sico definido continuamente en el espacio. En electromagnetismo r , t) y el campo magnético B( r , t).se estudia el campo eléctrico E( Ambos son campos vectoriales. Los campos no son meros artificiosteóricos: tienen energı́a, se pueden propagar en forma ondulatoria ytambién acarrean momentum.1.2.Campo eléctrico de fuentes compuestas.Principio de superposiciónSi se tiene N partı́culas puntuales cargadas, de carga qk con (k 1, 2, .N)ubicadas en puntos definidos por los vectores posición rk , cada una de ellasproduce, en todo punto r, un campo y el campo total es la suma de los camposcausados por cada carga,X r rk r) 1qk(1.2.1)E( 4πε0 kk r rk k3Este es el principio de superposición de los campos eléctricos : el campo total esla suma vectorial de todos los campos que se tenga.Lo anterior se generaliza al caso en que se tiene distribuciones continuas decargas. Si las cargas están distribuidas continuamente en un volumen, se hablade una densidad volumétrica ρ( r ) de carga. Si están distribuidas en una superficese tiene una densidad superficial σ( r ) de carga o, por último, hay una densidadλ( r ) en el caso de una distribución lineal o filiforme .En cada uno de estos casos se puede hablar del elemento dq( r ) de carga asociadoal punto r de la distribución continua. El campo producido por una distribuciónUniversidad de ChileEscuela de Ingenierı́a y Ciencias
14Patricio Cordero S.r2 rkversión 2014rNrr’r1rFigura 1.2: A la izquierda el campo debido a muchas cargas es la simple suma vectorial r ) debido a una distribuciónde los campos que cada una provoca. A la derecha el campo E( continua de carga (recorrida por r ′ ), el que se calcula usando (1.2.2).continua se puede escribir en la formaZ r r ′1 dq( r ′ )E( r ) 4πε0k r r ′ k3(1.2.2)donde, según sea el caso,dq λ( r ′ ) dr ′,dq σ( r ′ ) dS ′,dq ρ( r ′ ) dV ′(lı́nea)(superficie)(volumen)(1.2.3)Una fuente puede constar simultáneamente de un conjunto de cargas discretaspuntuales, que obligan a escribir parte del campo como una suma discreta, másuna serie de distribuciones continuas de distintas dimensiones (d 1, 2, 3) lo queagrega una integral del tipo (1.2.2) por cada una de ellas.Ejercicio 1.2-1. Demostrar que el campo producido por un hilo recto e infinito condensidad uniforme λ0 y a distancia ρ de él se escribe, en coordenadas cilı́ndricas, como r ) λ0 ρ̂ .E( 2πε0 ρ(1.2.4)Ejercicio 1.2-2. Demostrar que el campo que produce un disco de radio R, con densidadde carga uniforme σ0 en un punto de su eje es, r ) σ0E( 2ε01.2. CAMPO ELE
conductividad g tℓ 2 1/(mΩ) cpo. magn etico B p M/ℓt 1 tesla T Wb/m2 pot. magn etico A M ℓt 1 tesla metro intensidad magn etica H p M/ℓt 1 amp ere/metro A/m permeabilidad magn etica µ 1 henry/metro H/m magnetizacio n M p M/ℓt 1 amp ere/metro A/m flujo magn etico Φ M ℓ3/2 t 1 weber Wb reluctancia R .
1º – Desarrolle los conceptos básicos de electromagnetismo: Flujo magn. – Inducción – Fuerza magnetomotriz e Intensidad de campo (concepto, fórmulas y unidades). 2 - Explique los principios básicos del electromagnetismo a partir de Faraday, Lenz y Foucault. 3º – Resolver: En la figura se muestran las
libre de rotar que, por efecto del campo magn etico de la Tierra, se orienta en la direcci on norte-sur. Universidad de Chile Escuela de Ingenier ıa y Ciencias
1 Ley de Coulomb y Distribuciones Discretas de Cargas I.Problemas Propuestos Problema1.1! S SupongaqueenlugardelaLeydeCoulomb,unohubiera encontrado experimentalmente .
programa: licenciatura en ciencias naturales y educaciÓn ambiental 1. identificaciÓn del curso nombre del curso: electromagnetismo y Óptica cÓdigo: beedcn62 no. de crÉditos acadÉmicos: 3 horas semanales: 5 requisitos: termodinÁmica area del conocimiento: fÍsica unidad acadÉmica responsable del diseÑo
para la ciencia. En el a rea de la f ısica, en particular en la rama del electromagnetismo, las ecuaciones de Maxwell han sido tema de investigacio n en base al desarrollo de me todos computacionales y sus aplicaciones en campos como la
Í n d i c e constituciÓn de la materia:el electrÓn 4-5 circuito elÉctrico 6 unidades elÉctricas 7 ley de ohm 8 potencia elÉctrica 9 corriente continua y alterna 10 definiciÓn de formas de onda 11-13 la baterÍa 14-15 electromagnetismo 16-19 el alternador 20-21 circuito en serie y en paralelo 22-23 comunicaciÓn a travÉs d
reconocer que referencialmente el curso de Física en nuestro país se encuentra distante del que se desarrolla en otras latitudes. En el Perú, nuestro curso está bastante abandonado, realidad . Fluidos, Calor, Electricidad, Optica, Electromagnetismo. Oscilaciones. Finalmente, debo señalar que muchos de estos problemas pueden ser .
Carlo Domeniconi Doppelkonzert für Saz, Gitarre und Orchester Edition ex tempore, Berlin op. 29 I. Introduzione q 112 (3 3 2) (3 3 2) (2 2 2 3) (2 2 2 3) 5 Flauto 1 Flauto 2 Oboe Corno inglese Fagotto Saz Chitarra Violino 1 Violino 2 Viola Violoncello Contrabasso .
