Problemas Propuestos Y Resueltos De Electromagnetismo
Problemas Propuestos y Resueltosde Electromagnetismon̂ — · D r — · B 0q0 — E B tRodrigo Chi Duránemail: rchi@ing.uchile.clVersión α 1.2 - Marzo 2016 — H J D t
Índice generalIElectrostática1. Ley de Coulomb y Distribuciones Discretas de Cargas13I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52. Distribuciones Continuas de Carga7I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123. Ley de Gauss25I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294. Conductores, Condensadores y Energía35I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415. Ecuación de Laplace/Poisson y Método de las Imágenes57I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623
46. Dipolo EléctricoII79I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81Corriente Eléctrica7. Medios Conductores y Ecuación de Continuidad8789I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .948. Circuitos Eléctricos99I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102III99Magnetostática1059. Ley de Biot-Savart107I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.Fuerza de Lorentz113I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11711.Ley de Ampère119I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
512.Potencial Vectorial y Momento Magnético127I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131IVCampos Electromagnéticos Variantes en el Tiempo13.Ley de Faraday-Lenz137139I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14314.Inductancia y Energía Magnética147I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15215.Corriente Alterna159I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16416.Leyes de Maxwell y Ondas Electromagnéticas167I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171VCampos Electromagnéticos en Medios Materiales17.Campo Eléctrico en Medios Materiales175177I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
618.Campo Magnético en Medios MaterialesVI191I.Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191II.Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Respuestas19.Respuestas199201
iPrólogoEl Electromagnetismo es posiblemente una de las ramas más bonitas de las física, la cual tiene muchasaplicaciones cotidianas de las cuales no nos damos cuenta: prender la luz, llamar por celular o usarel computador. El estudio de esta área en el último siglo ha provocado un avance considerable en latecnología y nos entregan un mayor bienestar diariamente.El apunte aquí presente, nace como una recopilación de problemas propuestos y resueltos durante eltiempo que he sido Profesor Auxiliar en la Universidad de Chile y mi breve paso por la Universidadde los Andes. La mayoría de los problemas disponibles han sido extraídos de evaluaciones (controles,ejercicios, tareas, etc) y de guías de problemas propuestos que elaboré para que mis alumnos estudiaran. Aclaro que la mayoría de los problemas presentes no son de mi autoría sino de los profesores conlos que he trabajado y de algunos libros de la bibliografía.Mi principal objetivo con este apunte es entregar un buen material de estudio para las personas quenecesiten estudiar y/o que simplemente quieran aprender. Además, el hecho de reunir el materialque confeccioné durante varios semestres en un solo lugar hace que el trabajo sea mucho más útil yduradero para las personas que quieran utilizarlo.Este compilado posee dos tipos de problemas: algunos con su solución completa y otros que solamenteposeen su respuesta final. Como siempre es recomendado, es importante que al momento de usar esteapunte se den el tiempo de pensar el problema antes de mirar su solución (si es que la posee). Un rolactivo en la resolución de problemas les traerá muy buenos resultados durante este curso.He querido ser detallista en la selección de problemas, de modo que en la mayoría de los capítulos heintentado plasmar un espectro representativo de los de problemas que suelen ser preguntados en laFCFM (aunque hay profesores que su ingenio siempre puede más).Dado lo reciente de esta recopilación, probablemente existan errores de los cuales han pasado desapercibidos. Les pido por favor a los estudiantes que los encuentren que me los notifiquen, así ganaránbuen karma y otros futuros estudiantes se los agradecerán .Finalmente, quiero agradecer a las personas que han hecho posible realizar este proyecto, a los profesores Pablo Zegers, Daniel Escaff, Simón Casassus, Carlos Cartes, Takeshi Asahi, Matías Montesinosy en particular, a Marcel Clerc y Claudio Romero. También a mis compañeros auxiliares que aportaroncon problemas y soluciones: Susana Márquez y Luis Mateluna.¡Mucho Éxito!
iiNotas sobre la Versión α 1.2La presente versión cuenta con 18 capítulos, donde existen 201 problemas propuestos de loscuales 86 tienen solución.Los problemas tienen una simbología de acuerdo a su dificultad: significa que un problema es sencillo y debería ser resuelto en forma rápida. significa que el problema intermedio y requiere un mayor análisis o trabajo algebraico. significa que es un problema difícil, que requiere un análisis prolongado.Todos los problemas del apunte cuentan con su respectiva respuesta al final del documento. Sepuede llegar fácilmente a su respuesta presionando el símbolo X .En el enunciado de cada problema se detalla si este tiene solución mediante el símbolo S . Sise presiona el símbolo se puede llegar rápidamente a su solución.He dejado el capítulo de Campo Eléctrico/Magnético en Medios Materiales al final del apunte,ya que siempre me ha gustado más esa forma de ver los contenidos del curso.
Parte IElectrostática1
1Ley de Coulomb y Distribuciones Discretas deCargasI.Problemas PropuestosProblema 1.1X SSuponga que en lugar de la Ley de Coulomb, uno hubieraencontrado experimentalmente que la fuerza entre doscargas puntales fuerap(1 α r2 r1 )qq12( r2 r1 )F 12 4π 0 r2 r1 3q2donde α es una constante.a) Escriba el campo eléctrico a una carga puntual.Coloque el origen de coordenadas en la carga puntual.b) Elija una trayectoria cerrada alrededor de la carga Compare el resultado · dl.y calcule la integral Eobtenido con la Ley de Coulomb.‚ sobre · dSEc) Encuentre en valor de la integraluna superficie esférica centrada en la carga. Compare el resultado obtenido con la Ley de Coulomb. F21 r2q1 r1 F12OeProblema 1.2X SEn los vértices de un triángulo equilátero de lado L sehan situado tres cargas negativas e. Si en el centro degravedad del triángulo se sitúa una carga de magnitudQ, determine el valor que debe poseer esa carga paramantener el sistema en equilibrio.LLQeLe3
4CAPÍTULO 1. LEY DE COULOMB Y DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE CARGASProblema 1.3XzOcho partículas puntuales con carga q están ubicadas enlos vértices de un cubo de lado a como se muestra enla figura. Llamaremos P al punto ubicado en el centrode la cara del cubo que yace sobre el plano y a (verfigura).aa) Determine el campo eléctrico producido en el punto P por las cuatro cargas que se ubican en y a.b) Encuentre el campo eléctrico en P producido porla carga ubicada en el origen.Pyaaxc) Calcule el campo eléctrico total en el punto P . qProblema 1.4XConsidere seis cargas puntuales ubicadas en los vérticesde un hexágono regular de lado a. Existen tres cargaspositivas q y tres cargas negativas q distribuidas comose muestra en la figura. Determine el campo eléctrico yel potencial eléctrico en el centro de hexágono.q qyaxq qqProblema 1.5XDos cargas puntuales positivas q están separadas poruna distancia 2a. Por el punto medio del segmento quelas une se traza un plano perpendicular al mismo. Ellugar de los puntos en que la fuerza sobre una carga deprueba situada en el plano es máxima es, por razón desimetría, una circunferencia. Encuentre su radio.Problema 1.6 qaPlano Divisora qXLa cohesión en los cristales iónicos se debe a las fuerzaseléctricas de atracción entre los iones positivos y negativos. Considere un modelo unidimensional de un cristalde Cloruro de Sodio (NaCl) que consiste en una línearecta infinita en que están colocados los iones, alternándose los iones positivos de Na y los iones negativos deCl. La distancia entre iones vecinos es a. Los iones positivos tienen carga e y los iones negativos e. Calculela energía que hay que entregarle a un ion positivo deNa para sacarlo de su lugar y llevarlo a una distanciamuy grande respecto a a.NaaClNaClNaCl
II. SOLUCIONESII.5SolucionesSolución 1.1P Xa) Colocando la carga q1 en el origen se obtiene r1 0. Luego llamando q1 q y recordando que se puede obtener queF q2 E,pp(1 (1 α r )α r2 )qqq22 F ··r 2 E r234π 0 r2 4π 0 r2 3Como la dirección de la fuerza y el campo es radial podemos decir que r2 rr̂. Finalmente (1 αr)q ·r̂E 4π 0r2b) Basta tomar una trayectoria cerrada Γ, por ejemplo, una circunferencia de radio R alrededor dela carga. En ese caso se tiene que la curva queda parametrizada como: Γ · d l Eˆ2π · Rdθθ̂ 0 E r̂0Para el caso de la ley de Coulomb se tiene que el campo es siempre conservativo, es decir · d l 0 para cualquier camino cerrado Γ. Se concluye que la ley 0, por lo cual EEΓde Coulomb y la ley encontrada experimentalmente entregan el mismo resultado.c) Para este caso hay que calcular una integral de flujo. Por simplicidad se elige una esfera de radioR centrada en el origen. Luego el flujo sobre su superficie es"Ωˆ2π ˆπ · dS E0 (1 αR) 2qq·r̂Rsinθdθdϕr̂ (1 αR)4π 0R2 00Para el caso de la ley de Coulomb, se sabe que esa integral es conocida ya que coincide con laLey de Gauss, es decir" · dS qE 0 Para la nueva ley se tiene que difiere en un factor (1 αR) , además el flujo no es constantecomo en la Ley de Gauss y depende de la superficie esférica que se tome.
6CAPÍTULO 1. LEY DE COULOMB Y DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE CARGASSolución 1.2P XEn este problema se aprecia una simetría con respecto a la carga Q, ya que todas las cargasnegativas sienten la misma fuerza de atracción/repulsión. Por ejemplo, haciendo el DCL a lacarga superior se obtiene lo siguiente F1y F2ex F3LLQLeeFigura 1.1: DCL Sobre la Carga SuperiorLas fuerzas F 1 y F 2 son repulsivas (generadas por las otras cargas negativas), mientras que lafuerza F 3 generada por la carga Q positiva es atractiva. Usando el sistema de referencia de laFigura 1.1 y la Ley de Coulomb, es posible descomponer las fuerzas de la siguiente formaF 1 e2 ππ x̂cos ŷsin,4π 0 L233F 2 e2 ππ x̂cos ŷsin,4π 0 L233eQF 3 ŷ4π 0 d2donde d es la distancia desde cualquier vértice al centro del triángulo. Usando el Teorema delCoseno, es posible despejar d comoL2 d2 d2 2d2 cos2πL2 d2 33por lo tanto la fuerza total valeF T e2π3eQsin 2π 0 L23 4π 0 L2 ŷDado que se desea el sistema en equilibrio se impone F T 0, obteniéndose que e2π3eQe 3esin 0 Q 2π 0 L23 4π 0 L233
2Distribuciones Continuas de CargaI.Problemas PropuestosZProblema 2.1X SCasquete SemiesféricoUn disco de radio a completa un casquete semiesféricode radio a. Ambas superficies tienen densidad de cargauniforme σ . Calcule el campo eléctrico en un punto a2sobre el eje Z.sasHint: r z cos(x)(z r cos x) sin xd 32dx z 2 r2 2rz cos x z 2(r sin2 x (z r cos x)2 ) 2Problema 2.2X SConsidere una barra infinita de densidad de carga linealλ. Sobre esta barra se cuelga un péndulo ideal de largol y una masa puntual m y carga q, bajo la influencia delcampo gravitatorio como se ilustra en la figura. Encuentre el ángulo de equilibrio del péndulo y determine cuáles ángulo límite cuando el valor de q crece infinitamente.Problema 2.3X SUn anillo de radio R0 tiene una carga Q positiva, la cualestá distribuida de manera uniforme sobre el anillo, como se ilustra en la figura. Considere una carga puntualde carga negativa q (q 0) y masa m, la cual es depositada en reposo sobre el eje central del anillo cercadel centro representado por el punto A, además la carga está soldada a un resorte ideal de constante elásticak0 y largo natural cero con extremo fijo en el punto A.Calcule la frecuencia de oscilación partícula puntual. Indicación: Considere que la partícula se mueve sobre eleje central del anillo.YDiscoXl gqlm, qQR0k0Aq7
8CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAProblema 2.4X SlUna densidad de carga lineal λ está repartida de forma homogénea a lo largo de un semicircunferencia BDcentrada en C y de radio R. Una carga puntual q está ubicada en punto A como se indica en la Figura.(CA R).RBa) Calcule el potencial eléctrico en el punto C, V (C).CDRb) Por argumentos de simetría, determine la direc ción del campo eléctrico E(C).Calcule E(C). c) Determine la relación entre λ y q tal que E(C) 0Problema 2.5A qX SSe tienen dos anillos coaxiales del mismo radio a, contenidos en planos paralelos y separados entre sí una distancia L. Uno de los anillos tiene densidad de cargauniforme λ y el otro λ.lO0RLa) Calcule el campo eléctrico en el eje común de losanillos, o sea en el eje O0 O en la figura.lOb) Calcule la diferencia de potencial entre los centrosO0 y O de los anillos.Problema 2.6X SyUn alambre semi-infinito cargado yace sobre el semiejepositivo x. El alambre posee una densidad lineal homogénea λ0 .Aa) Determine el valor del campo eléctrico en el puntoA de la figura el cual está ubicado sobre el eje ya una distancia a del origen.b) Determine el valor del campo eléctrico en el puntoB de la figura el cual está ubicado sobre el eje xa una distancia a del origen.al0BaxOlProblema 2.7X SConsidere un alambre muy delgado como el de la figura,éste esta compuesto por dos rectas infinitas y una arcode circulo de 135 . El alambre tiene una densidad linealde carga λ constante. Encuentre el campo producido enel punto P .R135P
I. PROBLEMAS PROPUESTOSProblema 2.89X SDos barras delgadas e iguales de longitud L y carga totalQ distríbuida uniformemente, están situadas sobre el ejex, separadas una distancia d como se indica en la figura.ya) Calcule el campo eléctrico producido por la cargade la izquierda para un punto situado sobre el eje x, es decir E(x). Qb) Calcule la fuerza que ejerce la carga de la izquierdasobre la carga de la derecha.xLc) Pruebe que si d L la fuerza entre las barrasequivale a la de dos cargas puntuales de carga Q.2Puede ser útil la aproximación ln(1 x) x x2si x 1.Problema 2.9 QLdXzConsidere un plano infinito con carga superficial σ 0.El plano contiene un orificio circular de radio R en susuperficie.la) Calcule el campo eléctrico en cualquier punto deleje z.b) A lo largo del eje del orificio se coloca una líneade carga de largo a, densidad lineal λ 0 y cuyopunto más próximo se encuentra a una distanciad del centro del orificio. Calcule la fuerza de repulsión que experimenta la línea de carga.adRszs s (q )Problema 2.10XCalcular el campo electrostático que genera un casqueteesférico de centro O y radio R que porta una densidadsuperficial de carga σ σ0 cos θ (en coordenadas esféricas) en su mismo centro.RqOx
10CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAV?Problema 2.11XhConsidere un cono de altura h y radio basal h. La superficie (manto) del cono está cargada uniformementecon una densidad σ0 . Calcule el potencial en el centrode la base del cono.Problema 2.12hXLa contaminación por compuestos químicos de un lagode forma circular ha dejado su densidad superficial decarga que, expresada en coordenadas polares se puedeescribir comoσ(r) zσ0 a33(r2 a2 ) 2s (r)donde “a” y σ0 son constantes conocidas. Aquí el origende coordenadas es el centro del lago. Se pide:a) Determine el campo eléctrico que afectará la vidaen el lago. Suponga que los peces sólo viven en lascercanías del centro del lago (eje z) y a profundidades mucho menores que la extensión del lago,por lo cual éste puede considerarse infinito.ab) Suponga que debido a esta contaminación, un pezadquiere una carga Q. Determine el trabajo electrostático que debe efectuar el pez para llegar alcentro del lago si se encontraba nadando a unadistancia “a” profundidad sobre el eje z de la Figura.Hint:ddr"# (a2 2r2 z 2 )rp 3(a2 z 2 ) (a2 r2 )(z 2 r2 )((a2 r2 )(z 2 r2 )) 2aProblema 2.13XhCalcule el campo eléctrico creado por un cono macizo dealtura h y semi ángulo α, uniformemente cargado conuna densidad volumétrica de carga ρ0 en su vértice.r0
I. PROBLEMAS PROPUESTOSProblema 2.1411XEn una primera aproximación, una montaña puede sermodelada como un cono de altura h y semi ángulo α demasa total M distribuida uniformemente. Geofísicos handeterminado que la gravedad en su cima tiene un valor g1 g1 ẑ la cual está a una distancia h sobre el nivelsuelo. Los mismos científicos saben que si la montañano existiese el campo gravitacional terrestre en el mismopunto sería g0 g0 ẑ . Determine g g1 g0 . (Hint:Puede ser útil el Problema 2.13)a azhP1Problema 2.15X ShConsidere un cilindro macizo de radio R y largo L comose muestra en la Figura. El cilindro posee una densidadde carga volumétrica ρ0 . Determinea) El módulo del campo eléctrico en un punto P1ubicado una distancia h sobre su base superior ysobre el eje del cilindro.Rr0Lhb) El módulo del campo eléctrico en un punto P2ubicado una distancia h R del eje cilindro, justoa la mitad de la altura del cilindro.Problema 2.16L2P2XUn bloque infinito posee una densidad de carga uniforme ρ que ha sido localizado entre x a y x a.Este bloque es infinito en la dirección y y z (saliendo depágina). Dos planos infinitos son localizados en x by x b, los cuales poseen una densidad de carga σ1y σ2 , respectivamente. Al medir el campo eléctrico seobserva que: 0x b E0 x̂ b x a E E0 x̂ a x b 0x ba) Calcule la densidad de carga ρ del bloque infinito.b) C
1 Ley de Coulomb y Distribuciones Discretas de Cargas I.Problemas Propuestos Problema1.1! S SupongaqueenlugardelaLeydeCoulomb,unohubiera encontrado experimentalmente .
un número amplio de ejercicios lo expuesto en la teoría. Se han incluido nuevos problemas resueltos y propuestos (365 en total) así mismo, se incluyen soluciones de una selección de problemas propuestos de planimetría para que los estudiantes puedan hacer comprobaciones y con ello ejerciten sus conocimientos.
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