Mathématiques Pour Le Traitement Du Signal
Maïtine BergouniouxMathématiquespour le traitementdu signalCours et exercices corrigés2e édition
La série « Mathématiques pour le Master/SMAI » propose une nouvelle générationde livres adaptés aux étudiants de Master niveau M1 et aux élèves ingénieurs. Leuradéquation au cursus LMD et aux outils de calcul modernes sont au service de laqualité scientifique.La SMAI (Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles) assure la directionéditoriale grâce à un comité renouvelé périodiquement et largement représentatifdes différents thèmes des mathématiques appliquées et de leur évolution :analyse numérique, probabilités appliquées, statistique, optimisation, systèmesdynamiques et commande, traitement d’images et du signal, finance, rechercheopérationnelle, etc. Son ambition est de constituer un ensemble d’ouvrages deréférence.Les auteurs et l’éditeur ne pourront être tenus responsables des éventuelsproblèmes liés à l’utilisation des informations présentes dans ce livre.Illustration de couverture : Digitalvision Dunod, 2010, 20145 rue Laromiguière, 75005 Pariswww.dunod.comISBN 978-2-10-071042-3
Avant-proposCe cours est issu d’un enseignement donné au sein du MASTER de Mathématiques d’Orléans et s’adresse à des mathématiciens désireux de connaı̂tre les techniquesde base de traitement du signal. A contrario, il peut aussi intéresser des spécialistesde traitement du signal qui souhaitent avoir un point de vue mathématique sur lesoutils qu’ils utilisent fréquemment. Cet ouvrage se veut donc une introduction à ladiscipline plus qu’un ouvrage pointu destiné à des spécialistes du domaine. Pour lelecteur qui souhaite en savoir davantage nous renvoyons à la bibliographie qui permet d’approfondir les différents sujets. Nous avons souhaité donner de nombreusesapplications tout au long de l’ouvrage et proposons comme tout livre de ! cours "qui se respecte quelques exercices ou sujets de travaux pratiques. Nous nous sommesvolontairement placés dans un cadre unidimensionnel : les différents concepts (notion de fréquence, transformation de Fourier, transformation en ondelettes, etc.) sontgénériques et plus faciles à présenter dans ce contexte. Le cas des signaux bi-dimensionnels que sont les images sera abordé dans [3] : les techniques contenues dans leprésent livre y seront adaptées et d’autres méthodes, plus spécifiques au traitementd’image, largement développées. Le signal unidimensionnel le plus accessible parexcellence étant le signal sonore, nous avons consacré un court chapitre à l’analysevocale (ou traitement de la parole), là aussi sous forme d’introduction. Pour le traitement du son musical nous renvoyons à l’ouvrage de P. Guillaume [10] qui fourmilled’exemples en liaison directe avec la musique.Nous avons choisi de ne parler que de techniques déterministes en laissant decôté les méthodes stochastiques, faute de place et de compétences. Toutefois, le pointde vue probabiliste est très utile en signal et très présent dans la manière dont lesingénieurs présentent leurs résultats. Il est aussi fondamental dans la théorie du codage et de l’information (au sens de Shannon) qui n’est pas abordée dans cet ouvrage.Nous renvoyons à [13] chapitre 5, [14] chapitre 10, [16] partie 2 ou [1] Tome 1, chapitres 4 et 5 pour une présentation ! stochastique " du traitement du signal.Une partie des informations, exemples, illustrations contenus dans ce livre a étérécoltée au fil de mes investigations sur Internet. Je remercie tous les anonymes (etW IKIPEDIA !) qui ont contribué de fait à enrichir cet ouvrage.Cette nouvelle édition propose de nouveaux exercices et corrige quelques coquilles. Un chapitre a été ajouté à la première édition : il s’agit d’une ouverture vers
4le traitement du signal 2D, c’est-à-dire le traitement d’image. Les outils exposés pourle traitement du signal 1D sont fondamentaux dès qu’on s’intéresse au cas bidimensionnel. Nous donnons en quelques pages des pistes pour la généralisation de cesoutils.Orléans, le 18 mars 2014.
Chapitre 1IntroductionL’utilisation de mathématiques de haut niveau en traitement du signal et pourl’apprentissage est une tendance nouvelle rendue nécessaire par la quantité et la complexité croissantes d’informations aujourd’hui disponibles, qui engendrent un besoind’automatisation des méthodes d’analyse, de traitement de l’information et de la prisede décisions.Les applications les plus classiques concernent l’analyse et la transformationd’informations sonores et d’images, mais des problèmes similaires sont posés pard’autres signaux tels que des enregistrements de séquences d’ADN, des séries financières ou des données atmosphériques.L’information ainsi traitée peut ensuite servir à la réalisation d’une tâche qu’ils’agit d’optimiser. 1La notion de signal fait intervenir la notion d’observation de phénomène. Elle faitintervenir des quantités dépendantes du temps, de l’espace ou de la fréquence. Pourétudier ces quantités on a une modélisation sous forme de fonction d’une variable.Les signaux sont des objets qui peuvent être– unidimensionnels (1D) : c’est le cas de tous les phénomènes ondulatoires, dontl’exemple le plus connu est le son. La variable est alors le temps t. L’étude dessignaux 1D fait l’objet du présent cours.– bidimensionnels (2D) : il s’agit dans ce cas d’images. La variable est une variable d’espace représentant les deux coordonnées (x, y) d’un point du plande l’image. L’étude de ces signaux, plus connue sous le nom de Traitementd’Image n’est pas (ou peu) abordée dans ce volume.– tridimensionnels (3D) : il peut s’agir, soit d’images 3D (dans l’espace) dontla reconstruction et la description se font par exemple à partir de projectionsstéréographiques ou tomographiques, soit d’une séquence d’images 2D dansle temps (vidéo). Dans le premier cas, la variable est une variable d’espacereprésentant les trois coordonnées d’un point (x, y, z) de l’image. Dans le second cas il s’agit des deux coordonnées px, yq dans le plan et du temps t.1. D’après S. Mallat : http://www.cmap.polytechnique.fr/spip.php?article8
12CHAPITRE 1. INTRODUCTION– quadridimensionnels (4D) : c’est le cas, par exemple, d’images 3D (volumes)évoluant dans le temps.Dans cet ouvrage nous allons nous concentrer sur l’étude des signaux 1D. Lesméthodes décrites relèvent de ce qui est communément appelé le ! traitement dusignal ". Nous donnons quelques exemples pour commencer.1. Le son est le signal (1D) le plus connu. Les applications du traitement du sonsont nombreuses. On peut citer, par exemple, la synthèse et l’analyse vocale, lamusique numérique (standard MP3, instruments numériques)(a) Extrait d’un chant de baleine à bosse(b) [Début desBach!Variations Goldeberg " de J.S.F IGURE 1.1 – Exemples de sons (représentation temporelle)2. Signaux ! environnementaux "(a) Onde sismique(b) Sonar d’un banc de poissonsF IGURE 1.2 – Signaux environnementaux3. Signaux électriques : ces signaux sont particulièrement intéressants en médecine (électrocardiogramme- électroencéphalogramme).
13F IGURE 1.3 – Électrocardiogramme (ECG) )F IGURE 1.4 – Électro-encéphalogramme (EEG)Un signal peut être modélisé de façon déterministe ou aléatoire. Lorsque la fonction t ÞÑ xptq est continue le signal est analogique. Si la variable est discrète, lesignal est discret. Souvent un signal discret est le résultat de la discrétisation d’unsignal analogique. On parle alors d’échantillonnage.
14CHAPITRE 1. INTRODUCTIONF IGURE 1.5 – Signal échantillonnéQuand on discrétise un signal en vue d’un traitement numérique, on fait aussiune quantification (stockage sur ordinateur). Un signal discret quantifié est un signalnumérique.Exemples de signaux ! théoriques "– Echelon unité de Heaviside : La fonction est donnée par"1 si t ą 0 ,t ÞÑ uptq “0 si t ď 0 .Ce signal modélise l’établissement instantané d’un régime constant.– Signal rectangle ou créneau centré : La fonction est donnée par"1 si t ă a ,t ÞÑ vptq “0 si t ě a .(a) Échelon unité de Heaviside(1.1)(1.2)(b) Créneau centréF IGURE 1.6 – Exemples de signaux ! théoriques "– Signal sinusoı̈dal ou monochromatique : le signal est représenté par la fonctiont ÞÑ xptq “ α cospω t ϕq,
15où α P R est l’amplitude du signal , ω P R est la pulsation et ϕ P r0, 2 πs la1ω2πla période et λ “ “la fréquence.phase initiale. On appelle a “ωa2πOn peut donc écrire que xptq “ α cosp2π λt ϕq. On étudiera en général lesignalzptq “ α expp2iπ λt iϕq “ c expp2iπ λtqoù c “ α exppiϕq P C. On a donc c “ Repzptqq (où Re(z) désigne la partieréelle du complexe z).Le traitement du signal repose essentiellement sur l’utilisation d’opérateurs linéaires qui modifient les propriétés d’un signal de façon homogène dans le temps. Lestransformées de Fourier et de Laplace qui diagonalisent des opérateurs sont les principaux outils d’analyse mathématique.On étudie un signal de deux points de vue :– le point de vue temporel (ou spatial s’il s’agit d’une image) : étude du signaldans le temps, tel qu’il est enregistré ou dans l’espace physique (pour uneimage par exemple) ;– le point de vue fréquentiel : on extrait du signal des informations ! cachées "mais qui sont caractéristiques de chaque signal. Les outils mathématiques sontessentiellement la transformation de Fourier et la transformation de Laplace (etleurs analogues ! discrets ", la transformation de Fourier discrète (ou DFT) etla transformation en z).Le traitement du signal (analogique ou numérique) consiste :– à étudier le signal, l’analyser, en extraire les informations pertinentes,– à modifier le signal (pour enlever les parasites d’un son, accentuer les bassesd’un morceau de musique ou éclaircir une image par exemple),– à synthétiser/reproduire des signaux nouveaux (! voix de synthèse ").Sans prétendre à l’exhaustivité, nous allons présenter les principaux d’analyseet de traitement des signaux, au premier rang desquels les outils d’analyse spectralequi font l’objet du chapitre 2. Le chapitre 3 présente des techniques élémentaires detraitement des signaux aléatoires. Le chapitre 4 présente des outils de filtrage (analogique et numérique) : le filtrage est une étape fondamentale et incontournable danstout traitement de signal. Le chapitre 5 est consacré à l’échantillonnage, à savoir lepassage d’un signal analogique (! continu ") à un signal numérique (discret). Nousy présentons le célèbre théorème d’échantillonnage de Shannon ainsi que les difficultés posées par le mauvais choix d’une fréquence d’échantillonnage (aliasing). Lechapitre 6 est consacré à l’analyse temps-fréquence d’un signal, avec la transformation de Gabor et la STFT 2 qui conduisent à la notion de spectrogramme. Tout naturellement, le chapitre 7 présente une alternative, complémentaire à l’analyse temps2. Short Time Fourier Transform ou Transformée de Fourier à fenêtre glissante
16CHAPITRE 1. INTRODUCTIONfréquence, qui est l’analyse temps-échelle avec l’introduction des ondelettes et del’analyse multi-résolution. Nous terminerons par une application à l’analyse vocale(chapitre 8) et un chapitre d’introduction au traitement des images (chapitre 9).
Chapitre 2Analyse spectrale des signauxunidimensionnels2.1 Signaux analogiques périodiquesUn signal sinusoı̈dal ! pur " t ÞÑ sinp2πλtq a une signification ! physique " :cela correspond à une onde qui se propage. On va montrer dans ce qui suit que toutsignal périodique d’énergie finie (ce que nous allons préciser) est la superpositiond’un nombre infini d’ondes.2.1.1 Les séries de FourierOn considère dans ce qui suit des signaux périodiques de période a ą 0 etd’énergie finie. L’espace de ces signaux estża2Lp p0, aq “ tf : R Ñ C, f de période a, f 2 ptq dt ă 8u0muni du produit scalaire (hermitien)pf, gq :“ża0f ptqḡptq dt ,où z désigne le module du complexe z et z̄ son conjugué. L’énergie du signal esttout simplement sa norme dans l’espace L2 au carréża2 f 2 ptq dt .Epf q :“ }f }2 “0Pour tout N P N on désigne par TN l’espace vectoriel engendré par la famillepek q N ďkďN avec#R Ñ C(2.1)ten : t ÞÑ expp2iπn q .a
18CHAPITRE 2. ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX UNIDIMENSIONNELSOn vérifie facilement que cette famille est orthogonale et satisfait pek , ek q “ a pourtout k P Z. De plus }ek }8 “ 1, pour tout k P Z, où }f }8 :“ sup f ptq désigne latPRnorme uniforme (ou dans L8 pRq) de la fonction f .L’espace TN est donc l’espace des polynômes trigonométriques de degré inférieur ouégal à N . C’est un sous-espace de L2p p0, aq de dimension finie (donc fermé). Nousavons un résultat d’approximation qui est un cas particulier du théorème de projectionsur un convexe fermé dans un espace de Hilbert (voir Annexe 1, Théorème A.4.1)mais que nous allons démontrer directement.Théorème 2.1.1 Soit f P L2p p0, aq. Il existe un unique polynôme fN P TN (appelépolynôme de meilleure approximation de f dans TN ) projeté de f sur TN qui réalisele minimum demin }f P }2 .P PTNDe plus il s’écrit sous la formek“NÿfN “ck pf q ek ,k“ Noù@N, @k P t N, , N u1ck pf q “aża0tf ptq expp 2iπk q dt.a(2.2)Démonstration.- Soit f P L2p p0, aq. Un polynôme trigonométrique peut toujoursk“Nÿxk ek (quitte à compléter par des coefficients nuls)s’écrire sous la forme P “k“ Noù xk P C pour tout k. Calculons donc}f P }22 “ }f }22 }P }22 2 Repf, P q .Comme la famille pen qnPZ est orthogonale on a}P }22 “k“Nÿ xk 2 a .k“ ND’autre partpf, P q “k“Nÿx̄k pf, ek q ;k“ Nsi on pose@k P t N, , N uck pf q “1pf, ek q“ pf, ek q ,pek , ek qa
192.1. SIGNAUX ANALOGIQUES PÉRIODIQUESil vient}f P }22 “ }f }22 ak“Nÿ ck pf q xk 2 ck pf q 2 .(2.3)k“ NIl est donc clair que le minimum est atteint lorsque xk “ ck pf q et pour cette valeurseulement.lDéfinition 2.1.1 (Coefficient et série de Fourier) Les coefficients ck pf q sont les coefficientsÿde Fourier de f .La sérieck pf q ek est la série de Fourier de f .La première question qui se pose est bien sûr la convergence de la série de Fourierd’une fonction f de L2p p0, aq. Nous allons répondre à cette question par le théorème2.1.4. Donnons tout d’abord quelques propriétés des coefficients de Fourier.Théorème 2.1.2 Soit f P L2p p0, aq à valeurs réelles et pck pf qqkPZ ses coefficients deFourier.1. L’application f ÞÑ pck pf qqkPZ est linéaire.2. Pour tout k P Z, c k “ ck et donc particulier c k “ ck .3. Si f est paire, alors pour tout k P Z, ck est réel.4. Si f est impaire, alors pour tout k P Z, ck est imaginaire pur.Démonstration.- La propriété 1 est immédiate. Montrons la propriété 2 : Soit k P Zet f P L2p p0, aq à valeurs réelles.żż1 att1 af ptq expp2iπk q dt “f ptq expp 2iπk q dt “ ck .c k pf q “a 0aa 0aLes autres propriétés se démontrent de manière similaire.lThéorème 2.1.3 (Inégalité de Bessel) Sous les hypothèses et notations précédentes,on ażNÿ1 a2 ck ď f ptq 2 dt .a0k“ NDémonstration.- Lorsque xk “ ck pf q pour k P t N, , N u, la relation (2.3) s’écrit}f P }22 “ }f }22 ak“Nÿ ck pf q 2 ,k“ Nc’est-à-direk“Nÿk“ N ck pf q 2 ď1}f }22 , ce qui est la relation annoncée.aEn passant à la limite dans cette inégalité lorsque N Ñ 8, on obtientż8ÿ1 a2 ck pf q ď f ptq 2 dt .a0 8l(2.4)
20CHAPITRE 2. ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX UNIDIMENSIONNELSEn réalité, on a le résultat précis suivant :Théorème 2.1.4 Si f P L2p p0, aq et si fN est le polynôme de meilleure approximaNÿck ek , alorstion de f dans TN c’est-à-dire fN “k“ NlimN ÝÑ 8}f fN }22 “ 0,c’est-à-dire que la suite fN converge vers f dans L2p p0, aq.Démonstration.- Nous avons vu que}f fN }22““ża0Nÿ ck 2k“ Nża0 f ptq 2 dt a f ptq 2 dt }fN }22 “ }f }22 }fN }22 .Grâce à l’inégalité de Bessel, la quantité }fN }22 “Nÿ(2.5) ck 2 est bornée et on peutk“ Ndonc en extraire une sous-suite convergente :pfNk qkPN .Donc lim }f fNk }22 existe mais il n’est pas évident que cette limite soit nulle.k ÝÑ 8Nous allons donc montrer que cette limite (et donc toute valeur d’adhérence) estnécessairement nulle. Comme la preuve s’applique à toute sous-suite de pfN qN PN ,cela montrera en même temps que toute la suite converge. Dans ce qui suit, on noteradonc la suite extraite fNk de la même façon que la suite elle-même fN pour allégerla présentation.Commençons par montrer le résultat pour une fonction f de classe C 1 . Dans ce casla fonctionżaf px tqf ptq dtx ÞÑ ϕpxq “0C1sur R (intégrale dépendant d’un paramètre). Deest périodique de période a etplus, les coefficients de Fourier γn de ϕ sont donnés par γn “ a cn 2 . En effetżż ż1 a ann1 aϕpxq expp 2iπ xq dx “f px tqf ptq expp 2iπ xq dt dxγn “a 0aa 0 0ażażann1f px tq expp 2iπ px tqq f ptq expp2iπ tqdt dx“a 0 0aaża„ż ajnn1f psq expp 2iπ sqf ptq expp2iπ qdt ds ( avec s “ x t q“a 0aa0“a cn c̄n “ a cn 2 .
212.1. SIGNAUX ANALOGIQUES PÉRIODIQUESLa série de Fourier de ϕ est donc normalement convergente et donc uniformémentconvergente vers une fonction ψ, périodique et continue sur R. En effetÿÿÿ γn ď a cn 2 ă 8 .} γn en }8 ďnnnOn montre de la même manière que la série dérivée est uniformément continue. Uneintégration par parties donne : cn pϕ1 q “ 2iπnγn , et avec l’inégalité de Bessel onobtientÿÿ1} cn pϕ1 qen }2 “ 2π} nγn en }2 ď }ϕ1 }2 ă 8 .annÿÿγn e1n “ 2iπ nγn en est uniformément convergente. Par conséquent laLa sériennsérie de Fourier de ϕ converge vers une fonction ψ, périodique et C 1 sur R. Lesfonctions ψ et ϕ sont C 1 et ont les mêmes coefficients de Fourier . En effet żż 8ÿ1 a1 aψptqēn ptq dt “γk ek ptq ēn ptq dt.cn pψq “a 0a 0 k“ 8Comme la série est uniformément convergente on peut intervertir l’intégrale et lasomme : 8 8ÿ żaÿ11γk ek ptqēn ptq, dt “γk pek , en q “ γn “ cn pϕq.cn pψq “a k“ 8 0a k“ 8On admet pour l’instant le résultat suivant (corollaire 2.1.3 du théorème de Dirichlet),que nous démontrerons dans la section suivante :Si ϕ et ψ sont C 1 et périodiques sur R, alorsϕ “ ψ ðñ @n P Z, cn pϕq “ cn pψq .Par conséquent ψpxq “ ϕpxq pour tout x P R. On peut résumer en disant que 8ÿnγn expp2iπ xq “ ϕpxq “a 8@x P Rża0f px tqf ptq dt .Prenons alors x “ 0 : on obtientża 8 8ÿÿ f ptq 2 dt “γn “ a cn pf q 2 .0n“ 8n“ 8Si on reporte cette égalité dans (2.5) on obtient alorsża f ptq fN ptq 2 dt “ 0.limN Ñ 8 0
22CHAPITRE 2. ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX UNIDIMENSIONNELSLe théorème est donc démontré pour toute fonction C 1 . On conclut en utilisant la densité de l’ensemble Cc8 p0, aq des fonctions continues à support compact dans L2p p0, aq.Plus précisément, soit f P L2p p0, aq. Par densité, on peut trouver une suitegk P Cc8 p0, aq X L2p p0, aq. telle que lim }f gk }2 “ 0.kÑ 8D’autre part, si on note cn pf q le ne coefficient de Fourier de f on acn pf gk q “ cn pf q cn pgk qet d’après l’inégalité de BesselaNÿ cn pf gk q 2 ď }f gk }22 .n“ NOn obtientNÿ}f fN }2 ď }f gk }2 }gk n“ Npcn pgk q cn pf qqek }2 ,n“ NNÿď }f gk }2 }gk Nÿcn pgk qek }2 }cn pgk qek }2 }f gk }2 .n“ NSoit ε ą 0 ; on peut trouver ko tel que @k ě ko , }f gk }2 ďPour k fixé (ě ko ), on peut trouver N pkq tel que}gk Nÿcn pgk qek }2 ďn“ Nεgrâce à la densité.4ε2car le théorème est vrai pour les fonctions C 1 . Finalement }f fN }2 ď ε.La sérieÿlck ek converge normalement, donc elle converge presque partout verskPZf . On noteraf“ 8ÿck ek “ lim 8N Ñ 8Nÿck ek , Nla convergence étant prise au sens de la norme de L2p p0, aq.Corollaire 2.1.1 ( Égalité de Parseval) Sous les hypothèses précédentes8ÿ 8 ck 2 “1aża0 f ptq 2 dt .
232.1. SIGNAUX ANALOGIQUES PÉRIODIQUESL’énergie d’un signal périodique est la somme des énergies de ses harmoniques.ùñ}fN } Ñ }f } carRemarque 2.1.1 On sait que }f fN } Ñ 0 }fN } }f } ď }f fN }. En revanche, la réciproque est fausse.Nous avons obtenu une !
le traitement du signal 2D, c’est- a-dire le traitement d’image. Les outils expos es pour le traitement du signal 1D sont fondamentaux d es qu’on s’int eresse au cas bidimen-sionnel. Nous donnons en quelques pages des pistes pour la g en eralisation de ces outils. Orl eans, le 18 mars 2014.
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