STATISTIKA THEORY WEEK 8 Distribusi Sampel & Dalil Limit Pusat
STATISTICSWEEK 7By: Hanung N. PrasetyoPOLTECH TELKOM/HANUNG NP
Ada 2 macam, sampel probabilitas dan nonprobabilitas.Sampel probabilitas ada empat teknik yangsemuanya dapat dilakukan denganpengembalian atau tanpa pengembalian, yaitu :1.Teknik pengambilan dengan acak sederhana2.Teknik pengambilan dengan acak sistematis3.Teknik pengambilan dengan acak stratifikasi4.Teknik pengambilan dengan acak klusterPOLTECH TELKOM/HANUNG NP
Pengambilan sampel sebanyak n dimana setiapanggota populasi mempunyai kesempatan yangsama untuk terambil.Teknik ini dipilih jika populasinya homogen.Biasanya dilakukan dengan :1.Menggunakan undian.2.Dengan tabel bilangan acak.POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Dengan mengambil unsur ke-k dalam populasidimana titik awalnya ditentukan secara acakdiantara k unsur tersebut.Sering digunakan karena dapat menarikkesimpulan yang tepat mengenai parameterpopulasi sebab sampelnya menyebar secaramerata di seluruh populasi.POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Dilakukan dengan membagi populasi menjadibeberapa strata (tingkatan) kemudian sampeldiambil secara acak dari setiap tingkatan.Teknik ini dilakukan bila populasinya heterogen.Cara pengambilan sampel untuk setiap tingkatantidak sama, harus sebanding dengan jumlahanggota setiap tingkatan (proporsional).Rumusnya :Nini nNPOLTECH TELKOM/HANUNG NP
Mengambil beberapa kluster (kelompok) secaraacak kemudian semua atau sebagian darianggota masing-masing kelompok diambilsecara acak sebagai sampel.POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Ada empat macam distribusi sampel :1.Distribusi sampel rata-rata2.Distribusi sampel proporsi3.Distribusi sampel beda dua rata-rata4.Distribusi sampel beda dua proporsiPOLTECH TELKOM/HANUNG NP
Bila populasi terbatas berukuran N dengan ratarata µx dan simpangan baku σx diambil sampelberukuran n secara berulang tanpa pengembalian,maka diperoleh :1. Distribusi sampel rata-rata µ X µ X2. Simpangan bakuσX N - nσX n N -1dimanaN-ndisebut faktor koreksiN -1POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Bila n 30, maka distribusi sampelnya akanmendekati distribusi normal sehingga variabelrandom Z dapat dihitung dengan rumus :Z X - µXσXX - µX σXPOLTECH TELKOM/HANUNG NP
Contoh :Kecepatan maksimum 2000 mobil mempunyai rata-rata 135,5 km/jamdengan simpangan baku 5,2 km/jam. Jika sampel sebesar 150 mobildipilih secara acak tanpa pengembalian, hitung probabilitas kecepatanmaksimum rata-rata dari 150 mobil tersebut yang lebih besar dari136,1 km/jam!Jawab :σX σXnN-n5,22000 150 . 0,41N -12000 1150X - µ X 136,1 - 135,5Z 1,46σX0,41Jadi probabilitas kecepatan maksimum rata-rata mobil yang lebih besardari 136,1 km/jam adalah P(X 136,1) P(Z 1,46) 0,4279POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X,maka proporsi p adalah X/N.Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yangjuga mengandung proporsi x/n dan sampel diambil berulangmaka distribusi sampel proporsinya mempunyai :1. Rata-rataXµ p̂ µ p 2. Simpangan bakuNσ p̂ 3. Variabel randomp(1 - p ) N - n.nN -1p̂ - pZ σ p̂POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Contoh :Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Yogyakarta memakai detergen A untuk mencucipakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 :a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari populasi ibu-ibu rumah tangga yangmemakai detergen A!b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang memakaidetergen A, tentukan probabilitasnya!Jawab :a. Rata-rata 0,1σ p̂ p(1 - p )0,1.0,9 0,03n100b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 0,15Z p̂ - p 0,15 - 0,1 1,67σ p̂0,03P(Z 1,67) 0,5 - 0,4525 0,0475POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Terdapat 2 populasi. Populasi 1 sebanyak N1 dan mempunyai rata-rataµ1 serta simpangan baku σ1. Populasi 2 sebanyak N2 mempunyai ratarata µ2 serta simpangan baku σ2.Dari populasi 1 diambil sampel acak sebanyak n1 dengan rata-rata X1dan dari populasi 2 sampel acak sebanyak n2 dengan rata-rata X2dimana kedua sampel tersebut dianggap saling bebas.Dari sampel X1 dan X2 dapat dibuat sampel baru yang juga bersifatacak, yaitu sampel beda dua rata-rata. Rata-rata dan simpangan bakudari distribusi sampel beda dua rata-rata adalah :Rata - rata : µ X1 X 2 µ1 - µ 22(N1 N 2 ) (n1 n 2 )(N1 N 2 ) 1(X1 X2) (µ1 - µ 2 )Z Simpangan baku : σ X1 X 2Variabel random :2σ1 σ 2. n1n2σ X1 X 2POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Contoh :Di suatu universitas diketahui rata-rata tinggibadan mahasiswa laki-laki adalah 164 cm dengansimpangan baku 5,3 cm. Sedangkan mahasiswaperempuan tinggi badannya rata-rata 153 cmdengan simpangan baku 5,1 cm. Dari duapopulasi tersebut diambil sampel acak yangsaling bebas masing-masing 150 orang, berapaprobabilitas rata-rata tinggi mahasiswa laki-lakipaling sedikit 12 cm lebihnya daripada rata-ratatinggi mahasiswa perempuan?POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Jawab :Diketahui populasi 1 : µ1 164 cm , σ1 5,3 cm dan sampel 1 : n1 150 orangpopulasi 2 : µ 2 153 cm , σ 2 5,1 cm dan sampel 2 : n 2 150 orangMisal X1 rata - rata tinggi badan mahasiswa laki - lakiX 2 rata - rata tinggi badan mahasiswa perempuanRata - rata : µ X1 X 2 µ1 µ 2 164 - 153 11 cm2Simpangan baku : σ X1 -X 2Z 2σ1 σ 25,32 5,12 0,6150 150n1n2(X - X )- (µ - µ ) (X - X )-1112σ X1 -X 212120,6Karena rata - rata tinggi badan mahasiswa laki - laki paling sedikit 12 cm lebihnya daripada rata - rata tinggi()badan mahasiswa perempuan, maka X1 - X 2 12 sehinggaZ 12 - 11 1,67 sehingga probabilitasnya P(Z 1,67) 0,5 - 0,4525 0,04750,6POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Ada 2 populasi. Populasi 1 berukuran N1 terdapat jenis X1 denganproporsi X1/N1. Populasi 2 berukuran N2 terdapat jenis X2 denganproporsi X2/N2.Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran n1 maka sampel ini akanmengandung jenis x1 dengan proporsi x1/n1. Demikian juga denganpopulasi 2 diambil sampel acak berukuran n2 maka sampel ini akanmengandung jenis x2 dengan proporsi x2/n2.Sampel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel bedadua proporsi. Distribusinya mempunyai :Rata - rata : µ p̂1 -p̂ 2 p1 - p 2Simpangan baku : σ p̂1 -p̂ 2 Variabel random : Z p1 (1 - p1 ) p 2 (1 - p 2 ). n1n2(N1 N 2 ) (n1 n 2 )(N1 N 2 ) 1(p̂1 - p̂ 2 ) - (p1 - p 2 )σ p̂1 -p̂ 2POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Contoh :5% barang di gudang timur cacat, sedangkanbarang yang cacat di gudang barat sebanyak10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200barang dari gudang timur dan 300 barang darigudang barat, tentukan probabilitas persentasebarang yang cacat dalam gudang barat 2% lebihbanyak dibanding gudang timur!POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Jawab :Gudang barat : n1 300, p1 0,1Gudang timur : n 2 200, p 2 0,05p̂1 proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampelp̂ 2 proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampelσ p̂1 -p̂ 2 Z p1 (1 - p1 ) p 2 (1 - p 2 )0,1(0,9) 0,05(0,95) 0,023n1n2300200(p̂1 - p̂ 2 ) - (p1 - p 2 ) (p̂1 - p̂ 2 ) - (0,1 - 0,05)σ p̂1 -p̂ 20,023Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di gudang timurmaka (p̂1 - p̂ 2 ) 0,02 sehingga diperoleh :0,02 - 0,05 - 1,30,023Jadi probabilitasnya adalah P(p̂1 - p̂ 2 0,02 ) P(Z -1,3) 0,5 0,4032 0,9032 90,32%Z POLTECH TELKOM/HANUNG NP
1.Pada suatu pengiriman barang yang terdiridari 2000 tube elektronika telah diketahuiterdapat 600 unit tube yang tidak memenuhistandar mutu. Jika sampel acak sebanyak 500unit dipilih dari populasi tersebut tanpapengembalian, berapakah probabilitas sampelpopulasi yang tidak memenuhi standar mutu :a. akan kurang dari 150/500b. antara 144/500 sampai dengan 145/500c. lebih besar dari 164/500POLTECH TELKOM/HANUNG NP
2. Besi baja yang diproduksi perusahaan Amempunyai rata-rata daya regang sebesar4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs,sedangkan yang diproduksi perusahaan Bmempunyai rata-rata daya regang sebesar4000 lbs dan variansi sebesar 90000 lbs.Misalkan sampel random sebanyak 50 diambildari perusahaan A dan sampel randomsebanyak 100 diambil dari perusahaan B,berapakah probabilitas rata-rata daya regangbeda dua rata-rata dari dua sampel itu yanglebih besar dari 600 lbs?POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Sifat Distribusi Sampling :1.Jika sampel random dengan n elemen diambildari suatu populasi dengan mean µ danvariansi, maka distribusi sampling hargamean mempunyai mean dan variansi 2.Jika populasinya berdistribusi normal, makadistribusi sampling harga mean berdistribusinormal juga3.Jika sampel-sampel random diambil dari suatupopulasi yang berdistribusi sembarang denganmean µ dan variansi, maka untuk n 30 : Teorema Limit Pusat
Sampel Random :1.Dengan Pengembalian :dan2.Tanpa Pengembalian :danatauJika N sangat besar relative terhadap n, (Ntidak disebutkan), maka :atauDalam Distribusi Sampling :
Di depan telah dikemukakan bahwa sampel harussedemikian rupa sehingga kita dapat membuatinferensi/menarik kesimpulan tentang populasi setepatmungkin.mungkin Mengapa sampel acak ?. Dalam setiap kegiatananalisis data/statistik boleh dikatakan selalu dituntutkeacakan sampel. Hal ini mengingat bahwa sampel ngkan baik yang menyangkut parameter,maupun yang menyangkut bentuk distribusi. Yang menyangkut parameter.Misalkan µ dan σ2 adalah mean dan variansi suatupopulasi. Jadi σ adalah deviasi standarnya. Dari populasiini diambil sampel acak berukuran n, yang diberilambang X1, X2, . . . , Xn . Kita tuliskan kembali rata-ratasampel (sample mean) dan variansi sampel s2 sebagaiberikut (s adalah standar deviasi sampel). POLTECH TELKOM/HANUNG NP
POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Jelas hargadan s2 tergantung dari sampel acak yangterambil. Jika untuk setiap sampel acak yang mungkin kitahitung harga masing-masing rata-rata sampel , makaharga-harga ini akan memiliki distribusi tersendiri. Dengandemikianmemiliki parameter rata-rata tersendiri danvariansi tersendiri. Rata-rata dari (atau rata-rata dari ratarata sampel/mean of sample mean) diberi lambang m( ).Sedangkan variansi dari(variansi dari rata-rata sampel)diberi lambang Var( ). Selanjutnya, deviasi standardari diberi lambang sd( ). Mengingat bahwa sampel adalahhimpunan bagian dari populasi, maka tentunya; a. Harga rata-rata sampel akan menggambarkan hargamean populasi µ.b. Harga variansi sampel s2 akan menggambarkan hargavariansi populasi σ2 . POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Sekali lagi, sampel harus menjamin bahwa inferensi/kesimpulan tentangpopulasi dapat dilakukan setepat mungkin.mungkin Pengertian setepat mungkin inisekarang dapat dirumuskan sebagai berikut. Seberapa tepatkah mampumenggambarkan µ ?. Berikut adalah tiga sifat yang menggambarkanhubungandan µ. Sifat 1. Rata-rata dari rata-rata sampel sama dengan mean populasi.Artinya,Contoh. Misalkan kita mempunyai populasi yang terdiri atas 5 orang mahasiswa {A, B,C, D, E} dan kita tertarik untuk meneliti tinggi badannya. Sebut saja tinggibadan itu X. Bila tinggi badan dari A, B, C, D, dan E berturut-turut adalah(dalam cm): 162, 168, 170, 165, 160maka kita berhadapan dengan populasi nilai X, atau biasa disebut populasi X,yakni himpunan {162, 168, 170, 165, 160}.Dari populasi ini diambil sampel acak berukuran n 2 tanpa pengembalian.a. Tentukan semua sampel acak yang mungkin.b. Carilah rata-rata untuk setiap sampel acak yang mungkin.c. Periksa apakah POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Penyelesaian.a. Karena sampel diambil tanpa pengembalian, maka ada 10 buah sampel yangmungkin seperti terlihat pada himpunan berikut.W {(A, B), (A, C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E), (C,D), (C,E), (D,E)}W adalah himpunan semua sampel acak yang mungkinb. Rata-rata untuk setiap sampel acak yang mungkin disajikan pada Tabel 1 dibawah.Dari Tabel 1 itu kita peroleh populasi , atau himpunan semua nilai yangmungkin, yakni{165; 166; 163,5; 161; 169; 166,5; 164; 167,5; 165; 162,5}Tabel 1. Nilai yang mungkinSampel DataTinggi BadanRata-rata sampel(A,B)(162, 168)(162 168)/2 165(A,C)(162, 170)(162 170)/2 166(A,D)(162, 165)(162 165)/2 163,5(A,E)(162, 160)(162 160)/2 161(B,C)(168, 170)(168 170)/2 169(B,D)(168, 165)(168 165)/2 166,5(B,E)(168, 160)(168 160)/2 164(C,D)(170, 165)(170 165)/2 167,5(C,E)(170, 160)(170 160)/2 165(D,E)(165, 160)(165 160)/2 162,5POLTECH TELKOM/HANUNG NP
c. Untuk memeriksa apakah , kita hitung m( ) dan m.(1). Mean populasi µ adalah (ingat anggota populasinya ada 5),µ (162 168 170 165 160)/5 825/5 165(2). Mean dariadalah (ingat anggota populasi ada 10), (165 166 163,5 161 169 166,5 164 167,5 165 162,5)/10 1650/10 165Tampak bahwaCatatan. Hubungan µ tetap berlaku untuk pengambilan sampel denganpengembalian seperti akan terlihat pada contoh berikutnya.POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Sifat 2.standar Deviasi daridibagi ukuran sampel n. Artinya,sama dengan standar deviasi populasiCatatan. sd() disebut juga galat standar (GS). Berdasarkan Sifat 1 danSifat 2, populasi mempunyai mean µ dan variansi σ2/n.Contoh.Perhatikan lagi populasi 5 orang mahasiswa {A, B, C, D, E}. Populasi tinggibadannya X adalah {162, 168, 170, 165, 160}. Dari populasi ini diambilsampel acak berukuran n 2 dengan pengembalian.a. Hitunglah variansi populasi.b. Apakah?.POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Penyelesaian.a.Variansi populasi,, k banyaknya anggota populasi X. {(162 - 165)2 (168 - 165)2 (170 - 165)2 (165 - 165)2 (160 - 165)2}/5 (9 9 25 0 25)/5 13.6b. Apakah?.Ada 25 sampel yang mungkin, yakniW {(A,A), (A,B), (A,C), (A,D), (A,E),(B,A), (B,B), (B,C), (B,D), (B,E),(C,A), (C,B), (C,C), (C,D), (C,E),(D,A), (D,B), (D,C), (D,D),(D,E),(E,A), (E,B), (E,C), (E,D), (E,E)}Jadi, populasi adalah,{162; 165; 166; 163,5; 161; 165; 168; 169; 166,5; 164;166; 169; 170; 167,5;165; 163,5; 166,5; 167,5; 165;162,5; 161; 164; 165; 162,5; 160}POLTECH TELKOM/HANUNG NP
162 rata-rata tinggi badan A dan A,165 rata-rata tinggi badan A dan B,dst.Sekarang kita hitung rata-rata dari,m() (162 165 166 163,5 161 165 168 169 166,5 164 166 169 170 167,5 165 163,5 166,5 167,5 165 162,5 161 164 165 162,5 160)/25 165Selanjutnya kita hitung variansi dari,dengan m adalah banyaknya anggotapopulasi, yang sama dengan 25.Dari perhitungan diperoleh Var() 6,8 dan sd() 2,607681Diketahui s2 13,6 dan n 2. Dengan demikian, s/ 2,607681. Jadi, jikasampel diambil dengan pengembalian, tampak bahwa.Catatan. Apabila sampel diambil tanpa pengembalian, maka,dengan m adalah banyaknya anggota populasi , yang sama dengan 10. Di sini punm() 165. Jadi,POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Var( ) {(165 - 165)2 (166 - 165)2 (163,5 - 165)2 (161 - 165)2 (169 165)2 (166,5 - 165)2 (164 - 165)2 (167,5 - 165)2 (165 - 165)2 (162,5 - 165)2} /10 5,1Dengan demikian sd() 2,258318. Ternyata jika sampel diambil tanpapengembalian, makaPOLTECH TELKOM/HANUNG NP
Sifat 3 (Hukum Bilangan Besar).Jika n , maka harga m.Yang menyangkut bentuk distribusi.Ke tiga sifat di atas adalah sifat yang sangat fundamental tentang parametermean dan parameter variansi dari rata-rata sampel acak . Berikut adalah sifatfundamental yang menyangkut bentuk distribusi dari . Sifat ini terkenal dengannama dalil limit pusat/central limit theorem.Sifat 4 (Dalil Limit Pusat/Central Limit Theorem). Jika n , maka bentukdistribusi dari populasimendekati distribusi normal dengan mean m danvariansi s2/n, disingkat N(m, s2/n).POLTECH TELKOM/HANUNG NP
Contoh:Contoh:Nilai kesalahan baku dari nilai tengah penarikan sampelberukuran 36 sebuah populasi adalah 2, berapa ukuran sampeltersebut harus dinaikkan agar kesalahan bakunya 1,2?Jawab:Jawab:Diketahui sampel dengan n 36 dan σ x 2Bila diinginkan σ 1,2 berapa n?xσx σ2 4 σ2 σ 2 144(nilai σ 2 ini tetap)n36Bila diinginkan σ x 1,2 makaσ2144σx 1,44 n 100nnPOLTECH TELKOM/HANUNG NP
Distribusi sampel rata-rata 2. Distribusi sampel proporsi 3. Distribusi sampel beda dua rata -rata 4. . dari suatu populasi dengan mean µdan variansi , maka distribusi sampling harga mean mempunyai mean dan variansi 2. Jika populasinya berdistribusi normal, maka
2.2 Distribusi Sampling Rata-rata Sampel Kecil DISTRIBUSI t Distribusi Sampling didekati dengan distribusi t Student distribusi t (W.S. Gosset). Distribusi-t pada prinsipnya adalah pendekatan distribusi sampel kecil dengan distribusi normal. Dua hal yang perlu diperhatikan dalam Tabel t adalah 1. derajat bebas (db) 2. nilai α
(prorated 13/week) week 1 & 2 156 week 3 130 week 4 117 week 5 104 week 6 91 week 7 78 week 8 65 week 9 52 week 10 39 week 11 26 week 12 13 17-WEEK SERIES* JOIN IN MEMBER PAYS (prorated 10.94/week) week 1 & 2 186.00 week 3 164.10 week 4 153.16 week 5 142.22 week 6 131.28 week 7 120.34
Če za X privzamemo normalno porazdelitev N(M, ), je ocena za M, s pa ocena za σ. To spoznanje posreduje matematična statistika. Posebno vlogo pri statističnem sklepanju ima z- statistika in t-statistika, ki je znana pod imenom Studentova statistika x xM z n xM t s n
Statistika adalah ilmu pengumpulan data, pengolahan, analisisnya, dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data. Ada dua macam statistika yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Pada penelitian ini menggunakan statistika inferensial. Wahana komputer (2007, hlm.
statistika inferensial meliputi distribusi peluang, distribusi normal, dan pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis dilakukan melalui dua pendekatan yakni analisis statistika parametrik dan non parametrik, yang meliputi uji komparasi satu kelompok, dua kelompok, k kelompok, serta uji korelasi dan regresi. 3. Capaian Pembelajaran Program Studi .
aplikasi statistika 2.2.6 Penjelasan awal oleh Pengajar tentang beberapa distribusi probabilitas kontinu (20%) Pemelajaran aktif CL dalam kelompok kecil tentang Distribusi Kontinu (60%) Klarifikasi dari Pengajar atas pemelajaran aktif melalui CL dalam Distribusi Kontinu (20%) Piranti lunak aplikasi statistika
31/03/2019 2 DISTRIBUSI SAMPLING Pengertian Dan Konsep Dasar Distribusi Sampling Rata – Rata : a. Distribusi Sampling 1 Nilai Rata-Rata b. Distribusi Sampling Bagi Beda 2 Rata-Rata PENGERTIAN DAN KONSEP DASAR
Transactions, the National Finance Center report that shows total disbursements by appropriations and schedule number, to the general ledger and to the Government-wide Accounting (GWA) Account Statement for each appropriation. Any differences must be resolved in a timely manner. Section 6.0 Time and Attendance . Time and attendance is to be recorded accurately to ensure that the presence and .
