TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN - End In My Mind

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN1. Teknik SubtitusiTeorema :Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jikau g(x) maka f(g(x))g’(x) dx f(u) du F(u) c F(g(x)) cContoh :1. Hitunglah sin xdx .xJawab :x x1/2 sehingga du Misalkan u 1 / 2 dx sin x 2 x 11 1 / 2sin xxdx maka dx 22x 2 sin udu 2 cos u c 2 cos2. Hitunglah 6e1 / xx2x c.dx .Jawab :1sehingga du xMisalkan u Maka 6e1 / xx2dx 1 dx x2 1 / x 1 6 e 2 dx x u 6 e du 6 eu c 6 e1/x c.2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri2.a. sin n x dx, cos n x dxJika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos xdan kemudian gunakan kesamaanTri MurdiyantoTeknik PengintegralanPage 1

Sin 2 x cos 2 x 1.Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudutSin 2 x 1 cos 2 x1 cos 2 x, cos 2 x 22Contoh :1. sin 5 x dx sin 4 x sin x dx - (1 cos 2 x)2 d(cos x) (1 2 cos 2 x cos 4 x) d(cos x) cos x 21cos 3 x cos 5 x c5322. 4cos x dx 1 cos 2 x dx2 2.b. 12 (1 2 cos 2x cos 2x) dx4 111 dx cos 2x (2) dx 8 (1 cos 4x) dx44 311x sin 2x sin 4x c8324sin m x cos n x dxJika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang,maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebutkemudian gunakan kesamaan sin 2 x cos 2 x 1Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengahsudut.Contoh :Tri MurdiyantoTeknik PengintegralanPage 2

Tentukan :1. sin 3 x cos –4 x dx2. sin 2 x cos 4 x dx2.c. tg n x dx, cotg n x dx.Keluarkan faktor tg 2 x sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg.Contoh : cotg 4 x dx cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx cotg 2 x cosec 2 x dx – - cotg 2 x d(cotg x) - cotg 2 x dx(cosec 2 x – 1) dx - 1 cotg 3 x cotg x x c32.d. tg m x sec n x dx, cotg m x cosec n x dxJika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau cosec2x.Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.Contoh :Tentukan :1. tg –3/2 x sec 4 x dx2. tg 3 x sec –1/2 x dx2.e. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx,cos mx cos nx dx.Gunakan kesamaan :sin mx cos nx ½[sin (m n)x sin (m – n)x]sin mx sin nx -½[cos (m n)x - cos (m – n)x]cos mx cos nx ½[cos (m n)x cos (m – n)x]Contoh : sin 2x cos 3x dx 1/2 sin 5x sin (-x) dx 1/10Tri Murdiyanto sin 5x d(5x) – ½Teknik Pengintegralan sin x dxPage 3

- 1/10 cos 5x ½ cos x c.3. Teknik Subtitusi Yang Merasionalkan3. a. Integran Yang Memuat Bentuk n ax bGunakan subtitusi u n ax b .Contoh :Hitung3 x x 4dxJawab : Misalkan u 3 x 4 maka u3 x – 4 dan3u2 du dx sehingga3 x x 4dx 32 (u 4)u.3u du 3 (u 6 4u3 )du3 u 7 3u 4 c7 3(x – 4)7/3 (x – 4)4/3 c73.b. Integran Yang Memuat Bentuka2 x2 ,a2 x2 ,x2 a2 .Gunakan subtitusi x a sin t, x a tg t dan x a sec t berturut-turut untuka2 x2 ,a 2 x 2 danx2 a2 .Contoh :1. Tentukan 4 x2x2dxJawab :Misalkan x 2 sin t, - /2 t /2 maka dx 2 cos t dt dan4 x2 4 4 sin 2 t 2 cos t sehinggaTri MurdiyantoTeknik PengintegralanPage 4

4 x2x2dx 2 cos t4 sin 2 t(2 cos t) dt2 cot g tdt 4 x2 x sin 1 cx 2 2. Tentukan(cosec 2 t – 1) dt - cotg t – t cdx x 2 2 x 26Jawab :Terlebih dahulu bentuk kuadrat x2 2x 26 diubah menjadi kuadratsempurna (x 1)2 52, kemudian misalkan u x 1 maka du dxsehingga dxx 2 2 x 26 duu 2 52kemudian misalkan pula u 5 tg t, - /2 t /2 maka du 5 sec 2 t dtdanu 2 52 sehingga 5 2 tg 2t 5 2 5 sec tduu 2 525 sec2 tdt 5 sec t sec tdt ln sec t tgt cTri Murdiyanto lnu 2 52 u c55 lnu 2 5 2 u - ln 5 c.Teknik PengintegralanPage 5

Jadidx x 2 2 x 26 lnx 2 2 x 26 ( x 1) K .4. Pengintegralan ParsialPengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralandengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagiansisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula. udv uv vduContoh : 1. Tentukanx cos x dxJawab :Ambil u x dan dv cos x dx maka du dx danv sin x sehingga x cos x dx x d(sin x ) x.sin x - sin x dx x.sin x cos x c.2. Hitunglah x2 sin x dxJawabAmbil u x2 dan dv sin x dx maka du 2x dx dan v - cos xsehingga x2 sin x dx - x2 d(cos x) - x2 cos x 2 x cos x dxlakukan sekali lagi pengintegralan parsial, sehingga - x2 cos x 2 x d sin x - x2 cos x 2x sin x – 2 sin x dx - x2 cos x 2x sin x 2cos x cJadi Tri Murdiyantox2 sin x dx - x2 cos x 2x sin x 2cos x cTeknik PengintegralanPage 6

Rumus ReduksiSuat rumus yang berbentuk f n(x) dx g(x) f k(x) dxdengan k n dinamakan rumus reduksi karena pangkat dari f berkurang.Contoh :n sin xdx sin n 1 x cos x n 1 sin n 2 xdx nn(buktikan dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial).5. Pengintegralan Fungsi Rasional.Fungsi rasional merupakan fungsi hasilbagi dua fungsi polinom (suku banyak)yang ditulis :F(x) P( x), P(x) dan Q(x) fungsi-fungsi polinom dengan Q(x) 0 untukQ( x)semua x di domain F.Fungsi rasional dibedakan atas :1. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinompada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom padapenyebut.Contoh :f(x) 2( x 1) 3, g(x) 2x 2x 2 4x 82. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsipolinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsipolinom pada penyebut.Contoh :Tri Murdiyantof(x) x5 2x3 x 1x3 5xTeknik PengintegralanPage 7

Fungsi rasional tak sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsipolinom dengan fungsi rasional sejati dengan jalan membagi fungsipembilang dengan fungsi penyebut.Contoh :f(x) x5 2x3 x 1x3 5x (x2 – 3) 14 x 1x3 5xPermasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimanamengintegralkan fungsi rasional sejati.Suatu fakta bahwa fungsi rasional sejati senantiasa dapat ditulis sebagai jumlahfungsi rasional sejati yang sederhana.5.1. Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Linear Yang Berbeda.Contoh :Tentukan 5x 3x 3 2 x 2 3xdxJawab :Jabarkan fungsi rasional atas faktor linear yang berbeda.5x 3x 3 2 x 2 3x 5x 3ABC x( x 1)( x 3) x x 1 x 3maka 5x 3 A(x 1)(x-3) Bx(x-3) Cx(x 1)dengan mengambil nilai x 0, x -1 dan x 3 diperoleh3 A(-3) maka A -1-2 B(4) maka B - ½18 C(12) maka C 3/2, sehingga 5x 3x 3 2 x 2 3xdx 1 1/ 23/ 2dx dx dxxx 1x 3 - ln x -13ln x 1 ln x 3 c225.2. Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Linear Yang Berulang.Contoh :Tri MurdiyantoTeknik PengintegralanPage 8

Hitunglahx( x 3) 2dxJawab :Jabarkan fungsi rasional atas faktor linear yang berulang.x ( x 3) 2AB x 3 ( x 3) 2maka x A(x-3) Bdengan mengambil x 3 dan x 0 diperolehB 3 dan A 1, sehingga x( x 3)dx 2 ln x 3 13dx dx2x 3( x 3)3 cx 35.3. Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Linear Yang Berbeda danBerulang.Contoh :Tentukan 3x 2 8 x 13( x 3)( x 1)2dxJabarkan fungsi rasional menjadi3x 2 8 x 13( x 3)( x 1) 2 ABC x 3 x 1 ( x 1) 2Selanjutnya kerjakan sama seperti 2 contoh terdahulu.Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor (ax b) k dalam penyebut maka adasebanyak k suku penjabarannya, yaituAkA1A2 . ax b (ax b) 2(ax b) k5.4. Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Kuadrat Yang Berbeda.Tri MurdiyantoTeknik PengintegralanPage 9

Contoh :Tentukan 6 x 2 3x 12(4 x 1)( x 1)dxJabarkan fungsi rasional menjadi6 x 2 3x 1(4 x 1)( x 2 1) ABx C 4x 1 x 2 1maka 6x2 – 3x 1 A(x2 1) (Bx C)(4x 1)Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti biasa dan tentukan hargamasing-masing integral pecahan parsial.5.5. Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Kuadrat Yang Berulang.Contoh :Tentukan 6 x 2 15 x 22( x 3)( x 2 2) 2dxJabarkan fungsi rasional menjadi6 x 2 15 x 22( x 3)( x 2 2) 2 ABx CDx E x 3 x 2 2 ( x 2 2) 2Selanjutnya tentukan A, B, C, D dan E seperti biasa dan tentukan hargamasing-masing integral pecahan parsial.Tri MurdiyantoTeknik PengintegralanPage 10

Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 6 Jadi ³ x 2 2x 26 dx ln 2 2 26 (x 1) K. 4. Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian