TEKNIK INTEGRASI Pengintegralan Dengan Substitusi
Pertemuan 1:Pengintegralan dengan subsitusi, pengintegralan parsial, danpengintegralan beberapa fungsi trigonometri.TEKNIK INTEGRASIPengintegralan Dengan SubstitusiTeorema 1:Misalkan g suatu fungsi yang terdiferensialkan apada selang I dan Fadalah antiturunan dar fungsi f pada I. Jika u g(x), makaf ( g ( x))g ' ( x)dxf ' (u)du F (u) CF ( g ( x)) CDiskusikan !1. Buktikan teorema1 di atas52. Hitunglahx 9 x 2 dx0Teorema 2:Jika g mempunyai turunan yang kontinu pada selang [a,b] dan f kontinupada daerah nilai dari g, makag( B)bf g ( x ) g ( x )dxDiskusikan !1. Buktikan teorema2 di atas2. Hitunglah13 x 1 3 dx0Latihan 1:Hitunglah integral berikut:1.2.x27 dx6 x 25cos xdx1 sin 2 xf (u )dug(a)a
3.exdx4 9e 2 x4.cos ln 4 x 2dxx5.5x x2346.cos 1 xdx1 x07.ln xdx1 xe8.4dx21e2x2x0eee2x2xdxPengintegralan ParsialTeorema 3:Jika u dan v adalah suatu fungsi dengan perubah x, maka udv uv- vduatau uv′dx uv- vu′dxBukti: Jika y uv, u dan v suatu fungsi dengan perubah x, makadiferensiasi dari y adalah dy udv vduDengan mengintegralkan kedua ruas persamaan tersebut, diperoleh dy udv vduy udv vduuv udv vduDengan demikian diperoleh, udv uv- vdu .(1)Karena u dan v suatu fungsi dengan perubah bebas x, maka du u’dx dandv v’dx. Dari bentuk (1) diperoleh uv’ uv- vu′dx.Arti geometri pengintegralan parsial:Uu(b)u h(v)bvduabu(a)udvaVv(a)v(b)
bbudvu (b)v(b) u (a)v(a)abvduuvbaavduaTeorema 4:Jika u dan v adalah suatu fungsi dengan variabel x, makabbudvuvbaavduaDiskusikan!Tentukan integral berikut:1.2.Latihan 2:1. Hitunglahf ' x g x dx danf x dg x , jika f xf' xe x dan g xsin x dan g xx 2 . Hitunglahcos x .2. Hitunglaha.ln 2 dxb.sin ln x dx2c.x csc 2 xdx4Pengintegralan Beberapa Fungsi TrigonometriA. Pengintegralan Fungsi Sinus dan Fungsi KosinusKasus 1:Bentuk sin n xdx dan cosn xdx dengan nUntuk menyelesaikannya gunakan rumus:cos2 x 1 sin 2 xsin 2 x 1 cos2 xN , n ganjil
Kasus 2:Bentuk sin n xdx dan cosn xdx , dengan nN , n genapPenyelesaiannya gunakan rumus:1 1cos2 xcos 2 x2 21 1sin 2 xcos 2 x2 2Diskusikan!Tentukan integral berikut:1.cos3 xdx2.cos2 xdxTeorema 5 (rumus rekursif):(a)cosn xdx1cosn 1 x sin xnn 1cosn 2 xdx, nnN(b)sin n xdx1cosn 1 x cos xnn 1sin n 2 xdx, nnNDiskusikan!1. Buktikan teorema 5 di atas (Petunjuk: gunakan pengintegalanparsial)2. TentukanlahKasus 3:Bentuk sin m x cosn xdx , dengan salah satu m atau n bilangan asli ganjil,lainnya boleh sebarang.Penyelesaian bentuk integral tersebut, sama seperti penyelesaian bentuk(1), yaitu menggunakan rumuscos2 x 1 sin 2 xsin 2 x 1 cos2 xKasus 4:Bentukm dan n dua-duanya bilangan asli genap.Penyelesaiannya seperti bentuk (2), yaitu menggunakan rumus:
Kasus 5:BentukPenyelesaiannya gunakan rumus:Diskusikan!Tentukanlah integral berikut:1. sin 3 x cos 4 xdxTeorema 6 (Pengintegralan lainnya):(a)(b)(c)(d)Kasus 1:Bentukdandengan nPenyelesaiannya gunakan identitas:
Diskusikan!1. Buktikan teorema 6 diatas (Petunjuk: gunakan substitusi)2. TentukanTeorema 7 (Teorema Rekursif)):(1)(2)(3)(4)Diskusikan!1. Buktikan teoema 7 diatas.2. Gunakan teorema di atas untuk mementukanKasus 2:Bentukdangenap dan m bilangan sebarangdengan n bilangan asliPenyelesaiannya gunakan identitas:Kasus 3:Bentukdanganjil dan n bilangan sebarangdengan m bilangan asliPenyelesaiannya gunakan identitas:Diskusikan! Dengan menggunakan kasus 2 dan 3, tentukan integralberikut:1.2.
Latihan 3:Tentukanlah integral berikut:1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.–
Pengintegralan dengan subsitusi, pengintegralan parsial, dan pengintegralan beberapa fungsi trigonometri. TEKNIK INTEGRASI Pengintegralan Dengan Substitusi Teorema 1: Misalkan g suatu fungsi yang terdiferensialkan apada selang I dan F
Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 6 Jadi ³ x 2 2x 26 dx ln 2 2 26 (x 1) K. 4. Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian
1. Coba hitung integral tsb dgn teknik substitusi, bila ada substitusi yg dpt mengubah integral tsb ke salah satu bentuk baku yang kita kenal. 2. Bila teknik substitusi gagal, coba hitung integral tsb dengan pengintegralan parsial. 3. Bila integral mengandung bentuk akar, coba substitusi yang merasionalkan. 4.
3. Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula. ³udv uv ³vdu Contoh : 1. ³xe xdx M isalkan u x, dv e x dx maka du dx , v ex ³ xe x dx x x x ³e x
Bab 8 Teknik Pengintegralan Metoda Substitusi Integral Fungsi Trigonometrik Substitusi Merasionalkan Integral Parsial Integral Fungsi Rasional Oki Neswan, Ph.D. – Departemen Matematika ITB 2 Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II Pendahuluan Operasi turunan turunan sifatnya algoritmik. Apabila semua aturannya
Me lakukan pengintegralan dengan teknik substitusi. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dengan metode integral parsial Mengkaji beberapa integral trigonometri. - Buku W [1] , A[1] - Ppt Ketepatan dan kesesuaian penggunaan teknik pengintegralan yang untuk menghitung integral. Non tes (diskusi kelompok) 5 3
TEKNIK TRANSMISI TELEKOMUNIKASI (057) 2. TEKNIK SUITSING (058) 3. TEKNIK JARINGAN AKSES (060) Kelas X Semester : Ganjil / Genap Materi Ajar : Teknik Kerja Bengkel Teknik Telekomunikasi CPE e m baga) t em n ex er Kelas XI dan Kelas XII C3:Teknik Elektronika Komunikasi Teknik Kerja Bengkel Teknik Listrik Teknik Elektronika Simulasi Digital Dasar .
Bab 2. Teknik Pengintegralan--yudiari 6 menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan istilah integral parsial. Jika f dan g dua buah fungsi yang dapat didiferensialkan, maka []f (x)g(x) f (x)g'(x) g(x) f '(x)dx
the welfarist objective assumed in modern Mirrleesian theory. In normative terms, the shift from the classical bene–t-based view to the dominant modern approach, which pursues so-called "endowment taxation," is quite substantial. Under the modern approach, an individual s income-earning ability is taken as a given, and as ability makes it .
