CAPÍTULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y AXIOMAS DE ORDEN .

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANACAPÍTULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y AXIOMAS DE ORDENIntroducciónMaU teso riano l eco dum caer tivci oalPresento los elementos geométricos que enmarcan específicamente la Geometría Euclidiana ensu desarrollo como una teoría Axiomática deductiva. Se indican explícitamente los términos y lasrelaciones primitivas, y los dos primeros grupos de Axiomas que surgen para expresar losprimeros resultados en términos de las relaciones primitivas de pertenencia para el primergrupo y la relación estar entre para el segundo.Puede observarse como surgen de una manera natural las definiciones para caracterizar laspropiedades establecidas en los Axiomas y para darle nombre a los conjuntos nuevos que seoriginan siempre en la función de símbolos abreviadores para facilitar el manejo y comprensiónde la teoría. Prevalece a partir de este punto la dualidad permanente y característica delmétodo: la definición y la demostración.Objetivos Específicos.1.Presentar las primeras relaciones entre los términos primitivos: punto, recta,plano y espacio y caracterizar los tres últimos como conjuntos.2.Diferenciar claramente la relación de inclusión como una relación definida y comose cumple en la práctica entre los conjuntos definidos.3.Precisar la definición de figura geométrica como una noción generalizadora ydeterminante en la orientación de toda la teoría. Lo propio con las notaciones decada conjunto definido.4.Establecer en particular como la relación estar entre, permite relacionar todos lospuntos de una misma recta con respecto a un punto cualquiera de ella, surgiendoasí el conjunto correspondiente a la semirrecta. En forma análoga como toda rectacontenida en un plano relaciona los demás puntos de ese plano, surgiendo el

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANAconjunto designado como semiplano y finalmente como todo plano separa elespacio generando el conjunto designado como semiespacio.5.Caracterizar el segmento y los conjuntos asociados y como este conjunto permiteintroducir la primera clasificación entre las figuras como convexas y cóncavas.6.Definir una de las figuras primordiales y otros conjuntos asociados a él como es elángulo y una primera clasificación que surge de la misma definición, y quecorresponde a los ángulos llano y nulo respectivamente.Analizar detalladamente los contenidos, la estructura lógica y el alcance en laMaU teso riano l eco dum caer tivci oal7.teoría que apenas se inicia de los teoremas, señalando como algunasproposiciones que intuitivamente podrían creerse que deberían ser Axiomas sedemuestran como teoremas. Se destaca inicialmente la importancia que tendrá enadelante el Teorema de la Barra transversal.En este capítulo, comienzo dando los términos y relaciones primitivas de la geometría, y suconexión por medio de los axiomas. A medida que se van presentando los axiomas, se deducenlos teoremas que se desprenden de ellos, como también las definiciones necesarias paracaracterizar los nuevos objetos.En la formulación que adelantaré, asumiré el manejo de la lógica y de la teoría de conjuntos,aunque en algunos puntos haré hincapié en el proceso lógico de las demostraciones.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA2.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS.2.1.1 Términos primitivos: Punto, recta, plano, espacio.2.1.2 Relaciones primitivas: Estar en (pertenencia), estar entre, congruente. Estostérminos y relaciones primitivas, se pueden relacionar mediante enunciados tales como:MaU teso riano l eco dum caer tivci oalEl punto A está en la recta l.El punto B está entre los puntos A y C en la recta l.2.1.3 Axiomas: Los axiomas se dividen en cinco grupos a saber:Grupo I.Axiomas de incidencia.Grupo II:Axiomas de orden.Grupo III. Axiomas de congruencia.Grupo IV. Axiomas de continuidad.Grupo V.Axiomas de paralelismo.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA2.2 GRUPO I. AXIOMAS DE INCIDENCIA.I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por unpunto pasa por lo menos una recta. (Se identifican dos proposiciones distintas en esteaxioma).MaU teso riano l eco dum caer tivci oalI.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos.I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no está en la recta.Definición 1.Puntos colineales son aquellos que están en una misma recta.I.4 Tres puntos que no están en una misma recta, determinan un plano y solo uno al cualpertenecen.I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos no colineales.I.6 Si dos puntos de una recta están en un plano, la recta está contenida en el plano.I.7 Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es una recta.Observación. El axioma I.7 establece que si dos planos tienen un punto en común, tiene unsegundo punto en común y en consecuencia, una recta común.I.8 Dado un plano, existe por lo menos un punto del espacio que no está en el plano.Definición 2.Puntos coplanares son aquellos que están en un mismo plano.Notación.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANAi.Para designar puntos, utilizaremos letras latinas mayúsculas individuales.⃡ ó 𝐵𝐴⃡ la recta a la cual pertenecenii. Para A, B puntos distintos, notaremos por 𝐴𝐵estos puntos, ó también por letras minúsculas latinas individuales.⃡ ó la recta l. (Ver figura 5).Así, por ejemplo, nos referimos a la recta 𝐴𝐵MaU teso riano l eco dum caer tivci oalFigura 5TEOREMA 1.Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersección es solo un punto.Demostración.Sean l y m dos rectas diferentes que se cortan. (Razonemos por reducción al absurdo).Supongamos que las rectas se cortan en dos puntos distintos A y B, por el axioma I.1 por lospuntos A y B pasa una recta única. Luego, l y m son la misma recta. Contradicción, ya que l y mson rectas diferentes.Figura 6TEOREMA 2.Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano único que las contiene.Demostración.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANASean l y m dos rectas diferentes con intersección no vacía. Sea A el punto de intersección(teorema 1). Por el axioma I.2 existe otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferentede A en m. Por el teorema 1, A, B, C son no colineales ya que B no está en la recta m y C no estáen la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano único. Por el axioma I.6 lasrectas l y m están contenidas en ese plano. Este es el único plano que contiene a ambas. SiMaU teso riano l eco dum caer tivci oalexistiera otro, A, B y C estarían en él. Contradicción con el axioma I.4.Figura 7TEOREMA 3.Si l es una recta y A un punto que no pertenece a ella, existe un plano único quecontiene a la recta y al cual el punto pertenece.Demostración.Por el axioma I.2 la recta l tiene al menos dos puntos diferentes B y C. Por el axioma I.4 los trespuntos son no colineales A, B y C determinan un plano único. A está en ese plano y por elaxioma I.6 la recta l está contenida en el plano.Figura 8

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANAEste plano es único, si no, los tres puntos A, B y C estarían en otro plano. Contradicción con elMaU teso riano l eco dum caer tivci oalaxioma I.4.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA2.3 GRUPO II. AXIOMAS DE ORDEN.Intuitivamente en Geometría, el orden establece la forma como se relacionan tres puntosdistintos pertenecientes a una misma recta, esta relación es la que hemos denominado dentrode las relaciones primitivas, “estar entre”. Nos indica también a su vez como se relacionan lospuntos de un mismo plano con respecto a una recta contenida en dicho plano y finalmenteMaU teso riano l eco dum caer tivci oalcomo se relacionan los puntos en el espacio con respecto a cualquier plano contenido en éste.II.1 Si el punto B se encuentra entre el punto A y el punto C, entonces A, B y C son puntosdiferentes de una misma recta, y B se encuentra así mismo, entre C y A. (Ver figura 9).Figura 9Convención: Si B está entre el punto A y el punto C lo notamos A-B-C ó C-B-A.II.2 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto B sobre ⃡𝐴𝐶 , tal que B estáentre A y C. (Ver figura 10).Figura 10II.3 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto D sobre ⃡𝐴𝐶 , tal que C estáentre A y D. (Ver figura 11).Figura 11II.4 Dados tres puntos distintos de una recta, uno y solo uno de ellos está entre los otrosdos.Observación. El axioma II.4, establece que por ejemplo, si A está entre B y C entonces B no estáentre A y C y, C no está entre A y B.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANADefinición 3.Sea A y B dos puntos. Al conjunto formado por A y B y todos los puntos entre A y B sele llama segmento AB y se nota AB ó BA .A y B se llaman extremos del segmento y se dice que ellos determinan al segmento. Los puntosMaU teso riano l eco dum caer tivci oalque están entre A y B se llaman puntos interiores del segmento AB . Los demás puntos deABEnse llaman puntos exteriores.consecuencia:interiores a̅̅̅̅ {𝐴, 𝐵} {𝑥 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑦 𝐵}.𝐴𝐵ABlodenotamos porInt AB;𝐿𝑜𝑠porpuntostantoInt AB x es un punto que está entre A y B . Si A y B representan el mismo punto diremosxque AB es un segmento nulo.II.5 Si D está entre A y C y X está entre D y C, entonces X está entre A y C. (Ver figura 12).Figura 12Observación.De los axiomas II.2 y II.5 se sigue que un segmento no nulo tiene infinitos puntos, y lo propiopara una recta teniendo en cuenta además el axioma II.3.Definición 4.Un conjunto no vació de puntos se denomina figura.Definición 5.Diremos que una figura es convexa, si dados dos puntos cualesquiera de ella, el segmentodeterminado por estos puntos, está contenido en la figura. En caso de no cumplirse elenunciado, diremos que la figura es no convexa o cóncava. (Ver figuras 13 y 14).

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANAFigura 14 Figura no convexaMaU teso riano l eco dum caer tivci oalFigura 13 Figura convexaTEOREMA 4.La intersección no vacía de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo.Demostración.Sean A y B conjuntos convexos.Sean X, Y A B . Probemos que XY A B .Sea Z XY ; esto es: Z es X ó Z es Y ó Z está entre X y Y.Si Z es X ó Z es Y entonces Z A B .Si Z está entre X y Y, como X, Y A B , X , Y A luego XY A ya que A es convexo; enconsecuencia Z A .En forma análoga podemos concluir que Z B .Luego Z A B ; por tanto XY A B .Observación. La unión de dos conjuntos convexos, no necesariamente es un conjunto convexo.Veamos un contraejemplo.Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos sobre una recta l; tales que:AB CD (Ver figura 15).B, C AB CD y BC AB CD .Luego AB CD es no convexo.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANAFigura 15Definición 6.Sea O un punto de la recta l, A, B otros dos puntos diferentes de la misma. Si O no estáentre A y B, diremos que los puntos A y B están sobre l a un mismo lado del punto O. Si Oestá entre A y B diremos que los puntos A y B están sobre la recta l en lados diferentes conMaU teso riano l eco dum caer tivci oalrespecto al punto O. (Ver Figuras 16 y 17).Figura 17Figura 16II.6 Axioma de separación de la recta.Un punto O de una recta l divide a todos los demás puntos de ésta en dos conjuntos novacíos, de modo que dos puntos cualesquiera de l pertenecientes al mismo conjunto estána un mismo lado O, mientras que dos puntos pertenecientes a distintos conjuntos seencuentran en lados diferentes respecto al O.Ilustración: (Ver Figura 18).i.A, B están a un mismo lado de O. C, D están en un mismo lado de O.ii. B, C están en lados diferentes de O. Lo propio para: A y C; A y D; B y D.iii. A y B pertenecen a un conjunto distinto al conjunto que contiene a C y D.Figura 18Definición 7.Decimos que un punto O de una recta l, conjuntamente con algún otro punto A de lamisma, determinan la semirrecta OA, que notaremos 𝑂𝐴; los puntos que están del mismo