Libro Con Resumenes Y Ejercicios Resueltos
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEFacultad de Fı́sicaDepartamento de Fı́sica.Libro con resumenes y ejercicios resueltospor Nicolás PérezEn este borrador hay errores de modo que las correcciones son agradecidas.Comentarios a nrperez@uc.clNicolás PérezSemestre 1, 2012
Pontificia Universidad Católica de Chile - Facultad de Fı́sicaQM II - FIZ0412Ayudantı́as Mecánica Cuántica IIProfesor: Max BañadosAyudante : Nicolás Pérez (nrperez@uc.cl)Ayudantı́a 11SpinImportante caracterı́stica de las partı́culas subatómicas. Muchas veces confundida y entendida como el girodel electrón, la verdad sobre el spin es aún confusa y hasta hoy su riqueza se encuentra en lo abstracto quellega a presentarse en muchas teorı́as. Muchos efectos importantes de la fı́sica se deben al spin y las diferentesposibilidades en que se presenta al mundo.Siendo más concretos, el spin es un momento angular intrı́nseco de diferentes valores, eso si, todos múltiplos de12 . Los operadores de spin, están definidos por sus relaciones de conmutación:[Sx , Sy ] i Sz(1)Si consideramos el caso s 1/2 y queremos representarlo por matrices de 2x2, tenemos: 1/200 10 0Sz S S 0 1/20 01 0(2)Esta representación puede ser escrita como:S 1 σ2(3)donde σx 0110 σy 0i i0 σz 100 1 (4)corresponden a las matrices de Pauli. Estas matrices, satisfacen las relaciones de conmutación que siguen:[σx , σy ] 2iσz(5)σx2 σy2 σz2 1(6)y también satisfacen:Ası́ mismo, es importante considerar las siguientes relaciones generales:S 2 smi 2 s(s 1) smi(7)Sz smi m smip s(s 1) m(m 1) s(m 1)i(8)S smi (9)donde:S Sx iSy1(10)
Problemas1. (a) Encuentre los siguientes operadores en términos de las matrices de Pauli: 1 σxσx 1 ;(b) Escriba el operador de spin Sz0 de un electrón a lo largo de un eje z 0 el cuál se encuentra rotado enun ángulo θ respecto al eje z original y que yace en el plano x-y del sistema original de coordenadas(estamos hablando del espacio de spin).(c) Encuentre la probabilidad de medir 12 y 12 a lo largo del eje z’ si el electrón originalmente seencontraba en los autoestados i y i de Sz . Encuentre, para el primer caso, el valor medio de Sz0Sugerencia: rote el spinor original apropiadamente y verifique que el spinor ası́ obtenido es autoestadodel operador de spin rotado.2. En el instante t 0 un electrón, cuyo spin (s 12 ) apunta en la diracción ẑ de un sistema cartesiano B0 x̂ que apunta en la dirección x̂.de referencia, entra a una región de campo magnético uniforme, BEncuentre la probabilidad que en un instante posterior t el spin de este electrón continúe apuntando enla dirección ẑ.3. Considere una partı́cula con número cuántico de Spin s 1. Ignore todos los grados de libertad espaciales B x̂. El operador hamiltonianoy asuma que la partı́cula está sujeta a un campo magnético externo B ·S del sistema es: H g B(a) Obtenga explı́citamente las matrices de spin en la base de S 2 , autoestados Sz , s, ms i.(b) Si la partı́cula es inicialmente (a t 0) en el estado 1 1i, encuentre el estado evolucionado de lapartı́cula a tiempos t 0.(c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la partı́cula en el estado 1 1i2
Soluciones1. El primer problema fue separado en tres partes, resueltas a continuación:(a) Cuando deducimos las matrices de Pauli, es trivial notar que forman una base en el espacio de lasmatrices de 2x2. Es decir, si nos entregan cualquier matriz de 2x2, podemos escribirla en función delas matrices de Pauli y la matriz identidad. Lo que queremos obtener es: σx 1 , para ello, aprovechamosla propiedad del cuadrado de la matriz:σx2 12x2(11)σx σx σx 1 σx σx 1(12)de modo que es trivial, obtener:Finalmente: Por otro lado, nos pedı́an también calcular: 0110 (13)1 σx . Para ello, expandimos en la base:1 σx a0 12x2 a1 σx a2 σy a3 σz(14)Ahora elevamos al cuadrado la ecuación recién descrita:1 σx a20 a21 a22 a23 2a0 (a1 σx a2 σy a3 σz )ya que: {σi , σj } σi σj σj σi 0(15) i 6 j. Con esto obtenemos que:a2 a3 0(16)2a0 a1 1(17) 1(18)a20 a21Lo que nos da finalmente un resultado de: 11 σx (12x2 σx )2(19)(b) Ahora, nos piden escribir el operador de spin Sz0 . Lo que debemos recordar es cómo le afecta unab con una rotación, quedará dado por:rotación a un operador. Si tenemos un operator O,beb R 1O ROdonde R es el operador unitario de rotaciones. Entonces, en nuestro problema, nos queda: 1 0Sez Sz0 Ry (θ)Ry 1 (θ)0 1dondeiRy (θ) e 2 σy ·θPara comprender mejor el problema, expandamos la exponencial: σ σ iyye 2 σy θ cosθ isinθ223(20)(21)(22)(23)
Pero, como sabemos que σy2 1 y σy3 σy , es muy fácil notar que:ie 2 σy θ cos θθ12x2 iσy sin22(24)Entonces, nos queda: Sbz Sz0 cossincosθsinθ sin θ2 10cos θ2 sinθ cosθθ2 θ2 0 1 cos sinθ2 θ2sincosθ2 θ2 (25)(26)Con esto, queda resuelto el ejercicio.(c) Si el autoestado de Sz es i ( 1 0 )T vemos que el problema de autovalores queda definido por: cosθ sinθC1C1 (27)sinθ cosθC2C222Este problema de autovalores, tiene por solución: C1cos θ2 C2ain θ2(28)Por otro lado, es posible seguir la sugerencia del enunciado. Si teniamos un autoestado i de Sz ,entonces: 1cos θ2 sin θ2cos θ2 2i σy θΨ e (29)0sin θ2cos θ2sin θ2Luego, la probabilidad de medir i es cos2 θ2 .Si tenı́amos el estado i ( 0 1 )T Ψ ( sin θ2 cos θ2 )Ty la probabilidad de medir i sin2 θ2Finalmente, para calcular el valor de expectación, hacemos: θ θ hSz0 i cos2 sin2 cosθ22222(30)2. EL Hamiltoniano que nos interesa es:H ge e S·B S·B2me cme c(31)dado que g es aproximadamente 2. Hacemos un pequeño cambio, σS2 4H e σ · B2me c(32)
B0 x̂, B0 constante. Con esto, obtenemos:Ahora, tomamos el campo magnético: B e B0H σ12me c,01σ1 10 (33)Por otro lado, sabemos que la función de onda es un spinor de dos componentes: Ψ ψ1ψ2 tal queHΨ i Ψ t(34)Ahora, reemplazando nuestro caso concreto: eB0 0 1ψ1ψ1 i 1 0ψ2ψ22me c t(35)aquı́ la derivada parcial, puede ser reemplazada por la derivada total en el tiempo pues las funciones ψ1 , ψ2solo dependen del tiempo. Entonces,:dψ1eB0 ψ2 i2me cdtdψ2eB0 ψ1 i2me cdtAhora, introducimos la notación ω segunda, obteniendo:eB02me c . ω 2 ψ1 (36)(37)Luego, derivamos la primera ecuación y reemplazamos en lad2 ψ1dt2 ψ1 Aeiωt Be iωt(38)En t 0, ψ1 (0) 2 1 y ψ2 (0) 2 0. De este modo:ψ1 A(eiωt e iωt )(39)Entonces, normalizando la función, se obtiene:ψ1 (0) 2AEntonces, vemos que A B 124A2 1 A 12(40)(salvo por fase global).ψ1 (t) cosωt(41)ψ1 (t) isinωt(42)Es decir: Ψ cosωt10 isinωt01 (43)Luego, la probabilidad buscada es cos2 ωt. Otra posibilidad es evolucionar temporalmente el estado inicial( 1 0 )T de modo que:5
ψ1 (t)ψ2 (t) e iHt 10 (44)Luego, se expande ( 1 0 )T como C.L. de autoestados de σx . Allı́ la acción de H es diagonal. Finalmente,se identifica el coeficiente de la primera componente.3. Problema 3:(a) Para obtener las matrices de spin para s 1, consideramos las relaciones: 2 1 1i 2 1 0i 2 1 0i 2 1 1iS 1 0i S 1 1i S 1 1i S 1 0i (45)(46)(47)(48)esto, nos lleva a: 0 2 00 0 2 10 S S (S )† 01 0 00 0100001(49)(50)(51)De aqui, es sencillo obtener: 01 1Sx (S S ) 220101 01 0(52) 0 i 0(53)Del mismo modo, obtenemos la matriz en y: 01 iSy (S S ) 2i20Su conmutador es: 1[Sx , Sy ] i 2 00000 i0i 00 1(54)Esto implica que: 1Sz 006000 00 1(55)
(b) De la matriz Sx , podemos obtener los autovectores, que corresponden a los autoestados: Sx i Sx 0i Sx i 1 1 1i 2 1 0i 1 1i21 ( 1 1i 1 1i)2 1 1 1i 2 1 0i 1 1i2(56)(57)(58)(59)OJO: aquı́ estamos mirando los autoestados de Sx y lo expresamos como una combinación lineal delos otros autoestados. Lo importante es tener claro que corresponden a bases diferentes.El estado evolucionado de la partı́cula será: ψ(t)i e igBtSx / 1 1i 1 igBte i eigBt i 2 0i2(c) Transformando de vuelta a los autoestados de Sz , obtenemos: ψ(t)i cos2 (gBr/2) 1 1i sin2 (gBt/2) 1 1i i 2sin(gBt/2)cos(gBt/2) 1 0i(60)(61)Luego, la probabilidad de encontrar a la partı́cula en el autoestado Sz 1 1i es:P sin4 (gBt/2)7(62)
Pontificia Universidad Católica de Chile - Facultad de Fı́sicaQM II - FIZ0412Ayudantı́a 2Profesor: Max BañadosAyudante : Nicolás Pérez (nrperez@uc.cl)Problemas1. Considere el operador de rotaciones que actúa sobre spinores (S 12 ). Considere una rotación en tornoal eje x̂ en un ángulo θ.(a) Escriba este operador de rotación U (θ). Muestre explı́citamente que: θθU (θ) cos iσx sin22(63)(b) Inicialmente se tiene un spinor, autoestado de Sz , que apunta hacia arriba (spinor up). Suponga quemedimos ahora la componente del spin respecto a un eje z 0 que forma un ángulo θ respecto al ejez original, en el plano z y. ¿Cuál es la probabilidad de medir 2 ó 2 ? Encuentre el valor deexpectación de Sz0 (operador de Spin rotado) en el estado original.2. (a) Considere un sistema de spin 1/2. Cuáles son los autovalores y autovectores normalizados del operador Aŝy Bŝy , donde ŝy ,ŝz son los operadores de momento angular, y A, B son reales constantes.(b) Asuma que el sistema está en el estado correspondiente al autovalor superior. ¿Cuál es la probabilidadde que una medición de ŝy nos dará el valor /2?.3. Un electrón es descrito por un Hamiltoniano que no depende del spin. La función de onda de spin del representa la proyección del spin a loelectrón es un autoestado de Sz con autovalor /2. El operador n̂· Slargo de la dirección n̂. Nosotros podemos expresar esta dirección como n̂ sinθ(cosφx̂ sinφŷ) cosθẑ ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un electrón en(a) Resuelva el problema de autovalores de n̂ · S. cada autoestado n̂ · S? n̂B. El hamiltoniano(b) Asuma ahora que el sistema es sujero a una campo magnético homogéneo B El estado espacial original del electrón continua como un autoestado deles H H0 ωn̂ · S.sistema modificado. Calcule el estado de spin del sistema para tiempos posteriores t 0. ¿Cuál esla probabilidad de encontrar el sistema de nuevo en el estado original? ¿Cuál es la probabilidad deencontrarlo con el spin invertido?8
SolucionesProblema 1: Para rotaciones que actúan sobre spinores, sabemos que:i U (θ) e 2 σ·n̂θ(64)donde n̂ es la dirección del eje de rotación. En este caso, n̂ x̂, con lo que obtenemos de la ecuaciónanterior:θi(65)U (θ) e σx 2Pero como vimos en la ayudantı́a anterior, esto puede ser expandido de la forma siguiente:U (θ) 1 iσxθ1 2 2! 2θ . iσx2(66)Ahora, podemos simplificar esta ecuación simplemente considerando las siguientes igualdades:σx2 σx4 . 1(67)σx3 σx(68)Luego, es muy sencillo separar esto y obtener la simplificación correspondiente: 2 41 θ1 θU (θ) 1 .2 24! 2! 31 θθ . iσx2 3! 2(69)Luego, es evidente el resultado:θθU (θ) cos iσx sin22(70)(b) Considerando el estado inicial (10)T , autoestado spin up del operador Sz . El estado rotado es: σx ξ iθ e i 2θ 10 (71)Luego, tenemos que: ξ iθ θθcos iσx sin22 10 (72)El estado queda dado por: ξ iθ cos θ2 isin θ2 (73)Entonces, las probabilidades de medir 2 según el nuevo eje z 0 están dadas por:P cos2θ2P sin2θ2(74)¿Cómo calculamos el valor de expectación de Sz0 entre estados originales:iiSz0 e 2 σx θ Sz e 2 σx θ9(75)
Entonces, se obtiene:iih Sz0 i h e 2 σx θ Sz e 2 σx θ i(76)Lo que se transforma en (no hemos considerado las únidades): θθ1 0cos θ2h Sz0 i cos , isin0 1 isin θ222(77)Entonces el valor de expectación es:h Sz0 i cos2θθ sin222(78)Problema 2: De la definición del operador de momento angular, obtenemos rápidamente:11X̂ Aŝy Bŝz A σy B σz22(79)Luego, 2 2(A B 2 AB{σy , σz })4 2 2 (A B 2 )4(X̂)2 (80)(81)¿Cómo llegamos a esto? Usando que:σi2 1001 I,i 1, 2, 3(82)y además que:{σi , σj } σi σj σj σi 2δij(83)Luego, los dos autovalores de X̂ son:X1 p 2A B2,2X2 p 2A B22(84)En la representación de ŝ2 y Ŝz , tenemos:X̂ (Aσy Bσz ) 22 B iAiA B(85)Ahora, supongamos que los autovectores tienen la forma: abLuego, podemos escribir el problema de autovalores obteniendo: B iAaa TiA Bbb2donde:T 2 A2 B 2010 0 A2 B 2(86) (87)
o B A2 B 2iADe modo que se cumple: iA B A2 B 2ab 0(88)pa iAB A2 B 2b(89)y el autovector normalizado es: ab A2 (B 1 1/2 iAB A2 B 2A2 B 2 )2(90)(b) En la representación de ŝ2 y ŝz , el autovector de ŝy es: 1 sy i 22 i1 (91)Entonces la probabilidad de encontrar sy /2 es:1P (i 1)2 ab 21 (ia b)222 (B A2 B 2 A)2 2[(B A2 B 2 )2 A2 ](92) 22Nótese que P es la probabilidad de encontrar al sistema en el estado con autovalor X A B /222y P es la correspondiente al estado de X A B /2.Problema 3: En términos de la representación de Pauli, escribimos: n̂ · S 0sinθ cos φ1210 sinθsinφ i0 sinθe iφ cosθ 0i cosθ100 1 (93)Luego, n̂ · S2 cosθsinθeiφ(94)Los autovalores de esta matriz son /2, con los correspondientes autovectores: cos θ2sin θ2sin θ2 eiφ cos θ2 eiφ(95)Las probabilidades de encontrar el electron en los estados superiores son respectivamente cos2 (θ/2) ysin2 (θ/2).(b) El estado evolucionado será: ψ(t)i)e iE(0) t/ iωt(n̂·S)/ e ψ(0)i(96)Ignorando la parte espacial, tenemos:Ψ(t) e iE(0)t/ iωt(n̂· σ )/2e11 10 (97)
o también: iE ( 0)t/ Ψ(t) e [cos(ωt/2) in̂ · σ sin(ωt/2)]10 (98)de modo que:Ψ(t) e iE(0)t/ cos(ωt/2) isin(ωt/2)cosθ isin(ωt/2)sinθeiφ (99)La probabilidad de encontrar el sistema nuevamente con spin up es:P cos(ωt/2) isin(ωt/2)cosθ 2 1 sin2 (ωt/2)sin2 θ(100)Nt́ese que en los tiempos t 2π/ω, 4π/ω, . esta probabilidad se transforma en la unidad. La probabilidadde encontrar el sistema con spin down debe ser:P sin2 (ωt/2)sin2 θ12(101)
Pontificia Universidad Católica de Chile - Facultad de Fı́sicaQM II - FIZ0412Ayudantı́a 3Profesor: Max BañadosAyudante : Nicolás Pérez (nrperez@uc.cl)Resumen - Adición de momento angularEn este tema, lo que se busca comprender es la adición de momento angular en sistemas complejos donde porejemplo tengamos dos partı́culas de diferente spin. En primer lugar, debemos tener claro que los operadoresque actúan sobre diferentes partı́culas dado que sus grados de libertad son independientes. Considerando esto,es evidente que los operadores de spin conmutan, es decir:[S1 , S2 ] 0(102)S S1 S2(103)Luego, definimos el spin total como:Ahora, lo que nos interesa es determinar los autovalores y autofunciones de S 2 y Sz . Si consideramos un sistemacon dos partı́culas de spin 1/2, tenemos que el sistema tiene 4 estados. Consideremos solo la primera partı́culay hagamos actuar el operador sobre la autofunción. Obtenemos: 1 1(1)(1)(104) 1 2 χ S12 χ 2 2(1)(1)S1z χ χ (105)Y es obvio que para la segunda partı́cula es exactamente lo mismo. Otra notación, que a veces es más cómodavisualmente, hace la relación χ Entonces, los cuatro posibles estados del sistema son: (106)Si nos devolvemos y aplicamos Sz sobre ambos spinores, lo que obtenemos es:Sz χ1 χ2 (Sz(1) Sz(2) )χ1 χ2(107) (Sz(1) χ1 )χ2χ1 (Sz(2) χ2 )(108) ( m1 χ1)χ2 χ1 ( m2 χ2 )(109) (m1 m2 )χ1 χ2(110)Relacionando esto con la notación gráfica, tenemos: : m 1(111) : m 0(112) : m 0(113) : m 1(114)Si esto se analiza correctamente, nos daremos cuenta que podemos separar 4 estados en dos sets. Uno con s 1que es el llamado triplete y otro con s 0 que es el llamado singlete. Es importante notar que si nos abstraemos13
al resultado general y formamos un sistema con dos partı́culas de spin s1 y s2 , los spines totales del sistemapueden ser:s (s1 s2 ), (s1 s2 1), (s1 s2 2), ., s1 s2 (115)El estado partı́cula s mi con spin total s y componente z m será una combinación lineal de los estadoscompuestos s1 m1 i s2 m2 i dada por:Xs1 s2 s smi Cm s1 m1 i s2 m2 i(116)1 m2 mm1 m2 mNótese que las componentes z añaden solamente los estados compuestos que contribuyen para los cuales m1 m2 m14
Problemas1. Un sistema de dos partı́culas con spin s1 32 y s2 21 es descrito por el Hamiltoniano aproximadoH αS1 · S2 , con α una constante dada. El sistema está inicialmente (t 0) en el siguiente autoestadode S12 , S22 S1z , S2z :3 1 1 1;i(117)2 2 2 2Encuentre el estado del sistema en tiempos t 0. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al sistema en elestado 23 32 ; 12 12 i? 2. Considere un sistema de dos fermiones no idénticos, cada uno con spin 1/2. Uno está en el estado conS1x /2 mientras que el otro está en el estado con S2y /2. ¿Cuál es la probabilidad de encontrarel sistema en un estado con números cuánticos de spin total s 1, ms 0, donde ms se refiere a lacomponentez del spin total?3. Considere dos partı́culas de spin 1 que ocupan el estado: s1 1, m 1; s2 1, m2 0i¿Cuál es la probabilidad de encontrar el sistema en un autoestado de spin total S 2 con número cuánticos 1? Cuál es la probabilidad para s 2?15
SolucionesProblema 1:El hamiltoniano es entonces: 11 29222H α(S S1 S2 ) α S(S 1) 222(118)Ls autoestados de S 2 , Sz también será autoestados estacionarios; Los valores permitidos del númerocuántico de spin total s son 1,2. Estos estados pueden ser expresados en términos de los estadosS12 , S22 , S1z , S2z a través de los coeficientes de Clebsch-Gordan. En particular, tenemos: 1 1i 2 1i 3a23c23;21;211 221 12 23 b23 d21;23;21 12 211 22(119)(120)Utilizaremos la expresión:pS s mi s(s 1) m(m 1) s (m 1)i(121)Los coeficientes a, b, c, d son fácilmente determinados de:3 3 11( ) 3 1 1 1; bS1;2 2 222 2 2 2 3 3 1 13 3 1 1; b 3; a 2 2 2 22 2 2 2S 1 1i ( )0 aS2Lo que nos da: a 32b 12(122)(123)(124)Similarmente, tenemos:3 3 1S 2 1i 2 2 2i 2 ;2 2 2 3 3 1 13 3 1; d ; c 32 2 2 22 2 2Lo que nos da:1d 21212(125)(126) c 32(127)Entonces, tenemos: 11 3 1 1 13 3 3 1 1 1i ; ;2 2 2 222 2 2 2 2 3 3 1 1 11 3 3 11 2 1i ; ; 2 2 2 2 22 2 2 2216(128)(129)
Las relaciones inversas son:3 1 1 1;2 2 2 213 3 1; 2 2 22 31 2 1i 1 1i22 13 2 1i 1 1i22(130)(131)El estado evolucionado del sistema será: ψ(t)i 1 iE2 t/ 3e 2 1i e iE1 t/ 1 1i2(132)con:5α 43α 4E1 (133)E2 (134)como los dos autovalores de energı́a. Finalmente, la probabilidad de encontrar al sistema en el estado: 23 32 ; 21 12 i es:P 3 3 11; ψ(t)2 2 22 3(E E1 )t2sin24 3sin2 2αt42(135)(136)(137)Problema 2:De la representación de Pauli, inmediatamente podemos ver que: S1x /2i S1x /2i 1 ( i1 i1 )21 ( i1 i1 )2(138)(139)donde i y i son autofunciones de Sz . Las relaciones inversas son: i1 i1 1 ( S1x /2i S1x /2i)21 ( S1x /2i S1x /2i)2De forma completamente análoga, podemos ver que:17(140)(141)
S2y /2i S2y /2i 1 ( i2 i i2 )21 ( i2 i i2 )2(142)(143)De modo que se obtiene: i2 i2 1 ( S2y /2i S2y /2i)2i ( S2y /2i S2y /2i)2(144)(145)El estado ms 0 en el triplete s 1 es: s 1, ms 0i 1 ( i1 i2 i1 i2 )21 iπ/4 S1x /2i S2y /2i eiπ/4 S1x /2i S2y /2i i(e2eiπ/4 S1x /2i S2y /2i e iπ/4 S1x /2i S2y /2i)(146)(147)Ojo que hemos reducido:1eiπ/4 (1 i)2(148)Finalmente, de la expresión anterior, es posible leer la posibilidad:2P h1 0 S1x , S2y i 1/4(149)Problema 3: No es dificil construir los autoestados de S 2 , Sz . Los mostraremos utilizando letras ennegrita. Ellos son un singlete:11 0 0i 1, 0i 1, 0i ( 1, 1i 1, 1i 1, 1i 1, 1i)22(150)y un triplete:1 ( 1, 0i 1, 1i 1, 1i 1, 0i)211 1 0i 1, 0i 1, 0i ( 1, 1i 1, 1i 1, 1i 1, 1i)221 1 1i ( 1, 0i 1, 1i
Libro con resumenes y ejercicios resueltos por Nicol as P erez En este borrador hay errores de modo que las correcciones son agradecidas. Comentarios a nrperez@uc.cl Nicol as P erez Semestre 1, 2012. Ponti cia Universidad Cat olica de Chile - Facultad de F sica QM II - FIZ0412
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