Analyse Des Séries Temporelles 1. Définitions

Analyse des séries temporellesDidier DelignièresSeptembre 20071. DéfinitionsLes statistiques classiques opèrent le plus souvent par comparaison de moyennes(notamment par Analyse de variance) ou par l’étude des relations entre variables (parl’analyse des corrélations). Le concept d’échantillon est central dans cette approche. Unéchantillon est un ensemble de données collectées sur des « sujets » différents, mais supposésissus d’une même population parente. Ceci signifie qu’au regard de la variable mesurée, lessujets ne diffèrent pas au-delà « d’erreurs » aléatoires (liées par exemple à l’histoire dessujets, à divers facteurs non maîtrisés dans la standardisation expérimentales, à de l’erreur demesure, ect.).En d’autres termes, chaque valeur xi de l’échantillon considéré peut être expriméainsi :xi µ εi(1)µ représentant le « valeur vraie » de la variable mesurée, et εi une variable aléatoirecentrée distribuée normalement. Dans la mesure où la moyenne de εi est nulle, on conçoit quela moyenne théorique de l’échantillon est µ (c’est à dire que la moyenne empirique tend à serapprocher asymptotiquement de µ lorsque l’effectif de l’échantillon augmente). On le voit,les statistiques classiques reposent sur des hypothèses fortes, et la vérification de la normalitéde la distribution des échantillons n’est pas superflue. A noter que dans un échantillon, l’ordredans lequel se présentent les données n’a aucun effet sur les résumés statistiques (moyenne ouécart-type notamment).Les statistiques classiques visent donc à approcher une valeur vraie, supposée stable etpartagée par un ensemble de « sujets », en multipliant les mesures supposées indépendantes.Les statistiques en séries temporelles vont plutôt tenter d’analyser l’évolution dans le tempsd’une variable donnée. Il s’agira donc de mesurer de manière répétée un phénomène. Si lesmesures sont réalisées de manière régulière, on parlera de séries temporelles. Chaque valeurest alors distante de la précédente d’un intervalle de temps constant.Fréquemment cependant les mesures sont réalisées non à l’échéance d’un intervalletemporel fixé à l’avance, mais à l’occurrence d’un événement donné. C’est le cas par exempledans les expérience de tapping, où l’on collecte des séries d’intervalles inter-tappes : lesvaleurs ainsi collectées demeurent ordonnées, mais les valeurs successive ne correspondentplus à des dates absolues définies par une fréquence d’acquisition.Séries temporelles et séries événementielles sont le plus souvent traitéesindifféremment dans la littérature. Ce qui ne va pas sans poser problème, par exemple dansl’application des analyses spectrales (que signifie la fréquence dans une sérieévénementielle ?). Certains travaux ont montré cependant que la construction de sériesévénementielles apportait des informations plus riches sur le système considéré quel’utilisation de séries temporelles (voir Delignières, Torre & Lemoine, 2005 ; Torre,Delignières & Lemoine, 2007).

Il existe deux catégories de modèles pour rendre compte d'une série temporelle. Lespremiers considèrent que les données sont une fonction du tempsyt f(t)(2)On suppose alors un déterminisme temporel strict. On retrouve ce type de modèle dansles équations différentielles ordinaires, par exemple :yt y0 vt(3)Une seconde catégorie de modèles cherche à déterminer chaque valeur de la série enfonction des valeurs qui la précède :yt f(yt-1, yt-2, )(4)Ce type de modèle exploite une fonction itérative. C'est notamment le cas des modèlesARIMA qui seront détaillés dans ce cours. A noter que ces deux types de modèles sontinvertibles. L’équation différentielle (3) peut être exprimée sous forme itérative :yt yt-1 vdt(5)A noter que dans les deux cas ces modèles peuvent inclure des termes stochastiques,soit :yt f(t) εtouyt f(yt-1) εt(6)εt représentant un bruit gaussien de moyenne nulle.L’objectif premier des statistiques en séries temporelles est d’analyser la nature desdépendances temporelles dans les séries, c’est-à-dire la manière dont une valeur est liée auxvaleurs précédemment observées. Un des postulats de base de ces approches est doncl’existence de telles dépendances, qu’il conviendra de caractériser. Une série temporellecomposée de valeurs successives non corrélées (c’est-à-dire un bruit blanc) est considérécomme un cas limite.On peut noter cependant que souvent, on a recours à l'analyse de variance pour traiterles séries de mesures répétées. Or une des assomptions majeures de l'ANOVA est que lesrésidus des différentes mesures ne sont pas auto-corrélés. Ce n'est évidemment pas le cas si laperformance à l'essai t est liée à la performance réalisée à l'essai t-1.2. Rappels statistiquesLes statistiques en séries temporelles empruntent aux statistiques classiques uncertains nombre de procédures dont on peut rappeler les principes essentiels.2.1.Covariance et corrélationSi X1 et X2 sont fortement liées par un lien positif, on pourrait penser définir lacovariance en développant l'idée suivante : Quand X1 prend une valeur positive, alors X2prend vraisemblablement aussi une valeur positive, et vice-versa. Cette idée ne convientpas, car la Covariance doit rester inchangée quand les distributions de probabilité desvariables sont translatées par des quantités arbitraires. Au lieu de mesurer X1 et X2 à partirde 0, nous allons donc les mesurer à partir de références qui se translatent en même tempsque les distributions, par exemple leurs moyennes µ 1 et µ 2, soit :Quand (X1 - µ 1) prend une valeur positive, alors (X2 - µ 2 ) prend vraisemblablementaussi une valeur positive, et vice-versa. Ainsi, si X1 et X2 sont fortement (positivement)

liées, les quantités (X1 - µ 1) et (X2 - µ 2 ) seront le plus souvent simultanément positives, ousimultanément négatives.Le produit (X1 - µ 1)x(X2 - µ 2 ) sera donc alors le plus souvent positif, soit parceque les deux quantités sont positives, soit parce que les deux quantités sont négatives. LaCovariance de X1 et X2. est définie comme l'espérance du produit (X1 - µ 1)x(X2 - µ 2)Cov(X1, X2) E[(X1 - µ 1).(X2 - µ 2)](7)Une faiblesse de la Covariance est qu'elle n'est pas invariante dans un changementd'unités utilisées pour exprimer les valeurs des deux variables X1 et X2. Par exemple, lavaleur de la Covariance de "Taille" et "Poids" d'une population change si les tailles sontexprimées en pouces au lieu de centimètres, ou les poids sont exprimés en "pounds" au lieude kilogrammes, alors que la force du lien entre ces deux grandeurs ne dépend évidemmentpas des unités utilisées pour les exprimer. C’est pourquoi on utilise plus fréquemment, et àfin de comparaison entre situations, le coefficient de corrélation.Supposons que l'unité utilisée pour mesurer X1 soit divisée par 2 (et donc que lesvaleurs de X1 soient multipliées par 2). Alors la covariance Cov(X1, X2) est égalementmultipliée par 2. Mais l'écart-type (racine carrée de la variance) de X1 estégalement multiplié par 2, et donc le rapport :Cov(X1, X2) /(Var(X1))1/2(8)reste inchangé. Le même argument s'applique à X2, et plus généralement, à toutchangement d'unités pour la mesure de X1 et de X2. Donc, en toute généralité, le nombre :(9)ne dépend pas des unités dans lesquelles X1 et X2 sont exprimées.(corrélation maximale positive) à -1 (corrélation maximale négative).ρ varie de 1On utilise couramment une formule plus pratique, dérivée de la précédente:r N xy x y( N x ² ( x )²)( N y ² ( y )²)(10)2.2. Corrélation partielleLa corrélation partielle permet parfois d'éviter de se laisser abuser par certainescorrélations artefactuelles. Par exemple, si l'on calcule les corrélations entre (1) l'intelligence,(2) le poids, et (3) l'âge. On trouve une corrélation r12 .60 entre intelligence et poids. Cettecorrélation doit être rapportée aux deux autres, soit r13 .69, et r23 .88. La corrélation partielleexprime la liaison entre deux variables, en contrôlant l'influence d'une troisième variable:dans ce cas on calcule la liaison entre intelligence et poids, à âge constant.La procédure de corrélation partielle consiste à calculer l'équation de régression de (1)vers (3). Puis on calcule la corrélation entre les résidus de cette régression et (2).

On dispose d'un moyen plus rapide, à condition de pouvoir calculer les corrélationsentre les trois variables:r12 (r13 r23 )r12 3 (11)(1 r13 ²)(1 r23 ²)Dans ce cas la corrélation partielle est de -.02.2.3. RégressionSoit la représentation graphique, en deux dimensions, de la relation entre deuxvariables x et y. Chaque point M est associé à un couple (x,y). On cherche à déterminer unedroite qui représenterait au mieux la relation, qui s'ajusterait au nuage de points. La droiteretenue est celle pour laquelle la somme des carrés des distances verticales de chaque point Mà la droite est minimale.On démontre que cette droite passe par un point de coordonnées (mx,my), et que sonéquation est de la formey ax baveca (12) ( x m )( y m ) ( x m )²xy(13)xetb my - amx(14)On peut développer ces équations pour obtenir des formules de calcul plus pratiques:a b N ( xy ) x y(15)N x ² ( x )² x ² y x xyN x ² ( x )²(16)a et b sont les paramètres de la droite des moindres carrés. La formule y ax bpermet de calculer pour chaque x une valeur théorique de y. L'échantillon des yth-y constitueles résidus de la régression. La droite des moindres carrés est donc la droite qui minimise lasomme des carrés des résidus.Par une transformation logarithmique de X, de Y ou des deux simultanément, on peutreconstituer les ajustements logarithmiques, exponentiel et puissance.Ajustement logarithmiquelog(X) et Yy Alogx BA et B sont ici donnés directement.Ajustement exponentiellog(y) ax b doncX et log(Y)y B*eAxy eax by eb*eaxy B*eaxA a et B ebAjustement puissancelog(X) et log(Y)y BxA