Esercizi Di Algebra Lineare ClarettaCarrara

Esercizi di Algebra LineareClaretta Carrara

IndiceCapitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple1. Soluzioni13Capitolo 2. Rette e piani1. Suggerimenti2. Soluzioni151921Capitolo 3. Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali1. Suggerimenti2. Soluzioni474848Capitolo 4. La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)1. Suggerimenti2. Soluzioni555657Capitolo 5. Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango)1. Suggerimenti2. Soluzioni676969Capitolo 6. Determinante e inversa di una matrice1. Suggerimenti2. Soluzioni838485Capitolo 7. Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.1. Suggerimenti2. Soluzioni95106107Capitolo 8. Applicazioni lineari1. Suggerimenti2. Soluzioni179186188Capitolo 9. Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari1. Suggerimenti2. Soluzioni243247249Capitolo 10. Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali1. Suggerimenti2. Soluzioni287289290Capitolo 11. Endomorfismi e matrici simmetriche1. Suggerimenti2. Soluzioni303305305Capitolo 12. Rette e piani con le matrici e i determinanti1. Suggerimenti2. Soluzioni321322324Capitolo 13. Coniche1. Suggerimenti2. Soluzioni337339342Capitolo 14. Quadriche1. Suggerimenti2. Soluzioni381382385iii

ivCapitolo 15. Coordiante omogenee e proiezioni1. Suggerimenti2. SoluzioniINDICE407408408

INDICEv

Avvertenze importanti. L’eserciziario è scaricabile gratuitamente dalla rete. Si tratta semplicemente di una raccolta diesercizi. Sicuramente contiene errori di conto e di scrittura (e forse anche altro). Quasi ogni capitolo è cosı̀ strutturato:– Testo degli esercizi,– Suggerimenti e brevi spiegazioni sulle tecniche utilizzate per la risoluzione,– Soluzione di tutti gli esercizi proposti. L’eserciziario contiene sostanzialmente:– i Fogli di esercizi assegnati e parzialmente svolti nelle ore di esercitazione per i corsi: Geometria , c.l. in Ingegneria Edile / Architettura, dall’a.a 2002/03 all’a.a. 2009/2010. Geometria e Algebra, c.l. in Ingegneria e Scienze dell’Informazione e dell’Organizzazione - Rovereto, dall’a.a 2002/03, all’a.a. 2006/2007. Geometria e Algebra, Ingegneria a-l, a.a. 2010/2011.I corsi sono tenuti dal Prof. Alessandro Perotti, ad eccezione di Geometria e Algebra, c.l.in Ingegneria e Scienze dell’Informazione e dell’Organizzazione - Rovereto, a.a. 2006/2007,tenuto dal Prof. Gianluca Occhetta.Alcuni esercizi (segnalati) sono presi dal libro di testo M.P. Manara - A. Perotti - R.Scapellato, Geometria e Algebra Lineare (Teoria ed esercizi), ed. Esculapio, 2002.– La maggior parte degli esercizi degli appelli d’esame e delle provette dei precedenti corsi.

CAPITOLO 1Operazioni tra matrici e n-upleEsercizio 1.1. Date le matrici 3 0B 1 4 2 1 1A 3 e dati λ 5, µ 2, si calcoli AB, BA, A B, B A, λA µB.Esercizio 1.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ R, calcolareA B, B A, λA µB, AB, BA, A2 : 13 21 1λ , µ 0B A 1 42 22 1 013 0 2A 3 1 1 B 1 4 5 λ 2, µ 12 0 1 1 0 0Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici: 1 2 5 30 2 5A2 A1 3 1 0 2 ;;4 3 240 0 2 2 4 135A5 4 4 4 ;A4 1 10 ;0 0 0 2 0 50 1 2 ;A3 45 5 1 3 1 1A6 ; 8 5 3 calcolare, quando possibile, i prodotti Ai · Aj per i, j 1, 2, 3, 4, 5, 6.Esercizio 1.4. Date le matrici A 1 2 1 0I4 00 1 B 1 33 4calcolare i prodotti AI4 e I4 AT .Esercizio 1.5. Date le matrici A 2calcolare 3A 2B e AB T .1230100 00 0 10010231 Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A3 della matrice 1 1 2 0 3 1 1 0 1Esercizio 1.7. Data la matriceA 1 3 12calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB BA I).Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare seesiste la matrice B tale che AB BA I). 1 11 1A A 3 3 3 21

21. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLEEsercizio 1.9. Date le matrici 2 0A 0 3B calcolare AB, BA, BC e CB. 1 20 3 C 0330Esercizio 1.10. Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M2 2 (R)) a b a, b, c RI 0 cSi verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementidi I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I.Esercizio 1.11. Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che AB 0.Esercizio 1.12. SiaA 1 10 1e B una matrice tale che AB BA. Si dimostri che 0 xB λI2 0 0dove λ, x R.Esercizio 1.13. Date le matrici 1 2A 0 52 1 3 6 4 1C 12 2 05 2 1 3 1 1,C 2 3 edeterminare la matrice B tale che A B C.Esercizio 1.14. Date le matrici 21 2, B A 1 1 3 1,1Esercizio 1.15. Date le matrici 1 k,A 0 1B stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C. 3,221C 0D 13 61 3 12 stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere talecombinazione lineare.Esercizio 1.16. Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n 2, 3 o 4: 1, 2u1 (1, 0)u2 2 11u4 0, , 2u3 3, , 542 1u5 ( 1, 1, 2, 2)u6 0, 0, , 33Si calcoli quando possibileui uj ,ui · uTj ,λ · ui ,con λ 0, 2, 2,i, j 1, . . . 6Esercizio 1.17. Dimostrare che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato è necessariamente reale.Esercizio 1.18. Si risolva il sistema Ax b dove 1 3xA ,x 1x22 4Esercizio 1.19. Siano A e B matrici 3 3 tali cheAB BASi dimostri che deve necessariamente essere:A λI3b 2 2 B M3 3per qualche λ R

1. SOLUZIONI3Esercizio 1.20. Si risolva il sistema Ax b nei seguenti casi 2x11 3 2b 3 x x2 a)A 0 3 6 ,4x30 0 2b)c) 4 33A 0 10 0 1 3A 0 10 0 26 ,0 11 ,0 x1x x2 x3 3b 4 4 3b 4 0 x1x x2 x3 Esercizio 1.21. Si dica per quali valori di k R il sistema Ax b dove 01 12x11 ,b 1 A 0 1x x2 x3 10 0 k 1ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali . SoluzioniEsercizio 1.1. Date le matriciA 13 2 1B 3 0 1 4e dati λ 5, µ 2, calcolare AB, BA, A B, B A, λA µB.Soluzione: 1 · 3 2 · ( 1)1·0 2·418AB 3 · 3 ( 1) · ( 1) 3 · 0 ( 1) · 410 4 363·1 0·33 · 2 0 · ( 1) BA 11 6 1 · 1 4 · 3 1 · 2 4 · ( 1) 1 32 04 2A B 3 ( 1) 1 42 3 2 23 10 2 B A 4 5 1 3 4 ( 1) 5 106 011 105A 2B 15 5 2 813 3 Esercizio 1.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ R, calcolareA B, B A, λA µB, AB, BA, A2 : 11 13 2A B λ , µ 02 2 1 42 1 013 0 2A 3 1 1 B 1 4 5 λ 2, µ 12 0 1 1 0 0Soluzione:

41. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLEComiciamo dalla prima coppia di matrici: 4 3A B 1 6λA µB 7BA 7 111 ·A 0·B A 2122 77121 2 1B A 3 2 2 6AB 4 12 3 32A A·A 6 6 Analogamente per la seconda coppia di matrici: 4 0 3A B 2 3 4 1 0 1 1 00λA µB 2A B 7 6 7 50 2 701BA 21 4 10 1 0 1Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici: 1 2 5 30 2 5 A1 3 1 0 2 ;A2 ;4 3 240 0 2 35 2 4 1A4 1 10 ;A5 4 4 4 ; 2 00 0 0 2 0 1B A 4 5 6 3 0 1 20 2AB 11 4 1 70 4 3 0 0A2 A · A 2 1 5 0 0 3 50 1 2 ;A3 45 5 1 3 1 1A6 ; 8 5 3 calcolare, quando possibile, i prodotti Ai · Aj per i, j 1, 2, 3, 4, 5, 6.Soluzione:Ricordiamo che una matrice è detta n m se ha n righe e m colonne. Inoltre è possibile moltiplicare duematrici A e B solamente se A è del tipo n m B è del tipo m k(cioè se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B). Il risultato è una matrice C deltipo n k.Scriviamo solo i prodotti che è possibile effettuare: 2 32A1 · A3 26 4 102 8 8 8 8 2014 20 14A2 · A5 A2 · A4 A2 · A1 4 4 811 10 5 11 20 22 15 5 50 10 25 13 9 87 4 1 A3 · A6 A3 · A2 52 29 11 20 23 30 70 8 4 7 23 49 28 1220 21 25A4 · A6 77 49 31 A4 · A2 40 28 15 6 2 204 10 12 8 14 12 3018 8 10 12A5 · A5 8 0 12 A5 · A4 24 20 A5 · A1 32 12 20 12 00 0000000 2 7 15 13 8 52 81A6 · A1 A6 · A4 A6 · A5 35 21 40 28 35 10 4 12 12

1. SOLUZIONI5 Esercizio 1.4. Date le matrici A 1 23 4 1 0I4 00 calcolare i prodotti AI4 e I4 AT .0100 00 0 10010Soluzione:Notiamo che la matrice quadrata I4 è detta matrice identica di ordine 4. In generale le matrici identiche(dei differenti ordini) vengono indicate I. AI4 1 2 3 4 A 11 2 2 TT I4 A I4 · 3 3 A44 Esercizio 1.5. Date le matrici A 212 13calcolare 3A 2B e AB T . B 1 3231 Soluzione: 3A 2B 6 AB T 212 3 2 6 43 1 3 1 3 1 · 2 231329 2 8152233 1 Notiamo che la matrice 12 è detta matrice scalare. 3Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A della matrice 1 1 2 0 3 1 1 0 1Soluzione:Si tratta di eseguire due prodotti: 3 4A3 A · A · A 1 92 1 6 151 1 234 · 0 3 1 5 265 51 0 13Esercizio 1.7. Data la matrice 515 6 1 1 3 2calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB BA I).A Soluzione:Sia B la matrice cercata. Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 2. Siaquindi x yB z w

61. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLEla generica matrice 2 2 e calcoliamo il prodotto AB: 1 1x yx zAB · 3 2z w 3x 2zDalla condizione AB I segue x z 1 y w 0 3x 2z 0 3y 2w 1 x 1 z y w 3(1 z) 2z 0 3( w) 2w 1y w 3y 2wDi conseguenza perché B verifichi la condizione AB Ideve essere 2 15B 5315 x 25 y 15 3 z 5 w 515E’ immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione BA I, di conseguenza B è lamatrice inversa di A cercata.Metodi più efficaci per calcolare l’inversa di una matrice verranno introdotti successsivamente. Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare seesiste la matrice B tale che AB BA I). 1 11 1A A 3 3 3 2Soluzione:Consideriamo la matrice 1 1A 3 3 Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 2. Sia quindi x yB z wla generica matrice 2 2. Si ha x zx y1 1 ·AB 3x 3zz w3 3 Dalla condizione AB I segue x z 1 y w 0 3x 3z 0 3y 3w 1 x 1 z y w 3(1 z) 3z 0 3( w) 3w 1y w3y 3w x 1 z y w 3 0 0 1La terza e la quarta equazione sono impossibili, di conseguenza tutto il sistema non ammette soluzione.Questo indica che la matrice A non ammette inversa.Consideriamo ora la matriceA e sia 1 1 3 2 xB zla generica matrice 2 2. Si ha yw 1 1x yx zAB · 3 2z w 3x 2zy w 3y 2w

1. SOLUZIONI7Dalla condizione AB I segue x 1 z x z 1 y w y w 0 3(1 z) 2z 0 3x 2z 0 3w 2w 1 3y 2w 1Di conseguenza deve essereB 2 3 x 2 y 1 z 3 w 1 x 1 z y w z 3 w 1 1 1E’ immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione BA I, di conseguenza B è lamatrice inversa di A cercata. Una tale matrice B inversa di A viene normalmente indicata con A 1 . Esercizio 1.9. Date le matrici 2 0A 0 3B calcolare AB, BA, BC e CB. 1 20 3 C 30 03Soluzione: 2 4AB 0 9 3 6BC 0 9 2 6BA 0 9 3 6CB 0 9Notiamo che AB 6 BA, mentre BC CB. Infatti il prodotto tra matrici non è in generalecommutativo; nel secondo caso si presenta questa situazione particolare in quanto C 3I. Esercizio 1.10. Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M2 2 (R)) a bI a, b, c R0 cSi verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementidi I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I.Soluzione:Siano aA 0bc xB 0yz due generici elementi di I. Dobbiamo verificare che A B e AB sono ancora elementi di I: a bx ya x b yA B I0 c0 z0c z ax ay bz IAB 0czNotiamo che l’unica condizione per l’appartenenza a I è che l’elemento di posizione 2, 1 si annulli. Esercizio 1.11. Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che AB 0.Soluzione:Possiamo prendere per esempioA Infatti A e B sono non nulle e AB 0. 1 01 0 B 0 00 1