Exame De Matem Tica Tempo Para Realiza O Da Prova: 2 Horas

Provas de Acesso ao Ensino SuperiorPara Maiores de 23 AnosCandidatura de 2014Exame de MatemáticaTempo para realização da prova: 2 horasTolerância: 30 minutosMaterial necessário: Material de escrita. Máquina de calcular cientı́fica (não gráfica).A prova é constituı́da por dois grupos, I e II. O grupo I inclui 7 questões de escolha múltipla.– Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais apenas umaestá correta.– Se apresentar mais do que uma resposta ou se a resposta for ilegı́vel, a questãoserá anulada.– Não apresente cálculos nem justificações.– Escreva na folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativaque considera correta. O grupo II inclui 4 questões de resposta aberta.– Nas questões deste grupo apresente de forma clara o seu raciocı́nio, indicandotodos os cálculos que efetuar e todas as justificações necessárias.CotaçõesGrupo I . 70Cada resposta certa .10Grupo II .1301. .203. .451.1.53.1.151.2.103.2.101.3.53.3.202. .304. .352.1.154.1.152.2.101/14.2.202.3.51/8

FormulárioÁrea de figuras planas:Base Altura2 Triângulo: Losango:Diagonal M aior Diagonal M enor2 Trapézio:Base M aior Base M enor Altura2 Cı́rculo: πr2 ; r raioPerı́metro de figuras planas: Circunferência: 2πr; r raioVolumes: Paralelepı́pedo retângulo: Área da base Altura Pirâmide: Cone: Esfera:1 Área da Base Altura31 Área da Base Altura34 3πr ; r raio3Progressões:Termo de ordem n de uma progressão de razão r: Aritmética: un u1 (n 1)r Geométrica: un u1 rn 1Soma dos n primeiros termos de uma progressão de termo geral un e razão r:u1 un Aritmética: Sn n21 rn Geométrica: Sn u1 (r 6 1)1 rRegras de Derivação:u0cos2 u (u v)0 u0 v 0 (un )0 nun 1 u0 (tg u)0 (uv)0 u0 v uv 0 (sen u)0 u0 cos u (eu )0 u0 eu (cos u)0 u0 sen u (ln u)0 ( uv )0 u0 v uv 0v2u0u2/8

Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos:αsen αcos αtg α0o01030o12 45o60o90o 22 3233 223212101 3-Fórmulas trigonométricas sen(2x) 2 sen x cos x cos(2x) cos2 x sen2 x tg(2x) 2 tg x1 tg2 x3/8

Grupo I1. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f , de domı́nio REm qual das figuras seguintes poderá estar representada parte dos gráficos de duasfunções, g e h, de domı́nio R, tais que f g h?(A)(B)(C)(D)2. Seis quadrados de lado formam a figuraO perı́metro do triângulo [BEC] é: (A) (2 5 8) (B) (3 5 2 2) (C) (3 8 2) (D) (3 3 2 5) 4/8

3. Uma instituição bancária oferece uma taxa de juro de 5% ao ano para depósitosnuma certa modalidade, com capitalização de juros, isto é, no final de cada ano, ojuro obtido é adicionado ao capital existente, sendo a taxa de juro, no ano seguinte,aplicada sobre esse valor.Um cliente desse banco fez um depósito de 4 000 euros, nessa modalidade.Qual é, em euros, o capital desse cliente, relativo a esse depósito, passados 6 anos?(A) 5240.24(B) 5360.38(C) 5435.72(D) 5105.134. Seja f a função definida em R por f (x) ln(x). Então f ( xe ) f (ex) é igual a:(A) ln(C) 1ex ex (B) lnex ln(ex)(D) 25. Na figura seguinte está representada parte da representação gráfica de uma funçãog, de domı́nio R \ {0}.Qual das figuras seguintes poderá ser parte da representação gráfica da função g 0 ,derivada de g?(A)(B)(C)(D)5/8

6. A derivada da função h, definida por h(x) (A)1 sen xcos x(B) (C)1 sen xcos2 x(D)cos x, é:1 sen x1(1 sen x)211 sen x 11 3 obtém-se:7. Simplificando-se a expressão 273 4 3 32 3 3(B)(A)93 (D) 4 3 13(C) 3 136/8

parte do gráfico de uma função afim g .Qual das seguintes condições pode ter como conjunto solução o conjunto?Grupo II(A) f ( x) g ( x) 0f ( x)0(C)seguinteg ( xsequência)(B) f ( x) g ( x) 0( f gos)( x) três0(D) que1. Considere ade figuras, emprimeiros termos estãorepresentados abaixo. O quadrado tem 2 cm de lado.5. Considere a seguinte sequência de figuras em que o quadrado tem 2 cm de lado.Em cadaSejaa sucessão dos valores das área brancas nas diversas figuras.Otermogeraldasucessãoé:quadrado da sequência,todosos cı́rculos sombreados têm o(A)(B)(C)mesmo raio.(D)1.1. Indique o número de cı́rculos sombreados na 5a figura da sequência.1.2. Seja an a sucessão do valor da áreade cada cı́rculo colorido em cada uma2ª PARTEApresenteDetermineo seu raciocínioodeforma clara,indicandocálculos efectuadose as justificaçõesdas figuras.termogeralda ossucessãoan .necessárias.não é indicadaa aproximaçãoque se brancaspede para umpretende-se1.3. Seja bnQuandoa sucessãodos valoresdas áreasnasresultado,diversasfiguras.o valorDetermineexacto.o termo geral da sucessão bn .1. Num certo dia, uma localidade foi invadida por uma praga de insectos.Verificou-seque o númerode insectosmilhares,com o ilustratempo t, emmeses,2. Pretende-seconstruirum jardimjunto ,aemumlago, evoluiuconformea figura.até serem exterminados de acordo com o seguinte modelo matemático: Três lados do jardim confinam com o lago e os outros três ficam definidos poruma rede. OsInternet:ladosconsecutivos do jardim têm de ser sempre perpendiculares.www.xkmat.pt.toPágina 2/ 5 As dimensões indicadas na figura estão expressas em metros. Tal como a figura mostra, x é a medida, em metros, de um dos lados do jardim. Vão ser utilizados, na totalidade, 100 metros de rede.Lago10 mRede20 mJardimRedexRede2.1. Mostre que a área do jardim, em m2 , é dada em função de x por:f (x) 2x2 40x 1400.2.2. Sem recorrer à calculadora, determine:a) o valor de x para o qual é máxima a área do jardim;b) a área máxima.7/8

3. A pedido de um dos clientes, um fabricante tem de construir peças metálicas deárea máxima com a forma de um trapézio, em que AB BC CD 2 dm.Designando por θ a medida da amplitude (em radianos) do ângulo ADC, onde θ 0, π2 :3.1. Exprima a altura h do trapézio e o comprimento da base maior do trapézio emfunção de θ.3.2. Mostre que a área A(θ) do trapézio é dada, em dm2 , por:A(θ) 4 sen θ 2 sen(2θ).3.3. Determine o valor de θ para o qual a área do trapézio é máxima e calcule essaárea.4. Num lago onde não havia peixes, introduziram-se, num determinado momento, alguns peixes. Admita que, t anos depois, o número de peixes existentes no lago édado aproximadamente por2000f (t) 1 ke 0,13tonde k designa um número real.4.1. Determine o valor de k, supondo que foram introduzidos 100 peixes no lago.4.2. Admita agora que k 24. Sem recorrer à calculadora, a não ser paraefetuar cálculos numéricos, resolva analiticamente o problema:Ao fim de quantos anos o número de peixes no lago atinge o meio milhar?Apresente o resultado arredondado às unidades.Notas:1) Se em cálculos intermédios proceder a arredondamentos, conserve no mı́nimotrês casas decimais.2) Apresente os cálculos efetuados.FIM8/8

Candidatura de 201 4 Exame de Matem tica . M aquina de calcular cient ca (n ao gr a ca). A prova e constitu da por dois grupos, I e II. O grupo I inclui 7 quest oes de escolha mul tipla. { Para cada uma delas, s ao indicadas quatro alternativas, das quais apenas uma . Tr es lados do jardim con nam com o lago e os outros tr es cam de nidos .