Geometria Euclidiana Plana - Universidade Federal De Ouro .
Geometria Euclidiana PlanaPorAlmir Rogério Silva SantoseHumberto Henrique de Barros ViglioniUFS - 2011.1
SumárioCapítulo 1: Geometria Euclidiana131.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.2Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . .141.2.1O Quinto Postulado de Euclides . . . . . . .17Geometria de Incidência . . . . . . . . . . . . . . .191.3.1Axiomas de Incidência . . . . . . . . . . . .201.3.2Modelos para a geometria de incidência . . .22. . . . . . . . . . . . . . . . . .23RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .311.31.4Axiomas de ordemCapítulo 2: Axiomas de Medição332.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342.2Axiomas de Medição de Segmentos . . . . . . . . .342.3Axiomas de Medição de Ângulos . . . . . . . . . . .38RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .46Capítulo 3: Congruência473.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483.2Congruência de Segmentos. . . . . . . . . . . . .48
3.3Congruência de Triângulos . . . . . . . . . . . . . .49RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .58Capítulo 4: Geometria sem o Postulado das Paralelas594.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .604.2Teorema do Ângulo Interior Alternado . . . . . . . .604.3Teorema do Ângulo Exterior. . . . . . . . . . . . .644.4Congruência de Triângulos Retângulos . . . . . . . .674.5Desigualdades no triângulo . . . . . . . . . . . . . .674.6Teorema de Saccheri-Legendre. . . . . . . . . . .724.7Soma dos Ângulos de um Triângulo . . . . . . . . .75RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . .82Capítulo 5: O Axioma das Paralelas855.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .865.2Axioma das Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . .865.3Triângulos e Paralelogramos . . . . . . . . . . . . .885.4Semelhança de Triângulos . . . . . . . . . . . . . .95RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 105Capítulo 6: O Círculo1076.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2O Círculo6.3Ângulos Inscritos em um Círculo . . . . . . . . . . . 112. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4Polígonos Inscritos em um Círculo . . . . . . . . . . 1176.5Como calcular o comprimento de um círculo? . . . . 124RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 131Capítulo 7: Funções Trigonométricas1337.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.2Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3Fórmulas de Redução . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.4Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.5Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 150Capítulo 8: Área1518.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.2Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.3Área do Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 163Capítulo 9: Teorema de Ceva1659.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.2O Teorema de Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.3Pontos Notáveis de um Triângulo . . . . . . . . . . . 170RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 175Capítulo 10: Construções Elementares17710.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.2 Construções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . 17910.2.1 Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.2.2 Paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.2.3 Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18210.2.4 Bissetriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.2.5 O arco capaz . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.2.6 Divisão de um segmento em partes iguais . . 18710.2.7 Tangentes a um círculo . . . . . . . . . . . . 18810.3 Problemas Resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . 189RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 201Capítulo 11: Expressões Algébricas20311.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20411.2 A 4a proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20411.3 Expressões com raízes quadradas . . . . . . . . . . 20711.4 O segmento áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21511.5 Expressões construtíveis . . . . . . . . . . . . . . . 216RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 220Capítulo 12: Construções Possíveis22112.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22212.2 Divisão do círculo em n parte iguais . . . . . . . . . 22212.3 Construções Possíveis Utilizando Régua e Compasso 22512.3.1 O Princípio da Solução . . . . . . . . . . . . 229
12.3.2 Um critério de não-construtibilidade . . . . . 23112.3.3 O critério geral de não-construtibilidade . . . 23212.3.4 Polígonos regulares construtíveis . . . . . . . 234RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 237
AULAGeometria EuclidianaMETAIntroduzir o método axiomático na geometria.OBJETIVOSIdentificar e entender os axiomas de Euclides para a GeometriaPlana.Entender do porquê modificar os Axiomas de Euclides para o estudo axiomatizado da Geometria Euclidiana Plana.Introduzir os Axiomas de Incidência e de ordem.PRÉ-REQUISITOSFundamentos de Matemática1
Geometria Euclidiana1.1IntroduçãoSeja bem vindo caro aluno, daremos início aqui ao estudo axiomatizado daquela geometria estudada no ensino fundamental e médio,a Geometria Euclideana Plana, porém com um enfoque diferente.Faremos uso do método utilizado por Euclides em seu livro OsElementos, o método axiomático.A palavra “geometria” vem do grego geometrein (geo, “terra”, e metrein, “medida”); originalmente geometria era a ciência de mediçãoda terra. O historiador Herodotus (século 5 a.C.), credita ao povoegípcio pelo início do estudo da geometria, porém outras civilizações antigas (babilônios, hindu e chineses) também possuiam muitoconhecimento da geometria.Os Elementos de Euclides é um tratado matemático e geométricoconsistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides emAlexandria por volta de 300 a.C. Os 4 primeiros livros, que hojepode ser pensando como capítulos, tratam da Geometria Planaconhecida da época, enquanto os demais tratam da teoria dosnúmeros, dos incomensuráveis e da geometria espacial.Esta aula está segmentada em duas partes. Na primeira partevamos apresentar para você, caro aluno, os postulados de Euclidese veremos porquê se faz necessário introduzir outros postulados afim de que se obtenha uma geometria sólida, sem “lacunas” nosresultados.1.2Um Pouco de HistóriaNo livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo da geometria plana, hoje conhecida como Geometria Euclidiana Planaem sua homenagem. Inicialmente ele define os objetos geométricoscujas propriedades deseja-se estudar. São 23 definições, entre asquais encontramos as definições de ponto, reta, círculo, triângulo,retas paralelas, etc. Em seguida ele enuncia 5 noções comuns, quesão afirmações admitidas como verdades óbvias. São elas:14
AULAGeometria Euclidiana Plana11 - Coisas iguais a uma mesma coisa são também iguais.2 - Se iguais são adicionados a iguais, os totais obtidos são iguais3 - Se iguais são subtraídos de iguais, os totais obtidos são iguais4 - Coisas que coincidem uma com a outra são iguais5 - O todo é maior do que qualquer uma de suas partesO que Euclides faz é construir axiomaticamente a geometria plana,através do método axiomático. Mas o que é o método axiomático?Se eu desejo convencê-lo que uma afirmação A1 é verdadeira, euposso mostrar como esta afirmação segue logicamente de algumaoutra afirmação A2 , a qual você acredita ser verdadeira. No entanto, se você não acredita em A2 , eu terei que repetir o processoutilizando uma outra afirmação A3 . Eu devo repetir este processovárias vezes até atingir alguma afirmação que você acredite serverdadeira, um que eu não precise justificar. Esta afirmação temo papel de um axioma (ou postulado). Caso essa afirmação nãoexista, o processo não terá fim, resultando numa sequência sucessiva de demonstrações.Assim, existem dois requisitos que devem ser cumpridos para queuma prova esteja correta:Requisito 1: Aceitar como verdadeiras certas afirmaçõeschamadas “axiomas” ou “postulados”, sem a necessidade deprova.Requisito 2: Saber como e quando uma afirmação seguelogicamente de outra.O trabalho de Euclides destaca-se pelo fato de que com apenas 5postulados ele foi capaz de deduzir 465 proposições, muitas complicadas e não intuitivas.A seguir apresentamos os 5 postulados de Euclides.Postulado 1. Pode-se traçar uma (única) reta ligando quaisquerdois pontos.15
Geometria EuclidianaPostulado 2. Pode-se continuar (de uma única maneira) qualquerreta finita continuamente em uma reta.Postulado 3. Pode-se traçar um círculo com qualquer centro ecom qualquer raio.Postulado 4. Todos os ângulos retos são iguais.Algumas observações antes do Postulado 5 merecem atenção. Com apenas estes 4 postulados Euclides provou 28 proposições Nos Postulados 1 e 2 os termos entre parênteses não foramempregados por Euclides; porém, pela forma como ele osaplicam, deduz-se que estes termos foram implicitamente assumidos. Euclides define ângulos sem falar em medida e ângulo retocomo um ângulo que é igual ao seu suplementar. Daí, anecessidade do Postulado 4.A primeira proposição do Livro I segue abaixo:Proposição 1. Existe um triângulo equilátero com um lado iguala um segmento de reta dado.Demonstração Passo 1: Pelo Postulado 3, podemos traçar um círculo comcentro em uma extremidade do segmento de reta e raio iguala este segmento. Passo 2: Como no passo 1, podemos traçar um outro círculocom centro na outra extremidade e mesmo raio. Passo 3: Tome um dos pontos de interseção dos dois círculoscomo o terceiro vértice do triângulo procurado.16
AULAGeometria Euclidiana Plana1Figura 1.1: Um triângulo equilátero.Existe uma falha nesta demonstração. Se queremos construir a geometria a partir dos axiomas, precisamos justificar toda afirmaçãoa partir deles. Note que justificamos os passos 1 e 2 utilizando oPostulado 3. Porém, não existe nenhum postulado para sustentara veracidade do passo 3, ou seja, nenhum dos postulados garanteque o ponto de interseção entre os dois círculos existe.De fato, em muitas passagens dos Elementos Euclides faz uso deafirmações que não estão explícitas. Apesar disso, Euclides foiaudacioso em escrever os Elementos, um belíssimo trabalho que detão pouco deduziu-se centenas de afirmações.1.2.1O Quinto Postulado de EuclidesAnalisemos a proposição 28 do Livro I.Proposição 28. Sejam duas retas m e n cortadas por uma terceirareta r. Se a soma dos ângulos formados (ver figura 1.2) é 180 graus,então m e n são retas paralelas.Na simbologia atual podemos representar a Proposição 28 da seguinteformaα β 180 m n .17
Geometria EuclidianaFigura 1.2: α β 180 .E a recíproca, é verdadeira? Ou seja, é verdade quem n α β 180 ?A resposta a essa pergunta é complexa e levou mais de dois milanos para ser entendida completamente. De fato, esta recíproca éexatamente o conteúdo do Postulado 5.Postulado 5. Sejam duas retas m e n cortadas por uma terceirareta r. Se a soma dos ângulos formados (ver figura) é menor doque 180 graus, então m e n não são paralelas. Além disso, elasse intersectam do lado dos ângulos cuja soma é menor do que 180graus.Figura 1.3: α β 180 .18
Geometria Euclidiana PlanaAULAEsta foi a forma como Euclides enunciou o Postulado 5. Na sim-1bologia atual podemos representar a Proposição 28 da seguinteformaα β 180 m n 6 (1.1)Note que a afirmação 1.1 é equivalente am n α β 180 .Porém, se α β 180 teríamos que a soma dos suplementares deα e β seria 180 , implicando, pelo Postulado 5, que m n 6 ;contradição!Logo, o Postulado 5 é equivalente a afirmaçãom n α β 180 ,que é exatamente a recíproca da Proposição 28.Muitos acreditavam que quando Euclides chegou no Postulado 5não soube como demonstrá-lo e então resolveu deixá-lo como postulado. Com certeza Euclides deve ter pensado muito até aceitarque teria que acrescentar este postulado, visto que diferentementedos demais, este parece muito mais com um teorema que com umasimples afirmação que podemos aceitá-la sem demonstração.1.3Geometria de IncidênciaA partir desta seção, caro aluno, iremos iniciar nosso estudo axiomático da Geometria Euclidiana Plana. Nas seções anteriores, vimos que os postulados de Euclides não são suficientes para demonstrar todos os resultados da geometria plana. De fato, vimos quenos Elementos de Euclides existem lacunas que não são possíveispreenchê-las somente com o conteúdo dos Elementos.O que iremos fazer neste curso é axiomatizar a geometria de talforma que não deixemos lacunas. Iremos usar um conjunto deaxiomas que serão suficientes para demonstrar todos os resultadosconhecidos desde o ensino fundamental.19
Geometria EuclidianaNão podemos definir todos os termos que iremos usar. De fato,para definir um termo devemos usar um outro termo, e para definiresses termos devemos usar outros termos, e assim por diante. Senão fosse permitido deixar alguns termos indefinidos, estaríamosenvolvidos em um processo infinito.Euclides definiu linha como aquilo que tem comprimento sem largurae ponto como aquilo que não tem parte. Duas definições não muitoúteis. Para entendê-las é necessário ter em mente uma linha e umponto. Consideraremos alguns termos, chamados de primitivos ouelementares, sem precisar defini-los. São eles:1. ponto;2. reta;3. pertencer a (dois pontos pertencem a uma única reta);4. está entre (o ponto C está entre A e B);O principal objeto de estudo da Geometria Euclidiana Plana é oplano.O plano é constituído de pontos e retas.1.3.1Axiomas de IncidênciaPontos e retas do plano satisfazem a cinco grupos de axiomas. Oprimeiro grupo é constituído pelos axiomas de incidência.Axioma de Incidência 1: Dados dois pontos distintos, existeuma única reta que os contém.Axioma de Incidência 2: Em toda reta existem pelo menos doispontos distintos.Axioma de Incidência 3: Existem três pontos distintos com apropriedade que nenhuma reta passa pelos três pontos.20
AULAGeometria Euclidiana Plana1Figura 1.4:Figura 1.5:Observação Destes três axiomas deduzimos alguns fatos simples,porém importantes: Toda reta possui pelo menos dois pontos. Não existe uma reta contendo todos os pontos. Existem pelo menos três pontos no plano.Definição 1.1. Duas retas intersectam-se quando elas possuemum ponto em comum. Se elas não possuem nenhum ponto emcomum, elas são ditas paralelas.Figura 1.6: r e s se intersectam no ponto P e m e n são paralelas.21
Geometria EuclidianaProposição 1.1. Duas retas distintas ou não intersectam-se ouintersectam-se em um único ponto.Demonstração Sejam m e n duas retas distintas. Se m e n possuem pelo menos dois pontos distintos em comum então, pelo Axioma de Incidência 1, m e n coincidem, que é uma contradição como fato que m e n são retas distintas.Logo, m e n ou possuem um ponto em comum ou nenhum.Portanto a Proposição 1.1 diz que se duas retas não são paralelas,então elas têm um ponto em comum.Proposição 1.2. Para todo ponto P, existem pelo menos duasretas distintas passando por P.Demonstração Pelo Axioma de Incidência 3, existe um ponto Qdistinto de P. Pelo Axioma de Incidência 1 existe uma única reta lque passa por P e Q. Pelo Axioma de Incidência 3 existe um pontoR que não pertence a l. Novamente pelo Axioma de Incidência 1,existe uma reta r distinta de l que contém os pontos P e R.Proposição 1.3. Para todo ponto P existe pelo menos uma retal que não passa por P.Exercício 1.1. Prove a Proposição 1.3.1.3.2Modelos para a geometria de incidênciaUm plano de incidência é um par (P, R) onde P é um conjuntode pontos e R é uma coleção de subconjuntos de P, chamados deretas, satisfazendo os três axiomas de incidência.Exemplo 1.1. Sejam P {A, B, C} e R {{A, B}, {A, C},{B, C} }. O par (P, R) é plano de incidência, já que satisfaz os trêsaxiomas de incidência (Verifique!). Observe que dois subconjuntosquaisquer de R têm interseção vazia. Portanto, não existem retasparalelas.22
Geometria Euclidiana PlanaAULAExemplo 1.2. Sejam P S2 : {(x, y, z) R3 ; x2 y 2 z 2 1}1e R conjunto de todos os grandes círculos em S2 . Não é planode incidência. Já que a interseção de dois grandes círculos em S2são dois pontos. (ver figura 1.7.)Figura 1.7: Esfera unitária no espaço euclidiano.Exemplo 1.3. Sejam P {A, B, C, D, E} e R {todos os subconjuntos de P com dois elementos}. É plano de incidência (Verifique!). Dada uma reta l e um ponto fora dela, existem pelo menosduas retas paralelas a l.Exemplo 1.4. Sejam P {A, B, C, D} e R {{A, B}, {A, C},{A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}}. É plano de incidência (Verifique!).Dada uma reta l e um ponto P fora dela, existe uma única reta rparalela a l passando por P.Nos exemplos acima, as retas são subconjuntos de P e não umareta como nós a conhecemos.1.4Axiomas de ordemDissemos anteriormente que a noção de “está entre” é uma noçãoprimitiva. Nesta seção iremos apresentar o segundo grupo de axiomas que rege as leis para esta noção, os axiomas de ordem.23
Geometria EuclidianaEscreveremos A B C para dizer que o ponto B está entre ospontos A e C.Axioma de ordem 1: Se A B C, então A, B e C são pontosdistintos de uma mesma reta e C B A.Axioma de ordem 2: Dados três pontos distintos de uma reta,um e apenas um deles está entre os outros dois.Figura 1.8:Este axioma assegura que uma reta não é um círculo, onde nãotemos a noção bem clara de um ponto está entre outros dois. (Verfigura 1.9.)Figura 1.9:Axioma de ordem 3: Dados dois pontos distintos B e D, existempontos A, C e E pertencentes à reta contendo B e D, tais queA B D, B C D e B D E.Este axioma assegura que uma reta possui infinitos pontos.Definição 1.2. Sejam dois pontos distintos A e B, o segmentoAB é o conjunto de todos os pontos entre A e B mais os pontos24
AULAGeometria Euclidiana Plana1Figura 1.10:extremos A e B.Definição 1.3. A semi-reta com origem em A e contendo B é oconjunto dos pontos C tais que A B C mais o s
Geometria Euclidiana Plana Por Almir Rogério Silva Santos e Humberto Henrique
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