Estudo Completo De Geometria Plana
Geometria plana.Resumo teórico e exercícios.3º Colegial / Curso Extensivo.Autor - Lucas Octavio de Souza(Jeca)
Relação das s iniciais. 02Pontos notáveis de um triângulo. 17Congruência de triângulos. 27Quadriláteros notáveis. 36Polígonos convexos. 45Ângulos na circunferência. 58Segmentos proporcionais. 70Semelhança de triângulos. 80Relações métricas no triângulo retângulo. 94Relações métricas num triângulo qualquer. 107Circunferência e círculo.121Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. 131Áreas das figuras planas. 141Autor - Lucas Octavio de Souza(Jeca)Jeca 01
Geometria planaAula 01Conceitos iniciais de Geometria Plana.Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)I) Reta, semirreta e segmento de reta.Definições.a) Segmentos congruentes.Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.ABreta ABABsemirreta ABABABsemirreta BAb) Ponto médio de um segmento.Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence aosegmento e divide AB em dois segmentos congruentes.segmento ABc) Mediatriz de um segmento.É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médioII) Ângulo.ADefinições.a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas demesma origem.aOb) Ângulos congruentes.Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesmamedida.BOA - ladoOB - ladoO - vérticeângulo AOB ou ânguloc) Bissetriz de um ângulo.É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divideesse ângulo em dois ângulos congruentes.aIIa) Unidades de medida de ângulo.a) Grau.A medida de uma volta completa é 360º.b) Radiano.A medida de uma volta completa é 2p radianos.º - grau' - minuto" - segundo1º 60'1' 60"Um radiano é a medida do ângulo central de umacircunferência cuja medida do arco correspondente éigual à medida do raio da circunferência.IIb) Classificação dos ângulos.Definições.a) Ângulos complementares.É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º.a 0º - ângulo nulo.0º a 90º - ângulo agudo.a 90º - ângulo reto.90º a 180º - ângulo obtuso.a 180º - ângulo raso.b) Ângulos suplementares.É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.IIc) Ângulos formados por duas retas paralelascortadas por uma reta transversal.tarbr // sesfhgdca) Ângulos correspondentes (mesma posição).exemplo - b e f.Propriedade - são congruentes.b) Ângulos colaterais (mesmo lado).exemplo de colaterais internos - h e c.exemplo de colaterais externos - d e g.Propriedade - são suplementares (soma 180º)c) Ângulos alternos (lados alternados).exemplo de alternos internos - b e h.exemplo de alternos externos - a e g.Propriedade - são congruentes.Jeca 02
III) Triângulos.vérticeladoei - ângulo internoe - ângulo externoiNum mesmovértice, tem-seO ângulo externode qualquer polígonoconvexo é o ânguloformado entre umlado e oprolongamento dooutro lado.i e 180ºPropriedades dos triângulos.1) Em todo triângulo, a soma dasmedidas dos 3 ângulos internosé 180º.ba) quanto aos lados:- triângulo equilátero.- triângulo isósceles.- triângulo escaleno.b) quanto aos ângulos:- triângulo retângulo.- triângulo obtusângulo.- triângulo acutângulo.2) Em todo triângulo, a medida deum ângulo externo é igual à somadas medidas dos 2 ângulosinternos não adjacentes.baa b g 180ºaClassificação dos triângulos.Ângulo externo.ee a bge33) Em todo triângulo, a soma dasmedidas dos 3 ângulos externosé 360º.e14) Em todo triângulo isósceles,os ângulos da base são congruentes.Observação - A base de umtriângulo isósceles é o seu ladodiferente.e1 e2 e3 360ºe2aaExercícios.01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.a) 48º 27' 39" 127º 51' 42"c) 90º - 61º 14' 44"e) 4 x (68º 23' 54")b) 106º 18' 25" 17º 46' 39"d) 136º 14' - 89º 26' 12"f) 3 x (71º 23' 52")Jeca 03
g) 125º 39' 46"4h) 118º 14' 52"3i)j)125º 12' 52"590º1302) Determine o ângulo que é o dobro do seu complemento.03) Determine o ângulo que excede o seu suplementoem 54º04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seusuplemento e o triplo do seu complemento é igual a54º.05) Dois ângulos são suplementares. O menor é ocomplemento da quarta parte do maior. Determine asmedidas desses ângulos.06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Determine esses ângulos sabendo que o suplemento domaior é igual ao complemento do menor.07) Determine um ângulo sabendo que o suplementoda sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento.Jeca 04
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.a)b)116rºxr // sx41ºsc)d) (Tente fazer de outra maneira)rxrx53º53ºr // ss39ºr // ss39ºe)f)rr35º55ºx62ºr // s40ºxs38ºsg)47ºh)r28º54ºxr // s88ºxs12621ºi)j)ºAB ACBx73ºA21114ºx3ºCk) AC BCl)Cx46º158º38º67ºxABJeca 05
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x y, em graus ?10) Na figura abaixo, estão representados um triânguloequilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidasdos ângulos assinalados, determine a soma x y.xyxy12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma dasmedidas dos ângulos x, y, z, t e u.11) Na figura abaixo, determinar x y z t.30ºyxxtyzzut13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas emm.graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE dafigura, respectivamente. A soma a b g l q éigual 5) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retânguuma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB eo vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente.EADcoincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triângulo AQR formado é isósceles com ARQ 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triânguloABC.AxFRTQ25ºBPCJeca 06CB
Respostas desta aula.01)a) 176º 19' 21"c) 28º 45' 16"e) 273º 35' 36"g) 31º 24' 56"i) 25º 02' 34"b) 124º 05' 04"d) 46º 47' 48"f) 214º 11' 36"h) 39º 24' 57"j) 06º 55' 23"02) 60º03) 117º04) 72º05) 60º e 120º06) 17º e 107º07) 225º / 708)a) 41ºf) 36ºk) 113ºb) 64ºg) 62ºl) 53ºc) 14ºh) 33ºd) 14ºi ) 75ºe) 47ºj) 34º09) 270º10) 240º11) 210º12) 180º13) 2m14) c15) 70º, 80º e 30º16) 25ºImportante para mim.Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.brSomente assim, poderei corrigir eventuais erros.Obrigado.JecaProibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autorJeca 07
Geometria planaEstudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca(Lucas Octavio de Souza)Conceitos iniciais de Geometria Plana.Exercícios complementares da aula 01.(São João da Boa Vista - SP)01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.a)b)57ºrr43ºr // sr //sxxssc)d)rr45º45ºr // sx62ºr // sx62ºss(Resolver de forma diferente da letra c))f)e)rx147ºr // s82º126ºrsr // sx80ºg)sh)r(Resolver de forma diferente da letra g))r140ºr // s140º65º65ºr // sxxss150º150ºi)j)42ºr48ºr40r // s5x2º-1ºr // sxs43ºsl)k)sr // s55º85ºr135ºxJeca 08x
m)n)r // st // urxr // st // x18x15x81ºs)(Triângulo isósceles)AB ACA(Triângulo isósceles)AB ACt)A38ºx138ºBxCCBu)v)AB ACA152ºyy98º62ºxxBCx)AB BC CDz)AB BD DEDD98ºBExxACAJeca 09yByC
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de ºtriz128º1036º38ºD é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f)e)AD e BD são bissetrizes.Aº40º72DxxD42ºCBh)g)68ºrx60ºr // s5ys2x3yx 30ºj)i)43º9xx12x60º62º6xk)ABABCD é um quadrado.l)30ºxxDCJeca 10118º
m)n)AC CDAB BC CD DEeAD AEAD38xBºAxCBo)EDCAB BC CD DE EFep)AE AFAB AC , BD BE e CE CF.BDDFBAxAx44ºECFECq)ABC é um triângulo equiláteroe DEFG é um quadrado.Ar)BCD é um triângulo equiláteroe ABDE é um quadrado.BAFGCxxBDECEs)CDE é um triângulo equilátero t)e ABCD é um quadrado.ABExDBFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE sãoquadrados.CABxDGDABEFCu)CACE e BDF são triângulosequiláteros.v)AB AC e DE DF.ADx70ºx65ºFDEx)BAB AD BD DC e AC BC.CEz)AADFAB ACAD é bissetriz de BÂCAE é bissetriz de BÂD.CxxBBJeca 1138ºEDC
04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.03) Na figura abaixo, determine x, y e z.4xxx37º2yzyz05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ânguloCBE, determinar x y.EDzt40º2x4xyy4xxBAC08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x,sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetrizde AOD e OB é bissetriz de AOC.07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.DCEx57ºBA28ºxOF09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que osmesmos formam uma progressão aritmética de razãoz.10º.z 26ºy2xy2z - 84ºzJeca 12x
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da somax y z t u v, sabendo-se que CEF é um triânguloinscrito no quadrado ABCD.EAxtyt // ssBzxFv120ºt140ºuD13) Na figura abaixo, AB AC BC CD. Determine o valor de x.C14) Na figura abaixo, AD AC BC e AC é a bissetriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.AAx2xCBDExBDC15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB BD CD. Determine yem função de y.em função de x.5yDyxy2yxA17) Na figura abaixo mostre que vale a relação :a b c d.racCB18) Um dos ângulos internos de um triângulo isóscelesmede 100º. Determinar a medida do ângulo agudoformado pelas bissetrizes dos outros dois ângulosinternos.r // sbds19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e deexternos de um triângulo é 360º.z.e2rxyr // se1ze3Jeca 13s
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma dasduas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u.x e y podemos afirmar que :a) x yyrb) x -yzsc) x y 90ºABxxd) x - y 90ºe) x y 180ºytCDu23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valorem graus de x y ?de z e t o sêxtuplo de z.z40ºyxxyt80º25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCDé um retângulo e AB é congruente a AE. A medida dodemonstre que vale a relação z - y x - t.ânguloCBF é :DAa) 38ºAb) 27ºc) 18ºd) 19ºe) 71ºzyxBtCDCEBF27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se queos triângulos ABE e CDE são isósceles e que osoma das medidas dos ângulos x, y e z.triângulo BCE é equilátero.ABAxyxCEzEDBJeca 14CD
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidasdos ângulos x, y, z, t, u e v.dos ângulos x, y, z e t.xrvxyyur // szsttz31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que ovértice D pertença ao lado BC, conforme a figura.dos ângulos x, y, z e t.Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x,yconhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.A’zx140ºEABtD’xDFC33) Na figura, AM AN, x y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD umainterceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB édobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado ABAxyem relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.igual a2ANMxPyBCBCDB’35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AEcongruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE,sabendo-se que BAD 48º.AEBDCJeca 15
Respostas desta aula.01)a) 43ºb) 123ºf) 46ºg) 55ºk) 55ºl) 130ºp) 119º q) 133ºu) 104º v) 46º21) cc) 107ºh) 55ºm) 43ºr) 10º/3x) 123ºd) 107ºi) 30ºn) 122ºs) 71ºz) 108ºe) 49ºj) 49ºo) 39ºt) 96º22) 540º23) 50º24) 130º02)a) 48ºf) 111ºk) 90ºp) 68ºu) 120ºb) 51ºg) 42ºl) 43ºq) 30ºv) 60ºc) 29ºh) 70ºm) 14ºr) 15ºx) 150ºd) 112ºi) 40º/3n) 180º/7s) 75ºz) 116ºe) 18ºj) 45ºo) 20ºt) 60º25) demonstração26) d27) 360º03) 143º, 37º e 143º28) 45º04) 36º, 18º e 144º29) 360º05) 20º, 60º, 80º e 60º30) 180º06) 100º31) 540º07) 33º32) 65º08) 19º33) demonstração09) 22º, 44º e 110º34) 130º10) 50º, 60º e 70º35) 24º11) 70º12) 270º13) 10º14) 36º15) x 8y16) y 3x17) demonstração18) 40º19) demonstração20) x y - zImportante para mim.Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.brSomente assim, poderei corrigir eventuais erros.Obrigado.JecaProibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autorJeca 16
Geometria planaAula 02Pontos notáveis de um triângulo.Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)Segmentos notáveis do triângulo.Mediana - É o segmento que une o vértice ao pontomédio do lado oposto.medianaalturaMediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulopelo seu ponto médio.mediatrizBissetriz - É a semi-reta de origem no vértice quedivide o ângulo em dois ângulos congruentes.MAltura - É a distância entre o vértice e a reta suportedo lado oposto.bissetrizponto médioTodo triângulo tem:3 medianas3 mediatrizes3 bissetrizes3 alturasPontos notáveis do triânguloB - baricentroI - incentroC - circuncentroO - ortocentroBaricentro (G).É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.Incentro (I).É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.Propriedade.Propriedade.O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos.O incentro é o centro da circunferência inscrita (interO segmento que contém o vértice é o dobro do segmen- na) no triângulo.to que contém o ponto médio do lado oposto.O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3(razão 2 : 1)lados do triângulo.Observação - As três medianas dividem o triângulooriginal em seis triângulos de mesma área.A2xSSPGxBNAG 2.GMBG 2.GNCG 2.GPggIbSSSSÁrea de cada triângulobraaSr - raio da circunferência inscrita.CMCircuncentro (C).É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.Ortocentro (O).É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.Propriedade.O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita (externa) ao triângulo.O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3vértices do triângulo.Propriedade.Não tem.mediatrizAAhAhBOBhBhACBponto médioCChAhCRR - raio da circunferênciacircunscrita.hCAhBOOortocentroJeca 17BhCC
3) Num triângulo isósceles, os quatroponto notáveis (BICO: baricentro, in1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) esestão localizados no interior do tão .bissetrizaltura2) O circuncentro e o ortocentropodem estar localizados no exteriordo triângulo.4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da GbissetrizRRCIhipotenusaOalturaTriângulo eqüilátero.(importante)Em todo triângulo eqüilátero, osquatro pontos notáveis (baricentro,incentro, circuncentro e ortocentro)estão localizados num único ponto.rlBICORlrr- lado do triângulo eqüilátero.r - raio da circunferência inscrita.R - raio da circunferência circunscrita.h - altura do triângulo.lR 2reh 3rhrl01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o que o ponto O é do triângulo.RllOhrl02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O estáinscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOCmede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.mine a medida do ângulo AOC.AAOBOCJeca 18BC
04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, astrês mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro dotriângulo.AICB05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.c) o lado do triângulo.Rllhrl06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontosmédios dos lados do triângulo ABC. Se AB 2x,AC 2y, BC 2z, AG 3w, BE 3k e FC 3n,determine o perímetro do triângulo BDG, em função dex, y, z, w, k e n.A07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC.Determine a medida do ângulo DFE sabendo que osângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58ºe 70º.AEFEFDBGCJeca 19BDC
08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triânguloequilátero ABC. Sabendo que CD k, determine, emfunção de k, as medidas dos segmentos CE, ED eAE.C09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e omapa da localização faz menção a três grandes árvoresdo local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice deum triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é osegundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como épossível localizar o tesouro no local ?SibipirunaPerobaEJatobáABD210) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontosSendo BD DE EC e AF FG GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida doângulo BCA, BC 14 cm e AC 12 cm, determine:afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).a) a área do triângulo ABC;Ab) a área do triângulo AFG;c) a área do quadrilátero BCAG.FAGBDECEFG( ) G é o baricentro do triângulo ABC.2( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .B2CD( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivascasas, sendo que as casa não são colineares e estãolocalizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir umpoço de modo que ele fique à mesma distância dastrês casas. Supondo que a fazenda é “plana”, comseus conhecimentos de geometria, que sugestãopoderia das a eles ? Justifique o seu raciocínio.13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, napraça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essaestátua deve ser colocada, sabendo que ela deveráficar a uma mesma distância das três ruas quedeterminam a praça.1Rua3RuaRuJeca 20a2
Respostas desta aula.01)a) (5 3 / 2) cmb) (5 3 / 6) cmc) (5 3 / 3) cmd) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.04)A02) 118º03) 72ºGI04) Desenho ao lado.CO05)a) 1 cmb) 2 cmc) 2 3 cmCB06) 2k w z07) 128º08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 309)09) Desenho ao lado.SibipirunaPeroba10) F , V e FO11)2a) 42 cm2b) 7 cm2c) 28 cmJatobátesouro12) O poço deve localizar-se no circuncentro dotriângulo cujos vértices são as três casas.13) A estátua deve ser colocada no incentro dotriângulo formado pelas três ruas.Importante para mim.Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.brSomente assim, poderei corrigir eventuais erros.Obrigado.JecaProibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autorJeca 21
Geometria planaPontos notáveis de um triângulo.Exercícios complementares da aula 02.Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :a) a altura do triângulo;b) o raio
exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g. Propriedade - são congruentes. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Aula 01 Conceitos iniciais de Geometria Plana. Jeca 02File Size: 1MB
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