Geometria Euclidiana Espacial E Introduc Ao A Geometria .
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAGeometria Euclidiana Espacial e Introdução àGeometria DescritivaMaterial em preparação!!Última atualização: 22.07.2008Luciana F. Martins e Neuza K. KakutaSÃO JOSÉ DO RIO PRETO - 2008
Sumário1 Retas e planos31.1 Postulados e primeiros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.2 Determinação de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.3 Semi-espaços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.5 Paralelismo entre retas e entre reta e plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Paralelismo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Perpendicularismo entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11 Planos perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.13 Projeção ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.14 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.15 Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.16 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.17 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Noções de Geometria Descritiva362.1 Sistemas de projeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Estudo da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1Épura de uma reta qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2Épura de uma reta horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.3Épura de uma reta frontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.4Épura de uma reta fronto-horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.5Épura de uma reta de topo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
2.3.6Épura de uma reta vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.7Épura de uma reta de perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Determinando retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Pontos onde uma reta intercepta os planos de projeções . . . . . . . . . . . . . . 442.6 Convenção para pontos na épura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.7 Pertinência de ponto e reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.9 Estudo do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.10 Épura de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10.1 Plano horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10.2 Plano frontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.10.3 Plano de topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.10.4 Plano vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.10.5 Plano de perfil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.11 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 Poliedros59Referências Bibliográficas642
Capı́tulo 1Retas e planosNo decorrer deste texto admitiremos conhecidos todos os resultados válidos para a GeometriaPlana. Uma figura é um conjunto de pontos e é dita plana quando todos os seus pontospertencem a um mesmo plano. Neste caso, os pontos são ditos coplanares. Caso não exista planocontendo uma figura, dizemos que a figura é reversa, e seus pontos são ditos não coplanares.Denotaremos pontos do espaço com letras latinas maiúsculas A, B, X, Y, . . . , retas com letraslatinas minúsculas r, s, t, . . . e planos com letras gregas maiúsculas Π, Π′ , Γ, . . . .1.1Postulados e primeiros resultadosPostulados da reta[R1] Qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem e não pertencem a reta.[R2] Por dois pontos distintos do espaço passa uma única reta.Notação: A reta que passa pelos pontos A e B é denotada por ℓ(A, B) .Postulados do plano[P1] Por três pontos não colineares do espaço passa um único plano.[P2] Qualquer que seja o plano, existem pontos que pertencem e pontos que não pertencemao plano.[P3] Se dois planos tem um ponto em comum, então eles possuem mais de um ponto emcomum.[P4] Os casos de congruência de triângulos da Geometria Plana também são válidos paratriângulos situados em planos distintos.3
Notação: Dados A, B e C pontos não colineares, o único plano que passa por estes pontos édenotado por hA, B, Ci. Assim, se o plano Π contém A, B e C, então Π hA, B, Ci.Proposição 1.1. Dados dois pontos distintos existe um plano que os contém.Demonstração. Sejam A e B pontos distintos. Pelo Postulado [R2] existe uma reta r que passapor A e B. Pelo Postulado [R1] existe um ponto C tal que C / r. Assim, A, B e C são nãocolineares e, portanto, segue do Postulado [P1] que existe um plano contendo A, B e C.Note que o plano dado na proposição anterior não é único. Prove isto! A reta r da demonstração acima está contida no plano que contém os pontos A, B e C? O teorema abaixo respondea essa pergunta.Teorema 1.2. Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, então ela está contidanesse plano.Demonstração. Sejam A e B pontos distintos pertencentes a um plano Π e seja r ℓ(A, B).Vamos mostrar que r Π. Da Geometria Plana, existe uma reta s Π contendo A e B. Assim,como r e s são retas contendo A e B, segue do Postulado [R2] que r s. Logo, r Π.Como conseqüência temos as seguintes possibilidades para a posição relativa entre uma retar e um plano Π :a) r Π . Neste caso dizemos que r é paralela à Π ;b) r Π é um único ponto. Neste caso dizemos que r é secante à Π ;c) r Π .Notação: Se uma reta r é paralela a um plano Π, denotamos por r k Π.A existência de retas secantes ou contidas em um plano segue dos resultados anteriores.Porém, ainda não sabemos sobre a existência de retas paralelas a um plano dado.Teorema 1.3. Sejam Π e Π′ dois planos distintos e A e B dois pontos distintos em Π Π′ .Então ℓ(A, B) Π Π′ .Demonstração. Como A, B Π Π′ então, pelo Teorema 1.2, ℓ(A, B) Π Π′ . Suponhaque existe C Π Π′ tal que C / ℓ(A, B). Assim, A, B e C são três pontos não colineares.Logo, pelo Postulado [P1], hA, B, Ci é o único plano contendo A, B e C e, portanto, Π hA, B, Ci Π′ , o que é um absurdo pois Π e Π′ dois planos distintos por hipótese. Logo,ℓ(A, B) Π Π′ .4
Corolário 1.4. Se dois planos distintos têm um ponto em comum então a sua interseção éuma reta.Demonstração. Sejam Π e Π′ dois planos distintos e seja A Π Π′ . Pelo Postulado [P3],existe um ponto B 6 A tal que B Π Π′ . Pelo teorema acima, ℓ(A, B) Π Π′ .Como conseqüência do teorema acima temos as seguintes possibilidades para a posiçãorelativa entre dois planos Π e Π′ :(a) Π Π′ . Neste caso dizemos que os planos são paralelos;(b) Π Π′ é uma reta. Neste caso dizemos que os planos são secantes;(c) Π Π′ . Neste caso dizemos que os planos são coincidentes.Notação: Dois planos paralelos Π e Π′ são denotados por Π k Π′ .Assim como ocorre para o caso entre reta e plano, também não sabemos ainda sobre aexistência de planos paralelos. Veremos nas seções sobre paralelismo a existência de ambos.Exemplos 1.5. Construção de pirâmides e cones: Seja Π um plano e A1 , . . . , An pontosem Π tal que P A1 . . . An é um polı́gono (note que segue do Teorema 1.2 que os segmentosA1 A2 , A2 A3 , . . . , An 1 An , An A1 estão contidos em Π; assim, P é um polı́gono plano). Seja Vum ponto exterior ao plano Π, o qual existe pelo Postulado [P2]. Cada dois vértices consecutivosde P determinam com V um triângulo. Essas regiões triangulares, juntamente com a regiãopoligonal determinada por P delimitam uma figura geométrica denominada pirâmide de baseA1 A2 . . . An e vértice V . Quando a base da pirâmide é um triângulo, temos uma pirâmidede base triangular, quando a base é um quadrado, temos uma pirâmide de base quadrangular,e assim por diante. Os segmentos Ai V , i 1, . . . , n, são chamados de arestas laterais e asregiões triangulares determinadas por Ai Ai 1 V , i 1, . . . , n (An 1 A1 ), são as faces lateraisda pirâmide. Assim, a pirâmide obtida possui n arestas laterais. Um tetraedro é um casoparticular de pirâmide em que a base é um triângulo.Consideremos agora uma circunferência C contida em Π (recorde que, por definição, cir-cunferência é uma figura plana). Com raciocı́nio análogo ao feito para a construção de umapirâmide, podemos construir uma outra figura geométrica: o cone, o qual é reunião da regiãocircular determinada por C com todos os segmentos V A, com A C.5
1.2Determinação de um planoSabemos que três pontos distintos não colineares determinam um único plano. Veremos agoraoutras maneiras de obtermos planos.Teorema 1.6. Por uma reta e um ponto não pertencente a ela, passa um único plano.Demonstração. (Existência) Sejam r uma reta e P um ponto tal que P / r. Tomemos A e Bdois pontos distintos sobre r. Como A, B e P não são colineares, segue do Postulado [P1] queexiste um único plano Π contendo estes pontos, ou seja, Π hA, B, P i. Logo, pelo Teorema1.2, Π contém r.(Unicidade) Seja Π′ um plano contendo r e P . Como A, B r, então Π′ contém A, B e P .Logo, Π′ hA, B, P i Π, pelo Postulado [P1].Notação: Sejam r uma reta e P 6 r. Denotamos por hr, P i o (único) plano que contém r e P .Note que se Π hr, P i e A, B r, então Π hr, P i hA, B, P i.Definição 1.7. Sejam r e s duas retas no espaço.(a) r e s são ditas concorrentes se existe um ponto P tal que r s {P }.(b) r e s são ditas paralelas se r e s são coplanares e r s .(d) r e s são ditas reversas se são não coplanares.Notação: Quando r e s são paralelas, denotamos por r k s.Sabemos da Geometria Plana a existência de retas paralelas. Aqui temos uma pergunta:existem retas reversas? A resposta é afirmativa e sua demonstração está proposta na lista deexercı́cios.Teorema 1.8. Por duas retas paralelas passa um único plano.Demonstração. Sejam r e s duas retas paralelas. Sendo r e s coplanares (por definição), existeum plano Π que as contém. Suponha que Π′ é também um plano que contém r e s. Seja P r.Como r e s são paralelas, temos que P 6 s e, portanto, como Π e Π′ contém s e P , segue doTeorema 1.6 que Π Π′ . Portanto, é único o plano que contém r e s.Veremos no próximo resultado que retas concorrentes também são retas coplanares.Teorema 1.9. Por duas retas concorrentes passa um único plano.6
Demonstração. (Existência) Sejam r e s duas retas concorrentes e {P } r s. Tomando doispontos A r e B s, distintos de P, obtemos três pontos P, A e B não colineares. PeloPostulado [P1], estes pontos determinam um único plano Π hA, B, P i. Como r ℓ(P, A) es ℓ(P, B), segue do Teorema 1.2 que r, s Π.(Unicidade) Suponhamos que Π′ é um plano que também contém r e s. Então Π′ contém P, A(pois P, A r) e P (pois P s). Logo, Π′ hA, B, P i Π, pelo Postulado [P1]. Portanto, éúnico o plano que contém r e s.Notação: Sejam r e s retas concorrentes ou paralelas. Denotamos por hr, si o único plano quecontém r e s.Observação 1.10. Notemos que retas reversas não se interceptam pois, caso contrário, seguedo Teorema 1.9 que existe um plano contendo essas retas, o que sabemos não existir peladefinição de retas reversas.Como conseqüência dos resultados acima temos as seguintes possibilidades para a posiçãorelativa entre duas retas r e s :(a) r s .Neste caso, as retas são paralelas (se coplanares) ou reversas (se nãocoplanares);(b) r s é um ponto. Neste caso, as retas são concorrentes;(c) r s. Neste caso, as retas são coincidentes.1.3Semi-espaçosVeremos a seguir a propriedade que um plano tem de separar o espaço.Definição 1.11. Seja Π um plano e P um ponto tal que P 6 Π. O semi-espaço determi-nado por Π e contendo P ( SΠ,P ) é o conjunto constituı́do por Π e por todos os pontos Qdo espaço que satisfazem P Q Π .Segue da definição que todo plano separa o espaço em dois subconjuntos, chamados semiespaços, cuja interseção é o plano dado.Teorema 1.12. Sejam Π um plano e A e P pontos não pertencentes à Π tais que A SΠ,P .Então SΠ,P SΠ,A .7
Demonstração. Mostremos que SΠ,P SΠ,A . Seja Q SΠ,P . Devemos mostrar que Q SΠ,A .Se Q Π, o resultado é imediato. Suponhamos que Q 6 Π. Se Q P temos então:A SΠ,P e A 6 Π AP Π P SΠ,A Q SΠ,A .Se Q 6 P , então P Q Π . Seja Π′ um plano contendo A, P e Q (note que Π′ é único se A, P eQ são não colineares). Uma das possibilidades ocorre: ou a) Π′ Π , ou b) Π′ Π é uma retar (note que Π′ 6 Π pois Q 6 Π). Suponhamos que a) ocorre. Neste caso, como AQ Π′ (peloTeorema 1.2), temos que AQ Π . Logo Q SΠ,A , como querı́amos. Suponhamos agoraque b) ocorre. Supondo por absurdo que Q 6 SΠ,A , então AQ Π 6 e daı́, como AQ Π′ ,segue que AQ r 6 . Assim, considerando o plano Π′ , temos que A e Q não estão do mesmolado da reta r. Como Q e P estão do mesmo lado de r (pois P Q Π P Q r ),concluı́mos que A e P não estão do mesmo lado de r, ou seja AP r 6 , o que é um absurdopois A SΠ,P e A 6 Π, por hipótese. Portanto Q SΠ,A , como querı́amos.Devemos mostrar agora que SΠ,A SΠ,P . O raciocı́nio é análogo e é deixado como exercı́cio.Corolário 1.13. Seja Π um plano e A, B, P 6 Π.a) Se A, B SΠ,P , então AB Π .b) Se A SΠ,P e B 6 SΠ,P então AB Π 6 .Demonstração. Exercı́cio.Note que segue do corolário acima que todo semi-espaço é convexo.1.4Exercı́cios1. Se duas retas são paralelas então todo plano que contém uma delas e um ponto da outra,contém a outra reta.Resolução: Sejam r k s, P s e Π hr, P i. Vamos mostrar que s Π. Seja Π′ hr, si(dado pelo Teorema 1.8). Como Π e Π′ contém r e o ponto P , e como pelo Teorema 1.6 oplano que contém r e P é único, concluı́mos que Π Π′ e, conseqüentemente, Π contémas retas r e s.2. Sejam r, s e t retas distintas no espaço. Se quaisquer duas dessas retas são concorrentesentão elas estão num mesmo plano ou as três retas passam por um mesmo ponto.Resolução : Sejam r s {P }, r t {Q} e s t {X}. Suponhamos que r, s e t nãosão coplanares. Vamos mostrar que P Q X. Seja Π hr, si. Então t 6 Π. Se Q 6 X8
então, como Q r Π e X s Π, segue do Teorema 1.2 que ℓ(Q, X) Π. Mas comoQ, X t, então t ℓ(Q, X) Π, o que é um absurdo. Logo Q X. Se P 6 Q, comos ℓ(P, X) e r ℓ(P, X) (pois P, Q r P, X r , uma vez que Q X), então r s,o que é também um absurdo. Portanto P Q. Assim, P Q X, como querı́amos.3. Sejam ABC e DEF dois triângulos situados em dois planos distintos tais que as retasℓ(A, B), ℓ(A, C) e ℓ(B, C) encontram as retas ℓ(D, E), ℓ(D, F ) e ℓ(E, F ) nos pontosM, N e P , respectivamente. Mostre que M, N e P são colineares.Resolução: Sejam Π hA, B, Ci e Π′ hD, E, F i. Como ℓ(A, B) ℓ(D, E) {M},ℓ(A, C) ℓ(D, F ) {N} e ℓ(B, C) ℓ(E, F ) {P } temos que M, N, P Π Π′ (poisℓ(A, B), ℓ(A, C), ℓ(B, C) Π e ℓ(D, E), ℓ(D, F ), ℓ(E, D) Π′ ). Logo, Π e Π′ são planossecantes. Conseqüentemente Π Π′ é uma reta e, portanto, esta reta contém os pontosM, N e P.DPNCAFMBE4. Duas retas r e s são concorrentes. Seja P 6 hr, si. Qual é a interseção do plano Π hr, P icom o plano Π′ hs, P i?5. Prove a existência de retas reversas.6. Sejam r e s duas retas reversas, A r e B s. Qual é a interseção do plano hr, Bi como plano hs, Ai?7. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontosdistintos de s. Qual é a posição relativa das retas ℓ(A, C) e ℓ(B, D)?8. Seja P é um polı́gono de n lados, n 4, tal que quaisquer quatro de seus pontos sãocoplanares. Mostre que P é plano, ou seja P está contido em um plano.9. Seja V ABCD uma pirâmide quadrangular de vértice V . Determine α β, sendo α hV, A, Ci e β hV, B, Di.9
10. Considere uma pirâmide quadrangular V ABCD de vértice V . Sejam M, N e P pontossobre a aresta V A, V B e V C, respectivamente. O plano determinado por M, N e P cortaa aresta V D no ponto Q. Diga como obter Q a partir de M, N e P ? (Dica : As diagonaisde um quadrilátero plano se intersectam.)11. Mostre que duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planosdistintos.12. Qual é a interseção de duas circunferências de raios congruentes, centros comuns e situadasem planos distintos?1.5Paralelismo entre retas e entre reta e planoO teorema seguinte é uma extensão para o espaço do Postulado de Euclides sobre retas paralelas.Teorema 1.14. Por um ponto não pertencente a uma reta r pode-se traçar uma única retaparalela à r.Demonstração. Seja P 6 r. Pelo Teorema 1.6, existe um único plano Π que passa por P e quecontém r. Pela Postulado das Paralelas da Geometria Plana (para o plano Π), existe uma únicareta s Π passando por P tal que s k r. Para mostrarmos que s é a única reta paralela à rpassando por P , suponhamos que existe uma outra reta s′ paralela à r por P . Seja Π′ hr, s′ i.Então Π e Π′ contém r e P . Logo, pelo Teorema 1.6, Π′ Π e, conseqüentemente, s′ sdevido à unicidade dada pelo Postulado das Paralelas de Euclides.O seguinte teorema exibe um critério para verificar se uma reta é paralela a um plano.Teorema 1.15. Sejam Π um plano e r uma reta não contida em Π. Então r e Π são paralelosse e somente se existe uma reta s contida em Π e paralela a r.rΠPsDemonstração. ( ) Suponhamos que r k Π. Sejam P um ponto qualquer de Π e Π′ hr, P i.Então Π 6 Π′ , pois r Π′ e r Π . Comos Π e Π′ são secantes (pois P Π Π′ ), seja10
s Π Π′ . Afirmamos que s r . De fato, segue do fato de que r Π e s Π. Comor e s são coplanares (pois estão contidas em Π′ ), segue que são paralelas.( ) Suponhamos que existe uma reta s tal que s Π e s k r. Se r não é paralela a Π entãor Π {P }, pois r não está contida em Π, por hipótese. Seja Π′ o plano que contém s e r(dado pelo Teorema 1.8). Então Π Π′ s uma vez que s Π Π′ e Π 6 Π′ (pois r Π′ er 6 Π). Logo, como {P } r Π Π′ Π s, então P s, o que é um absurdo pois P r er k s.O seguinte resultado fornece um critério de paralelismo entre retas no espaço.Proposição 1.16. Se r e s são duas retas coplanares tais que r é paralela a algum plano quecontém s, então r e s são paralelas.Demonstração. Seja Π um plano tal que s Π e r k Π . Como r Π e s Π, entãor s . Logo, como r e s são retas coplanares (por hipótese) que não se intersectam, temosque r e s são paralelas.1.6Exercı́cios1. Mostre a propriedade de transitividade de retas paralelas no espaço, ou seja, que se duasretas distintas r e s são paralelas a uma mesma reta t, então r e s são paralelas entre si.Resolução: Se as retas forem coplanares, e
Vamos mostrar que r Π. Da Geometria Plana, existe uma reta s Π contendo A e B. Assim, como r e s s ao retas contendo A e B, segue do Postulado [R2] que r s. Logo, r Π. Como consequ ˆencia temos as seguintes possibilidades para a posicao relativa entre uma reta r e um plano Π: a) r Π .
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