Modelos Para Dados De Contagem - O Modelo De Poisson
Modelos para dados de contagemO modelo de PoissonModelos para dados de contagem
Sumário1Introdução2Regressão de PoissonTaxa de IncidênciaInclusão de covariáveisInterpretação dos parâmetros3Exemplos4SuperdispersãoModelos para dados de contagem
Dados de ContagemPodemos estar interessados em modelar dados decontagem.Exemplos- Número de chamadas telefônicas por dia em uma callcenter;- Número de acidentes em uma estrada por dia;- Número de surtos epiléticos por paciente em dois anos;- Número de partos cesariais por hospital/ano;- Número de clientes chegando ao caixa de umsupermercado;- Número de gols por time na primeira rodada docampeonato brasileiro.Modelos para dados de contagem
Por que não podemos usar o modelo de regressãoestudado anteriormente? Suposição de Normalidade!Dados de contagem podem ser modelados por umadistribuição de Poisson.Discreta e representa a probabilidade de que um eventoocorra um número especificado de vezes em um intervalode tempo (espaço).Modelos para dados de contagem
A distribuição de PoissonSeja Y Poisson(λ), entãoe λ λyy 0, 1, · · ·y!E(Y ) Var (Y ) λP(Y y ) A taxa média de ocorrência (λ) é constante ao longo dotempo.A informação sobre o número de ocorrências em umperíodo nada revela sobre o número de ocorrências emoutro período.Modelos para dados de contagem
O modelo de regressão de PoissonTemos que a variável resposta Y representa dados decontagem ou taxas e X é o vetor de covariáveis.Objetivo: explicar a variação de Y através de X .Taxa de incidênciaTI Número de casos novos em determinado períodoQuantidade de pessoa-tempoQuantidade de pessoa tempo:tempo em que a população esteve sobrisco de desenvolver a doença, sendo o tempo da população igual a somados tempos de observação de cada indivíduo.Modelos para dados de contagem
Exemplos de Taxa de IncidênciaCidade X no período de 5 anosVamos calcular ataxa de incidência:31 2 4 53 12 0, 25 por anoTI Modelos para dados de contagem
Exemplos de Taxa de IncidênciaMortalidade por gênero de paciente com a doença 21691190 0, 0365/ano2465131TI M 0, 0332/ano39460, 0365RII 1, 0990, 0332TI H Modelos para dados de contagem
Taxa de IncidênciaPor que Taxa de Incidência é importante?Unidades amostrais podem ser acompanhadas pordiferentes períodos de tempos.Modelos para dados de contagem
Seja yij a contagem do número de câncer de pele para ai-ésima faixa etária na cidade j.Pergunta: A taxa de câncer de pele, ajustada por idade,difere nas diferentes cidades?A regressão de Poisson seria o modelo adequado paramodelar a taxa de incidência de eventos (contagens).Modelos para dados de contagem
Inclusão de covariáveisComo incluir covariáveis?Vamos supor uma amostra de tamanho n.E(Yi ) λi (x) i 1, · · · , n e λi 0Vamos usar uma função de ligação logarítimica:log (E(Yi )) log(λi ) β0 β1 xi1 · · · βp xipOu seja:λi eβ0 eβ1 xi1 · · · eβp xipVantagem: garantimos que λ̂i 0.Modelos para dados de contagem
Como modelamos a taxa?Taxa λ(x)conde c é a exposição (tempo, número, área, volume, etc)Com a função de ligação logarítimica: λ(x)log x 0βc log(λ(x) log(c) x 0 βNo R temos o comando offset para lidar com o log(c)(constante sem coeficiente de regressão).Modelos para dados de contagem
Interpretação dos parâmetrosNote que agora estamos considerando:log(contagem ou taxa) x 0 βOs parâmetros não possuem a mesma interpretação domodelo de regressão Normal.Fixando x2 , · · · , xp , quando passamos x1 de 0 para 1temos:x1 0 log(taxa) β2 x2 · · · βp xpx1 1 log(taxa) β1 β2 x2 · · · βp xpModelos para dados de contagem
Interpretação dos parâmetrosEntão: log RT logtaxa1taxa0 β1Vamos supor que exp(β1 ) 2. No caso em que modelos ataxa de incidência temos:RT exp(β1 ) 2Isso significa que a taxa de incidência 1 é duas vezes ataxa de incidência de 0.E no caso em que modelamos a contagem?A interpretação é similiar: a incidência de câncer de 1 éduas vezes a de 0, por exemplo.Modelos para dados de contagem
Exemplo 1Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 ospitais0111110111cesáreas 49Modelos para dados de contagem
Exemplo 1Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 públicos)Observe que podemos modelar tanto o número decesáreas (contagem) quanto a proporção (taxa).Seja Yi o número de cesáreas.Suponha que Yi Poisson(µi ).Vamos ajustar log(µi ) β0 β1 Partos β2 Hospital.Modelos para dados de contagem
Exemplo 1Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 públicos)Assim para log(µi ) β0 β1 Partos β2 Hospital, 00032611,045log(µ) 1, 351 0, 0003261 Partos 1, 045 HospitalE(Y ) e1,351 e0,0003261 Partos e1,045HospitalModelos para dados de contagem
Exemplo 1Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 públicos)Interpretando o parâmetro β2 :e1,045 2, 84O número de partos por cesárea em hospitais públicos é2,84 vezes o número de partos por cesárea em hospitaisparticular.Modelos para dados de contagem
Exemplo 1Partos cesarianos por ano em 20 hospitais (4 privados e 16 públicos)Note que:Público: µi exp(1.351) exp(0, 0003261 1000) exp(1, 045) 15, 2Particular: µi exp(1.351) exp(0, 0003261 1000) 5, 35Isso implica uma média de 15,2 cesáreas a cada 1000partos em hospitais públicos e 5,4 por 1000 partos emparticulares.Modelos para dados de contagem
Exemplo 2Perfil de Clientes (Retirado dos slides do Gilberto Paula)Dados sobre o perfil dos clientes de uma determinada loja,que foram divididos em 110 áreas de uma cidade.O número de clientes de cada área que foram à loja numperíodo fixo serão relacionados com as seguintesvariáveis em cada área (Neter et al., 1996, p. 613):-número de domicílios (em mil) (x1 );renda média anual domiciliar (em mil US ) (x2 );idade média (em anos) dos domicílios (x3 );distância ao concorrente mais próximo (x4 );distância à loja (em milhas) (x5 ).Modelos para dados de contagem
Exemplo 2Perfil de Clientes (Retirado dos slides do Gilberto Paula)Modelos para dados de contagem
Exemplo 2ModelagemYi : número de clientes da i-ésima área que foram à loja noperíodo determinado.Suponha que Yi P(λi ), onde:log(λi ) β0 β1 x1 · · · β5 x5Modelos para dados de contagem
Exemplo 2Estimativa dos parâmetrosEstimando os parâmetros do modelo, 4,27-5,54-2,096,54-7,95Modelos para dados de contagem
Exemplo 2InterpretaçõesOlhando apenas a tabela, podemos perceber que:O número esperado de clientes na loja cresce com oaumento do número de domicílios na área;O número esperado de clientes na loja diminui com oaumento da renda média e da idade média dos domicíliosbem como da distância da área à loja;Por exemplo, se aumentarmos em um ano a idade médiados domicílios:exp( 0, 004) 0.996Assim, esperamos que o número de clientes que irão àloja irá diminuir em 0.4%.Modelos para dados de contagem
Exemplo 3Câncer de pele em duas cidades em 1994Tabela: DadosIdade15-2425-3435-4445-5455-6465-7475-8485 7657538Modelos para dados de contagem
Exemplo 3Câncer de pele em duas cidades em 1994m - glm(casos idade cidade offset(log(pop)),family a-10,350,820,06E.P.0,0960,0520,0013p-valor 0,01 0,01 0,010,044Interpretação (taxa de incidência) para cidade:exp(0, 82) 2, 2705Modelos para dados de contagem
SuperdispersãoSabemos que se Y Poisson(λ) entãoE(Y ) Var (Y ) λ.Superdispersão ocorre quando há uma inedequação doModelo de Regressão de Poisson.Dizemos que houve superdispersão quandoVar (Y ) E(Y )Modelos para dados de contagem
SuperdispersãoPossíveis Causas1 Função de ligação inadequada. Nós vimos o caso dafunção de ligação logarítimica.2 Não inclusão de covariáveis importantes no preditor linear:- Desconhecidas;- Não foram medidas.3 Excesso de zeros:- Comumente existem situações com excesso de contagenszero;- horários inadequados, pessoas não contaminadas, entreoutros.Modelos para dados de contagem
SuperdispersãoSoluçãoPossível SoluçãoIncluir mais um parâmetro na modela para incorporar essa"extra variação"Modelos para dados de contagem
O modelo de regressão de Poisson Temos que a variável resposta Y representa dados de contagem ou taxas e X é o vetor de covariáveis. Objetivo: explicar a variação de Y através de X. Taxa de incidência TI Número de caso
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