Matematika Ekonomi 1 - Anangfirmansyahblog
Matematika Ekonomi1
MATEMATIKAASAL KATAAsal kata : MATHEIN artinya mempelajariatau belajar. Dengan mempelajarimate- matika, seseorang akanterbiasa mengatur jalanpemikirannya dgn sistematis.Berpikir matematis:Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akanMEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jikawaktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.
Berpikir matematis:Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajarmenyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik,dia perlu pengetahuan matematika.Matematika, merupakan sarana pendekatanuntuk suatu analisa.Dengan mempelajari matematika, membawasese-orang kepada kesimpulan dalam waktuyang singkat.Matematika Ekonomi3
Ekonomi dan Matematika EkonomiAnalisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakanpendekatan matematis dibanding dengan tanpapendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:a. Dengan pendekatan matematis, persoalan ataupokok bahasan menjadi sederhana.b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktifkan logika dengan asumsi-asumsinya.c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam menggambarkan sesuatu (hubungan antar variabel)Mis Qd f(Pr, Inc, Pi, ), Pr harga komoditi ybsInc pendapatan, Pi harga kom. substitusiMatematika Ekonomi4
Kelemahannya pendekatan matematis:a.Bahasa matematis tidak selalu mudahdimengerti oleh ahli ekonomi sehingga seringmenimbulkan kesukaran.Contoh Y f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimanamengartikan persamaan matematis tersebut,mis dalam: permintaan, produksi, pendapatannas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetikkeuntungan dari matematika.b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuandasar matematika, ada kecenderungan:(1) membatasi diri dengan hanya memecahkanpersoalan secara matematisMatematika Ekonomi5
(2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepatdemi memudahkan pendekatan matematisatau statistis. Artinya, lebih banyak berbicaramatematika dan statistika dari pada prinsip/teori ekonomi.Kesimpulan dari bahasa adalah:1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmuekonomi.2. Pendekatan matematis merupakan “ mode oftransportation” yaitu membawa pemikirankepada kesimpulan dengan singkat (model)Matematika Ekonomi6
Matematika Ekonomi dan EkonometrikaEkonometrika adalah pengetahuan yang berkaitandengan penerapan statistika untuk menganalisa dataekonomi.MatematikaDataEkonomiEkonometrika- Deduksi- Induksi- Model- Mengolah data- MengambilkesimpulanMatematika Ekonomi7
Teori EkonomiFaktadeduktifModel atauHipotesisData EkonomiSatu PersamaanTeori iterimaTeoriDitolakMatematika EkonomiTeoriDisempurnakan8
Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas:Menurut “Social Science Research Council, seorangahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan(gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus(limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partialdifferentiation, integrasi multipel).Matematika Ekonomi9
HIMPUNAN GUGUSMatematika Ekonomi10
1. Definisi, pencatatan dan himpunan khasHimpunan adalah kumpulan dari obyekobyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat inimenjadi penciri yg membuat obyek/unsuritu termasuk dalam himpunan yang sedangdibicarakan.Himpunan dilambangkan : A, B, X, , Z(kapital)Obyek atau unsur atau elemen dilambangkan a,b,c, atau 1, 2, 3, Perhatikan ( tiga titik) dibaca dan seterusnya.Matematika Ekonomi11
Dua cara pencatatan suatu himpunana. Cara pendaftaran: P { 2, 3, 4 }P nama himpunan/gugustanda kurawal buka dan kurawal tutup “dan “ menyatakan himpunan2, 3, 4 obyek/unsur/elemenArtinya, himpunan P beranggotakan bilanganbulat positip: 2, 3, dan 4.b. Pendefinisian sifat: X { x / x bil. genap} X nama himpunanx obyek/unsur/elementanda “/” dibaca dengan syaratx bil genap sifat atau ciriMatematika Ekonomi12
Cara pendefinisian sifat yang lain:J {x/2 x 5}x merupakan unsurSifat: bilangan nyata 2 x 5, baca himpunansemua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebihkecil dari 5Himpunan khas:a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U)Merupakan himpunan keseluruhan obyek yangsedang dibicarakanS { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjilb. Himpunan kosong (emty set)E { } himpunan kosong atau dicatat dengan“ø”Matematika Ekonomi13
Perhatikan: P { 2, 3, 4 }Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “ ”Jadi: 2 P3 P4 P.Tanda baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam”Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur Pdicatat5 P6 PTanda dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen”atau “diluar”.Matematika Ekonomi14
2. Himpunan bagianSuatu himpunan A merupakan himpunan bagiandari himpunan B, jika dan hanya jika setiapunsur A juga merupakan unsur himpunan B.A { 2, 4, 6 };B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }Dicatat : A B,baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari BSebaliknya dicatat: BA, baca B mencakup ATandadibaca bukan himpunan bagian dantandadibaca tidak/bukan mencakupPerhatikan: himp. bagian terjadi apabila darisuatu himp dibentuk himp lain dengan memilihunsur himp itu sebagai unsurnya.Matematika Ekonomi15
Contoh:X { 1, 2, 3, 4 }Himpunan bagiannya:a.Memilih semua unsur:X4 { 1, 2, 3, 4 }b.Memilih tiga unsurX31 { 1, 2, 3 }X32 { 1, 2, 4 }X33 { 1, 3, 4 }X34 { 2, 3, 4 }c. Memilih dua unsurX21 { 1, 2 }; X22 { 1, 3 }X23 { 1, 4 }; X24 { 2, 3 }X25 { 2, 4 }; X26 { 3, 4 }Matematika Ekonomi16
d. Memilih 1 unsur:e. Tanpa memilihX11 { 1 }; X12 { 2 }X13 { 3 }; X14 { 4 }X0 {}Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. 2n1 elemen:1 2 himp bag2 elemen:1 2 1 4 himp bag3 elemen:13 3 1 8 himp bag4 elemen: 146 41 16 himp bag5 elemen: 1 510 10 5 1 32 himp bagDisebut segitiga Pascal bilangan Binom NewtonMatematika Ekonomi17
3. Pengolahan (operasi) HimpunanOperasi matematis: penjumlahan, penggandaan,pembagian. Operasi himpunan: gabungan(union), potongan (irisan) dan komplemen.Operasi Gabungan ( U )A U B { x / x ε A atau x ε B }A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B.Jika A { 3, 5, 7 );B { 2, 3, 4, 8 }A U B { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }Matematika Ekonomi18
Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsirSABSifat-sifat gabungana. A U B B U A Hukum komutasib. A(A U B) dan B(A U B)Matematika Ekonomi19
Operasi potongan (irisan) A B { x / x ε A dan x ε B }A B, baca A irisan B; atau A dan BMisal: A { 0, 5, 10, 15 } dan B { 1, 5, 8, 15, 17 }A B { 5, 15 }Dalam diagram Venn, A B adalah daerah diarsir:sABMatematika Ekonomi20
Sifat : a. A B B Ab. (A B)(hukum komutasi)A dan (A B)BOperasi selisihSelisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – BA – B { x / x A, tetapi x B }Diagram Venn A – B sebagai berikut:SABMatematika Ekonomi21
Misal: A { a, b, c, d };B { f, b d, g }A – B { a, c } serta B – A { f, g }A – B sering dibaca “A bukan B”.Sifat: a (A – B)A; (B – A)Bb (A – B); dan (B – A) adalah saling asingatau terputusMatematika Ekonomi22
KomplemenA’ { x / x S, tetapi x A }baca “komplemen A” atau “bukan A”A’Misal: S {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } himp.bil bulatpositipA { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjilA’ { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genapDiagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)SAAA’Matematika Ekonomi23
Sifat: a. A U A’ Sb. A A’ øc. (A’)’ ALatihan 1Gambarkan sebuah diagram venn untukmenunjukkan himpunan universal S dan himpunanhimpunan bagian A serta B jika:S {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }A {2, 3, 5, 7 }B {1, 3, 4, 7, 8 }Kemudian selesaikan :a). A – Bb). B – Ad). A U Be) A B’g). (A U B)’ h) (A B)’c) A Bf) B A’Matematika Ekonomi24
Latihan 2Isilah cell dibawah ini dengan tandakeanggotaan himpunan: atau AB A B AUB (A B)’ (AUB)’Matematika Ekonomi25
HubunganHimpunan Hasil kali CartesiusApabila ada dua himpunan X dan Y masing-masingx ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbutdapat disusun himpunan yang beranggotakanpasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matikadiberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaanrumah diberi angka 1 hingga 3.Jadi : X {1, 2, 3, 4} sedangkanY {1, 2, 3}Himpunan hasil kali Cartesius adalah:X x Y {(x, y)/ x ε X, y ε Y}Matematika Ekonomi26
Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:X12341Y23(1, 1)(2, 1)(3, 1)(4, 1)(1, 2)(2, 2)(3, 2)(4, 2)(1, 3)(2, 3)(3, 3)(4, 3)X x Y {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}Matematika Ekonomi27
Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkandalam sistem koordinat cartesius berikut:YPR {1, 2} malasPR {3, 4} rajin3 H1 H4 2 1 01 H2 23U {1, 2} kurang mengertiU {3} pintar H3Terdapat 4 himp bag 4XGbr: Hubungan nilai ujiandan nilai pekerjaan rumahMatematika EkonomiH1 {malas ttp pintar}H2 {malas dan krgmengerti}H3 {rajin ttp krgngerti}H4 {rajin dan pintar}28
Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kaliCartesius:H {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsurunsur pertama pasangan urut, disebut denganDaerah hubungan Dh {1, 2, 3, 4}Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut,disebut dengan Wilayah hubungan: Wh {1, 2, 3}Matematika Ekonomi29
Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalahhimpunan pasangan urut atau tersusun dari(x, y) dimana setiap unsur x X dipasangkandengan setiap unsur y Y. X x Y { (x, y) / x X, y Y } Daerah hubunganDh { x / x X} Daerah hubungan:Wh { y / y Y}Matematika Ekonomi30
SISTEM BILANGAN1. Pembagian bilanganBilangan2; -2;1,1; -1,1Nyata dan -KhayalAkar negatipRasionalIrrasionalHasil bagi dua bilbulat, pecahandesimal ataudesimal berulang0,1492525Bulat (-4) 2Hasil bagi dua bil bulat,pecahan desimal takberulang0,14925253993999 π, 1; 4; 8;termasuk0PecahanMatematika Ekonomi½; 2/7 dsb31
2. Tanda pertidaksamaan Tanda melambangkan “lebih kecil dari” Tanda melambangkan “lebih besar dari” Tanda “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda “lebih besar dari atau sama dengan”3. Sifat Jika a b, maka –a -b Jika a b dan x 0, maka x.a x.b Jika a b dan x 0, maka x.a x.b Jika a b dan c d, maka a c b dMatematika Ekonomi32
FUNGSIMatematika Ekonomi33
PengertianHimpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgnhubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsurX dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiapunsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y)Dengan denah Venn sbb:XY Hubungan 1 - 1Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiapnilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai yyang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan ataufungsi. Jelasnya fungsi LINEARMatematika Ekonomi34
Perhatikan juga contoh berikut:Yy f(x) x1y1 x2 xn0 y1 ynXx1x2XYGambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubungkan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y f(x)Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x ditransformasikan di dalam himpunan y.Matematika Ekonomi35
Transformasi mengandung pengertian yang luas:a. x menentukan besarnya nilai yb. x mempengaruhi nilai yc. Dll.Pernyataan y f(x)dibaca: y merupakan fungsi dari xataudicatat : f : x yaturanditransformasisimbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasiunsur himp. X kedalam himpunan YLebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubunganmatematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hub fungsional antara satu variabeldengan variabel lainMatematika Ekonomi36
Perhatikan: y f(x)x merupakan sebab (variabel bebas)y akibat dari fungsi (variabel terikat)Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagaiDomain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebutdengan Range atau Wilayah fungsi (Rf Wf).Df { x / x ε X }Wf { y / y ε Y }Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap harimerupakan fungsi dari output Q tiap hari:C 150 7Q. Perusahaan memiliki kapasitaslimit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerahdan Range dari fungsi biaya?Jawaban:Df { Q / 0 Q 100 }Rf { C / 150 C 850 } Dapat Anda jelaskan ?Matematika Ekonomi37
Macam-macam fungsia. FungsiPolinomialBentuk umumnya :y a bx cx2 . . . pxnyySlope a1xa0case c 0xa0Konstan, jika n 0Linear, jika n 1Kuadratik, jika n 2y ay a bxY c bx ax2Matematika Ekonomi38
yTitik maksimumTitik belok Fungsi kubiky d cx bx2 ax3xyTitikmaksimumFungsi polinom derajad 4y e dx cx2 bx3 ax4Titik minimumxMatematika Ekonomi39
b. Fungsi RasionalFungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio duapolinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsihiperbola.yHiperbola:y (a/x), a 0x0c. Fungsi eksponensial dan logaritmayyEksponensialy bx , b 10xMatematika Ekonomi0Logaritmay logbxx40
Fungsi linear Fungsi linear merupakan bentuk yang palingdasar dan sering digunakan dalam analisaekonomi Fungsi linear merupakan hubungan sebabakibat dalam analisa ekonomi – misalnya:- antara permintaan dan harga- invests dan tingkat bunga- konsumsi dan pendapatan nasional, dll Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n 1 atau fungsi polinom derajad-1.Matematika Ekonomi41
Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom:y a0 a1x a2x2 . . . anxn Disebut fungsi linear jika n 1 yaituy a bx bentuk umumContoh:y 4 2x a 4b 2Pengertian: a 4 penggal garis padab 2, adalah koefisien arah atausumbu vertikal ylereng atau slope garis.Matematika Ekonomi42
yaaaa y a xa0 penggal garisy ax b,pada sumbu yyaitu nilai ysaat x 0b012345xa lereng garis atau y/Δxpada x 0, y/ x a; pada x 1, y/ x aMatematika Ekonomi43
Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalukonstan. Latihan-1y 4 2xPenggan garis pada sumbu y Lereng garis :x0y x y-- y/ x a-1Mendapatkanpenggal garispada sumbu yketika x 0234Matematika Ekonomi44
Lengkapi tabel berikut dari garis: y 4 2xxy x y y/ x a-3Mendapatkanpenggal garispada sumbu xketika y 0-2-101234Matematika Ekonomi45
Kurva (grafik) fungsi Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karenalerengnya sama. Misalkan y 36 – 4xmakaa -4 ( y/ x)b 36 Menggambarkan kurvanya cukup mencari titikpotong (penggal) dengan:sumbu x dan penggal dengan sumbu y Hubungkan kedua titik penggal tersebut Titik penggal pada sb x, y ., x atautitik ( , )Titik penggal pada sb y, x ., y atautitik ( , )Matematika Ekonomi46
Grafik:y36 (0,36)y 36 – 4x18(9,0)0x 9Grafik dengan lereng negatipMatematika Ekonomi47
Gambarkan grafik fungsi: y 2 4x Titik penggal dg sb x y 0, x -1/2, (-1/2, 0)Titik penggal dg sb y x 0, y 2, (0,2) Gambarkan :yy 2 4xx0Grafik dengan lereng positipMatematika Ekonomi48
Fungsi non linear (kuadratik) Fungsi non linear juga merupakan bentukyang sering digunakan dalam analisa ekonomi Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linearjuga merupakan hubungan sebab-akibat Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n 2 atau fungsi polinom derajad-2. Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom:y a0 a1x a2x2 . . . anxn Disebut fungsi kuadratik jika n 2 dan a2 0,yaituy a0 a1x a2x2atau sering ditulis: y ax2 bx cMatematika Ekonomi49
Hubungan dua garisDua buah garis dengan fungsi linier dapat:a. berimpitBerimpit: Jika dan hanya jikaa1 a 2b1 b2b. SejajarSejajar: Jika dan hanya jikaa1 a2b1 b2Matematika Ekonomi50
BerpotonganyBerpotongan: jika danhanya jikaTtk pota1 a 2 b1 b 2xDua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanyadapat berpotongan.yTtk pota 0Ttk pot a 0y2 ax2 bx cxMatematika Ekonomi51
Mencari titik potong dua garis/persamaan Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilaix dan y sama pada perpotongan tersebut Caranya:(1) Bentuk fungsi harus y f(x)(2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titikpotong Cari titik potong fungsi x 15 – 2y dan 3y x 3x 15 – 2y y -(1/2)x 15/23y x 3 y (1/3)x 1-(1/2)x 15/2 (1/3)x 1-(1/2)x – (1/3)x 1 – 15/2x 78/10Matematika Ekonomi52
Untuk mendapatkan y, substitusi x 78/10pada salah satu fungsi:y (1/3)x 1,untuk x 78/10; y (1/3)(78/10) 1y 26/10Titik potong fungsi (x, y) (78/10, 26/10)Matematika Ekonomi53
Mencari titik potong dua garis/persamaan(1) 2x 3y 21 dan (2) x 4y 23Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai xdan y sama pada saat perpotongan tersebut. Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y f(x)(1) 2x 3y 21 3y 21 – 2xatau y 7 – (2/3)x(2) x 4y 23 4y 23 – xatau y (23/4) – (1/4)xTitik potong kedua garis:7 – (2/3)x (23/4) – (1/4)x7 – (23/4) (2/3)x – (1/4)x5 (5/12)xx 12. y 11/4 (12, 11/4)Matematika Ekonomi54
Penggunaan Fungsi dalam ekonomiAnalisa keseimbangan pasarKeseimbangan pasar – Model linearAsumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “eksesdemand” 0 atau (Qd – Qs 0)Asumsi-2: Qd jumlah permintaan adalah fungsilinear P (harga). Jika harga naik, maka Qdturun.Asumsi-3: Qs jumlah penawaran adalah fungsilinear P. Jika harga naik, maka Qs juganaik, dengan syarat tidak ada jlh yangditawarkan sebelum harga lebih tinggidari nol.Persoalan,bagaimana menentukan nilaikeseimbangan ?
Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadipada saat:Qd QsQd a - bP,slope (-)(1)Qs -c dP,slope ( )(2)Gambarnya sbb:Qd, QsaQd a -bPQs -c dPkeseimbanganQ00P1P0P-cMatematika Ekonomi56
Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:Qs 4 – p2 dan Qd 4P – 1Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalamekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21)tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerahpositip) maka keseimbangan pada (1, 3)}4QS 4p - 11,33keseimbanganQD 4 - p20-112Matematika Ekonomi57
Keseimbangan pasar (lanjutan)Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-anpermintaan dan penawaran dari suatu komodititertentu jika:Qd 16 – P2 , (Permintaan)QS 2p2 – 4p(penawaran)Gambarkan grafiknyaApa yang terjadi jika p 3.5 dan p 2.5Matematika Ekonomi58
PenjelasanPada saat keseimbangan maka Qd Qs16 – p2 2p2 – 4p3p2 – 4p – 16 0Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n 2dengan bentuk umum: ax2 bx cKoefisien a 3, b -4, dan c -16p (-b) (b2 – 4ac)1/2 4 (16 192)1/2 3.1 ( )62aQd 16 – p2 16 - (3.1)2 6.4Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) (6.4 , 3.1)Matematika Ekonomi59
Grafik:Fungsi Permintaan: Qd 16 – p2a. Titik potong dengan sb Q p 0; Q 16, (16,0)b. Titik potong dengan sb p Q 0; 16 – p2 0(p – 4)(p 4). p – 4 0, p 4,ttk (0, 4)p 4 0, p -4, ttk (0, -4)c.Titik maks/min: (Q,p)Q (-b/2a) 0/-2 0p (b2 – 4ac)/(-4a) 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) 16atau pada titik (0, 16)Matematika Ekonomi60
Grafik:Fungsi penawaranQs 2p2 – 4pa. Titik potong dengan sb Q p 0; Q 0, (0,0)b. Titik potong dengan sb p Q 0; 2p2 – 4p 0Atau 2p(p – 2) 0; 2p 0; p 0; ttk pot (0, 0)(p – 2) 0; p 2; ttk pot ( 0, 2)c. Titik maks/min: (Q,p)Q (-b/2a) 4/4 1p (b2 – 4ac)/(-4a) (-4)2 – 4(2)(0)/(-4)(2) 2atau pada titik (1, 2)Matematika Ekonomi61
Grafik:Qsp43.1Qd206.416QApa yang terjadi jika p 3.5 dan p 2.5Untuk p 3.5, terjadi ekses supply dan p 2.5,terjadi ekses demandMatematika Ekonomi62
Penjelasan ekses suplai dan ekses demandQsQdEkses demand mendorong harga naik, dan eksessupply mendorong harga turun.Matematika Ekonomi63
Aplikasi dalam ekonomi1) Elastisitas permintaanElastisitas permintaan adalah persentase perubahan jumlah komoditi diminta apabilaterdapat perubahan harga.Jika q komoditi yg diminta,Δq perubahannyap harga komoditi;Δp perubahannyaMatematika Ekonomi64
Δq/qΔq/qΔq pdq pΔp qdp qEd ------ lim ------- lim ---- -- ---- -Δp/pΔp- 0Δp/pΔp- 0Contoh: Umpamakan fungsi permintaan q 18 -2p2hitung elastisitas permintaan jika harga berkurang 5% (bukan mendekati nol) dari p 2, q 10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: definisi dan derivatif.Pendekatan definisi: p 2; Δp 0.05 berartip1 2 – 2(0.05) 1.9Untuk p1 1.9,untuk p 2,berartiq 18-2p2 18 – 2(1.9)2 10.78q 18-2p2 18 – 2(2)2 10.Δq 10.78 – 10 0.78Matematika Ekonomi65
Jadi menurut pendekatan definisiEd 7.8%/-0.05% - 1.56Dengan pendekatan derivatif:Ed (dq/dp)(p/q) (-4p)(p/q) - 4p2/qpada harga p 2, dan q 10Ed -4(2)2/10 - 1.60.Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol,sementara menurut definisi, Δp 0.05%, jadihasilnya sedikit berbeda.Matematika Ekonomi66
2) Total Cost, Average cost and marginal costTC f(q),merupakan fungsi biaya dimana TC total cost,dan q produk yang dihasilkan.TC/q f(q)/qmerupakan fungsi biaya rata-rata.MC dTC/dqmerupakan derivatif dari TC, sebagai biaya marginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya ygdibutuhkan per satuan tambahan produk.Matematika Ekonomi67
Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawahini.TCRpMCACVCqMatematika Ekonomi68
Contoh dengan data diskritqFCVCTCACMC110010110110.00 .051003013026.004.061003613622.676.0710045.5145.5 ka Ekonomi69
Contoh dengan fungsi biaya:TC q3 – 4q2 10q 75.FC Fixed Cost 75VC Variable cost q3 – 4q2 10qMC dTC/dq 3q2 – 8q 10AC TC/q q2 – 4q 10 75/q3) Revenue and Marginal revenueApabila fungsi permintaan diketahui, maka TotalRevenue (TR) adalah jumlah produk yangdiminta dikali harga.Matematika Ekonomi70
Jadi jika q kuantitas diminta dan p hargadengan q f(p) maka:TR qp f(p).pMarginal Revenue (MR) dTR/dq.Contoh:MR dTR/dq 9/2 – 3qFungsi Permintaan;3q 2p 9;TR, MR, p2p 9 – 3q ataup 9/2 – (3/2)qMR4TR p.q ataupTR (9/2)q – (3/2)q20Matematika Ekonomi3q71
4). Fungsi produksiSeorang produsen dalam teori ekonomi palingtidak harus mengambil dua keputusan apabiladilandasi oleh suatu asumsi produsen berusa-hamemperoleh profit maksimum, adalah:a. Jumlah produk yang yang akan diproduksib. Menentukan kombinasi input-input yangdigunakan dan jumlah tiap input tsb.Landasan teknis dari produsen dalam teoriekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI.Fungsi produksi persamaan yang menunjukkanhubungan antara tingkat penggunaan inputinput dengan tingkat output.Matematika Ekonomi72
Fungsi produksi, secara umum dicatat:Q f(x1, x2, x3, , xn)Q outputxi input-input yang digunakan, i 1, 2, 3, , nApabila dalam proses produksi:Q f(x1/x2, x3, , xn)input xI ditambah terus menerus, sedangkan inputlain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk padahukum : The law of diminishing returns“bila satu macam input, terus ditambahpenggunaannya sedang penggunaan input laintidak berubah, maka tam-bahan output ygdihasilkan dari setiap tambahan input, mulai-mulameningkat, kemudian menurun, dan akhirnyanegatip”.Matematika Ekonomi73
Tambahan output yg didapat karena adanyatam-bahan satu unit input dinamakan ProdukFisik Marginal (Produk Marginal PM).PM Q/ xi, i 1, 2, 3, , nSelain produk marginal, fungsi lain yang dapatdi-turunkan dari fungsi produksi adalah fungsiProduk Rata-rata (PR).PR Q/x f(x)/xJadi ada hubungan antara Q atau produk total(PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut ditunjukkan oleh kurva berikut ini.Matematika Ekonomi74
QX1 QQ PTPM PR11022414 1233915 1345213 13561912.266651176609.4864-28x-10PMPRMatematika Ekonomix75
Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb:a. Pada saat PT maks, maka PM 0b. Pada saat PR maks, maka PM PRc. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol(origin) menyinggung kurva PT.Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanyajika input variabel terdiri atas satu input.UntukQ f(x1, x2)/x3, , xN)atau dua input variabel, maka kurvanya dalamruang spt berikut:Matematika Ekonomi76
zx1x2Matematika Ekonomi77
MATRIKSMatriks artinya sesuatu yang membungkus, yangdibungkus adalah data kuantitatif yang disusundalam bentuk “baris” dan “lajur”.Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 4500M420047004500
Dengan catatan matriks ditulis:A 4000 4500 4200B 1 0 1 44200 4600 45003 2 6 74200 4700 450Bentuk umum sbb:9 8 4 1Notasi matriksA a11 a12 a1nmxna21 a22 a2n:::am1 am2 amnUntuk menyederhanakandicatat:A (aij)mxnmxnm jlh baris; n jlh lajurMatematika Ekonomi79
Vektor.Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu barisdisebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur diseburdengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dptdisebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektorbaris dan beberapa vektor lajur.Vektor baris:Vektor lajura’ (4, 1, 3, 2)b 1u u12u28:x’ (x1, x2, xn)unMatematika Ekonomi80
Beberapa macam bentuk matriksa. Matriks segi: A (aij)m.n dengan m nA 2 0 2 44x44 1 7 71 2 3 45 1 4 1b. Matriks setangkup: B (bij)n.n, bij bjiB 1 0 7 74X40 5 4 37 4 2 57 3 5 1Matematika Ekonomi81
c. Matriks diagonalD (dij)n.n, dij 0 utk i je. Matriks segitiga atas,jika semua unsur dibawah diagonal utama bernilai nol.D 300050G 9 9 30070 1 30 0 2d. Matriks identitasI4 1 0 0 0I2 1 00 1 0 00 10 0 1 00 0 0 1Diagonal utamaJika semua unsur diatas diagonal utamabernilai 0 matrikssegitiga bawah.Matematika Ekonomi82
Penggandaan matriksMatriks A (aij)m.n dapat digandakan dgn B (bij)p.qjika dan hanya jika lajur matriks A baris matriks Batau n pCara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajurdimana setiap baris A digandakan dengan setiaplajur B seperti contoh berikut ini.1 1 08 -12 4 51 16 7 81 2Matematika Ekonomi83
1 1 02 4 56 7 88 -1 (1 1 0) 8 , (1 1 0) -11 1111 212 (2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -11112(6 7 8) 8 , (6 7 8)-11111Matematika Ekonomi84
(1)(8) (1)(1) (0)(1), (1)(-1) (1)(1) (0)(2)(2)(8) (4)(1) (5)(1), (2)(-1) (4)(1) (5)(2)(6)(8) (7)(1) (8)(1), (6)(-1) (7)(1) (8)(2)90Contoh-2: 3 6 0x25124 2 -7y6317 z3x 6y4x 2y – 7zMatematika Ekonomi85
Putaran matriksMatriks A (aij)m.n, putarannya adalah A’ (a’ij)n.m,sedangkan (a’ij) (aji).Contoh: A 3 8 -9 A’ 3 11 0 48 0-9 4D 1 0 4 D’ 1 0 40 3 70 3 74 7 24 7 2Matematika Ekonomi86
Determinan matriks segiDeterminan suatu matriks segi adalah hasil perkalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidakselajur, dengan tanda tertentu. Determinanmatriks A dicatat det (A) atau A Contoh: Hitung determinan matiks A 2 74 9det A (2)(9) – (4)(7) - 10.Matematika Ekonomi- 87
Contoh: Cari determinan matriksC 1 4 78 2 56 9 3Cara Sarrus, yaitu denganmenambahkan lajur 1 sebagailajur 4 dan lajur 2 sebagailajur 5 kemudian menggandakan angka yang tidak sebarisdan tidak selajur.--- det C 1 4 7 1 48 2 5 8 26 9 3 6 9 (1)(2)(3) (4)(5)(6) (7)(8)(9)-(7)(2)(6) - (1)(5)(9) – (4)(8)(3) 405Matematika Ekonomi88
Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, caraSarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari perkalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur.Pangkat suatu matriksSuatu matriks segi dengan determinan 0, makamatriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks taksingular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat takpenuh atau dinamakan matriks singular.Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkatmatriks itu dicatat p(B) n, jika matriknya berpangkatpenuh.Matematika Ekonomi89
Tetapi jika determinannya 0, maka pangkat matriksB, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anakmatriksnya yang memiliki det 0.Contoh A 1 1 0 , karena det A 0, maka3x32 -1 1p(A) 3, dan kemungkinan4 1 1p(A) 2.Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya:A11 1 1 , det A11 - 3 0. Berarti p(A) 22 -1Matematika Ekonomi90
Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilainilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matrikspenyusun persamaan linear dimaksud harus 0 atautak singular atau berpangkat penuh.Misal: 7x1 - 3x2 – 3x3 72x1 4x2 x3 0- 2x2 - x3 2Setelah diubah dgperkalian matiksdiperoleh7 -3-3x1 72 41x200 -2-1x32Matematika Ekonomi91
Det. Matriks: 7 -3 -3 -8 0, berarti nilai-nilai x241dari persamaan li-0-2 -1near itu dpt dicari.Matematika Ekonomi92
Persamaan linear dan jawabannya.Persamaan linear adalah himpunan dari persamaanlinear dengan beberapa nilai yang hendak dicari.7x1 – x2 – x3 0Contoh: 5x1 3x2 306x1 – 2x2 810x1 – 2x2 x3 86x1 3x2 – 2x3 7Dari persamaan tersebut akan dihitung x1 dan x2Matematika Ekonomi93
Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determinan, sistem persamaan linear di atas dapatdiselesai-kan dg cara sbb:a. Buat persamaan linear menjadi dalam bentukperkalian matriks.53x1 306-2x28xdAb. Cari nilai det (A);det A -28c. Dapatkan matiks A1 yaitu matriks A denganmengganti lajur ke-1 dengan vektor d.Matematika Ekonomi94
A1 30 38 -2d. Dapatkan matriks A2 yaitu matriks A denganmengganti lajur ke-2 dengan vektor d.A2 5 3068e. Cari det A1 dan det A2; det A1 -84; det A2 -140f. Nilai x1 det A1/det A, dan x2 det A2/A.x1 -84/-28 3;x2 -140/-28 5.Matematika Ekonomi95
Contoh 27 -1 -1x1 010 -2 1x286 3 -2x37xdAa. Det A -61b. Det A1 0 -1 -1 -61; det A2 7 0 -1 -1838 -2 110 8 17 3 -267 -2det A3 7 -1 0 -24410 -2 86 3 7Matematika Ekonomi96
Matematika Ekonomi 6 (2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi. Kesimpulan dari bahasa adalah: 1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi. 2. Pendekatan matematis merupakan " mode of
BAB 3 EKONOMI DAN PEMBANGUNAN; SEBUAH KRITIK 31 3.1 Krisis Negara Kesejahteraan 31 3.2 Inkonsistensi Ekonomi Pembangunan 42 3.3 Kritik terhadap Ilmu Ekonomi Konvesional 45 BAB 4 RANCANG BANGUN EKONOMI ISLAM 53 4.1 Paradigma Ekonomi Islam 54 4.2 Prinsip Dasar Ekonomi Islam 58 BAB 5 HAKIKAT EKONOMI ISLAM 71 5.1 Makna Ekonomi Islam 71
menentukan pilihan, tindakan dan kegiatan ekonomi sesuai dengan nilai, konsep dan teori ekonomi yang seharusnya. Kajian Ilmu Ekonomi Meski ruang lingkup ilmu ekonomi sangat luas, namun secara garis besar teori ekonomi dibagi 2 yaitu : 1. Teori Mikro Ekonomi Didefinisikan sebagai bagian dari ilmu ekonomi yang menganalisa
Pengantar Matematika Ekonomi Edisi 13 Buku Pengantar Matematika Ekonomi edisi ke-13 ini menyajikan dasar-dasar matematika bagi mahasiswa dari berbagai bidang keilmuan, terutama ilmu sosial. Buku ini dimulai dengan pengenalan kalkulus, fungsi-fungsi, persamaan, matematika keu
MATEMATIKA EKONOMI (Buku Referensi) Matematika Ekonomi memberikan pemahaman ilmu mengenai konsep matematika dalam bidang bisnis dan ekonomi. Sehingga suatu masalah dapat menjadi
Soal Matematika Model PISA Indonesia Tahun 2015 Soal Matematika Model PISA Menggunakan Konteks Lam. Soal UAN dan Jawaban Matematika SMA Lingkaran Soal UN dan Jawaban Matematika Peluang Soal Matematika Eksponen UM UNDIP Contoh Soal Matematika Masuk UGM Soal UN dan Jawaban Persamaan Linier Soal UN dan Jawaban Trigonometri
fungsi linear dan non linera dalam ekonomi, matematika keuangan, program linear dan penerapannya dalam ekonomi, diferensial fungsi sederhana dan penerapannya dalam ekonomi, serta integral dan penerapannya dalam ekonomi. Capaian Pembelajaran : Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasisw
masing sistem ekonomi Sistem Perekonomian Indonesia Karakteristik perekonomian Indonesia Masalah Pokok Ekonomi Permasalahan pokok ekonomi Klasik (produksi, distribusi, dan konsumsi) dan ekonomi modern (apa, bagaimana, untuk siapa) barang diproduksi Sistem Ekonomi Pengertian sistem ekonomi Macam-macam sistem ekonomi
Susannah G Tringe*‡, Andreas Wagner† and Stephanie W Ruby* Addresses: *Department of Molecular Genetics and Microbiology, University of New Mexico Health Sciences Center, Albuquerque, NM 87131, USA. †Department of Biology, University of New Mexico, Albuquerque, NM 87131, USA. ‡Current address: DOE Joint Genome Institute, 2800
